마티외 군

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1. 개요

마티외 군은 5개의 유한 단순군 M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄를 지칭하며, 슈타이너 계를 통해 정의된다. 이들은 대칭군의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 특히 M₁₂는 12개의 원소 집합에 5-정추이적으로 작용하는 순열군이다. M₂₄는 24개의 원소 집합에 5-추이적으로 작용하며, 이진 골레이 부호의 자기 동형군으로도 나타낼 수 있다. 마티외 군은 다중 추이 순열군의 중요한 예시이며, 에밀 마티외에 의해 처음 발견되었다. 이들은 산재군 중 최초로 발견된 군에 해당한다.

마티외 군

마티외 군 정보

종류	산발 단순군
기호	M11, M12, M22, M23, M24
발견	에밀 레오나르 마티외 (1861년, 1873년)

성질 (M11)

크기	7,920
구조	단순군
켤레류의 수	8
슈어 승수	자명군
외부 자기 동형군	자명군
작용	11점 집합 위의 2-전이군

성질 (M12)

크기	95,040
구조	단순군 아님
슈어 승수	자명군
외부 자기 동형군	크기 2의 순환군
작용	12점 집합 위의 5-전이군

성질 (M22)

크기	443,520
구조	단순군
켤레류의 수	14
슈어 승수	크기 12의 군
외부 자기 동형군	크기 2의 순환군
작용	22점 집합 위의 2-전이군

성질 (M23)

크기	10,200,960
구조	단순군
켤레류의 수	15
슈어 승수	자명군
외부 자기 동형군	자명군
작용	23점 집합 위의 4-전이군

성질 (M24)

크기	244,823,040
구조	단순군
켤레류의 수	26
슈어 승수	자명군
외부 자기 동형군	자명군
작용	24점 집합 위의 5-전이군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 다중 추이성
- 3.2. 크기 및 기타 성질
4. 역사

2. 정의

마티외 군 $M_{11}$ , $M_{12}$ , $M_{22}$ , $M_{23}$ , $M_{24}$ 는 5개의 유한 단순군이다. 이들은 각각 대칭군 $\operatorname{Sym}(k)$ 의 부분군으로 나타낼 수 있다.

2.1. 슈타이너 계를 통한 정의

유한체 $\mathbb F_{p^n}$ 위의 아핀 평면 $\mathbb A^2_{\mathbb F_{p^n}}$ 에서, 두 개의 서로 다른 직선은 유일한 점에서 만나므로, 이는 슈타이너 계 $S(2,p^n,p^{2n})$ 를 형성한다. 특히, 유한체 $\mathbb F_3$ 위의 아핀 평면은 유일한 슈타이너 계 $S(2,3,9)$ 를 이룬다. 이 $S(2,3,9)$ 에 점들을 추가하여, $S(3,4,10)$ , $S(4,5,11)$ , 그리고 $S(5,6,12)$ 를 순차적으로 구성할 수 있으며, 이 슈타이너 계들 역시 각각 동형 아래에서 유일하다.

동치까지 유일하게 존재하는 $S(5,6,12)$ 슈타이너 시스템을 W₁₂라고 부른다. 이 W₁₂의 자기 동형군(즉, 모든 블록을 다른 블록으로 보내는 순열들의 집합)은 대칭군 $\operatorname{Sym}(12)$ 의 부분군이며, 이는 마티외 군 $M_{12}$ 와 같다. 따라서 $M_{12}$ 는 크기 12인 집합 $\{1, 2, \dots, 12\}$ 위에 작용하며, 이 작용은 5-정추이적(sharply 5-transitive^영어)이다. 이는 임의의 서로 다른 5개의 점을 다른 임의의 서로 다른 5개의 점으로 보내는 유일한 군 원소가 존재함을 의미한다. 이 성질 때문에, $k=1, 2, 3, 4, 5$ 에 대해, $k$ 개의 점을 고정하는 안정자군은 어떤 점들을 선택하는지에 관계없이 서로 동형이다. 이를 통해 다음과 같이 6개의 군을 정의할 수 있다.
: $M_{12-k}\qquad(k=0, 1, 2, 3, 4, 5)$
여기서 $M_{12-0} = M_{12}$ 이고, $M_{11}$ 은 한 점의 안정자군, $M_{10}$ 은 두 점의 안정자군 등이며, 마지막 군 $M_7$ 은 자명군이다.

