대수 곡선

3. 성질

대수적으로 닫힌 체 위에서 완비 대수다양체인 것과 사영 대수다양체인 것은 서로 동치이다.^[10] 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 완비 대수 곡선은 비특이 사영 평면 곡선과 쌍유리 동치이다. 복소수체의 경우, 모든 콤팩트 리만 곡면은 항상 대수적이다. (이는 2차원 이상에서는 성립하지 않는다.) 즉, 콤팩트 리만 곡면은 복소수체에 대한 비특이 사영 대수 곡선을 이루며, 항상 3차원 복소수 사영 공간 $\backslash mathbb\; CP^3$으로 매장할 수 있다.

따라서 다음 3개의 분류 문제가 일치한다.

• 완비 대수 곡선의 쌍유리 동치류에 대한 분류
• 비특이 사영 평면 곡선들의 동형에 대한 분류
• (복소수체 위의 경우) 연결 콤팩트 리만 곡면의 쌍정칙 함수에 대한 분류

3. 1. 특이 대수 곡선

3. 2. 산술적 곡선

3. 3. 사영 공간 속의 대수 곡선

4. 평면 곡선

사영 평면에서 대수 곡선('''평면 사영 곡선''')은 세 변수 ''P''(''x'', ''y'', ''z'')에 대한 동차 다항식의 사영 좌표가 0인 점들의 집합이다.

방정식 ''p''(''x'', ''y'') = 0인 모든 아핀 대수 곡선은 방정식 $^hp(x,y,z)=0$의 사영 곡선으로 완성될 수 있다. 여기서

$$^hp(x,y,z)=z^\{\backslash deg(p)\}p\backslash left(\backslash frac\{x\}\{z\},\backslash frac\{y\}\{z\}\backslash right)$$

는 ''p''의 동차화 결과이다. 반대로, ''P''(''x'', ''y'', ''z'') = 0이 사영 곡선의 동차 방정식인 경우, ''P''(''x'', ''y'', 1) = 0은 세 번째 사영 좌표가 0이 아닌 사영 곡선의 점으로 구성된 아핀 곡선의 방정식이다. 두 연산은 서로 상호적이며, $^hp(x,y,1)=p(x,y)$이고, ''p''가 $p(x,y)=P(x,y,1)$로 정의되면, 동차 다항식 ''P''가 ''z''로 나누어지지 않는 한 $^hp(x,y,z)=P(x,y,z)$이다.

예를 들어, 방정식 ''x''² + ''y''² − ''z''²의 사영 곡선은 방정식 ''x''² + ''y''² − 1 = 0인 단위 원의 사영 완비화이다.

이는 아핀 곡선과 그 사영 완비화가 동일한 곡선임을 의미한다. 더 정확하게는 아핀 곡선이 "완전한" 곡선을 잘 정의할 수 있을 만큼 충분히 큰 사영 곡선의 일부임을 의미한다. 이 관점은 아핀 곡선의 "무한대 점"을 아핀 부분에 속하지 않는 사영 완비화의 점(유한 개수)이라고 부름으로써 일반적으로 표현된다.

사영 곡선은 종종 그 자체로 연구된다. 또한 아핀 곡선 연구에도 유용하다. 예를 들어, ''p''(''x'', ''y'')가 아핀 곡선을 정의하는 다항식인 경우, 편도함수 $p\text{'}\_x$ 및 $p\text{'}\_y$ 외에도, '''무한대에서의 도함수'''

$$p\text{'}\_\backslash infty(x,y)=\{^hp\text{'}\_z(x,y,1)\}$$

를 고려하는 것이 유용하다.

점 (''a'', ''b'')에서 방정식 ''p''(''x'', ''y'') = 0인 아핀 곡선의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$xp\text{'}\_x(a,b)+yp\text{'}\_y(a,b)+p\text{'}\_\backslash infty(a,b)=0$$

'''사영 평면 곡선'''(projective plane curve^영어)은 사영 평면 $\backslash mathbb\; P^2$ 속의 대수 곡선이다. 첨가 공식 및 리만-로흐 정리를 통해 (산술)종수와 차수는 다음과 같은 관계를 가진다.^[10]

:$g=\backslash binom\{d-1\}2=\backslash frac12(d-1)(d-2)$

이를 '''종수-차수 공식'''(genus–degree formula^영어)이라고 한다. 비특이 평면 곡선의 경우 위 값은 기하종수와 같지만, 특이 평면 곡선의 경우 기하종수는 위 값보다 더 작다.

낮은 차수의 비특이 평면 곡선에는 다음과 같은 이름이 있다.

