몫군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 잉여류
- 2.2. 정규 부분군
3. 몫군이라는 이름의 이유
4. 예시
5. 성질
6. 리 군의 몫군
참조

1. 개요

몫군은 군 G의 정규 부분군 N을 사용하여 구성되는 새로운 군 G/N이다. 몫군은 G의 원소를 N의 잉여류로 묶어 만든 집합으로, 잉여류 간의 연산을 통해 군의 구조를 정의한다. 몫군은 정수의 나눗셈 개념을 군에 확장한 것으로, G를 N의 잉여류로 '묶는' 과정을 통해 새로운 군을 형성한다. 몫군은 잉여류, 정규 부분군 등과 밀접한 관련이 있으며, 몫군의 성질은 준동형 정리, 동형 정리 등에 포함되어 있다. 또한 몫군은 리 군의 경우에도 정의될 수 있으며, G가 리 군이고 N이 정규 부분 리 군이면 몫군 G/N도 리 군이 된다.

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몫군
개요
정의
몫군
몫군 연산
성질
준동형 사상	전사 준동형 사상 φ: G → H가 존재할 때, G/ker(φ) ≅ H이다. 여기서 ker(φ)는 φ의 핵이다.
참고 문헌
참고 서적	0-471-43334-7. 0-8218-3318-6.

2. 정의

군 $G$ 와 그 정규 부분군 $N$ ( $N \triangleleft G$ 로 표기)이 주어졌을 때, 몫군 $G/N$ 은 $N$ 에 대한 $G$ 의 모든 왼쪽 잉여류들의 집합으로 정의된다. 즉,

: $G/N = \{aN : a \in G\}$

이다. 여기서 $aN = \{ah : h \in N\}$ 은 $a$ 를 포함하는 $N$ 의 왼쪽 잉여류를 나타낸다.

몫군 $G/N$ 위에서의 이항 연산은 다음과 같이 정의된다. $G/N$ 의 임의의 두 원소 $aN$ 과 $bN$ 에 대하여, 그 곱은

: $(aN)(bN) = (ab)N$

이다. 이 연산은 $N$ 이 정규 부분군이기 때문에 잘 정의되는데, 이는 잉여류를 대표하는 원소 $a$ 와 $b$ 를 어떻게 선택하든 연산의 결과가 동일함을 의미한다. 이 연산이 잘 정의되기 위한 필요충분조건은 $N$ 이 정규 부분군이라는 점이다.

이렇게 정의된 연산을 통해 집합 $G/N$ 은 군의 구조를 가지게 된다. 이 군을 $G$ 의 $N$ 에 대한 몫군이라고 부른다. 몫군 $G/N$ 의 항등원은 잉여류 $N$ (또는 $eN$ , 여기서 $e$ 는 $G$ 의 항등원)이며, 각 원소 $aN$ 의 역원은 $a^{-1}N$ 이다.

$N$ 이 정규 부분군일 때는 $G$ 에서 $N$ 의 왼쪽 잉여류와 오른쪽 잉여류가 동일하므로(모든 $a \in G$ 에 대해 $aN = Na$ 이므로), 몫군 $G/N$ 을 오른쪽 잉여류들의 집합 $\{Na : a \in G\}$ 으로 정의하고 연산을 $(Na)(Nb) = N(ab)$ 로 정의해도 동일한 군 구조를 얻는다.

2. 1. 잉여류

군

G

와 그 부분군

H

, 그리고

G

의 원소

a

가 주어졌을 때, 왼쪽 잉여류

aH

는 집합

\{ah : h \in H\}

로 정의된다. 잉여류는 군의 자연스러운 부분집합 유형 중 하나이다. 예를 들어, 덧셈 이항 연산을 갖는 정수의 아벨 군

G

와 짝수 정수들의 부분군

H

를 생각해 보자. 이 경우, 잉여류는 정확히 두 개 존재한다. 하나는 짝수 전체의 집합인

0+H

이고, 다른 하나는 홀수 전체의 집합인

1+H

이다. (여기서는 군의 연산을 곱셈이 아닌 덧셈으로 표기했다.)