마찬가지로, 동치까지 유일하게 존재하는 $S(5,8,24)$ 슈타이너 시스템이 있으며, 이를 W₂₄ 또는 비트 디자인(Witt design^영어)이라고 한다. 이 슈타이너 계의 자기 동형군은 마티외 군 $M_{24}$ 와 동형이다. $M_{24}$ 는 크기 24인 집합 위에 작용하며, 이 작용은 5-추이적(transitive^영어)이지만 5-정추이적이지는 않다. 즉, 임의의 서로 다른 5개의 점을 다른 임의의 서로 다른 5개의 점으로 보내는 군 원소가 존재하지만, 유일하지는 않을 수 있다. 위와 유사하게, 1개부터 5개까지의 점들에 대한 안정자군을 취하여 다음과 같이 6개의 군을 정의할 수 있다.
: $M_{24-k}\qquad(k=0, 1, 2, 3, 4, 5)$
여기서 $M_{23}$ 은 한 점의 안정자군, $M_{22}$ 는 두 점의 안정자군 등이다. 작용이 정추이적이 아니므로, 마지막 군 $M_{19}$ 는 자명군이 아니다.

이들 마티외 군 및 안정자군들 중에서 단순군인 것은 $M_{24}$ , $M_{23}$ , $M_{22}$ , $M_{12}$ , $M_{11}$ 이다. $M_{21}$ 역시 단순군이지만, 예외적인 동형 $M_{21} \cong \operatorname{PSL}(3,4)$ 으로 인해 산재군으로 분류되지는 않는다.

슈타이너 시스템 W₁₂는 벡터 공간 $\mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_3$ 에 대한 아핀 기하학의 $S(2,3,9)$ 시스템으로부터 구성될 수 있다. 또한 R. T. Curtis가 제안한 "Kitten"이라는 구성 방법도 있다. W₂₄는 R. T. Curtis와 콘웨이가 W₁₂의 유사체로 만든 miniMOG와 기적 팔면체 생성기(Miracle Octad Generator)를 이용하여 구성할 수 있으며, 이에 대한 자세한 설명은 콘웨이와 슬론의 저서에서 찾아볼 수 있다.

2.2. 순열군으로서의 표현

체 $K$ 위의 사영 특수 선형군 $\operatorname{PSL}_2(K)$ 는 $K$ 위의 사영 직선 $K\sqcup\{\infty\}$ 위의 분수선형변환(뫼비우스 변환)들의 군과 같다.

마티외 군 $M_{12}$ 는 크기 660의 사영 특수 선형군 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})$ 을 부분군으로 가지며, 이는 극대 부분군이다. $\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})$ 을 11개의 원소를 가진 유한체 $\mathbb F_{11}$ 위의 사영 직선 $\mathbb P^1_{\mathbb F_{11}}$ 에 대한 순열군으로 볼 수 있다. 여기서 사영 직선은 다음과 같이 정의된다.
: $\mathbb P^1_{\mathbb F_{11}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm A,\infty\}$
$M_{12}$ 는 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})$ 과 $M_{12}\setminus\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})$ 에 속하는 임의의 한 원소로 생성될 수 있다. $\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})$ 의 표준 생성원은 (0123456789A)와 (0∞)(1A)(25)(37)(48)(69)로 볼 수 있으며 (여기서 A는 10, ∞는 무한대를 나타낸다), $M_{12}\setminus\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{11})$ 에 속하는 원소의 예로는 다음 순열이 있다.
* (26A7)(3945) (이는 $\mathbb F_{11}$ 의 원소 $x$ 를 $4x^2 - 3x^7$ 로 보내는 변환에 해당한다.)