• 1차 평면 곡선: '''사영 직선''' (=1차원 사영 공간)
• 2차 평면 곡선: '''원뿔 곡선''' (=1차원 2차 초곡면)
• 3차 평면 곡선: '''3차 곡선''' (=1차원 아벨 다양체)

4. 1. 평면 곡선의 특이점

• 특이점의 중복수 (multiplicity) $\backslash operatorname\{mult\}(f)$는 $f$의 도함수가 0인 최고 차수이다.
• 특이점의 밀너 수 (Milnor number) $\backslash mu$는 위상수학적으로 특이점 근처의 작은 구 위에서 연속 함수 $\backslash nabla\; f(x,y)/\backslash Vert\; \backslash nabla\; f(x,y)\backslash Vert$의 차수이다.
• 델타 불변량 (delta-invariant) $\backslash delta$
• 분지수 (branching number) $r$

• $n$중점 ($n$-tuple point): 중복수·델타 불변량·분지수 $[n,n(n-1)/2,n]$의 꼴
• 첨점 (cusp): $[2,1,1]$의 꼴^[1]

5. 공간 곡선

'''사영 공간 곡선'''(영어: projective space curve^영어)은 3차원 사영 공간 $\backslash mathbb\; P^3$ 속의 대수 곡선이다.

공간 곡선의 경우, 가능한 종수와 차수의 관계는 평면 곡선보다 더 복잡하다. 차수가 $d\backslash le\; 7$인 경우는 완전히 분류되었으나, $d\backslash ge8$은 아직 완전히 알려지지 않았다.^[10]

일반적으로, 평면 곡선이 아닌 ''d''차 ''g''종 대수 곡선의 경우 $d\backslash ge3$이다. 이 경우 가능한 종수는 다음과 같다.^[10]

• $g\backslash le\; d-3$인 경우 항상 이 종수를 가진 대수 곡선이 존재한다.
• $g=\backslash lfloor\; d^2/4\backslash rfloor-d+1$인 경우 항상 대수 곡선이 존재하며, 이는 항상 이차 곡면의 부분 곡선이다.
• $g>\backslash lfloor\; d^2/4\backslash rfloor-d+1$는 (평면 곡선 $g=(d-1)(d-2)/2$을 제외하고는) 불가능하다.

여기서 각 칸의 기호는 다음을 의미한다.

• ○: 평면 곡선이 존재
• ●: 평면 곡선이 아닌 공간 곡선이 존재
• ?: 공간 곡선의 존재 여부가 알려지지 않음
• (비어 있음): 공간 곡선 불가능

• 종수 0: (1,1), (1, 2)
• 종수 1: (1,3), (2,2)
• 종수 3: (1,4)
• 종수 4: (2,3)

6. 예시

유클리드 평면에서 대수 곡선은 좌표가 이변량 다항식 방정식 ''p''(''x'', ''y'') = 0의 해인 점들의 집합이다. 이 방정식은 종종 곡선의 음함수 방정식이라고 불린다.

예를 들어, 치른하우젠 입방체는 원점 (0,0)을 끝점으로 하는 두 개의 무한 호를 가진다. 이 점은 곡선의 유일한 특이점이다. 또한 이 특이점을 한쪽 끝점으로 하고 수평 접선을 갖는 두 개의 호가 있으며, 수평 접선을 가진 이 점 중 하나를 첫 번째 끝점으로 하고 수직 접선을 가진 고유한 점을 두 번째 끝점으로 하는 두 개의 다른 호가 있다. 반대로, 정현파는 무한 개의 단조 호를 가지므로 대수 곡선이 아니다.

방정식 ''x''² + ''y''² − ''z''² = 0의 사영 곡선은 방정식 ''x''² + ''y''² − 1 = 0인 단위 원의 사영 완비화이다.

평면 곡선도 참고

6. 1. 1차 · 2차 곡선

6. 2. 3차 곡선

6. 3. 고차 곡선

7. 해석적 구조

푸쇠 급수를 사용하면 대수 곡선의 특이점 근처에서 곡선의 분기를 해석적으로 매개변수화할 수 있다. 이를 통해 특이점 근처에서 곡선의 위상에 대한 정확한 정보를 얻을 수 있다.^[1]

실수 대수 곡선은 특이점 근처에서 유한 개의 분기들의 합집합으로 나타낼 수 있으며, 이 분기들은 특이점에서만 교차하거나 첨점 또는 매끄러운 곡선처럼 보인다.^[1]

정칙점 근처에서는 곡선의 좌표 중 하나를 다른 좌표의 해석 함수로 표현할 수 있다. 이는 음함수 정리의 결과이며, 곡선이 그 점 근처에서 매끄럽다는 것을 의미한다. 하지만 특이점 근처에서는 상황이 더 복잡해지며, 푸쇠 급수를 통해 분기의 해석적 매개변수 방정식을 얻을 수 있다.^[1]

8. 비평면 대수 곡선

차원이 ''n''인 아핀 공간의 '''아핀 곡선'''은 최소 ''n'' − 1개의 다변수 다항식으로 정의된다. 이 다항식들은 크룰 차원이 1인 소 아이디얼을 생성해야 한다.

