삼각함수 적분표

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1. 개요
2. 사인 함수의 적분
3. 코사인 함수의 적분
4. 탄젠트 함수의 적분
5. 시컨트 함수의 적분
6. 코시컨트 함수의 적분
7. 코탄젠트 함수의 적분
8. 사인과 코사인을 포함하는 함수의 적분
- 8.1. 일반적인 형태의 적분
- 8.2. 분수 형태의 적분
9. 사인/코사인과 탄젠트/코탄젠트를 포함하는 함수의 적분
10. 대칭성을 이용한 정적분
11. 특정 구간에서의 적분
참조

1. 개요

삼각함수 적분표는 사인, 코사인, 탄젠트, 시컨트, 코시컨트, 코탄젠트 함수를 포함하는 삼각함수의 다양한 적분 공식들을 제공한다. 이 표는 일반적인 삼각함수, 거듭제곱 형태, x와 삼각함수의 곱, 여러 삼각함수의 곱, 분수 형태의 삼각함수, 사인과 코사인을 포함하는 함수, 사인/코사인과 탄젠트/코탄젠트를 포함하는 함수들의 적분 공식을 포함한다. 또한 대칭성을 이용한 정적분과 특정 구간에서의 정적분 계산을 위한 공식도 제시한다.

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삼각함수 적분표
삼각함수 적분
설명	삼각함수의 부정적분 목록을 제공
기본적인 사인과 코사인 함수
함수	∫sin⁡x dx
적분	-cos⁡x + C
함수	∫cos⁡x dx
적분	sin⁡x + C
탄젠트, 코탄젠트, 시컨트, 코시컨트 함수
함수	∫tan⁡x dx
적분	-ln⁡\|cos⁡x\| + C = ln⁡\|sec⁡x\| + C
함수	∫cot⁡x dx
적분	ln⁡\|sin⁡x\| + C = -ln⁡\|csc⁡x\| + C
함수	∫sec⁡x dx
적분	ln⁡\|sec⁡x + tan⁡x\| + C
함수	∫csc⁡x dx
적분	-ln⁡\|csc⁡x + cot⁡x\| + C
시컨트 제곱, 코시컨트 제곱, 시컨트-탄젠트 곱, 코시컨트-코탄젠트 곱 함수
함수	∫sec²⁡x dx
적분	tan⁡x + C
함수	∫csc²⁡x dx
적분	-cot⁡x + C
함수	∫sec⁡x tan⁡x dx
적분	sec⁡x + C
함수	∫csc⁡x cot⁡x dx
적분	-csc⁡x + C
사인 함수의 거듭제곱
함수	∫sin²⁡x dx
적분	x/2 - (sin⁡2x)/4 + C = x/2 - (sin⁡x cos⁡x)/2 + C
함수	∫sin³⁡x dx
적분	-(cos⁡x/3)(sin²⁡x + 2) + C = -cos⁡x + (cos³⁡x)/3 + C
함수	∫sinⁿ⁡x dx
적분	-(sinⁿ⁻¹⁡x cos⁡x)/n + (n-1)/n ∫sinⁿ⁻²⁡x dx
코사인 함수의 거듭제곱
함수	∫cos²⁡x dx
적분	x/2 + (sin⁡2x)/4 + C = x/2 + (sin⁡x cos⁡x)/2 + C
함수	∫cos³⁡x dx
적분	(sin⁡x/3)(cos²⁡x + 2) + C = sin⁡x - (sin³⁡x)/3 + C
함수	∫cosⁿ⁡x dx
적분	(cosⁿ⁻¹⁡x sin⁡x)/n + (n-1)/n ∫cosⁿ⁻²⁡x dx
사인과 코사인의 곱
함수	∫sin⁡x cos⁡x dx
적분	(sin²⁡x)/2 + C = -(cos²⁡x)/2 + C = - (cos⁡2x)/4 + C
함수	∫sin⁡ax cos⁡bx dx
적분	-(cos⁡((a + b)x))/(2(a + b)) - (cos⁡((a - b)x))/(2(a - b)) + C = (cos⁡((a + b)x))/(2(a + b)) + (cos⁡((a - b)x))/(2(a - b)) + C
탄젠트 함수의 거듭제곱
함수	∫tan²⁡x dx
적분	tan⁡x - x + C
함수	∫tanⁿ⁡x dx
적분	(tanⁿ⁻¹⁡x)/(n-1) - ∫tanⁿ⁻²⁡x dx
코탄젠트 함수의 거듭제곱
함수	∫cot²⁡x dx
적분	-cot⁡x - x + C
함수	∫cotⁿ⁡x dx
적분	-(cotⁿ⁻¹⁡x)/(n-1) - ∫cotⁿ⁻²⁡x dx
시컨트 함수의 거듭제곱
함수	∫sec³⁡x dx
적분	(sec⁡x tan⁡x)/2 + (ln⁡\|sec⁡x + tan⁡x\|)/2 + C
함수	∫secⁿ⁡x dx
적분	(secⁿ⁻²⁡x tan⁡x)/(n-1) + (n-2)/(n-1) ∫secⁿ⁻²⁡x dx
코시컨트 함수의 거듭제곱
함수	∫csc³⁡x dx
적분	-(csc⁡x cot⁡x)/2 - (ln⁡\|csc⁡x + cot⁡x\|)/2 + C
함수	∫cscⁿ⁡x dx
적분	-(cscⁿ⁻²⁡x cot⁡x)/(n-1) + (n-2)/(n-1) ∫cscⁿ⁻²⁡x dx
적분 상수
참고	모든 공식에서 C는 적분 상수이다.

