적분표

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1. 개요
2. 적분의 역사적 발전
3. 일반적인 적분 규칙
4. 적분표
5. 간단한 함수의 적분
참조

1. 개요

적분표는 다양한 함수의 적분 공식을 정리한 표이다. 1810년 마이어 히르쉬가 적분 목록을 출판한 이후, 다비트 비렌스 데 한의 정적분 표가 널리 사용되었다. 20세기 중반 이후에는 그라드슈테인과 르지크의 표가 더 방대한 내용을 담아 대체되었다. 적분표는 유리 함수, 무리 함수, 삼각 함수, 역삼각 함수, 쌍곡선 함수, 지수 함수, 로그 함수 등 다양한 함수의 적분 공식을 제공하며, 닫힌 형식으로 나타낼 수 없는 함수의 정적분 값도 포함한다. 현재는 컴퓨터 대수 시스템과 온라인 서비스 등을 통해 적분 결과를 얻을 수 있다.

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적분표
적분표
기본 적분
거듭제곱 함수	∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (단, n ≠ -1)
n = -1	∫ 1/x dx = ln\|x\| + C
상수 함수	∫ a dx = ax + C
지수 함수
삼각 함수
역삼각 함수
쌍곡선 함수
역쌍곡선 함수
곱의 적분
기타

2. 적분의 역사적 발전

1810년 독일 수학자 마이어 히르쉬(Meyer Hirsch)는 적분 목록과 적분법 기술을 엮어 출판했다.^[1] 이 표들은 1823년 영국에서 재발행되었다. 1858년 네덜란드 수학자 다비트 비렌스 데 한은 ''정적분 표''를 편찬했고, 대략 1864년에 ''정적분 표 보충''으로 보충했다. 1867년에는 ''새로운 정적분 표''라는 제목으로 새 판이 출판되었다.

주로 초등 함수의 적분을 담고 있던 이 표들은 20세기 중반까지 사용되었다. 그 후 이들은 훨씬 더 방대한 그라드슈테인과 르지크의 표로 대체되었다. 그라드슈테인과 르지크에서 비렌스 데 한의 책에서 유래된 적분은 BI로 표시된다.

모든 닫힌 형식 표현이 닫힌 형식의 부정 적분을 갖는 것은 아니다. 이 연구는 미분 갈루아 이론의 주제를 형성하며, 이는 1830년대와 1840년대에 조제프 리우빌에 의해 처음 개발되어 리우빌의 정리로 이어졌으며, 어떤 표현이 닫힌 형식의 부정 적분을 갖는지 분류한다. 닫힌 형식의 부정 적분이 없는 함수의 간단한 예는 ''e''^−''x''²|e의 -x 제곱^영어이며, 이 함수의 부정 적분은 (상수까지) 오차 함수이다.

1968년 이후, 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 초등 함수의 관점에서 표현될 수 있는 부정 적분을 결정하는 리쉬 알고리즘이 있다. 초등 함수를 사용하여 표현할 수 없는 적분은 메이어 G-함수와 같은 일반 함수를 사용하여 기호적으로 조작할 수 있다.

3. 일반적인 적분 규칙

다음은 일반적인 적분 규칙이다.

상수 곱의 적분:

::

\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ 는 상수)}\,\!

합의 적분:

::

\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

부분 적분:

::

\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx

치환 적분 (n ≠ -1):

::

\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(} n\neq -1\mbox{일 때)}\,\!

치환 적분:

::

\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C

치환 적분:

::

\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C

''C''는 임의의 적분 상수이며, 어떤 지점에서 적분의 값에 대해 알려진 경우에만 결정될 수 있다. 따라서 각 함수는 무한히 많은 부정적분을 갖는다.

이 공식들은 도함수 표의 주장을 다른 형태로 나타낸 것일 뿐이다.

4. 적분표

다양한 함수의 적분 공식 목록은 아래 문서들에서 찾을 수 있다.