$f,\; g\_0,\; g\_3,\; \backslash ldots,\; g\_n$을 두 변수 ''x''₁과 ''x''₂에 대한 ''n''개의 다항식으로 정의하고, ''f''는 기약적이라고 하자. 다음 방정식과 부등식을 만족하는 차원 ''n''의 아핀 공간의 점은 유한 개의 점이 제거된 대수 곡선의 모든 점이다.

$$\backslash begin\{align\}$$

&f(x_1,x_2)=0\\

&g_0(x_1,x_2)\neq 0\\

x_3&=\frac{g_3(x_1,x_2)}{g_0(x_1,x_2)}\\

& {}\ \vdots \\

x_n&=\frac{g_n(x_1,x_2)}{g_0(x_1,x_2)}

\end{align}

이 곡선은 $g\_0^kh$가 $f,\; x\_3g\_0-g\_3,\; \backslash ldots,\; x\_ng\_0-g\_n$에 의해 생성된 아이디얼에 속하도록 하는 정수 ''k''가 존재하는 다항식 ''h''의 아이디얼의 생성 시스템에 의해 정의된다. 이 표현은 곡선과 ''f''로 정의된 평면 곡선 사이의 쌍유리 동치이다.

이 표현을 통해 평면 투영의 해당 속성에서 그래프 표현을 포함하여 비평면 대수 곡선의 모든 속성을 쉽게 유추할 수 있다.

암시적 방정식으로 정의된 곡선의 경우, 곡선의 위 표현은 작은 변수의 블록이 (''x''₁, ''x''₂)인 블록 순서에 대한 괴르너 기저에서 쉽게 유추할 수 있다.

9. 대수 함수체

쌍유리 동치인 경우, 체 ''F'' 위의 기약 곡선은 ''F'' 위의 일변수 대수 함수체와 범주적으로 동치이다. 이러한 대수 함수체는 ''F''의 체 확장 ''K''이며, ''F''에 대해 초월적인 원소 ''x''를 포함하고 ''K''가 ''F''(''x'')의 유한 대수 확장인 체를 의미한다. 여기서 ''F''(''x'')는 ''F'' 위의 미지수 ''x''의 유리 함수체이다.^[10]

예를 들어, 복소수 체 '''C''' 위에서 '''C'''(''x'')를 '''C'''-계수 유리 함수체로 정의할 수 있다. 만약 $y^2\; =\; x^3\; -\; x\; -\; 1$이라면, 체 '''C'''(''x'', ''y'')는 타원 함수체이다. 원소 ''x''는 유일하게 결정되지 않으며, '''C'''(''y'')의 확장으로 간주될 수도 있다. 함수체에 해당하는 대수 곡선은 단순히 '''C'''²에서 $y^2\; =\; x^3\; -\; x\; -\; 1$을 만족하는 점 (''x'', ''y'')의 집합이다.

체 ''F''가 대수적 폐체가 아닌 경우, 함수체의 관점은 점의 자취를 고려하는 것보다 조금 더 일반적인데, 점이 없는 "곡선"을 포함하기 때문이다. 예를 들어, 기저 체 ''F''가 실수 체 '''R'''인 경우, $x^2\; +\; y^2\; =\; -1$는 '''R'''(''x'')의 대수 확장 체를 정의하지만, '''R'''²의 부분 집합으로 간주되는 해당 곡선에는 점이 없다. 방정식 $x^2\; +\; y^2\; =\; -1$은 scheme 의미에서 '''R''' 위에 기약 대수 곡선을 정의한다. 즉, 정수 분리된 1차원 scheme으로, '''R''' 위에 유한형이다. 이러한 의미에서, ''F'' 위의 기약 대수 곡선(쌍유리 동치)과 ''F'' 위의 일변수 대수 함수체 사이의 일대일 대응은 일반적으로 성립한다.

두 곡선은 동형이 아니더라도 쌍유리적으로 동치일 수 있다(즉, 동형 함수체를 가질 수 있다). 특이점이 없는 곡선을 다룰 때 상황이 더 쉬워진다. 체 위의 두 비특이 사영 곡선은 함수체가 동형일 때만 동형이다.

Tsen의 정리는 대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 함수체에 관한 것이다.