2. 사인 함수의 적분

일반적인 사인 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

: $\int\sin ax\,dx = -\frac{1}{a}\cos ax+C$

: $\int\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4a} \sin 2ax +C= \frac{x}{2} - \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C$

: $\int\sin^3 {ax}\,dx = \frac{\cos 3ax}{12a} - \frac{3 \cos ax}{4a} +C$

: $\int x\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4a} \sin 2ax - \frac{1}{8a^2} \cos 2ax +C$

: $\int x^2\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x^3}{6} - \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax - \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C$

: $\int x\sin ax\,dx = \frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C$

: $\int(\sin b_1x)(\sin b_2x)\,dx = \frac{\sin((b_2-b_1)x)}{2(b_2-b_1)}-\frac{\sin((b_1+b_2)x)}{2(b_1+b_2)}+C \qquad\mbox{(for }|b_1|\neq|b_2|\mbox{)}$

: $\int\sin^n {ax}\,dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$

: $\int\frac{dx}{\sin ax} = -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C$

: $\int\frac{dx}{\sin^n ax} = \frac{\cos ax}{a(1-n) \sin^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}$

: $\begin{align}\int x^n\sin ax\,dx &= -\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\,dx \\&= \sum_{k=0}^{2k\leq n} (-1)^{k+1} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^k \frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \sin ax \\&= - \sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right) \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\end{align}$

: $\int\frac{\sin ax}{x}\,dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} +C$

: $\int\frac{\sin ax}{x^n}\,dx = -\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}\int\frac{\cos ax}{x^{n-1}}\,dx$

: $\int\frac{dx}{1\pm\sin ax} = \frac{1}{a}\tan\left(\frac{ax}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)+C$

: $\int\frac{x\,dx}{1+\sin ax} = \frac{x}{a}\tan\left(\frac{ax}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\left(\frac{ax}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$

: $\int\frac{x\,dx}{1-\sin ax} = \frac{x}{a}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{ax}{2}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right)\right|+C$

: $\int\frac{\sin ax\,dx}{1\pm\sin ax} = \pm x+\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}\right)+C$

위의 적분 공식들은 삼각함수의 적분 계산에 유용하게 활용될 수 있다.

2. 1. 일반적인 사인 함수의 적분

일반적인 사인 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

:

\int\sin ax\,dx = -\frac{1}{a}\cos ax+C

:

\int\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4a} \sin 2ax +C= \frac{x}{2} - \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C

:

\int\sin^3 {ax}\,dx = \frac{\cos 3ax}{12a} - \frac{3 \cos ax}{4a} +C

:

\int x\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4a} \sin 2ax - \frac{1}{8a^2} \cos 2ax +C

:

\int x^2\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x^3}{6} - \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax - \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C

:

\int x\sin ax\,dx = \frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C

:

\int(\sin b_1x)(\sin b_2x)\,dx = \frac{\sin((b_2-b_1)x)}{2(b_2-b_1)}-\frac{\sin((b_1+b_2)x)}{2(b_1+b_2)}+C \qquad\mbox{(for }|b_1|\neq|b_2|\mbox{)}

:

\int\sin^n {ax}\,dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}

:

\int\frac{dx}{\sin ax} = -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C

:

\int\frac{dx}{\sin^n ax} = \frac{\cos ax}{a(1-n) \sin^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}

:

\begin{align}\int x^n\sin ax\,dx &= -\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\,dx \\&= \sum_{k=0}^{2k\leq n} (-1)^{k+1} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^k \frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \sin ax \\&= - \sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right)  \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\end{align}

:

\int\frac{\sin ax}{x}\,dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} +C

:

\int\frac{\sin ax}{x^n}\,dx = -\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}\int\frac{\cos ax}{x^{n-1}}\,dx

:

\int\frac{dx}{1\pm\sin ax} = \frac{1}{a}\tan\left(\frac{ax}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)+C

:

\int\frac{x\,dx}{1+\sin ax} = \frac{x}{a}\tan\left(\frac{ax}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\left(\frac{ax}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|+C

:

\int\frac{x\,dx}{1-\sin ax} = \frac{x}{a}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{ax}{2}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right)\right|+C

:

\int\frac{\sin ax\,dx}{1\pm\sin ax} = \pm x+\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}\right)+C

위의 적분 공식들은 삼각함수의 적분 계산에 유용하게 활용될 수 있다.

2. 2. 거듭제곱 사인 함수의 적분

사인 함수의 거듭제곱 형태에 대한 적분 공식은 다음과 같다.

$\int\sin ax\,dx = -\frac{1}{a}\cos ax+C$
$\int\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4a} \sin 2ax +C= \frac{x}{2} - \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C$
$\int\sin^3 {ax}\,dx = \frac{\cos 3ax}{12a} - \frac{3 \cos ax}{4a} +C$
$\int x\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4a} \sin 2ax - \frac{1}{8a^2} \cos 2ax +C$
$\int x^2\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x^3}{6} - \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax - \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C$
$\int x\sin ax\,dx = \frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C$
$\int(\sin b_1x)(\sin b_2x)\,dx = \frac{\sin((b_2-b_1)x)}{2(b_2-b_1)}-\frac{\sin((b_1+b_2)x)}{2(b_1+b_2)}+C \qquad\mbox{(for }|b_1|\neq|b_2|\mbox{)}$
$\int\sin^n {ax}\,dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$
$\int\frac{dx}{\sin ax} = -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C$
$\int\frac{dx}{\sin^n ax} = \frac{\cos ax}{a(1-n) \sin^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}$
$\begin{align}$

\int x^n\sin ax\,dx &= -\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\,dx \\&= \sum_{k=0}^{2k\leq n} (-1)^{k+1} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^k \frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \sin ax \\&= - \sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right) \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\end{align}

$\int\frac{\sin ax}{x}\,dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} +C$
$\int\frac{\sin ax}{x^n}\,dx = -\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}\int\frac{\cos ax}{x^{n-1}}\,dx$
$\int\frac{dx}{1\pm\sin ax} = \frac{1}{a}\tan\left(\frac{ax}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)+C$
$\int\frac{x\,dx}{1+\sin ax} = \frac{x}{a}\tan\left(\frac{ax}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\left(\frac{ax}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$
$\int\frac{x\,dx}{1-\sin ax} = \frac{x}{a}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{ax}{2}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right)\right|+C$
$\int\frac{\sin ax\,dx}{1\pm\sin ax} = \pm x+\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}\right)+C$

2. 3. x와 사인 함수의 곱의 적분

\int x\sin ax\,dx

는

\frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C

이다.

\int x^n\sin ax\,dx

는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}\int x^n\sin ax\,dx &= -\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\,dx \\&= \sum_{k=0}^{2k\leq n} (-1)^{k+1} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^k \frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \sin ax \\&= - \sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right)  \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\end{align}

\int x\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4a} \sin 2ax - \frac{1}{8a^2} \cos 2ax +C

이다.

\int x^2\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x^3}{6} - \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax - \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C

이다.