일반적인 부분군

H

에 대해, 모든 가능한 잉여류들의 집합

\{aH : a \in G\}

위에서 군 연산을 정의하는 것이 항상 가능한 것은 아니다. 이러한 연산 정의는 부분군

H

가 정규 부분군일 때 가능하다. 군

G

의 부분군

N

이 정규 부분군이라는 것은,

G

의 모든 원소

a

에 대해 왼쪽 잉여류

aN

과 오른쪽 잉여류

Na

가 같은, 즉

aN = Na

가 성립하는 것을 의미한다.

G

의 정규 부분군은 보통

N \triangleleft G

로 표기한다.

N

이 군

G

의 정규 부분군일 때, 집합

G/N

을

N

의 모든 왼쪽 잉여류들의 집합으로 정의한다. 즉,

G/N = \{aN : a \in G\}

이다.

G

의 항등원

e

는

N

에 속하므로(

e \in N

), 모든

a \in G

에 대해

a = ae \in aN

이다.

잉여류들의 집합

G/N

위에서 이항 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

G/N

의 임의의 두 원소

aN

과

bN

에 대해, 그 곱

(aN)(bN)

을

(ab)N

으로 정의한다. 이 연산은 잘 정의되는데, 이는 곱의 결과

(ab)N

이 잉여류를 대표하는 원소

a

와

b

의 선택에 의존하지 않기 때문이다. 즉, 만약

xN = aN

이고

yN = bN

이라면,

(xy)N = (ab)N

이 성립한다. 이는

N

이 정규 부분군이기 때문에 가능하다. 다음은 이를 보이는 과정이다.

:

(ab)N = a(bN) = a(yN) = a(Ny)

(여기서

N

이 정규 부분군이므로

yN = Ny

)

:

= (aN)y = (xN)y = x(Ny) = x(yN) = (xy)N

반대로, 만약

G/N

위의 연산

(aN)(bN) = (ab)N

이 잘 정의된다면, 부분군

N

은 반드시 정규 부분군이어야 한다.

이렇게 정의된 연산에 대해, 집합

G/N

은 군의 공리를 만족한다.

결합법칙: $((aN)(bN))(cN) = (ab)N(cN) = ((ab)c)N = (a(bc))N = (aN)(bc)N = (aN)((bN)(cN))$
항등원: $N$ (또는 $eN$ )이 항등원 역할을 한다. $(aN)(N) = (aN)(eN) = (ae)N = aN$ .
역원: 각 원소 $aN$ 의 역원은 $a^{-1}N$ 이다. $(aN)(a^{-1}N) = (aa^{-1})N = eN = N$ .

따라서 집합

G/N

과 연산

(aN)(bN) = (ab)N

은 군을 형성하며, 이를

G

의

N

에 대한 '''몫군'''이라고 부른다.

N

이 정규 부분군일 때는 왼쪽 잉여류와 오른쪽 잉여류가 동일하므로(

aN = Na

), 몫군

G/N

을 오른쪽 잉여류들의 집합

\{Na : a \in G\}

으로 정의하고 연산을

(Na)(Nb) = N(ab)

로 정의해도 동일한 군 구조를 얻는다.

2. 2. 정규 부분군

군 ''G''와 부분군 ''H'', 그리고 ''G''의 원소 ''a''가 주어졌을 때, 왼쪽 잉여류 ''aH''는 ''a''와 ''H''의 원소 ''h''를 각각 연산한 결과들의 집합, 즉 { ''ah'' | ''h'' ∈ ''H'' }으로 정의된다. 잉여류는 군의 부분집합을 자연스럽게 분류하는 방법 중 하나이다. 예를 들어, 정수 전체가 덧셈에 대해 이루는 아벨 군 ''G''와 짝수 정수 전체의 부분군 ''H''를 생각해보자. 이 경우 잉여류는 정확히 두 개 존재하는데, 하나는 짝수 전체의 집합인 ''0 + H''이고 다른 하나는 홀수 전체의 집합인 ''1 + H''이다.

일반적인 부분군 ''H''에 대해, 모든 잉여류 ''aH''들의 집합 { ''aH'' | ''a'' ∈ ''G'' } 위에 자연스러운 군 연산을 정의하는 것이 바람직할 때가 있다. 이러한 연산이 잘 정의되기 위해서는 부분군 ''H''가 특별한 조건을 만족해야 하는데, 이 조건을 만족하는 부분군을 정규 부분군이라고 한다.

