부풀리기

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 관련 구성
6. 역사
참조

1. 개요

부풀리기는 스킴의 준연접 아이디얼 층에 따라 정의되는 스킴 변환으로, 스킴을 변형하는 데 사용된다. 이는 스킴 사상과 예외 인자로 구성되며, 보편 성질을 만족한다. 부풀리기는 아핀 스킴, 자명한 경우, 그리고 복소 공간이나 다양체의 부분 다양체 등 다양한 상황에서 구체적으로 정의될 수 있으며, 예외적 제수를 통해 원래 스킴의 특이점을 해소하는 데 기여한다. 법선 추이로의 변형, 심플렉틱 부풀리기 등 관련 구성이 있으며, 역사적으로는 모노이드 변환 또는 시그마 과정으로 불렸다.

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부풀리기

2. 정의

'''부풀리기'''(blow up, blowup)는 대수다양체 또는 스킴의 부분 다양체(또는 부분 스킴)를 새로운 공간으로 "확장"하는 연산이다.^[1]

''Z''^영어를 ''n''차원 복소수 공간 '''C'''^''n''의 원점, 즉 ''n''개의 좌표 함수 $x_1, \ldots, x_n$ 이 동시에 0이 되는 점이라고 하자. '''P'''^{''n'' - 1}을 균일 좌표 $y_1, \ldots, y_n$ 을 갖는 (''n'' - 1)차원 복소 사영 공간이라 하고, $\tilde{\mathbf{C}^n}$ 을 '''C'''^''n'' × '''P'''^{''n'' - 1}의 부분 집합으로, 모든 ''i'', ''j'' = 1, ..., ''n''에 대해 방정식 $x_i y_j = x_j y_i$ 를 동시에 만족하는 집합이라고 하자. 투영

: $\pi : \mathbf{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1} \to \mathbf{C}^n$

은 자연스럽게 정칙 함수를 유도한다.

: $\pi : \tilde{\mathbf{C}^n} \to \mathbf{C}^n.$

이 사상 π (또는 종종 공간 $\tilde{\mathbf{C}^n}$ )을 '''블로우업'''이라고 한다.^[1]

'''예외적 인수''' ''E''는 π에 따른 블로우업 로커스 ''Z''의 역상으로 정의된다. 다음이 성립한다.

: $E = Z \times \mathbf{P}^{n - 1} \subseteq \mathbf{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1}$

이는 사영 공간의 사본이며, 유효한 제수이다. ''E''에서 벗어나면, π는 $\tilde{\mathbf{C}^n} \setminus E$ 와 '''C'''^''n'' \ ''Z'' 사이의 동형 사상이며, $\tilde{\mathbf{C}^n}$ 과 '''C'''^''n'' 사이의 쌍유리 사상이다.^[1]

대신 정칙 투영

: $q\colon \tilde{\mathbf{C}^n} \to \mathbf{P}^{n-1}$

을 고려하면 $\mathbf{P}^{n-1}$ 의 자명한 선다발을 얻으며, 예외적 인수 $\lbrace Z\rbrace\times\mathbf{P}^{n-1}$ 은 각 점 $p$ 에 $p$ 위의 올에 있는 0 원소 $\mathbf{0}_p$ 를 할당하는 사상 $\mathbf{0}\colon \mathbf{P}^{n-1}\to\mathcal{O}_{\mathbf{P}^{n-1}}$ , 즉 0 단면과 동일시할 수 있다.^[1]

일반적으로, $\mathbf C^n$ 의 임의의 여차원 $k$ 복소다양체 $Z$ 를 부풀릴 수 있다. $Z$ 가 방정식 $x_1 = \cdots = x_k = 0$ 의 자취라고 가정하고, $y_1, \ldots, y_k$ 를 $\mathbf P^{k-1}$ 의 동차 좌표라고 하면, 부풀린 공간 $\tilde{\mathbf{C}}^n$ 은 공간 $\mathbf C^n \times \mathbf P^{k-1}$ 에서 모든 $1\leq i,j\leq k$ 에 대해 방정식 $x_i y_j = x_j y_i$ 의 자취이다.^[1]