2. 4. 여러 사인 함수의 곱의 적분

\int(\sin b_1x)(\sin b_2x)\,dx = \frac{\sin((b_2-b_1)x)}{2(b_2-b_1)}-\frac{\sin((b_1+b_2)x)}{2(b_1+b_2)}+C \qquad\mbox{(for }|b_1|\neq|b_2|\mbox{)}

이는 두 사인 함수의 곱을 적분하는 공식으로, 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 유도할 수 있다.

2. 5. 분수 형태의 사인 함수의 적분

분수 형태의 사인 함수 적분은 다음과 같다.

$\int\frac{dx}{\sin ax} = -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C$
$\int\frac{dx}{\sin^n ax} = \frac{\cos ax}{a(1-n) \sin^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}$
$\int\frac{\sin ax}{x}\,dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} +C$
$\int\frac{\sin ax}{x^n}\,dx = -\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}\int\frac{\cos ax}{x^{n-1}}\,dx$
$\int\frac{dx}{1\pm\sin ax} = \frac{1}{a}\tan\left(\frac{ax}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)+C$
$\int\frac{x\,dx}{1+\sin ax} = \frac{x}{a}\tan\left(\frac{ax}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\left(\frac{ax}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$
$\int\frac{x\,dx}{1-\sin ax} = \frac{x}{a}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{ax}{2}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right)\right|+C$
$\int\frac{\sin ax\,dx}{1\pm\sin ax} = \pm x+\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}\right)+C$

위의 적분 공식들은 분모 또는 분자에 사인 함수를 포함하는 분수 형태의 함수에 대한 적분 결과를 나타낸다. 예를 들어,

\int\frac{dx}{\sin ax}

는 사인 함수의 역수의 적분을 나타내며, 그 결과는

-\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C

이다. 다른 공식들도 마찬가지로 분수 형태의 사인 함수와 관련된 다양한 적분 결과를 보여준다.

3. 코사인 함수의 적분

일반적인 코사인 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

$\int\cos ax\,dx = \frac{1}{a}\sin ax+C$
$\int\cos^2 {ax}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} \sin 2ax +C = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C$
$\int\cos^n ax\,dx = \frac{\cos^{n-1} ax\sin ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$
$\int x\cos ax\,dx = \frac{\cos ax}{a^2} + \frac{x\sin ax}{a}+C$
$\int x^2\cos^2 {ax}\,dx = \frac{x^3}{6} + \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax + \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C$
$\begin{align}$

\int x^n\cos ax\,dx &= \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\,dx \\&= \sum_{k=0}^{2k+1\leq n} (-1)^{k} \frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \sin ax \\&=\sum_{k=0}^n (-1)^{\lfloor k/2 \rfloor} \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax -\frac{(-1)^k+1}{2}\frac{\pi}{2}\right) \\&=\sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\sin\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right) \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\end{align}

$\int\frac{\cos ax}{x}\,dx = \ln|ax|+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(ax)^{2k}}{2k\cdot(2k)!}+C$
$\int\frac{\cos ax}{x^n}\,dx = -\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int\frac{\sin ax}{x^{n-1}}\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$
$\int\frac{dx}{\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$
$\int\frac{dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1) \cos^{n-1} ax} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}$
$\int\frac{dx}{1+\cos ax} = \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C$
$\int\frac{dx}{1-\cos ax} = -\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C$
$\int\frac{x\,dx}{1+\cos ax} = \frac{x}{a}\tan\frac{ax}{2} + \frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\frac{ax}{2}\right|+C$
$\int\frac{x\,dx}{1-\cos ax} = -\frac{x}{a}\cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\frac{ax}{2}\right|+C$
$\int\frac{\cos ax\,dx}{1+\cos ax} = x - \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C$
$\int\frac{\cos ax\,dx}{1-\cos ax} = -x-\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C$
$\int(\cos a_1x)(\cos a_2x)\,dx = \frac{\sin((a_2-a_1)x)}{2(a_2-a_1)}+\frac{\sin((a_2+a_1)x)}{2(a_2+a_1)}+C \qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}$

3. 1. 일반적인 코사인 함수의 적분

일반적인 코사인 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

$\int\cos ax\,dx = \frac{1}{a}\sin ax+C$
$\int\cos^2 {ax}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} \sin 2ax +C = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C$
$\int\cos^n ax\,dx = \frac{\cos^{n-1} ax\sin ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$
$\int x\cos ax\,dx = \frac{\cos ax}{a^2} + \frac{x\sin ax}{a}+C$
$\int x^2\cos^2 {ax}\,dx = \frac{x^3}{6} + \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax + \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C$
$\begin{align}$

\int x^n\cos ax\,dx &= \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\,dx \\&= \sum_{k=0}^{2k+1\leq n} (-1)^{k} \frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \sin ax \\&=\sum_{k=0}^n (-1)^{\lfloor k/2 \rfloor} \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax -\frac{(-1)^k+1}{2}\frac{\pi}{2}\right) \\&=\sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\sin\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right) \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\end{align}

$\int\frac{\cos ax}{x}\,dx = \ln|ax|+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(ax)^{2k}}{2k\cdot(2k)!}+C$
$\int\frac{\cos ax}{x^n}\,dx = -\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int\frac{\sin ax}{x^{n-1}}\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$
$\int\frac{dx}{\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$
$\int\frac{dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1) \cos^{n-1} ax} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}$
$\int\frac{dx}{1+\cos ax} = \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C$
$\int\frac{dx}{1-\cos ax} = -\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C$
$\int\frac{x\,dx}{1+\cos ax} = \frac{x}{a}\tan\frac{ax}{2} + \frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\frac{ax}{2}\right|+C$
$\int\frac{x\,dx}{1-\cos ax} = -\frac{x}{a}\cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\frac{ax}{2}\right|+C$
$\int\frac{\cos ax\,dx}{1+\cos ax} = x - \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C$
$\int\frac{\cos ax\,dx}{1-\cos ax} = -x-\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C$
$\int(\cos a_1x)(\cos a_2x)\,dx = \frac{\sin((a_2-a_1)x)}{2(a_2-a_1)}+\frac{\sin((a_2+a_1)x)}{2(a_2+a_1)}+C \qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}$

3. 2. 거듭제곱 코사인 함수의 적분

코사인 함수의 거듭제곱 형태의 적분 공식은 다음과 같다.