군 ''G''의 부분군 ''N''이 정규 부분군이라는 것은, ''G''의 모든 원소 ''a''에 대해 왼쪽 잉여류 ''aN''과 오른쪽 잉여류 ''Na''가 항상 같은 것, 즉 등식 ''aN'' = ''Na''가 성립함을 의미한다. ''N''이 ''G''의 정규 부분군임을 나타낼 때는 ''N'' ◁ ''G''와 같이 표기한다.

부분군 ''N''이 정규 부분군일 필요충분 조건은 잉여류들의 집합 ''G''/''N'' = { ''aN'' | ''a'' ∈ ''G'' } 위에 (''aN'')(''bN'') = (''ab'')''N''과 같이 연산을 정의했을 때, 이 연산이 대표원 ''a'', ''b''의 선택에 관계없이 항상 잘 정의되는 것이다. 즉, 정규 부분군은 몫군 ''G''/''N''을 구성하기 위한 핵심적인 조건이다.

3. 몫군이라는 이름의 이유

몫군 ''G''/''N''이라는 이름은 정수의 나눗셈 개념과 유사성에서 비롯된다. 예를 들어, 12를 3으로 나누면 그 결과가 4가 되는 것은, 12개의 대상을 각각 3개의 대상씩 묶어 총 4개의 부분 모임으로 재구성할 수 있음을 의미한다. 몫군 역시 비슷한 방식으로 이해할 수 있는데, 숫자를 다루는 대신 군이라는 더 복잡한 구조를 다룬다는 차이가 있다.

구체적으로, 군 ''G''와 그 정규 부분군 ''N''이 주어졌을 때, 몫군 ''G''/''N''은 군 ''G''의 원소들을 ''N''을 기준으로 한 잉여류들로 자연스럽게 "다시 묶는(regroup)" 과정으로 생각할 수 있다. 정수의 나눗셈에서는 단순히 묶음의 개수, 즉 몫이라는 숫자만을 얻지만, 몫군 ''G''/''N''은 단순히 잉여류의 개수만을 나타내는 것이 아니라, 그 잉여류들의 집합 자체가 새로운 군 구조를 형성한다는 점에서 더 많은 정보를 포함한다. 즉, 몫군은 원래 군의 구조를 특정 부분군을 통해 바라본 새로운 군이라고 할 수 있다.

4. 예시

곱셈군 ''G'' = ('''Z'''/''n''²'''Z''')^×를 생각해보자. 여기서 ('''Z'''/''n''²'''Z''')^×는 법 ''n''²에 대한 기약잉여계의 곱셈군이다. 이 군의 원소 ''x''에 대해 ''x''^''n'' (mod ''n''²) 형태로 만들어지는 원소들의 집합 ''N''은 ('''Z'''/''n'''''Z''')^×와 동형인 ''G''의 곱셈 부분군이다. ''N''은 ''G''의 정규 부분군이며, 몫군 ''G''/''N''은 잉여류 ''N'', (1+''n'')''N'', (1+''n'')²''N'', ..., (1+''n'')^''n''−1''N'' 들로 구성된다. Paillier 암호 체계는 ''G''의 임의의 원소가 속하는 잉여류를 ''n''의 소인수분해를 알지 못하면 계산하기 어렵다는 계산적 어려움 가정에 기반한다.

4. 1. 짝수와 홀수

정수 전체의 집합 '''Z'''는 덧셈에 대해 군을 이룬다. 이 군에서 모든 짝수의 집합인 2'''Z'''는 부분군이다. '''Z'''는 덧셈에 대해 교환 법칙이 성립하는 아벨 군이므로, 부분군 2'''Z'''는 정규 부분군이다.

이때 몫군 '''Z'''/2'''Z'''를 생각할 수 있다. 이 몫군의 원소는 잉여류인데, '''Z''' 안에서 2'''Z'''에 대한 잉여류는 두 개뿐이다. 하나는 짝수 전체의 집합 0+2'''Z''' = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}이고, 다른 하나는 홀수 전체의 집합 1+2'''Z''' = {..., -3, -1, 1, 3, 5, ...}이다. 따라서 몫군 '''Z'''/2'''Z'''는 두 개의 원소 {0+2'''Z''', 1+2'''Z'''}를 갖는 군이다.