더 일반적으로 이 구조를 국소적으로 적용하여 임의의 복소다양체 $X$ 의 임의의 부분다양체를 부풀릴 수 있다. 이전과 마찬가지로, 결과는 부풀린 자취 $Z$ 를 예외적 인수 $E$ 로 대체하는 것이다. 즉, 부풀리기 사상

: $\pi : \tilde X \to X$

은 $E$ 를 제외하고 동형을 유도하고, $E$ 에서는 섬유 $\mathbf P^{k-1}$ 을 갖는 국소적으로 자명한 피복을 유도하는 쌍유리 사상이다. 실제로, 제한 $\pi|_E : E \to Z$ 는 자연스럽게 $X$ 에서 $Z$ 의 법다발의 사영화로 볼 수 있다.^[1]

$E$ 는 매끄러운 인수(여차원 1)이므로, 그 법다발은 선다발이다. $E$ 가 음수 방향으로 자신과 교차한다는 것을 보이는 것은 어렵지 않다. 이는 법다발이 정칙 단면을 갖지 않음을 의미한다. $E$ 는 $\tilde X$ 에서 그 호몰로지 클래스의 유일한 매끄러운 복소 표현이다. (만약 $E$ 가 같은 클래스의 다른 복소 부분다양체로 자신에서 벗어나게 할 수 있다고 가정하면, 두 부분다양체는 항상 복소 부분다양체가 그러하듯이 양수 방향으로 교차하여 $E$ 의 음수 자기 교차에 모순된다.) 이것이 인수가 예외적인 이유이다.^[1]

$V$ 를 $Z$ 가 아닌 $X$ 의 어떤 부분다양체라고 하자. $V$ 가 $Z$ 와 분리되어 있다면, $Z$ 를 따라 부풀리는 것에 의해 본질적으로 영향을 받지 않는다. 그러나 $Z$ 와 교차하는 경우, 부풀린 공간 $\tilde X$ 에 $V$ 의 두 가지 뚜렷한 유사체가 있다. 하나는 '''고유''' (또는 '''엄밀한''') '''변환'''인데, 이는 $\pi^{-1}(V \setminus Z)$ 의 폐포이다. $\tilde X$ 에서의 법다발은 일반적으로 $X$ 에서의 $V$ 의 법다발과 다르다. 다른 하나는 '''전체 변환'''인데, $E$ 의 일부 또는 전부를 포함하며, 본질적으로 코호몰로지에서 $V$ 의 풀백이다.^[1]

2. 1. 추상적 정의

스킴

X

위의 준연접 아이디얼 층

\mathcal I

가 주어졌을 때,

X

의

\mathcal I

에서의 부풀리기는 다음 데이터로 구성된다.

스킴 $\operatorname{Bl}_{\mathcal I}X$
스킴 사상 $\pi\colon\operatorname{Bl}_{\mathcal I}X\to X$ . $\pi^{-1}\mathcal I$ 는 $\operatorname{Bl}_{\mathcal I}X$ 위의 가역층이며, 이에 대응되는 유효 카르티에 인자를 $\operatorname{Bl}_{\mathcal I}X$ 의 '''예외 인자'''(例外因子, exceptional divisor^영어)라고 한다.

이 데이터는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

임의의 스킴 $Y$ 및 스킴 사상 $\varpi \colon Y \to X$ 에 대하여, $\varpi^{-1}\mathcal I$ 가 $Y$ 위의 가역층이라면, $\varpi = \pi \circ f$ 가 되는 스킴 사상 $f\colon Y\to \operatorname{Bl}_{\mathcal I}X$ 가 유일하게 존재한다.

부풀리기는 이러한 보편 성질에 의하여 정의되므로, 만약 존재한다면 유일하다.