$\int\cos ax\,dx = \frac{1}{a}\sin ax+C$

$\int\cos^2 {ax}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} \sin 2ax +C = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C$

$\int\cos^n ax\,dx = \frac{\cos^{n-1} ax\sin ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}$

$\int x\cos ax\,dx = \frac{\cos ax}{a^2} + \frac{x\sin ax}{a}+C$

$\int x^2\cos^2 {ax}\,dx = \frac{x^3}{6} + \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax + \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C$

$\begin{align}$

\int x^n\cos ax\,dx &= \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\,dx \\&= \sum_{k=0}^{2k+1\leq n} (-1)^{k} \frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \sin ax \\&=\sum_{k=0}^n (-1)^{\lfloor k/2 \rfloor} \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax -\frac{(-1)^k+1}{2}\frac{\pi}{2}\right) \\&=\sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\sin\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right) \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\end{align}

$\int\frac{\cos ax}{x}\,dx = \ln|ax|+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(ax)^{2k}}{2k\cdot(2k)!}+C$

$\int\frac{\cos ax}{x^n}\,dx = -\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int\frac{\sin ax}{x^{n-1}}\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$

$\int\frac{dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1) \cos^{n-1} ax} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{1+\cos ax} = \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C$

$\int\frac{dx}{1-\cos ax} = -\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C$

$\int\frac{x\,dx}{1+\cos ax} = \frac{x}{a}\tan\frac{ax}{2} + \frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\frac{ax}{2}\right|+C$

$\int\frac{x\,dx}{1-\cos ax} = -\frac{x}{a}\cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\frac{ax}{2}\right|+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{1+\cos ax} = x - \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{1-\cos ax} = -x-\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C$

$\int(\cos a_1x)(\cos a_2x)\,dx = \frac{\sin((a_2-a_1)x)}{2(a_2-a_1)}+\frac{\sin((a_2+a_1)x)}{2(a_2+a_1)}+C \qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}$

3. 3. x와 코사인 함수의 곱의 적분

\int x\cos ax\,dx = \frac{\cos ax}{a^2} + \frac{x\sin ax}{a}+C

\int x^2\cos^2 {ax}\,dx = \frac{x^3}{6} + \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax + \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C

\begin{align}\int x^n\cos ax\,dx &= \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\,dx \\&= \sum_{k=0}^{2k+1\leq n} (-1)^{k} \frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \sin ax \\&=\sum_{k=0}^n (-1)^{\lfloor k/2 \rfloor} \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax -\frac{(-1)^k+1}{2}\frac{\pi}{2}\right) \\&=\sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\sin\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right)  \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\end{align}

\int\frac{x\,dx}{1+\cos ax} = \frac{x}{a}\tan\frac{ax}{2} + \frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\frac{ax}{2}\right|+C

\int\frac{x\,dx}{1-\cos ax} = -\frac{x}{a}\cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\frac{ax}{2}\right|+C

3. 4. 여러 코사인 함수의 곱의 적분

|a_1|\neq|a_2|

일 때, 여러 코사인 함수의 곱의 적분은 다음과 같이 구할 수 있다.

:

\int(\cos a_1x)(\cos a_2x)\,dx = \frac{\sin((a_2-a_1)x)}{2(a_2-a_1)}+\frac{\sin((a_2+a_1)x)}{2(a_2+a_1)}+C

3. 5. 분수 형태의 코사인 함수의 적분

분수 형태의 코사인 함수 적분은 다음과 같다.

$\int\frac{\cos ax}{x}\,dx = \ln|ax|+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(ax)^{2k}}{2k\cdot(2k)!}+C$

$\int\frac{\cos ax}{x^n}\,dx = -\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int\frac{\sin ax}{x^{n-1}}\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$

$\int\frac{dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1) \cos^{n-1} ax} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{1+\cos ax} = \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C$

$\int\frac{dx}{1-\cos ax} = -\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C$

$\int\frac{x\,dx}{1+\cos ax} = \frac{x}{a}\tan\frac{ax}{2} + \frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\frac{ax}{2}\right|+C$

$\int\frac{x\,dx}{1-\cos ax} = -\frac{x}{a}\cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\frac{ax}{2}\right|+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{1+\cos ax} = x - \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{1-\cos ax} = -x-\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C$

4. 탄젠트 함수의 적분

일반적인 탄젠트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

: $\int\tan ax\,dx = -\frac{1}{a}\ln|\cos ax|+C = \frac{1}{a}\ln|\sec ax|+C$

: $\int \tan^2{x} \, dx = \tan{x} - x +C$

: $\int\tan^n ax\,dx = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} ax-\int\tan^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

: $\int\frac{dx}{q \tan ax + p} = \frac{1}{p^2 + q^2}(px + \frac{q}{a}\ln|q\sin ax + p\cos ax|)+C \qquad\mbox{(for }p^2 + q^2\neq 0\mbox{)}$

: $\int\frac{dx}{\tan ax \pm 1} = \pm \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax \pm \cos ax|+C$

: $\int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax \pm 1} = \frac{x}{2} \mp \frac{1}{2a}\ln|\sin ax \pm \cos ax|+C$

4. 1. 일반적인 탄젠트 함수의 적분

일반적인 탄젠트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

:

\int\tan ax\,dx = -\frac{1}{a}\ln|\cos ax|+C = \frac{1}{a}\ln|\sec ax|+C

:

\int \tan^2{x} \, dx = \tan{x} - x +C

:

\int\tan^n ax\,dx = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} ax-\int\tan^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

:

\int\frac{dx}{q \tan ax + p} = \frac{1}{p^2 + q^2}(px + \frac{q}{a}\ln|q\sin ax + p\cos ax|)+C \qquad\mbox{(for }p^2 + q^2\neq 0\mbox{)}

:

\int\frac{dx}{\tan ax \pm 1} = \pm \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax \pm \cos ax|+C

:

\int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax \pm 1} = \frac{x}{2} \mp \frac{1}{2a}\ln|\sin ax \pm \cos ax|+C

4. 2. 거듭제곱 탄젠트 함수의 적분

탄젠트 함수의 거듭제곱 형태의 적분 공식은 다음과 같다.