이 몫군 '''Z'''/2'''Z'''는 원소가 두 개인 순환군이며, 2를 법으로 하는 덧셈 연산을 갖는 집합 {0, 1}(흔히 '''Z'''₂로 표기)과 동형이다. 즉, 짝수 잉여류는 0에, 홀수 잉여류는 1에 대응시키면 군의 구조가 정확히 일치한다. 비공식적으로 '''Z'''/2'''Z'''는 '''Z'''₂와 "같다"고 말하기도 한다.

4. 2. n으로 나눈 나머지

덧셈에 대한 정수의 군

\mathbb{Z}

를 생각해 보자. 임의의 양의 정수

n

에 대해,

n

의 모든 배수로 이루어진 집합

n\mathbb{Z} = \{ nk \mid k \in \mathbb{Z} \}

는

\mathbb{Z}

의 부분군이다.

\mathbb{Z}

는 덧셈에 대해 교환 법칙이 성립하는 아벨 군(가환군)이므로, 모든 부분군은 정규 부분군이다. 따라서

n\mathbb{Z}

는

\mathbb{Z}

의 정규 부분군이다.

n\mathbb{Z}

에 대한 잉여류는 다음과 같은 집합들이다:

a + n\mathbb{Z} = \{ a + nk \mid k \in \mathbb{Z} \}

여기서

a

는 임의의 정수이다. 두 정수

a

와

b

에 대해

a + n\mathbb{Z} = b + n\mathbb{Z}

일 필요충분조건은

a \equiv b \pmod{n}

, 즉

a

와

b

를

n

으로 나눈 나머지가 같은 것이다. 따라서 서로 다른 잉여류는 정확히

n

개 존재하며, 다음과 같이 나타낼 수 있다:

\left\{ n\mathbb{Z}, 1+n\mathbb{Z}, 2+n\mathbb{Z}, \dots, (n-1)+n\mathbb{Z} \right\}

여기서 각 잉여류

r + n\mathbb{Z}

(단,

0 \le r < n

)는

n

으로 나누었을 때 나머지가

r

인 모든 정수들의 집합이다.

이 잉여류들의 집합에 덧셈 연산을

(a+n\mathbb{Z}) + (b+n\mathbb{Z}) = (a+b)+n\mathbb{Z}

와 같이 정의하면, 이 집합은 군을 이룬다. 이 군을 몫군이라 하며

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

로 표기한다. 이 몫군은

n

을 법으로 하는 "나머지"들의 덧셈 군으로 생각할 수 있다.

몫군

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

는 원소의 개수가

n

개인 순환군이며,

n

을 법으로 하는 덧셈 연산을 갖는 집합

\{0, 1, \dots, n-1\}

으로 구성된 군

\mathbb{Z}_n

과 동형이다. 즉, 구조적으로 같은 군으로 볼 수 있다.

4. 3. 1의 거듭제곱근

1의 12제곱근의 군 ''G''와 1의 4제곱근으로 이루어진 부분군 ''N''에 의한 잉여류.

복소수 단위원 위에 있는 점들인 1의 12제곱근들은 곱셈에 대해 아벨 군 ''G''를 형성한다. 오른쪽 그림은 이 군의 원소들을 각 점의 편각을 나타내는 숫자가 적힌 색깔 있는 공으로 보여준다.

이 군 ''G'' 안에서, 1의 4제곱근들로 이루어진 부분군 ''N'' (그림의 빨간색 공)을 생각해보자. ''G''가 아벨 군이므로 ''N''은 정규 부분군이다. 이 정규 부분군 ''N''은 전체 군 ''G''를 세 개의 잉여류로 나눈다. 그림에서는 이 잉여류들을 각각 빨간색, 녹색, 파란색 공으로 표시했다.

이 잉여류들 자체가 하나의 군을 이룬다는 것을 확인할 수 있다. 예를 들어, 빨간색 잉여류와 파란색 잉여류의 곱은 파란색 잉여류가 되고, 파란색 잉여류의 역원은 녹색 잉여류가 되는 식이다. 이렇게 잉여류들로 만들어진 군을 몫군이라 하며, ''G''/''N''으로 표기한다.

따라서 몫군 ''G''/''N''은 세 가지 색깔(세 개의 잉여류)을 원소로 가지는 군이며, 이는 원소가 3개인 순환군 C₃와 동형이다.

4. 4. 실수와 정수

덧셈 연산에 대한 실수의 군

\R

과 정수의 부분군

\Z

를 생각해 보자.