2. 2. 구체적 정의

스킴

X

위의 준연접 아이디얼 층

\mathcal I

가 주어졌을 때,

X

위의 가환 등급환의 층

:

\bigoplus_{n=0}^\infty \mathcal I^n = \mathcal O_X \oplus \mathcal I \oplus \mathcal I^2 \oplus \dotsb

을 정의할 수 있다.

이 경우, 이에 대한 상대 사영 스펙트럼(relative Proj construction^영어)을 취할 수 있다.

:

\operatorname{Bl}_{\mathcal I}X=\operatorname{\underline{Proj}}\bigoplus_{n=0}^\infty\mathcal I^n

이는 정의에 따라 표준적인 스킴 사상

:

\pi_X\colon\operatorname{Bl}_{\mathcal I}X \to X

을 갖는다. 이를

X

의

\mathcal I

에서의 '''부풀리기'''라고 한다. 이 구성은 추상적 정의의 보편 성질을 충족시킨다.

이 스킴 사상은

X \setminus \operatorname{supp}\mathcal I

에서 동형 사상이다. 이 경우 아이디얼 층

:

\bigoplus_{n=1}^\infty \mathcal I^n

으로 정의되는 카르티에 인자를 '''예외 인자'''라고 한다.

2. 3. 아핀 스킴의 부풀리기

아핀 스킴 $\operatorname{Spec} R$ 위의 준연접 아이디얼 층은 아이디얼 $\mathfrak i \subseteq R$에 해당한다. 이 경우, 부풀리기는 가환 등급환 $B = \bigoplus_{n=0}^\infty \mathfrak i^n = R[t\mathfrak i] \subseteq R[t]$의 사영 스펙트럼으로 정의된다.

뇌터 스킴의 경우, 연접 아이디얼 층은 유한 생성 아이디얼 $\mathfrak i = (r_1, \dotsc, r_n) \subseteq R$로 주어지며, 이 경우 $B = R[r_1t, r_2t, \dotsc, r_nt] \subseteq R[t]$이다.

$\mathfrak i = 0$ (영 아이디얼)인 경우, $B = R$이다. 반대로, $\mathfrak i = (1) = R$인 경우, $B = R[t]$이다.

2. 4. 자명한 경우

스킴

X

를 공집합에서 부풀리면

X

와 같다. 이는 준연접 아이디얼 층

\mathcal O_X

에 대응되며, 구체적으로 다음과 같다.

:

\operatorname{\underline{Proj}}_X\mathcal O_X[t] = \mathbb P_X(\mathcal O_X) = X

보다 일반적으로, 스킴을 (

\mathcal O_X

등의) 가역층에서 부풀리면 원래 스킴을 얻는다. 이는 부풀리기의 보편 성질에 따라 자동적으로 성립한다.

스킴

X

를

X

전체에서 부풀리면 공집합이다. 이는 준연접 아이디얼 층 0에 대응되며, 구체적으로 다음과 같다.

:

\operatorname{\underline{Proj}}_X(\mathcal O_X \oplus 0 \oplus 0 \oplus \dotsb ) = \operatorname{\underline{Proj}}_X\mathcal O_X = \mathbb P_X(0) = \varnothing

3. 성질

스킴 $X$ 가 국소 뇌터 스킴이고, $Y \hookrightarrow X$ 와 $Z \hookrightarrow X$ 가 닫힌 몰입(즉, 이들은 준연접 아이디얼 층으로 정의된다)일 때, 부풀리기

: $\pi_X \colon \operatorname{Bl}_ZX \to X$

를 정의할 수 있다. 이 경우, $Y$ 의 부풀리기는 다음과 같다.

: $\operatorname{Bl}_{Y\cap Z}X = \operatorname{cl}_{\operatorname{Bl}_ZX}(\pi^{-1}(Y \setminus Z))$

'''예외적 제수'''는 부풀리기 사상 $\pi : \operatorname{Bl}_\mathcal{I} X \to X$ 에서 이상 묶음 $\mathcal{I}$ 의 역상으로 정의되는 부분 스킴이며, $\pi^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_{\operatorname{Bl}_\mathcal{I} X}$ 로 표기되기도 한다. Proj 구성을 통해, 이 부분 스킴 $E$ 는 이상 묶음 $\textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty \mathcal{I}^{n+1}$ 에 의해 정의됨을 알 수 있다. 이 이상 묶음은 π에 대한 상대적 $\mathcal{O}(1)$ 이기도 하다.