그라드슈테인, 리지크, 게로니무스, 체이틀린, 제프리, 츠빌링거, 몰의 ''적분, 급수, 그리고 곱의 표''는 방대한 결과를 담고 있다. 이보다 더 큰, 다권으로 된 표는 프루드니코프, 브리치코프, 마리체프의 ''적분과 급수''이다(1~3권은 기본 및 특수 함수의 적분과 급수를, 4~5권은 라플라스 변환 표를 담고 있다). 더 간결한 컬렉션은 브리치코프, 마리체프, 프루드니코프의 ''부정 적분표'', 츠빌링거의 ''CRC 표준 수학 표 및 공식'', 브론슈테인과 세멘데예프의 ''수학 안내서'', ''수학 핸드북'', ''사용자 가이드'' 등에 수록되어 있으며, 그 외 다른 수학 핸드북에도 있다.

기타 유용한 자료로는 아브라모위츠와 스테건, 배이트먼 원고 프로젝트가 있다. 두 저서 모두 특정 적분과 관련된 많은 항등식을 담고 있으며, 별도의 표로 수집되는 대신 가장 관련 있는 주제별로 정리되어 있다. 배이트먼 원고의 두 권은 적분 변환에 특화되어 있다.

울프럼 알파는 결과를 보여줄 수 있으며, 일부 간단한 식의 경우 적분의 중간 단계도 보여준다. 울프럼 리서치는 Mathematica Online Integrator라는 온라인 서비스도 운영하고 있다.

5. 간단한 함수의 적분

''C''는 적분 상수로, 어떤 지점에서 적분 값이 알려진 경우에만 결정할 수 있다. 따라서 각 함수는 무한히 많은 부정적분을 갖는다.^[2]

이 공식들은 도함수 표의 내용을 다른 형태로 나타낸 것이다.

함수를 적분할 때 특이점 때문에 부정적분이 특정 지점에서 정의되지 않는 경우, ''C''는 특이점 양쪽에서 같을 필요가 없다. 아래 형태는 보통 ''C'' 값에 대해 특이점 주변의 코시 주요 값을 가정하지만, 필수는 아니다. 예를 들어,

: $\int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C$

에서 0은 특이점이고, 부정적분은 이 지점에서 무한대가 된다. 위 적분을 −1과 1 사이의 정적분 계산에 사용하면 0이라는 잘못된 결과를 얻는다. 하지만 이는 특이점 주변 적분의 코시 주요 값이다. 적분이 복소 평면에서 수행되면 결과는 원점을 도는 경로에 따라 달라진다. 원점 위 경로를 사용하면 −''i''를, 아래 경로를 사용하면 ''i''를 기여한다. 실수선 위 함수는 원점 양쪽에 서로 다른 ''C'' 값을 가질 수 있다.^[2]

: $\int {1 \over x}\,dx = \ln|x| + \begin{cases} A & \text{if }x>0; \\ B & \text{if }x < 0. \end{cases}$

5. 1. 유리함수

:

\int a\,dx = ax + C

:

\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1

:

\int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)}

:

\int {1 \over x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C

:

\int\frac{c}{ax + b} \, dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| +C

:

\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C

:

\int\frac{1}{x(ax+b)}\,dx = -\frac{1}{b}\ln\left | \frac{ax+b}{x}\right |+C

:

\int\frac{1}{x^2(ax+b)}\,dx=\frac{a}{b^2}\ln\left |\frac{ax+b}{x}\right |-\frac{1}{bx}+C

:

\int\frac{1}{ax^2+b}\,dx=\frac{1}{\sqrt{ab}} \arctan\sqrt{\frac{a}{b}}x+C

5. 2. 무리함수

:

\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin {x} + C

:

\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C

:

\int {1 \over |x|\sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C

:

\int x\sqrt{a+bx}\,dx=\frac{2}{15b^2}(3bx-2a)(a+bx)^{\frac{3}{2}}+C

:

\int\frac{1}{x\sqrt{a+bx}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln\left (\frac{\sqrt{a+bx} -\sqrt{a}}{\sqrt{a+bx}+\sqrt{a}}\right )+C,a>0

:

\int\frac{1}{x\sqrt{a+bx}}\,dx=\frac{2}{\sqrt{-a}}\arctan\sqrt\frac{a+bx}{-a} +C,a<0

:

\int x^2\sqrt{a+bx}\,dx=\frac{2}{105b^3}(15b^2x^2-12abx+8a^2)(a+bx)^{\frac{3}{2}}+C

:

\int x^n\sqrt{a+bx}\,dx=\frac{2}{b(2n+3)}x^n(a+bx)^{\frac{3}{2}} -\frac{2na}{b(2n+3)}\int x^{n-1}\sqrt{a+bx}dx

:

\int\frac{\sqrt{a+bx}}{x}\,dx=2\sqrt{a+bx}+a\int\frac{1}{x\sqrt{a+bx}}dx

:

\int\frac{\sqrt{a+bx}}{x^n}\,dx=\frac{-1}{a(n-1)}\frac{(a+bx)^{\frac{3}{2}}}{x^{n-1}} -\frac{(2n-5)b}{2a(n-1)}\int\frac{\sqrt{a+bx}}{x^{n-1}}dx,n\neq 1

:

\int\frac{1}{x^n\sqrt{a+bx}}\,dx=\frac{-1}{a(n-1)}\frac{\sqrt{a+bx}}{x^{n-1}} -\frac{(2n-3)b}{2a(n-1)}\int\frac{1}{x^{n-1}}\sqrt{a+bx}dx,n\neq 1

:

\int\sqrt{a^2+x^2}\,dx=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2+x^2}+\frac{1}{2}a^2\ln\left (x+\sqrt{a^2+x^2}\right )+C

:

\int x^2\sqrt{a^2+x^2}\,dx=\frac{1}{8}x(a^2+2x^2)\sqrt{a^2+x^2}-\frac{1}{8}a^4\ln\left (x+\sqrt{a^2+x^2}\right )+C

:

\int \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}\,dx = \sqrt{a^2+x^2} - a\ln \left ( \frac{a+\sqrt{a^2+x^2}}{x} \right ) +C

:

\int \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x^2}\,dx = \ln\left ( x+\sqrt{a^2+x^2}\right ) -  \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x} +C

:

\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\,dx=\ln \left ( x+\sqrt{a^2+x^2} \right ) +C

:

\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}\,dx=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2+x^2} -\frac{1}{2}a^2\ln\left (\sqrt{a^2+x^2}+x \right )+C

:

\int\frac{1}{x\sqrt{a^2+x^2}}\,dx=\frac{1}{a}\ln\left (\frac{x}{a+\sqrt{a^2+x^2}}\right )+C

:

\int\frac{1}{x^2\sqrt{a^2+x^2}}\,dx=-\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a^2x}+C

:

\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\,dx=\ln\left ( x+\sqrt{x^2-a^2} \right ) +C

:

\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx= \arcsin \frac{x}{a} +C = - \arccos \frac{x}{a} +C

:

\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2} +\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C

:

\int x^2\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{1}{8}x(2x^2-a^2)\sqrt{a^2-x^2} +\frac{1}{8}a^4\arcsin\frac{x}{a}+C

:

\int\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}\,dx=\sqrt{a^2-x^2} -a\ln\left (\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}\right )+C

:

\int\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}\,dx=-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x} -\arcsin\frac{x}{a}+C

:

\int\frac{1}{x\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=-\frac{1}{a}\ln\left (\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}\right )+C

:

\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=-\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+\frac{1}{2}a^2\arcsin\frac{x}{a}+C

:

\int\frac{1}{x^2\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a^2x}+C

5. 3. 로그함수

\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C

\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C

\int\ln x\,dx = x \ln x - x + C = x (\ln x - 1) + C

\int\log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C = \frac{x}{\ln a} (\ln x - 1) + C

\int\ln x\,dx = x\ln x - x + C

\int\log_\alpha x\,dx=\frac{1}{\ln\alpha}\left({x\ln x - x}\right)+C

\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}[(n+1)\ln x -1]+ C

\int\frac{1}{x\ln{x}}\,dx = \ln{(\ln{x})}+C

5. 4. 지수함수

:

\int e^x\,dx=e^x+C

:

\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C

$\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$
$\int f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C$
$\int{e^{x}\left( f\left( x \right) + f'\left( x \right) \right)\,dx} = e^{x}f\left( x \right) + C$
$\int {e^{x}\left( f\left( x \right) - \left( - 1 \right)^{n}\frac{d^{n}f\left( x \right)}{dx^{n}} \right)\,dx} = e^{x}\sum_{k = 1}^{n}{\left( - 1 \right)^{k - 1}\frac{d^{k - 1}f\left( x \right)}{dx^{k - 1}}} + C$ (만약 $n$ 이 양의 정수일 경우)
$\int {e^{- x}\left( f\left( x \right) - \frac{d^{n}f\left( x \right)}{dx^{n}} \right)\, dx} = - e^{- x}\sum_{k = 1}^{n}\frac{d^{k - 1}f\left( x \right)}{dx^{k - 1}} + C$ (만약 $n$ 이 양의 정수일 경우)

:

\int xe^{ax}\,dx=\frac{1}{a^2}(ax-1)e^{ax}+C

:

\int x^ne^{ax}\,dx=\frac{1}{a}x^ne^{ax}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}\,dx

:

\int e^{ax}\sin bx \,dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C

:

\int e^{ax}\cos bx \,dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C

5. 5. 삼각함수

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$
$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$
$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$
$\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$
$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$
$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$
$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
$\int \sin^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx - \sin mx \cos mx)} + C$
$\int \cos^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx + \sin mx \cos mx)} + C$
$\int \sin^n x \, dx = {-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx} + C$
$\int \cos^n x \, dx = {\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx} + C$
$\int \sec^n x \, dx = {\frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} x \, dx} + C$
$\int \csc^n x \, dx = {\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{-(n-1)} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \, dx} + C$

5. 6. 역삼각함수

\int \arcsin{x} \, dx = x \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + C , \text{ for } \vert x \vert \le 1

\int \arccos{x} \, dx = x \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} + C , \text{ for } \vert x \vert \le 1

\int \arctan{x} \, dx = x \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \text{ for all real } x

\int \arccot{x} \, dx = x \arccot{x} + \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \text{ for all real } x

\int \arcsec{x} \, dx = x \arcsec{x} - \ln \left\vert x \, \left( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, \right) \right\vert + C , \text{ for } \vert x \vert \ge 1

\int \arccsc{x} \, dx = x \arccsc{x} + \ln \left\vert x \, \left( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, \right) \right\vert + C , \text{ for } \vert x \vert \ge 1

:

\int \arcsin x \,dx = x \arcsin x + \sqrt {1 - x^2} +C

:

\int \arccos x \,dx = x \arccos x - \sqrt {1 - x^2} +C

:

\int \arctan x \,dx = x \arctan x - \ln \sqrt {1 + x^2} +C

:

\int \arccot x \,dx = x \arccot x + \ln \sqrt {1 + x^2} +C

:

\int \arcsec x \,dx = x \arcsec x - \ln (x - \sqrt{x^2 - 1}) +C

:

\int \arccsc x \,dx = x \arccsc x + \ln (x + \sqrt{x^2 - 1}) +C

5. 7. 쌍곡선함수

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$
$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$
$\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C$
$\int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$
$\int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$
$\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C$
$\int \operatorname{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C$
$\int \operatorname{csch}^2 x \, dx = -\operatorname{coth}x + C$
$\int \operatorname{sech}{x} \, \operatorname{tanh}{x} \, dx = -\operatorname{sech}{x} + C$
$\int \operatorname{csch}{x} \, \operatorname{coth}{x} \, dx = -\operatorname{csch}{x} + C$

5. 8. 정적분

어떤 함수들은 닫힌 형식으로 부정적분을 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 정적분 값은 계산할 수 있다. 다음은 그 예시들이다.

$\int_0^\infty \sqrt{x}\,e^{-x}\,dx = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (감마 함수 참조)
$\int_0^\infty e^{-a x^2}\,dx = \frac{1}{2} \sqrt \frac {\pi} {a}$ (가우스 적분)
$\int_0^\infty{x^2 e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{4} \sqrt \frac {\pi} {a^3}$
$\int_0^\infty x^{2n} e^{-a x^2}\,dx$

= \frac{2n-1}{2a} \int_0^\infty x^{2(n-1)} e^{-a x^2}\,dx= \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}}= \frac{(2n)!}{n! 2^{2n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}} (n은 양의 정수, !!는 이중 계승)

$\int_0^\infty{x^3 e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{2 a^2}$
$\int_0^\infty x^{2n+1} e^{-a x^2}\,dx$