$M_{12}$ 는 무한히 많은 유한 단순군의 계열 중 어떤 것과도 동형이 아니므로 산발군이라고 불린다. $M_{11}$ 은 $M_{12}$ 내의 한 점의 안정자(stabilizer)이며, 또한 산발 단순군이다. 두 점의 안정자인 $M_{10}$ 은 산발군이 아니지만, 그 교환자 부분군이 교대군 $A_6$ 인 거의 단순군이다. 이는 $A_6$ 의 예외적인 외부 자기동형 사상과 관련이 있다. 세 점의 안정자는 사영 특수 유니타리 군 PSU(3,2²)과 동형이며, 이는 가해군이다. 네 점의 안정자는 사원수군이다.

마찬가지로, 마티외 군 $M_{24}$ 는 크기 6072의 사영 특수 선형군 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{23})$ 을 극대 부분군으로 가진다. $\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{23})$ 은 23개의 원소를 가진 유한체 $\mathbb F_{23}$ 위의 사영 직선 $\mathbb P^1_{\mathbb F_{23}}$ 에 대한 순열군으로 볼 수 있다. 여기서 사영 직선은 다음과 같이 정의된다.
: $\mathbb P^1_{\mathbb F_{23}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C,\mathrm D,\mathrm E,\mathrm F,\mathrm G,\mathrm H,\mathrm I,\mathrm J,\mathrm K,\mathrm L,\mathrm M,\infty\}$
$M_{24}$ 는 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{23})$ 과 $M_{24}\setminus \operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{23})$ 에 속하는 임의의 한 원소로 생성될 수 있다. $\operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{23})$ 의 생성원으로는 체의 각 원소에 1을 더하는 변환 (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(∞)과 $x$ 를 $-1/x$ 로 보내는 변환 (0∞)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI)을 들 수 있다. $M_{24}\setminus \operatorname{PSL}_2(\mathbb F_{23})$ 에 속하는 원소의 예로는 다음 순열이 있다.
* (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF) (이는 $\mathbb F_{23}$ 의 원소 $x$ 를 $4x^4 - 3x^{15}$ 로 보내는 변환에 해당한다.)

한 점과 두 점의 안정자인 $M_{23}$ 과 $M_{22}$ 역시 산발 단순군이다. 세 점의 안정자는 단순하며 사영 특수 선형군 PSL(3,4)와 동형이다.

이러한 구성은 Carmichael (1956, pp. 151, 164, 263) 및 Dixon & Mortimer (1996, p.209) 등에서 언급되었으며, 후자는 이러한 순열 표현을 마티외(Mathieu)의 연구로 보고 있다.

2.3. 이진 골레 부호를 통한 구성

이진 골레 부호는 24차원 벡터 공간 $\mathbb F_2^{24}$ 의 특별한 12차원 부분 공간이다. 이진 골레 부호의 자기 동형군은 마티외 군 $M_{24}$ 와 동형이다.

이진 골레 부호는 12비트의 정보를 24비트의 부호에 저장한다. 12개의 비트 1로 구성된 부호어인 십이원(dodecad^영어)의 안정자군은 마티외 군 $M_{12}$ 와 동형이다.

마티외 군 $M_{24}$ 는 확장된 이진 골레이 코드 W의 순열 자기 동형군이다. 즉, W를 자기 자신으로 보내는 24개의 좌표에 대한 순열군이다. 모든 마티외 군은 이진 골레 부호에 대한 순열 그룹으로 구성될 수 있다.

$M_{12}$ 는 자기 동형 군에서 지수 2를 가지며, $M_{12}:2$ 는 $M_{24}$ 의 부분군과 동형이다. $M_{12}$ 는 십이원(dodecad^영어)을 안정화시킨다. $M_{12}:2$ 는 2개의 상호 보완적인 십이원으로의 분할을 안정화시킨다.