π는 예외적 제수에서 벗어나면 동형 사상이 되지만, 예외적 제수는 π의 예외적 자리에 있지 않아도 된다. 즉, π는 ''E''에서 동형사상이 될 수 있다. 예를 들어, $\mathcal{I}$ 가 이미 가역 묶음인 상황에서 이러한 일이 발생한다. 특히, 이러한 경우 사상 π는 예외적 제수를 결정하지 않는다. 예외적 자리가 예외적 제수보다 엄격하게 작은 또 다른 상황은 ''X''에 특이점이 있는 경우이다. 예를 들어, ''X''를 × 위에 있는 아핀 원뿔로 하자. ''X''는 '''A'''⁴에서 xw-yz=0 의 영점 궤적으로 주어질 수 있다. 이상 (x,y) 와 (x,z)는 두 개의 평면을 정의하며, 각각 ''X''의 정점을 통과한다. 정점에서 벗어나면, 이 평면들은 ''X''에서 초곡면이 되므로, 부풀리기는 거기서 동형사상이 된다. 따라서 두 평면 중 하나의 부풀리기의 예외적 자리는 원뿔의 정점을 중심으로 하며, 결과적으로 예외적 제수보다 엄격하게 작다.

4. 예시

체 $K$ 에 대한 $n$ 차원 아핀 공간 $\mathbb A_K^n$ 의 원점 $0\in\mathbb A_K^n$ 에서의 부풀리기 $\operatorname{Bl}_0\mathbb A_K^n\subseteq\mathbb A_K^n\times\mathbb P_K^{n-1}$ 는 다음과 같은 아이디얼로 정의되는 부분 대수다양체이다.

: $\operatorname{Bl}_0\mathbb A^n=\{(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)|x_iy_j=x_jy_i\forall i,j=1,\dots,n\}$ .

여기서 $x_1,\dots,x_n$ 는 $\mathbb A^n$ 의 좌표이고, $y_1,\dots,y_n$ 는 $\mathbb P^{n-1}$ 의 동차좌표이다. 이는 준사영 대수다양체 $\mathbb A_K^n\times\mathbb P_K^{n-1}\subsetneq \mathbb P^{2n-1}_K$ 의 닫힌 부분 대수다양체이므로, $K$ 에 대한 준사영 대수다양체이다.

다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

: $\pi\colon\operatorname{Bl}_0\mathbb A^n\to\mathbb A^n$

: $(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)\mapsto(x_1,\dots,x_n)$ .

이 사상은 체가 복소수일 경우 정칙사상(regular map)이다. 이 사상의 올은 다음 두 가지 경우가 있다.

원점이 아닌 점 위의 올: 올은 한원소 공간이다. 즉, 올의 유일한 점은 $[y_1:\dotsb:y_n] = [x_1:\dotsb:x_n]$ 이다.
원점 위의 올: 올은 $\{0\}\times\mathbb P^{n-1}_K$ 이다.

이 사상은 쌍유리 사상이며, 구체적으로 원점을 제외하면 대수다양체의 동형 사상이다.

0\in\mathbb A^n

에서는

E=\pi^{-1}(0)\cong\mathbb P^{n-1}

이다. 즉,

\operatorname{Bl}_0\mathbb A^n

은

\mathbb A^n

에서 원점만을 사영 공간

\mathbb P^{n-1}

로 대체하여 얻는 공간이며, 예외 인자는 이 사영 공간이다.

아핀 공간 속의 부분 대수다양체

V \subseteq \mathbb A^n

의 원점에서의 부풀리기는 사영 사상

\pi \colon \operatorname{Bl}_0\mathbb A^n \to \mathbb A^n

아래, 부풀리기를 한 점을 제외한 나머지의 원상

\pi^{-1}(V \setminus\{0\})

의 자리스키 폐포이다.