\R

은 가환군이므로 모든 부분군은 정규 부분군이고, 따라서

\Z

는

\R

의 정규 부분군이다.

\R

에서

\Z

의 각 잉여류는

a+\Z = \{a+n \mid n \in \Z\}

형태의 집합이며, 여기서

a

는 실수이다. 예를 들어

0.5+\Z

는

\{\dots, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, \dots\}

와 같은 집합이다. 만약 두 실수

a_1

과

a_2

의 소수 부분 (정수가 아닌 부분)이 같다면, 즉

a_1 - a_2

가 정수라면, 두 잉여류

a_1+\Z

와

a_2+\Z

는 같은 집합이 된다. 따라서 각 잉여류를 대표하는 원소

a

를

0 \leq a < 1

범위에서 선택할 수 있다.

이러한 잉여류들의 덧셈은 각 잉여류를 대표하는 실수

a

와

b

(

0 \leq a, b < 1

)를 더하는 방식으로 정의된다. 즉,

(a+\Z) + (b+\Z) = (a+b)+\Z

이다. 만약 합

a+b

가 1보다 크거나 같으면, 결과에서 1을 빼서

0 \leq a+b-1 < 1

범위의 대표 원소를 갖는 잉여류로 만든다. 이는 1을 법으로 하는 덧셈과 같다.

몫군

\R/\Z

는 원군

S^1

과 동형이다. 원군은 절댓값이 1인 복소수들이 곱셈에 대해 이루는 군으로, 복소평면 상의 단위 원으로 시각화할 수 있다. 또한, 이는 원점을 중심으로 하는 2차원 평면에서의 회전들이 이루는 군, 즉 특수 직교군

\mathrm{SO}(2)

와도 동형이다.

이 동형 관계는 함수

f: \R/\Z \to S^1

를

f(a+\Z) = \exp(2\pi ia) = \cos(2\pi a) + i\sin(2\pi a)

로 정의함으로써 구체적으로 보여줄 수 있다. 이 식은 오일러 공식과 관련이 있다. 이 함수는 실수를 단위 원 위의 점으로 대응시키는데, 정수만큼 차이나는 실수들은 원 위의 같은 점으로 대응된다. 예를 들어

a=0

과

a=1

은 모두 복소수 1에 대응되고,

a=0.5

는 복소수 -1에 대응된다. 잉여류의 덧셈은 복소수의 곱셈에 대응된다.

4. 5. 행렬

가역 3 × 3 실수 행렬 전체의 군을 ''G''라 하고, 행렬식이 1인 3 × 3 실수 행렬의 부분군을 ''N''이라 하자. 이때 ''N''은 ''G''의 정규 부분군이다. 이는 ''N''이 행렬식 군 준동형사상의 커널이기 때문이다. ''N''의 잉여류는 주어진 행렬식 값을 갖는 행렬들의 집합이며, 따라서 몫군 ''G''/''N''은 0이 아닌 실수들의 곱셈 군과 동형이다. 군 ''N''은 특수선형군 SL(3)으로 불린다.

4. 6. 모듈러 연산

정수 '''Z'''는 덧셈에 대해 군을 이룬다. 모든 짝수의 집합 2'''Z'''는 '''Z'''의 정규 부분군이다. 왜냐하면 '''Z'''는 아벨 군이므로 모든 부분군이 정규 부분군이기 때문이다. 이때 잉여류는 짝수 전체의 집합과 홀수 전체의 집합, 단 두 개뿐이다. 따라서 몫군 '''Z'''/2'''Z'''는 원소가 두 개인 순환군이다. 이 몫군은 {0, 1}과 2를 법으로 하는 덧셈 연산을 갖는 군 '''Z'''₂와 동형이다. 비공식적으로 '''Z'''/2'''Z'''는 '''Z'''₂와 "같다"고 말하기도 한다.