:

\int\tan ax\,dx = -\frac{1}{a}\ln|\cos ax|+C = \frac{1}{a}\ln|\sec ax|+C

:

\int \tan^2{x} \, dx = \tan{x} - x +C

:

\int\tan^n ax\,dx = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} ax-\int\tan^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

:

\int\frac{dx}{q \tan ax + p} = \frac{1}{p^2 + q^2}(px + \frac{q}{a}\ln|q\sin ax + p\cos ax|)+C \qquad\mbox{(for }p^2 + q^2\neq 0\mbox{)}

:

\int\frac{dx}{\tan ax \pm 1} = \pm \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax \pm \cos ax|+C

:

\int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax \pm 1} = \frac{x}{2} \mp \frac{1}{2a}\ln|\sin ax \pm \cos ax|+C

4. 3. 분수 형태의 탄젠트 함수의 적분

분수 형태의 탄젠트 함수 적분은 다음과 같다.

:

\int\tan ax\,dx = -\frac{1}{a}\ln|\cos ax|+C = \frac{1}{a}\ln|\sec ax|+C

:

\int \tan^2{x} \, dx = \tan{x} - x +C

:

\int\tan^n ax\,dx = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} ax-\int\tan^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

:

\int\frac{dx}{q \tan ax + p} = \frac{1}{p^2 + q^2}(px + \frac{q}{a}\ln|q\sin ax + p\cos ax|)+C \qquad\mbox{(for }p^2 + q^2\neq 0\mbox{)}

:

\int\frac{dx}{\tan ax \pm 1} = \pm \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax \pm \cos ax|+C

:

\int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax \pm 1} = \frac{x}{2} \mp \frac{1}{2a}\ln|\sin ax \pm \cos ax|+C

5. 시컨트 함수의 적분

일반적인 시컨트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.^[2]

: $\int \sec{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C= \frac{1}{a}\ln{\left| \tan{\left(\frac{ax}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right|}+C = \frac{1}{a}\operatorname{artanh}{\left(\sin{ax}\right)}+C$

: $\int \sec^2{x} \, dx = \tan{x}+C$

: $\int \sec^3{x} \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C.$

: $\int \sec^n{ax} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{ax} \tan {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}$

: $\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \tan{\frac{x}{2}}+C$

: $\int \frac{dx}{\sec{x} - 1} = - x - \cot{\frac{x}{2}}+C$

: $\int \frac{\sin{x} }{\cos{x}} = \int \tan{x}$

: $\int (\sec x)(\tan x) \, dx = \sec x + C$

: $\int \sec{ax} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C = \frac{1}{a}\operatorname{gd}^{-1}(ax)+C$ 여기서 $\operatorname{gd}^{-1}x$ 는 구데르만 함수의 역함수이다.

: $\int \sec^n{x} \, \mathrm{d}x = \frac{\sec^{n-2}{x}\tan{x}}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{x}\,\mathrm{d}x$

5. 1. 일반적인 시컨트 함수의 적분

일반적인 시컨트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.^[2]

:

\int \sec{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C= \frac{1}{a}\ln{\left| \tan{\left(\frac{ax}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right|}+C = \frac{1}{a}\operatorname{artanh}{\left(\sin{ax}\right)}+C

:

\int \sec^2{x} \, dx = \tan{x}+C

:

\int \sec^3{x} \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C.

:

\int \sec^n{ax} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{ax} \tan {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}

:

\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \tan{\frac{x}{2}}+C

:

\int \frac{dx}{\sec{x} - 1} = - x - \cot{\frac{x}{2}}+C

:

\int \frac{\sin{x} }{\cos{x}} = \int \tan{x}

:

\int (\sec x)(\tan x) \, dx = \sec x + C

:

\int \sec{ax} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C =  \frac{1}{a}\operatorname{gd}^{-1}(ax)+C

:

\int \sec^n{x} \, \mathrm{d}x = \frac{\sec^{n-2}{x}\tan{x}}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{x}\,\mathrm{d}x

5. 2. 거듭제곱 시컨트 함수의 적분

\int \sec{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C= \frac{1}{a}\ln{\left| \tan{\left(\frac{ax}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right|}+C = \frac{1}{a}\operatorname{artanh}{\left(\sin{ax}\right)}+C

^[2]

\int \sec^2{x} \, dx = \tan{x}+C

^[2]

\int \sec^3{x} \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C.

^[2]

\int \sec^n{ax} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{ax} \tan {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}

^[2]

\int \sec^n{x} \, \mathrm{d}x = \frac{\sec^{n-2}{x}\tan{x}}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{x}\,\mathrm{d}x

^[2]

\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \tan{\frac{x}{2}}+C

^[2]

\int \frac{dx}{\sec{x} - 1} = - x - \cot{\frac{x}{2}}+C

^[2]

\int \frac{\sin{x} }{\cos{x}} = \int \tan{x}

\int (\sec x)(\tan x) \, dx = \sec x + C

5. 3. 분수 형태의 시컨트 함수의 적분

\int \sec{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C= \frac{1}{a}\ln{\left| \tan{\left(\frac{ax}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right|}+C = \frac{1}{a}\operatorname{artanh}{\left(\sin{ax}\right)}+C

\int \sec^2{x} \, dx = \tan{x}+C

\int \sec^3{x} \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C.

\int \sec^n{ax} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{ax} \tan {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}

\int \sec^n{x} \, \mathrm{d}x = \frac{\sec^{n-2}{x}\tan{x}}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{x}\,\mathrm{d}x

^[2]

\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \tan{\frac{x}{2}}+C

\int \frac{dx}{\sec{x} - 1} = - x - \cot{\frac{x}{2}}+C

6. 코시컨트 함수의 적분

일반적인 코시컨트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

: $\int \csc{ax} \, dx= -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C= \frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}-\cot{ax}\right|}+C = \frac{1}{a}\ln{\left| \tan{\left( \frac{ax}{2} \right)}\right|}+C$

: $\int \csc^2{x} \, dx = -\cot{x}+C$

: $\int \csc^3{x} \, dx = -\frac{1}{2}\csc x \cot x - \frac{1}{2}\ln|\csc x + \cot x| + C = -\frac{1}{2}\csc x \cot x + \frac{1}{2}\ln|\csc x - \cot x| + C$

: $\int \csc^n{ax} \, dx = -\frac{\csc^{n-2}{ax} \cot{ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}$

: $\int \frac{dx}{\csc{x} + 1} = x - \frac{2}{\cot{\frac{x}{2}}+1}+C$

: $\int \frac{dx}{\csc{x} - 1} = - x + \frac{2}{\cot{\frac{x}{2}}-1}+C$

: $\int(\csc x)(\cot x)\,dx= -\csc x + C$

6. 1. 일반적인 코시컨트 함수의 적분

일반적인 코시컨트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

:

\int \csc{ax} \, dx= -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C= \frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}-\cot{ax}\right|}+C = \frac{1}{a}\ln{\left| \tan{\left( \frac{ax}{2} \right)}\right|}+C

:

\int \csc^2{x} \, dx = -\cot{x}+C

:

\int \csc^3{x} \, dx = -\frac{1}{2}\csc x \cot x - \frac{1}{2}\ln|\csc x + \cot x| + C = -\frac{1}{2}\csc x \cot x + \frac{1}{2}\ln|\csc x - \cot x| + C

:

\int \csc^n{ax} \, dx = -\frac{\csc^{n-2}{ax} \cot{ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}

:

\int \frac{dx}{\csc{x} + 1} = x - \frac{2}{\cot{\frac{x}{2}}+1}+C

:

\int \frac{dx}{\csc{x} - 1} = - x + \frac{2}{\cot{\frac{x}{2}}-1}+C

:

\int(\csc x)(\cot x)\,dx= -\csc x + C

6. 2. 거듭제곱 코시컨트 함수의 적분

\int \csc{ax} \, dx= -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C= \frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}-\cot{ax}\right|}+C = \frac{1}{a}\ln{\left| \tan{\left( \frac{ax}{2} \right)}\right|}+C

\int \csc^2{x} \, dx = -\cot{x}+C

\int \csc^3{x} \, dx = -\frac{1}{2}\csc x \cot x - \frac{1}{2}\ln|\csc x + \cot x| + C = -\frac{1}{2}\csc x \cot x + \frac{1}{2}\ln|\csc x - \cot x| + C

\int \csc^n{ax} \, dx = -\frac{\csc^{n-2}{ax} \cot{ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}

\int \frac{dx}{\csc{x} + 1} = x - \frac{2}{\cot{\frac{x}{2}}+1}+C

\int \frac{dx}{\csc{x} - 1} = - x + \frac{2}{\cot{\frac{x}{2}}-1}+C

6. 3. 분수 형태의 코시컨트 함수의 적분

\int \csc{ax} \, dx= -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C= \frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}-\cot{ax}\right|}+C = \frac{1}{a}\ln{\left| \tan{\left( \frac{ax}{2} \right)}\right|}+C

\int \csc^2{x} \, dx = -\cot{x}+C

\int \csc^3{x} \, dx = -\frac{1}{2}\csc x \cot x - \frac{1}{2}\ln|\csc x + \cot x| + C = -\frac{1}{2}\csc x \cot x + \frac{1}{2}\ln|\csc x - \cot x| + C

\int \csc^n{ax} \, dx = -\frac{\csc^{n-2}{ax} \cot{ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}

\int \frac{dx}{\csc{x} + 1} = x - \frac{2}{\cot{\frac{x}{2}}+1}+C

\int \frac{dx}{\csc{x} - 1} = - x + \frac{2}{\cot{\frac{x}{2}}-1}+C

7. 코탄젠트 함수의 적분

: $\int\cot ax\,dx = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C$

: $\int \cot^2{x} \, dx = -\cot{x} - x +C$

: $\int\cot^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\cot^{n-1} ax - \int\cot^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(}n\neq 1\mbox{)}\,\!$

: $\int\frac{dx}{1 + \cot ax} = \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax+1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln|\sin ax + \cos ax|+C$

: $\int\frac{dx}{1 - \cot ax} = \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax-1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C$

7. 1. 일반적인 코탄젠트 함수의 적분

일반적인 코탄젠트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

$\int\cot ax\,dx = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C$

$\int \cot^2{x} \, dx = -\cot{x} - x +C$

$\int\cot^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\cot^{n-1} ax - \int\cot^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{1 + \cot ax} = \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax+1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln|\sin ax + \cos ax|+C$

$\int\frac{dx}{1 - \cot ax} = \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax-1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C$

7. 2. 거듭제곱 코탄젠트 함수의 적분

\int\cot ax\,dx = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C

\int \cot^2{x} \, dx = -\cot{x} - x +C

\int\cot^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\cot^{n-1} ax - \int\cot^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

\int\frac{dx}{1 + \cot ax} = \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax+1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln|\sin ax + \cos ax|+C

\int\frac{dx}{1 - \cot ax} = \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax-1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C

7. 3. 분수 형태의 코탄젠트 함수의 적분

\int\cot ax\,dx = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C

\int \cot^2{x} \, dx = -\cot{x} - x +C

\int\cot^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\cot^{n-1} ax - \int\cot^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

\int\frac{dx}{1 + \cot ax} = \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax+1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln|\sin ax + \cos ax|+C

\int\frac{dx}{1 - \cot ax} = \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax-1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C

8. 사인과 코사인을 포함하는 함수의 적분

사인과 코사인을 모두 포함하는 피적분 함수에 대한 적분 공식은 다음과 같다. Bioche의 규칙을 사용하여 사인과 코사인의 유리 함수인 적분을 평가할 수 있다.

$\int\frac{dx}{\cos ax\pm\sin ax} = \frac{1}{a\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|+C$
$\int\frac{dx}{(\cos ax\pm\sin ax)^2} = \frac{1}{2a}\tan\left(ax\mp\frac{\pi}{4}\right)+C$
$\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{2(n-1)}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} + (n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)$
$\int\frac{\cos ax\,dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C$
$\int\frac{\cos ax\,dx}{\cos ax - \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C$
$\int\frac{\sin ax\,dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C$
$\int\frac{\sin ax\,dx}{\cos ax - \sin ax} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C$
$\int\frac{\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\tan^2\frac{ax}{2}+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C$
$\int\frac{\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\cot^2\frac{ax}{2}-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C$
$\int\frac{\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)} = \frac{1}{4a}\cot^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$
$\int\frac{\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)} = \frac{1}{4a}\tan^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$
$\int(\sin ax)(\cos ax)\,dx = \frac{1}{2a}\sin^2 ax +C$
$\int(\sin a_1x)(\cos a_2x)\,dx = -\frac{\cos((a_1-a_2)x)}{2(a_1-a_2)} -\frac{\cos((a_1+a_2)x)}{2(a_1+a_2)} +C\qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}$
$\int(\sin^n ax)(\cos ax)\,dx = \frac{1}{a(n+1)}\sin^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}$
$\int(\sin ax)(\cos^n ax)\,dx = -\frac{1}{a(n+1)}\cos^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}$
$\begin{cases}$