4. 1. 평면에서 점의 부풀리기

평면에서 점의 부풀리기는 가장 간단한 경우이며, 부풀리기의 일반적인 특징을 잘 보여준다. 사영 평면 '''P'''²의 점 P에서의 부풀리기 X는 다음과 같이 정의된다.

:

X = \{ (Q, \ell) \mid P,\,Q \in \ell\} \subseteq \mathbf{P}^2 \times \mathbf{Gr}(1,2).

여기서 Q는 '''P'''²의 다른 점을 나타내고,

\ell

은 그라스만 다양체의 원소이다. 이 사상은 Q ≠ P 인 모든 점

(Q, \ell)

이 이루는 열린 부분 집합 위에서 동형사상이다. 왜냐하면 선

\ell

은 그 두 점에 의해 결정되기 때문이다. 그러나 Q = P 일 때, 선

\ell

은 P를 지나는 모든 선이 될 수 있다. 이 선들은 P를 지나는 방향 공간에 해당하며, 이는 '''P'''¹과 동형이다. 이 '''P'''¹을 예외적 제수라고 한다.

4. 2. 복소 공간에서 점의 부풀리기

n^영어차원 복소 공간

\mathbb{C}^n

의 원점

Z

에서의 부풀리기

\tilde{\mathbf{C}^n}

은

\mathbb{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1}

의 부분 집합으로, 모든

i, j

에 대해 방정식

x_i y_j = x_j y_i

를 만족하는 점들의 집합이다. 여기서

x_1, \ldots, x_n

는

\mathbb{C}^n

의 좌표 함수이고,

y_1, \ldots, y_n

는

(n-1)

차원 복소 사영 공간

\mathbf{P}^{n - 1}

의 동차 좌표이다.

사영

:

\pi : \mathbf{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1} \to \mathbf{C}^n

은 자연스럽게 정칙 함수

:

\pi : \tilde{\mathbf{C}^n} \to \mathbf{C}^n

를 유도한다. 이 사상

\pi

(또는 공간

\tilde{\mathbf{C}^n}

)를 '''블로우업'''이라고 한다.

'''예외 인자'''

E

는

\pi

에 따른 블로우업의 중심

Z

의 역상으로 정의되며, 다음과 같다.

:

E = Z \times \mathbf{P}^{n - 1} \subseteq \mathbf{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1}

이는 사영 공간의 사본이며, 유효 인자이다.

E

밖에서는,

\pi

는

\tilde{\mathbf{C}^n} \setminus E

와

\mathbf{C}^n \setminus Z

사이의 동형 사상이 된다. 따라서

\tilde{\mathbf{C}^n}

과

\mathbf{C}^n

은 쌍유리 사상이다.

정칙 사영

:

q\colon \tilde{\mathbf{C}^n} \to \mathbf{P}^{n-1}

을 고려하면, 이는

\mathbf{P}^{n-1}

의 자명한 직선 다발이 되며, 예외 인자

\lbrace Z\rbrace\times\mathbf{P}^{n-1}

는 영 절단과 동일시할 수 있다.

4. 3. 복소 다양체의 부분 다양체에서의 부풀리기

complex manifold|복소 다양체^영어

X

의 임의의 부분 다양체

Z

를 부풀릴 수 있다. 부풀리기 사상

:

\pi : \tilde X \to X

은

E

를 제외하고 동형 사상을 유도하고,

E

에서는 섬유

\mathbf P^{k-1}

을 갖는 국소적으로 자명한 피복을 유도하는 쌍유리 사상이다.^[1] 실제로, 제한

\pi|_E : E \to Z

는

X

에서

Z

의 법다발의 사영화로 볼 수 있다.^[1]

E

는 매끄러운 제수(여차원 1)이므로, 그 법다발은 선다발이다.

E

가 음수 방향으로 자신과 교차한다는 것을 보이는 것은 어렵지 않다. 이는 법다발이 정칙 단면을 갖지 않음을 의미한다.