마티외 군과 더 큰 콘웨이 군 사이에는 자연스러운 연관성이 있는데, 이는 리치 격자가 이진 골레 부호를 기반으로 구성되었고 실제로 둘 다 24차원 공간에 놓여 있기 때문이다. 콘웨이 군은 차례로 몬스터 군에서 발견된다. 로버트 그리스는 몬스터 군에서 발견된 20개의 산재군을 행복한 가족(Happy Family^영어)이라고 부르고, 마티외 군을 1세대(first generation^영어)라고 부른다.

3. 성질

마티외 군들은 그 크기와 성질에 따라 다양한 특성을 보인다. 특히 단순군인지 여부와 추이성의 정도가 중요한 분류 기준이 된다.

주요 마티외 군 중 M₂₄, M₂₃, M₂₂, M₂₁, M₁₂, M₁₁은 단순군이다. 이들은 또한 높은 다중 추이성을 가지는 것으로 알려져 있다. 예를 들어, M₂₄는 5-추이군이며, M₁₂는 5-정추이군이다. M₂₃은 4-추이군, M₁₁은 4-정추이군이다.

반면, M₂₀, M₁₉, M₁₀, M₉, M₈, M₇은 단순군이 아니다. M₈은 사원수군과 동형이며, M₇은 자명군이다.

3.1. 다중 추이성

마티외는 다중 추이 순열군을 찾는 데 관심을 가졌다. 자연수 k에 대해, n개의 점에 작용하는 순열군 G는 다음 조건을 만족할 때 k-추이(k-transitive^영어)라고 한다: 서로 다른 점들의 두 집합 {a₁, ..., a_k}와 {b₁, ..., b_k}가 주어졌을 때, 모든 i (1 ≤ i ≤ k)에 대해 g(a_i) = b_i를 만족하는 군 원소 g가 G 안에 항상 존재해야 한다. 만약 이러한 원소 g가 유일하다면 (즉, k-튜플에 대한 군 작용이 추이적일 뿐만 아니라 정규적(regular)이라면), 그 군은 정밀 k-추이(sharply k-transitive^영어)라고 불린다.

임의의 유한군 $G$ 에 대하여, 대칭군 $\operatorname{Sym}(n)$ 은 항상 $n$ -정추이군이며, 교대군 $\operatorname{Alt}(n+2)$ 역시 $n$ -정추이군이다.

마티외 군들의 추이성은 다음과 같다:
* M₂₄는 5-추이 군이다.
* M₁₂는 정밀 5-추이 군이다.
* M₂₃은 4-추이 군이다. (M₂₄에서 점 하나를 고정한 안정자 부분군)
* M₁₁은 정밀 4-추이 군이다. (M₁₂에서 점 하나를 고정한 안정자 부분군)

이러한 마티외 군들은 대칭군이나 교대군을 제외하고 매우 높은 추이성을 갖는 드문 예이다.
* 모든 6-추이군은 대칭군이나 교대군뿐이다.
* 대칭군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데 5-추이 군은 $M_{24}$ 와 $M_{12}$ 뿐이며, 이 중 $M_{12}$ 만이 정밀 5-추이 군이다.
* 대칭군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데 4-추이 군이면서 5-추이 군이 아닌 것은 $M_{23}$ 과 $M_{11}$ 뿐이며, 이 중 $M_{11}$ 만이 정밀 4-추이 군이다.

알려진 4-추이 군은 다음과 같다:
* 대칭군 $S_k$ (k ≥ 4)
* 교대군 $A_k$ (k ≥ 6)
* 마티외 군 $M_{24}$ , $M_{23}$ , $M_{12}$ , $M_{11}$ .
이 사실의 완전한 증명은 유한 단순군의 분류를 필요로 하지만, 일부 특별한 경우는 더 일찍 알려졌다.

요르단의 고전적인 결과에 따르면, k ≥ 4일 때 유일한 정밀 k-추이 순열군은 대칭군 $S_k$ 와 교대군 $A_{k+2}$ , 그리고 마티외 군 $M_{11}$ (k=4일 때)과 $M_{12}$ (k=5일 때)뿐이다.