이 예를 조금 일반화할 수 있다. 다시 정수 '''Z'''의 덧셈 군을 생각해보자. 임의의 양의 정수 ''n''에 대해, ''n''의 모든 배수로 이루어진 부분군 ''n'''''Z'''를 고려할 수 있다. '''Z'''는 아벨 군이므로 ''n'''''Z'''는 정규 부분군이다. 잉여류들의 집합은 { ''n'''''Z''', 1 + ''n'''''Z''', ..., (''n'' − 1) + ''n'''''Z''' } 이다. 어떤 정수 ''k''는, ''k''를 ''n''으로 나눈 나머지를 ''r''이라고 할 때, 잉여류 ''r'' + ''n'''''Z'''에 속한다. 몫군 '''Z'''/''n'''''Z'''는 ''n''을 법으로 하는 "나머지"들의 군으로 생각할 수 있으며, 이는 위수 ''n''의 순환군이다. 이 군은 보통 '''Z'''_''n''으로 표기한다.

구체적인 예로, 덧셈 군 '''Z'''₄ = '''Z'''/4'''Z''' (즉, 4를 법으로 하는 덧셈을 갖는 집합 {0, 1, 2, 3})와 그 부분군 {0, 2}를 생각해보자. '''Z'''₄는 아벨 군이므로 부분군 {0, 2}는 정규 부분군이다. 몫군 '''Z'''₄/{0, 2}는 잉여류들의 집합 { {0, 2}, {1, 3} }으로 구성된다. 이 몫군은 항등원 {0, 2}를 가지며, 군 연산의 예로 {0, 2} + {1, 3} = {1, 3} 등이 있다. 부분군 {0, 2}와 몫군 { {0, 2}, {1, 3} }은 모두 원소가 2개인 군 '''Z'''₂와 동형이다.

다른 예로, 6을 법으로 하는 덧셈 군 G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}를 생각해보자. 부분군 N = {0, 3}은 G가 아벨 군이므로 정규 부분군이다. 그러면 몫군 G/N은 (왼쪽) 잉여류들의 집합으로 다음과 같이 구성된다.

: G/N = { ''a'' + N : ''a'' ∈ G } = { {0, 3}, {1, 4}, {2, 5} } = { 0 + N, 1 + N, 2 + N }

이 집합에 정의된 이항 연산은 G/N을 몫군으로 만들며, 이 경우 위수가 3인 순환군과 동형이다.

5. 성질

몫군 ''G''/''G''는 자명군과 동형이고, ''G''/{''e''}는 ''G''와 동형이다. 여기서 ''e''는 ''G''의 항등원이다.

몫군 ''G''/''N''의 위수는 정의에 따라 원소의 개수이며, ''N''의 ''G''에서의 지수인 |''G'' : ''N''|과 같다. 만약 ''G''가 유한군이면, 이 지수는 ''G''의 위수를 ''N''의 위수로 나눈 값(|''G''| / |''N''|)과 같다. ''G''와 ''N''이 모두 무한군이더라도 몫군 ''G''/''N''은 유한군일 수 있다(예를 들어, 정수의 덧셈군 '''Z'''와 짝수의 부분군 2'''Z'''에 대해 몫군 '''Z'''/2'''Z'''는 위수가 2인 유한군이다).

''G''의 각 원소 ''g''를 ''g''가 속한 ''N''의 잉여류 ''gN''으로 보내는 "자연스러운" 전사 군 준동형사상 ''π'' : ''G'' → ''G''/''N'' (즉, ''π''(''g'') = ''gN'')가 존재한다. 이 사상 ''π''는 때때로 ''G''의 ''G''/''N'' 위로의 정규 투영 또는 ''자연스러운 준동형사상''이라고 불리며, 그 커널은 정확히 정규 부분군 ''N''이다.

격자 정리에 따르면, ''N''을 포함하는 ''G''의 부분군들과 ''G''/''N''의 부분군들 사이에는 일대일 대응 관계가 성립한다. 만약 ''H''가 ''G''의 ''N''을 포함하는 부분군이라면(''N'' ⊆ ''H'' ⊆ ''G''), ''G''/''N''에서 ''H''에 대응하는 부분군은 ''π''(''H'') = ''H''/''N'' = {''hN'' | ''h'' ∈ ''H''}이다. 이 대응 관계는 ''G''와 ''G''/''N''의 정규 부분군들에 대해서도 유효하다. 즉, ''H''가 ''G''의 정규 부분군일 필요충분조건은 ''H''/''N''이 ''G''/''N''의 정규 부분군인 것이다.

몫군의 몇 가지 중요한 성질은 준동형 정리와 동형 정리에 요약되어 있다. 예를 들어, 제1 동형 정리에 따르면, 만약 ''f'' : ''G'' → ''K''가 군 준동형사상이라면, ''G'' / ker(''f'')는 ''f''의 상(im(''f''))과 동형이다.