10. 복소 곡선과 실수 곡면

복소 사영 대수 곡선은 ''n''차원 복소 사영 공간 '''CP'''^''n''에 존재한다. 이것은 복소 차원 ''n''을 가지지만, 실수 다양체로서 위상 차원은 2''n''이며, 콤팩트 공간, 연결 공간이고, 가향성을 가진다. 마찬가지로 '''C''' 위의 대수 곡선은 위상 차원 2를 가지는데, 이는 곡면이다.

이 곡면의 위상학적 종수, 즉 손잡이 또는 도넛 구멍의 개수는 대수 곡선의 기하학적 종수와 같으며, 대수적인 방법으로 계산할 수 있다. 간단히 말해, 차수 ''d''를 갖고 오직 일반 특이점(서로 다른 접선을 가진 중복도 2의 특이점)만 있는 비특이 곡선의 평면 투영을 고려하면, 종수는 (''d'' − 1)(''d'' − 2)/2 − ''k''인데, 여기서 ''k''는 이러한 특이점의 개수이다.

10. 1. 콤팩트 리만 곡면

11. 현대 대수 기하학

쌍유리 동치까지, 체 *F* 위의 기약 곡선은 *F* 위의 일변수 대수 함수체와 범주적으로 동치이다. 이러한 대수 함수체는 *F*의 체 확장 *K*로, *F*에 대해 초월적인 원소 *x*를 포함하고 *K*가 *F*(*x*)의 유한 대수 확장인 체를 의미하며, 여기서 *F*(*x*)는 *F* 위의 미지수 *x*의 유리 함수체이다.

예를 들어, 복소수 체 '''C'''를 고려해 보자. 이 체 위에서 '''C'''(''x'')를 '''C'''의 유리 함수체로 정의할 수 있다. 만약 $y^2\; =\; x^3\; -\; x\; -\; 1$ 이라면, 체 '''C'''(''x'', ''y'')는 타원 함수체이다. 원소 ''x''는 유일하게 결정되지 않으며, 예를 들어 '''C'''(''y'')의 확장으로 간주될 수도 있다. 함수체에 해당하는 대수 곡선은 단순히 '''C'''²에서 $y^2\; =\; x^3\; -\; x\; -\; 1$을 만족하는 점 (''x'', ''y'')의 집합이다.

체 *F*가 대수적으로 닫혀 있지 않은 경우, 함수체의 관점은 점의 자취를 고려하는 것보다 조금 더 일반적인데, 예를 들어 점이 없는 "곡선"을 포함하기 때문이다. 예를 들어, 기저 체 *F*가 실수 체 '''R'''인 경우, $x^2\; +\; y^2\; =\; -1$는 '''R'''(''x'')의 대수 확장 체를 정의하지만, '''R'''²의 부분 집합으로 간주되는 해당 곡선에는 점이 없다. 방정식 $x^2\; +\; y^2\; =\; -1$은 scheme 의미에서 '''R''' 위에 기약 대수 곡선을 정의한다. 이러한 의미에서, *F* 위의 기약 대수 곡선(쌍유리 동치까지)과 *F* 위의 일변수 대수 함수체 사이의 일대일 대응은 일반적으로 성립한다.

두 곡선은 곡선으로서 동형이 아니더라도 쌍유리적으로 동치일 수 있다(즉, 동형 함수체를 가질 수 있다). 특이점이 없는 곡선, 즉 특이점이 없는 곡선을 다룰 때 상황이 더 쉬워진다. 체 위의 두 개의 비특이 사영 곡선은 함수체가 동형일 때만 동형이다.

Tsen의 정리는 대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 함수체에 관한 것이다.

12. 리만 곡면의 기하학

• 리만-후르비츠 공식
• 리만-로흐 정리
• 리만 곡면

참조

_[1] 서적 Hartshorne, Algebraic Geometry, IV Ex. 1.8.
_[2] 서적 Algebraic Curves: Towards Moduli Spaces https://www.springer[...] Springer International Publishing 2018
_[3] 웹사이트 Kontsevich's Formula for Rational Plane Curves http://www.math.utah[...]
_[4] 간행물 Kötter's synthetic geometry of algebraic curves http://journals.camb[...] 1888-02
_[5] 서적 Hartshorne, Algebraic Geometry, IV Ex. 1.8.
_[6] 서적 Swinnerton-Dyer 1971
_[7] 서적 Swinnerton-Dyer 1971
_[8] 간행물 Kötter's synthetic geometry of algebraic curves http://journals.camb[...] 1888-02
_[9] 서적 Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry http://www.math.lsa.[...] Addison-Wesley 1989
_[10] 서적 Algebraic Geometry Springer 1977