다중 추이 군의 다른 중요한 예로는 2-추이군과 자센하우스 군이 있다. 특히 자센하우스 군에는 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위의 사영 직선에 작용하는 사영 일반 선형군 $\operatorname{PGL}(2, q)$ 가 포함되는데, 이 군은 $q+1$ 개의 점에 대해 정밀 3-추이이다.

3.2. 크기 및 기타 성질

마티외 군들의 크기와 성질은 다음과 같다. 두 개의 원본 표 정보를 통합하여 아래 표로 정리하였다.

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군	크기 (계산값)	크기 (곱셈 형태)	크기 (소인수분해)	추이성	단순군 여부	비고
M₂₄	244,823,040	48·20·21·22·23·24	2¹⁰·3³·5·7·11·23	5-추이군	예	산재군
M₂₃	10,200,960	48·20·21·22·23	2⁷·3²·5·7·11·23	4-추이군	예	산재군
M₂₂	443,520	48·20·21·22	2⁷·3²·5·7·11	3-추이군	예	산재군
M₂₁	20,160	48·20·21	2⁶·3²·5·7	2-추이군	예	PSL₃(4)와 동형
M₂₀	960	48·20	2⁶·3·5	1-추이군	아니요	2⁴:A₅와 동형
M₁₉	48	48	2⁴·3	-	아니요	아래 설명 참조
M₁₂	95,040	8·9·10·11·12	2⁶·3³·5·11	5-정추이군 (날카로운 5-추이적)	예	산재군
M₁₁	7,920	8·9·10·11	2⁴·3²·5·11	4-정추이군 (날카로운 4-추이적)	예	산재군
M₁₀	720	8·9·10	2⁴·3²·5	3-정추이군 (날카로운 3-추이적)	아니요	준단순군, M₁₀' ≈ Alt₆
M₉	72	8·9	2³·3²	2-정추이군 (날카로운 2-추이적)	아니요	PSU₃(2)와 동형
M₈	8	8	2³	1-정추이군 (정칙)	아니요	Q₈과 동형
M₇	1	1	1	-	아니요	자명군

마티외 군

M_{19}

는 구체적으로 다음과 같은 꼴의 행렬군이다.
:

\left\{\begin{pmatrix}a&0&0\\b&a^{-1}&0\\c&0&1\end{pmatrix}\colon a\in\mathbb F_4^\times,\;b,c\in\mathbb F_4\right\}

4. 역사

프랑스의 수학자 에밀 마티외(Émile Mathieu^프랑스어)가 1861년 논문에서 다중 추이 순열군에 대한 연구의 일환으로 군 $M_{12}$ 를 소개했고, 같은 논문에서 $M_{24}$ 군에 대해 언급하며 그 차수를 제시했다. 이후 1873년 논문에서 그는 이 군들에 대한 명시적인 생성 집합을 포함한 더 자세한 내용을 제공했다.

그러나 마티외가 제시한 두 군이 실제로 존재하는지, 그리고 이들이 이미 알려진 교대군과 다른 새로운 군인지에 대해서는 이후 수십 년 동안 논란이 있었다. 마티외의 논증만으로는 생성된 군이 단순하며 기존의 교대군과 다르다는 것을 명확히 증명하기 어려웠기 때문이다. 1898년에 미국의 수학자 조지 에이브럼 밀러(George Abram Miller^영어, 1863~1951)는 $M_{24}$ 가 존재하지 않는다는 "증명"을 발표하기도 했다.

하지만 밀러는 이후 1900년에 자신이 발표한 "증명"에 오류가 있었음을 인정하고, 마티외 군이 단순하다는 것을 증명했다. 마침내 1938년에 에른스트 비트(Ernst Witt^독일어)가 마티외 군들을 슈타이너 계의 자기 동형군으로 구성하는 방법을 제시함으로써 마티외 군의 존재에 대한 오랜 논란을 종식시켰다.

마티외 군들은 산재군들 가운데 최초로 발견된 것이었으며, 1965년에 얀코 군 $J_1$ 이 발견되기 전까지 유일하게 알려진 산재군이었다.