E

는

\tilde X

에서 그 호몰로지 클래스의 유일한 매끄러운 복소 표현이다.^[1]

4. 4. 선형 부분 공간에서의 부풀리기

Linear subspace^영어에서의 부풀리기는 사영 공간

\mathbf{P}^n

에서 여차원

d

를 갖는 선형 부분 공간

L

을 따라 부풀리는 것을 구체적으로 설명하는 방법이다.

이 부풀리기를 설명하는 몇 가지 방법이 있다. 먼저,

\mathbf{P}^n

의 좌표를

X_0, \dots, X_n

이라고 하자. 좌표를 변경하여

L = \{X_{n-d+1} = \dots = X_n = 0\}

이라고 가정할 수 있다. 이 때 부풀리기는

\mathbf{P}^n \times \mathbf{P}^{d-1}

의 부분 공간으로 정의할 수 있다.

Y_{n-d+1}, \dots, Y_{n}

을 두 번째 인자의 좌표라고 하면,

L

은 정칙열로 정의되므로 부풀리기는 다음 행렬의

2 \times 2

소행렬식들의 해집합으로 결정된다.

:

\begin{pmatrix}X_{n-d+1} & \cdots & X_{n} \\Y_{n-d+1} & \cdots & Y_{n}\end{pmatrix}

이 방정식계를 만족하는 것은 두 행이 선형 종속인 것과 같다. 점

P \in \mathbf{P}^n

이

L

에 속하는 것은, 이 점의 좌표로 위 행렬의 첫 번째 행을 만들었을 때 그 행이 0이 되는 경우뿐이다. 이 경우,

Q

에 대한 조건은 없다. 그러나 첫 번째 행이 0이 아니면, 선형 종속성에 의해 두 번째 행은 첫 번째 행의 스칼라 배가 된다. 따라서

(P, Q)

가 부풀리기에 속하는 유일한 점

Q \in \mathbf{P}^{d-1}

이 존재한다.

이 부풀리기는 다음과 같은 결합 대응으로도 나타낼 수 있다.

:

\{(P, M) \colon P \in M,\,L \subseteq M\} \subseteq \mathbf{P}^n \times \operatorname{Gr}(n - d + 1, n)

여기서

\operatorname{Gr}

은

\mathbf{P}^n

에서

(n - d + 1)

차원 부분 공간들의 그라스만 다양체이다. 앞서 언급한 좌표 표시와의 관계를 보기 위해,

L

을 포함하는 모든

M \in \operatorname{Gr}(n - d + 1, n)

의 집합은 사영 공간

\mathbf{P}^{d-1}

과 동형이라는 점에 주목한다. 이는 각 부분 공간

M

이

L

과

L

에 포함되지 않는 점

Q

에 의해 생성되며,

L

바깥의 두 점

Q

와

Q'

가 같은

M

을 결정하는 것은

\mathbf{P}^{d-1}

로 사영했을 때 같은 상을 갖는 경우뿐이기 때문이다. 따라서 그라스만 다양체는

\mathbf{P}^{d-1}

의 복사본으로 대체할 수 있다.

P \not\in L

인 경우,

P

를 포함하는 유일한 부분 공간

M

은

P

와

L

로 생성되는 공간이다. 앞선 좌표에서 이는

(X_{n-d+1}, \dots, X_n)

이 영벡터가 아닌 경우에 해당한다.

P \in L

인 경우는

(X_{n-d+1}, \dots, X_n)

이 영벡터인 경우이며, 이 때

Q

는 임의의 점이 될 수 있다. 즉,

L

을 포함하는 임의의

M

이 가능하다.

4. 5. 곡선 교차에서의 스킴론적 부풀리기

스킴에서 두 곡선의 교차점에서의 부풀리기는 스킴론적으로 기술될 수 있다. 일반적인 위치에 있는

d

차 동차 다항식

f, g \in \mathbb{C}[x, y, z]

는 베주의 정리에 의해

d^2

개의 점에서 교차한다. 이

d^2

개의 점에서의

\mathbb{P}^2

부풀리기는 다음과 같은 사영 사상으로 주어진다.