= \frac {n} {a} \int_0^\infty x^{2n-1} e^{-a x^2}\,dx= \frac{n!}{2 a^{n+1}}

$\int_0^\infty \frac{x}{e^x-1}\,dx = \frac{\pi^2}{6}$ (베르누이 수 참조)
$\int_0^\infty \frac{x^2}{e^x-1}\,dx = 2\zeta(3) \approx 2.40$
$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\,dx = \frac{\pi^4}{15}$
$\int_0^\infty \frac{\sin{x}}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$ (sinc 함수 및 디리클레 적분 참조)
$\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}$
$\int_{0}^\frac{\pi}{2}\sin^n x\,dx=\int_{0}^\frac{\pi}{2}\cos^n x\,dx=\frac{(n-1)!!}{n!!} \times \begin{cases}$

1 & \text{if } n \text{ is odd} \\\frac{\pi}{2} & \text{if } n \text{ is even.}\end{cases} (n은 양의 정수, !!는 이중 계승).

$\int_{-\pi}^\pi \cos(\alpha x)\cos^n(\beta x) dx = \begin{cases}$

\frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & |\alpha|= |\beta (2m-n)| \\0 & \text{otherwise}\end{cases} (α, β, m, n은 정수, β ≠ 0, m, n ≥ 0, 이항 계수 참조)

$\int_{-t}^t \sin^m(\alpha x) \cos^n(\beta x) dx = 0$ (α, β는 실수, n은 음이 아닌 정수, m은 홀수 양의 정수, 피적분 함수가 기함수)
$\int_{-\pi}^\pi \sin(\alpha x) \sin^n(\beta x) dx = \begin{cases}$

(-1)^{\left(\frac{n+1}{2}\right)} (-1)^m \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & n \text{ odd},\ \alpha = \beta (2m-n) \\0 & \text{otherwise}\end{cases} (α, β, m, n은 정수, β ≠ 0, m, n ≥ 0, 이항 계수 참조)

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\alpha x) \sin^n(\beta x) dx = \begin{cases}$

(-1)^{\left(\frac{n}{2}\right)} (-1)^m \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & n \text{ even},\ |\alpha| = |\beta (2m-n)| \\0 & \text{otherwise}\end{cases} (α, β, m, n은 정수, β ≠ 0, m, n ≥ 0, 이항 계수 참조)

$\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]$ (exp[u]는 지수 함수 e^u, a > 0)
$\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)$ ( $\Gamma(z)$ 는 감마 함수)
$\int_0^1 \left(\ln\frac{1}{x}\right)^p\,dx = \Gamma(p+1)$
$\int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ (Re(α) > 0, Re(β) > 0, 베타 함수 참조)
$\int_0^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ (I₀(x)는 수정된 제 1종 베셀 함수)
$\int_0^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$
$\int_{-\infty}^\infty \left(1 + \frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu + 1}{2}}\,dx = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} {\Gamma\left(\frac{\nu + 1}{2}\right)}$ (ν > 0, Student's t-분포의 확률 밀도 함수와 관련)

함수 f가 구간 [a,b]에서 유계 변동을 가지면, 소진법은 적분에 대한 공식을 제공한다.

\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\sum\limits_{m = 1}^{2^n  - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)2^{-n} ).

"소포모어의 꿈":

\begin{align}\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n}     &&(= 1.29128\,59970\,6266\dots)\\[6pt]\int_0^1 x^x   \,dx &= -\sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n} &&(= 0.78343\,05107\,1213\dots)\end{align}

는 요한 베르누이의 것으로 여겨진다.

$\int^\infty_{-\infty}e^{-\alpha x^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$
$\int_0^\frac{\pi}{2} \mbox{sin}^n x\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2} \mbox{cos}^n x\,dx=$

\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}, & \mbox{if }n>1\mbox{ and }n\mbox{ is odd} \\\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & \mbox{if }n>0\mbox{ and }n\mbox{ is even}\end{cases}

참조

_[1] 서적 Integraltafeln: oder, Sammlung von integralformeln https://books.google[...] Duncker & Humblot 1810
_[2] 서적 A First Course in Calculus
_[3] 웹사이트 Reader Survey: log|x| + C http://golem.ph.utex[...] 2012-03-19

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