\int(\sin^n ax)(\cos^m ax)\,dx = -\frac{(\sin^{n-1} ax)(\cos^{m+1} ax)}{a(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int(\sin^{n-2} ax)(\cos^m ax)\,dx \qquad\mbox{(for }m,n>0\mbox{)} \\\int(\sin^n ax)(\cos^m ax)\,dx = \frac{(\sin^{n+1} ax)(\cos^{m-1} ax)}{a(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int(\sin^n ax)(\cos^{m-2} ax)\,dx \qquad\mbox{(for }m,n>0\mbox{)}\end{cases}

$\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos ax)} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan ax\right|+C$
$\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos^n ax)} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos^{n-2} ax)} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$
$\int\frac{dx}{(\sin^n ax)(\cos ax)} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{(\sin^{n-2} ax)(\cos ax)} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$
$\int\frac{\sin ax\,dx}{\cos^n ax} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$
$\int\frac{\sin^2 ax\,dx}{\cos ax} = -\frac{1}{a}\sin ax+\frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right)\right|+C$
$\int\frac{\sin^2 ax\,dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1)\cos^{n-1}ax}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$
$\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos ax} = -\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-1)} + \int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$
$\begin{cases}$

\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos^m ax} = \frac{\sin^{n+1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos^m ax} = \frac{\sin^{n-1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos^m ax} = -\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-m)\cos^{m-1} ax}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos^m ax} &\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}\end{cases}

$\int\frac{\cos ax\,dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$
$\int\frac{\cos^2 ax\,dx}{\sin ax} = \frac{1}{a}\left(\cos ax+\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|\right) +C$
$\int\frac{\cos^2 ax\,dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos ax}{a\sin^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} ax}\right) \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$
$\begin{cases}$

\int\frac{\cos^n ax\,dx}{\sin^m ax} = -\frac{\cos^{n+1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\cos^n ax\,dx}{\sin^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\\int\frac{\cos^n ax\,dx}{\sin^m ax} = -\frac{\cos^{n-1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cos^{n-2} ax\,dx}{\sin^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\\int\frac{\cos^n ax\,dx}{\sin^m ax} = \frac{\cos^{n-1} ax}{a(n-m)\sin^{m-1} ax} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\cos^{n-2} ax\,dx}{\sin^m ax} &\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}\end{cases}

8. 1. 일반적인 형태의 적분

사인과 코사인의 합, 차, 곱 등으로 이루어진 함수들의 적분 공식을 나열한다. Bioche의 규칙을 사용하여 사인과 코사인의 유리 함수인 적분을 평가할 수 있다.

$\int\frac{dx}{\cos ax\pm\sin ax} = \frac{1}{a\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|+C$

$\int\frac{dx}{(\cos ax\pm\sin ax)^2} = \frac{1}{2a}\tan\left(ax\mp\frac{\pi}{4}\right)+C$

$\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{n-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} - 2(n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{\cos ax - \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C$

$\int\frac{\sin ax\,dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C$

$\int\frac{\sin ax\,dx}{\cos ax - \sin ax} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\tan^2\frac{ax}{2}+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\cot^2\frac{ax}{2}-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C$

$\int\frac{\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)} = \frac{1}{4a}\cot^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$

$\int\frac{\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)} = \frac{1}{4a}\tan^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$

$\int(\sin ax)(\cos ax)\,dx = \frac{1}{2a}\sin^2 ax +C$

$\int(\sin a_1x)(\cos a_2x)\,dx = -\frac{\cos((a_1-a_2)x)}{2(a_1-a_2)} -\frac{\cos((a_1+a_2)x)}{2(a_1+a_2)} +C\qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}$

$\int(\sin^n ax)(\cos ax)\,dx = \frac{1}{a(n+1)}\sin^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}$

$\int(\sin ax)(\cos^n ax)\,dx = -\frac{1}{a(n+1)}\cos^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}$

$\begin{align}$

\int(\sin^n ax)(\cos^m ax)\,dx &= -\frac{(\sin^{n-1} ax)(\cos^{m+1} ax)}{a(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int(\sin^{n-2} ax)(\cos^m ax)\,dx \qquad\mbox{(for }m,n>0\mbox{)} \\&= \frac{(\sin^{n+1} ax)(\cos^{m-1} ax)}{a(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int(\sin^n ax)(\cos^{m-2} ax)\,dx \qquad\mbox{(for }m,n>0\mbox{)}\end{align}

$\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos ax)} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan ax\right|+C$

$\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos^n ax)} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos^{n-2} ax)} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{(\sin^n ax)(\cos ax)} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{(\sin^{n-2} ax)(\cos ax)} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\sin ax\,dx}{\cos^n ax} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\sin^2 ax\,dx}{\cos ax} = -\frac{1}{a}\sin ax+\frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right)\right|+C$

$\int\frac{\sin^2 ax\,dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1)\cos^{n-1}ax}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\begin{align}$

\int \frac{\sin^2 x}{1 + \cos^2 x} \, dx &= \sqrt{2}\operatorname{arctangant}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) - x \qquad\mbox{(for x in}] - \frac{\pi}{2} ; + \frac{\pi}{2} [\mbox{)} \\&= \sqrt{2}\operatorname{arctangant}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)-\operatorname{arctangant}\left(\tan x\right) \qquad\mbox{(this time x being any real number }\mbox{)}\end{align}

$\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos ax} = -\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-1)} + \int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos^m ax} = \begin{cases}$

\frac{\sin^{n+1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\\frac{\sin^{n-1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\

\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-m)\cos^{m-1} ax}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos^m ax} &\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}

\end{cases}

$\int\frac{\cos ax\,dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\cos^2 ax\,dx}{\sin ax} = \frac{1}{a}\left(\cos ax+\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|\right) +C$

$\int\frac{\cos^2 ax\,dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos ax}{a\sin^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} ax}\right) \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\cos^n ax\,dx}{\sin^m ax} = \begin{cases}$
\frac{\cos^{n+1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\cos^n ax\,dx}{\sin^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\
\frac{\cos^{n-1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cos^{n-2} ax\,dx}{\sin^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\

\frac{\cos^{n-1} ax}{a(n-m)\sin^{m-1} ax} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\cos^{n-2} ax\,dx}{\sin^m ax} &\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}\end{cases}

8. 2. 분수 형태의 적분

사인과 코사인을 포함하는 분수 형태의 함수에 대한 적분 공식은 다음과 같다. Bioche의 규칙을 사용하여 적분을 계산할 수 있다.