:

\begin{matrix}\textbf{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z) + tg(x,y,z))} \right) \\\downarrow \\\textbf{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z])\end{matrix}

점

p = [x_0:x_1:x_2]

에서 당김 그림을 고려하면,

:

\begin{matrix}\textbf{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[s,t]}{sf(p) + tg(p)} \right)& \rightarrow & \textbf{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z) + tg(x,y,z))} \right) \\\downarrow & & \downarrow \\\textbf{Spec}(\mathbb{C})& \xrightarrow{[x_0:x_1:x_2]} & \textbf{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z])\end{matrix}

f(p) \neq 0

또는

g(p) \neq 0

이면 섬유는 점이고,

f(p) = g(p) = 0

이면 섬유는

\mathbb{P}^1

이다.

5. 관련 구성

법선 추이로의 변형은 대수 기하학에서 많은 결과를 증명하는 데 사용되는 부풀리기 기술이다. 스킴 ''X''와 닫힌 부분 스킴 ''V''가 주어지면, 다음을 부풀린다.

: $V \times \{0\} \ \text{in} \ Y = X \times \mathbf{C} \ \text{or} \ X \times \mathbf{P}^1$

그러면

: $\tilde Y \to \mathbf{C}$

는 섬유화이다. 일반적인 올은 자연스럽게 ''X''와 동형이며, 중심 올은 두 스킴의 합집합이다. 하나는 ''V''를 따라 ''X''를 부풀린 것이고, 다른 하나는 법선 추이이며, 그 올은 사영 공간으로 완성된다.

부풀리기는 심플렉틱 다양체에 호환되는 거의 복소 구조를 부여하고 복소 부풀리기를 수행하여 심플렉틱 범주에서도 수행할 수 있다. 이것은 순전히 위상적인 수준에서 의미가 있지만, 부풀리기에 심플렉틱 형식을 부여하려면 주의가 필요하다. 예외적인 제수 ''E''를 가로질러 심플렉틱 형식을 임의로 확장할 수 없기 때문이다. ''E''의 이웃에서 심플렉틱 형식을 변경하거나, ''Z''의 이웃을 잘라내고 경계를 잘 정의된 방식으로 축소하여 부풀리기를 수행해야 한다. 이는 심플렉틱 절단의 형식을 사용하여 가장 잘 이해되며, 심플렉틱 부풀리기는 특수한 경우이다. 심플렉틱 절단은 심플렉틱 합의 역 연산과 함께 매끄러운 제수를 따라 법선 추이로의 변형의 심플렉틱 유사체이다.

6. 역사

부풀리기는 대수다양체의 내재적인 변환이다. 역사적으로 이 구성은 '모노이드 변환'(monoidal transformation^영어) 또는 '시그마 과정'(σ-process^영어) 따위로 불렸으며, 사영 공간 속으로의 구체적 매장을 통해 외재적으로 정의되었지만, 사실 이 구성은 대수다양체의 사영 공간이나 아핀 공간으로의 매장에 의존하지 않는다.

헤르비히 하우저(Herwig Hauser^de)는 부풀리기에 대하여 다음과 같이 적었다.

> “그 당시 수학자들은 특이점의 해소를 위하여 부풀리기 따위의 서투른 방법을 사용하였다.”라고 21세기 후반의 한 수학자 J.H.Φ. 라이히트는 언젠가 적을 수 있을지 모른다. 그러나 우리 시대에는 여전히 해소를 위하여 주로 부풀리기를 사용한다.^[5]

참조

_[1] 서적 高次元代数多様体論岩波書店
_[2] 서적 Algebraic Geometry Springer 1977
_[3] 서적 Intersection Theory Springer
_[4] 서적 Principles of Algebraic Geometry https://archive.org/[...] John Wiley and Sons
_[5] 서적 Proceedings of 12th Gökova Geometry–Topology Conference 2005

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