만약 군 ''G''가 아벨 군, 멱영군, 가해군, 순환군 또는 유한 생성 군이라면, 그 몫군 ''G''/''N''도 각각 동일한 성질을 가진다.

만약 ''H''가 유한군 ''G''의 부분군이고 ''H''의 지수가 2라면(|''G'':''H''|=2), 즉 ''H''의 위수가 ''G''의 위수의 절반이라면, ''H''는 항상 ''G''의 정규 부분군이다. 따라서 몫군 ''G''/''H''가 존재하며, 위수가 2인 순환군 C₂(또는 '''Z'''₂)와 동형이다. 이 결과는 "지수 2인 모든 부분군은 정규 부분군이다"라고 표현할 수 있으며, 이 형태는 무한군에도 적용된다.

또한, ''p''가 유한군 ''G''의 위수를 나누는 가장 작은 소수라고 하자. 만약 ''H''가 ''G''의 부분군이고 그 지수가 ''p''라면(|''G'':''H''|= ''p''), ''H''는 반드시 ''G''의 정규 부분군이어야 한다.^[6]

군 ''G''와 그 정규 부분군 ''N''이 주어졌을 때, ''G''는 ''N''에 의한 ''G''/''N''의 군 확장으로 볼 수 있다. 이 확장이 자명한지(trivial) 또는 분열하는지(split) 질문할 수 있는데, 이는 ''G''가 ''N''과 ''G''/''N''의 직접곱 또는 반직접곱과 동형인지 묻는 것과 같다. 이는 확대 문제의 한 예이다. 모든 군 확장이 분열하는 것은 아니다. 예를 들어, ''G'' = '''Z'''₄ = {0, 1, 2, 3}(4를 법으로 하는 덧셈에 대한 순환군)이고, ''N'' = {0, 2}라고 하자. ''N''은 '''Z'''₂와 동형인 ''G''의 정규 부분군이다. 몫군 ''G''/''N'' = 또한 '''Z'''₂와 동형이다. 하지만 ''G'' = '''Z'''₄는 ''N'' ≅ '''Z'''₂와 ''G''/''N'' ≅ '''Z'''₂의 직접곱('''Z'''₂ × '''Z'''₂, 클라인 4원군)이나 반직접곱과 동형이 아니다. ('''Z'''₂는 자명한 자기 동형 사상만 가지므로 반직접곱은 직접곱과 같다). 따라서 이 경우 군 확장은 분열하지 않는다.

6. 리 군의 몫군

''G''가 리 군이고 ''N''이 ''G''의 정규이고 닫힌 리 부분군이라면, 몫군 ''G''/''N'' 역시 리 군이다. 이 경우, 원래 군 ''G''는 밑공간 ''G''/''N''과 올(fiber) ''N''을 갖는 올다발(특히 주 ''N''-다발) 구조를 가진다. 몫군 ''G''/''N''의 차원은 dim ''G'' - dim ''N''과 같다.^[7]^[4]

''N''이 닫힌 부분군이어야 한다는 조건은 필수적이다. 만약 ''N''이 닫혀 있지 않으면, 몫공간 ''G''/''N''은 T1 공간이 아니며, 따라서 하우스도르프 공간도 아니다.^[4] 이는 닫혀 있지 않은 ''N''의 경우, 열린 집합으로 항등원과 분리될 수 없는 잉여류가 몫공간에 존재하기 때문이다.

만약 ''N''이 정규 부분군이 아닌 리 부분군이라면, 왼쪽 잉여류 공간 ''G''/''N''은 군이 아니라 ''G''가 작용하는 매끄러운 다양체이며, 이를 동차 공간이라고 부른다.

참조

_[1] 서적 A course in algebra American Mathematical Society 2003
_[2] 기타 Dummit Foote 2003 p=95
_[3] 기타 Dummit Foote 2003 p=120
_[4] 문서 John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition, theorem 21.17
_[5] 간행물 Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen (Zur Reduction der algebraischen Gleichungen) http://gdz.sub.uni-g[...] Georg-August-Universität Göttingen 1889
_[6] 기타 Dummit Foote 2003 p=120
_[7] 문서 John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition, theorem 21.17

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