$\int\frac{dx}{\cos ax\pm\sin ax} = \frac{1}{a\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|+C$

$\int\frac{dx}{(\cos ax\pm\sin ax)^2} = \frac{1}{2a}\tan\left(ax\mp\frac{\pi}{4}\right)+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{\cos ax - \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C$

$\int\frac{\sin ax\,dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C$

$\int\frac{\sin ax\,dx}{\cos ax - \sin ax} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\tan^2\frac{ax}{2}+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\cot^2\frac{ax}{2}-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C$

$\int\frac{\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)} = \frac{1}{4a}\cot^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$

$\int\frac{\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)} = \frac{1}{4a}\tan^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$

$\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos ax)} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan ax\right|+C$

$\int\frac{\sin^2 ax\,dx}{\cos ax} = -\frac{1}{a}\sin ax+\frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right)\right|+C$

$\int\frac{\cos^2 ax\,dx}{\sin ax} = \frac{1}{a}\left(\cos ax+\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|\right) +C$

분모 또는 분자에 사인과 코사인 함수의 거듭제곱을 포함하고 있는 경우의 적분 공식은 다음과 같다.

$\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{n-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} - 2(n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)$

$\int(\sin a_1x)(\cos a_2x)\,dx = -\frac{\cos((a_1-a_2)x)}{2(a_1-a_2)} -\frac{\cos((a_1+a_2)x)}{2(a_1+a_2)} +C\qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos^n ax)} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos^{n-2} ax)} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{dx}{(\sin^n ax)(\cos ax)} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{(\sin^{n-2} ax)(\cos ax)} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\sin ax\,dx}{\cos^n ax} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\sin^2 ax\,dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1)\cos^{n-1}ax}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos ax} = -\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-1)} + \int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\cos ax\,dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\cos^2 ax\,dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos ax}{a\sin^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} ax}\right) \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos^m ax} = \begin{cases}$

\frac{\sin^{n+1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\\frac{\sin^{n-1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\

\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-m)\cos^{m-1} ax}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos^m ax} &\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}

\end{cases}

$\int\frac{\cos^n ax\,dx}{\sin^m ax} = \begin{cases}$
\frac{\cos^{n+1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\cos^n ax\,dx}{\sin^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\
\frac{\cos^{n-1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cos^{n-2} ax\,dx}{\sin^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\

\frac{\cos^{n-1} ax}{a(n-m)\sin^{m-1} ax} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\cos^{n-2} ax\,dx}{\sin^m ax} &\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}\end{cases}

9. 사인/코사인과 탄젠트/코탄젠트를 포함하는 함수의 적분

$\int (\sin ax)(\tan ax)\,dx = \frac{1}{a}(\ln|\sec ax + \tan ax| - \sin ax)+C$

$\int\frac{\tan^n ax\,dx}{\sin^2 ax} = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} (ax) +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int\frac{\tan^n ax\,dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(n+1)}\tan^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}$

$\int\frac{\cot^n ax\,dx}{\sin^2 ax} = -\frac{1}{a(n+1)}\cot^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}$

$\int\frac{\cot^n ax\,dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(1-n)}\tan^{1-n} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}$

$\int(\sec x)(\tan x)\,dx= \sec x + C$

$\int(\csc x)(\cot x)\,dx= -\csc x + C$

$\int_^} \sin^n x \, dx = \int_^} \cos^n x \, dx = \begin{cases}\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & \text{if } n\text{ is even} \\\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}, & \text{if } n\text{ is odd and more than 1} \\1, & \text{if } n=1\end{cases}$

$\int_^\sin^{2m+1}{x}\cos^{2n+1}{x}\,dx = 0 \! \qquad n,m \in \mathbb{Z}$

10. 대칭성을 이용한 정적분

적분 구간의 대칭성을 이용하면 삼각함수의 정적분 계산을 간단하게 할 수 있다.

$\int_^\sin{x}\,dx = 0$
$\int_^\cos {x}\,dx = 2\int_^\cos {x}\,dx = 2\int_^\cos {x}\,dx = 2\sin {c}$
$\int_^\tan {x}\,dx = 0$
$\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos^2 {\frac{n\pi x}{a}}\,dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2} \qquad\mbox{(for }n=1,3,5...\mbox{)}$
$\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\,dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6(-1)^n)}{24n^2\pi^2} = \frac{a^3}{24} (1-6\frac{(-1)^n}{n^2\pi^2}) \qquad\mbox{(for }n=1,2,3,...\mbox{)}$

11. 특정 구간에서의 적분

$\int_^\sin{x}\,dx = 0$

$\int_^\cos {x}\,dx = 2\int_^\cos {x}\,dx = 2\int_^\cos {x}\,dx = 2\sin {c}$

$\int_^\tan {x}\,dx = 0$

$\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos^2 {\frac{n\pi x}{a}}\,dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2} \qquad\mbox{(for }n=1,3,5...\mbox{)}$

$\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\,dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6(-1)^n)}{24n^2\pi^2} = \frac{a^3}{24} (1-6\frac{(-1)^n}{n^2\pi^2}) \qquad\mbox{(for }n=1,2,3,...\mbox{)}$

베타 함수 $B(a,b)$ 를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\int_^} \sin^n x \, dx = \int_^} \cos^n x \, dx = \frac{1}{2} B\left( \frac{n+1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \begin{cases}$

\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & \text{if } n\text{ is even} \\\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}, & \text{if } n\text{ is odd and more than 1} \\1, & \text{if } n=1\end{cases}

$\int_^\sin^{2m+1}{x}\cos^{n}{x}\,dx = 0 \! \qquad n,m \in \mathbb{Z}$
$\int_^\sin^{m}{x}\cos^{2n+1}{x}\,dx = 0 \! \qquad n,m \in \mathbb{Z}$

참조

_[1] 논문 Student Understanding of the Definite Integral When Solving Calculus Volume Problems https://researchrepo[...] 2022-01-01
_[2] 서적 Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition Thomson 2008

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