베타 함수

1. 개요

베타 함수는 다음과 같이 정의되는 특수한 수학 함수이다.

$\backslash operatorname\; B(x,y)\; =\; \backslash int\_0^1t^\{x-1\}(1-t)^\{y-1\}\backslash ,dt$

베타 함수는 감마 함수와의 관계, 다양한 적분 표현, 급수 표현, 무한 곱 표현 등 여러 가지 성질을 가지며, 대칭성을 띤다. 이항 계수를 일반화한 것으로 볼 수 있으며, 불완전 베타 함수, 다변수 베타 함수로 확장된다. 끈 이론, 통계학 등 다양한 분야에 응용되며, 여러 프로그래밍 언어 및 소프트웨어 패키지에서 구현되어 사용된다.

2. 정의

실수부가 0보다 큰 복소수 x, y에 대해 베타 함수 $\backslash operatorname\; B(x,y)$는 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash operatorname\; B(x,y)\; =\; \backslash int\_0^1t^\{x-1\}(1-t)^\{y-1\}\backslash ,dt$
감마 함수와 함께 오일러 적분(Euler integral)이라고도 부른다.

3. 성질

베타 함수는 다음과 같은 중요한 성질들을 가진다.

* 대칭성: 모든 입력 $z\_1$, $z\_2$에 대해 $\backslash Beta(z\_1,\; z\_2)\; =\; \backslash Beta(z\_2,\; z\_1)$이 성립한다.
* 감마 함수와의 관계: $\backslash operatorname\; B(x,y)=\backslash frac\{\backslash Gamma(x)\backslash ,\backslash Gamma(y)\}\{\backslash Gamma(x+y)\}$가 성립한다. 여기서 $\backslash Gamma(x)$는 감마 함수이다.
* 이항 계수와의 관계: m (또는 대칭성에 의해 n)이 양의 정수일 때, $\backslash Beta(m,n)\; =\backslash frac\{(m-1)!\backslash ,(n-1)!\}\{(m+n-1)!\}\; =\; \backslash frac\{m\; +\; n\}\{mn\}\; \backslash Bigg/\; \backslash binom\{m\; +\; n\}\{m\}$가 성립한다.
* 다양한 적분 표현:
:$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; =2\backslash int\_0^\{\backslash pi/2\}\backslash sin^\{2x-1\}\backslash theta\backslash cos^\{2y-1\}\backslash theta\backslash ,\{\backslash rm\; d\}\backslash theta$
:$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; =\backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{t^\{x-1\}\}\{(1+t)^\{x+y\}\}\backslash ,\{\backslash rm\; d\}t$
* 급수 표현:
:$\backslash Beta(x,\; y)\; =\; \backslash frac\{1\}\{y\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; (-1)^n\; \backslash frac\{y(y-1)(y-2)\backslash cdots(y-n)\}\{n!\; (x+n)\}$
* 무한 곱 표현:
:$\backslash Beta(x,\; y)\; =\; \backslash frac\{x+y\}\{xy\}\; \backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(1+\backslash frac\{xy\}\{n(x+y+n)\}\backslash right)^\{-1\}$
* 포흐하머 표시: Pochhammer contour^영어를 취하면, 다음 포흐하머 표시가 성립한다.
:$\backslash left(1-e^\{2\backslash pi\; ix\}\backslash right)\backslash left(1-e^\{2\backslash pi\; iy\}\backslash right)\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)=$
\int_{C}\zeta^{x-1}(1-\zeta)^{y-1} \, {\rm d}\zeta
* 점근적 성질: 스털링 근사에 의해, 복소수 x, y의 실수부가 충분히 큰 양의 값일 때, 다음과 같다.
:$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; \backslash sim\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\}\; \backslash frac\{x^\{x-1/2\}\backslash ,\; y^\{y-1/2\}\}\{(x+y)^\{x+y-1/2\}\}$
x가 충분히 크고 y가 고정되어 있을 때는 다음과 같다.
:$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{\backslash Gamma\}(y)\backslash ,x^\{-y\}$

베타 함수는 다음과 같은 관계식들을 만족한다.

*$x\backslash Beta(x,\backslash ,\; y+1)\; =y\backslash Beta(x+1,\backslash ,\; y)$
*$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; =\backslash Beta(x+1,\backslash ,\; y)\; +\backslash Beta(x,\backslash ,\; y+1)$
*$(x+y)\backslash Beta(x,\backslash ,\; y+1)\; =y\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)$
*$\backslash Beta(x,\backslash ,\; x)\; =2^\{1-2x\}\; \backslash Beta\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ,x\backslash right)$
*$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\backslash ,\backslash Beta(x+y,\backslash ,\; z)\; =\backslash Beta(y,\backslash ,\; z)\backslash ,\backslash Beta(y+z,\backslash ,x)\; =\backslash Beta(z,\backslash ,\; x)\backslash ,\backslash Beta(z+x,\backslash ,y)$

3.1. 대칭성

베타 함수는 대칭 함수이므로, 모든 입력 $z\_1$ 및 $z\_2$에 대해 $\backslash Beta(z\_1,\; z\_2)\; =\; \backslash Beta(z\_2,\; z\_1)$가 성립한다.

3.2. 감마 함수와의 관계

베타 함수는 감마 함수와 밀접한 관계를 가진다.

:$\backslash operatorname\; B(x,y)=\backslash frac\{\backslash Gamma(x)\backslash ,\backslash Gamma(y)\}\{\backslash Gamma(x+y)\}$

여기에서 $\backslash Gamma(x)$는 감마 함수이다.

증명은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\Gamma(z_1)\Gamma(z_2) &= \int_{u=0}^\infty\ e^{-u} u^{z_1-1}\,du \cdot\int_{v=0}^\infty\ e^{-v} v^{z_2-1}\,dv \\[6pt]
&=\int_{v=0}^\infty\int_{u=0}^\infty\ e^{-u-v} u^{z_1-1}v^{z_2-1}\, du \,dv.
\end{align}

변수를 $u=st$ 및 $v=s(1-t)$로 변경한다. $u+v=s$이고 $u/(u+v)=t$이기 때문이다. 그러면 $s$에 대한 적분 한계는 0에서 ∞이고, $t$에 대한 적분 한계는 0에서 1이 된다. 따라서

:$\backslash begin\{align\}$
\Gamma(z_1)\Gamma(z_2) &= \int_{s=0}^\infty\int_{t=0}^1 e^{-s} (st)^{z_1-1}(s(1-t))^{z_2-1}s\,dt \,ds \\[6pt]
&= \int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{z_1+z_2-1} \,ds\cdot\int_{t=0}^1 t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}\,dt\\
&=\Gamma(z_1+z_2) \cdot \Beta(z_1,z_2).
\end{align}

양변을 $\backslash Gamma(z\_1+z\_2)$로 나누면 원하는 결과를 얻는다.

이 등식은 컨볼루션의 적분에 대한 등식의 특별한 경우로 볼 수 있다. 다음을 취하면

:

다음이 성립한다.

:$\backslash Gamma(z\_1)\; \backslash Gamma(z\_2)\; =\; \backslash int\_\{\backslash R\}f(u)\backslash ,du\backslash cdot\; \backslash int\_\{\backslash R\}\; g(u)\; \backslash ,du\; =\; \backslash int\_\{\backslash R\}(f*g)(u)\backslash ,du\; =\backslash Beta(z\_1,z\_2)\backslash ,\backslash Gamma(z\_1+z\_2).$

이 관계의 유도에 대해서는 The Gamma Function, 18–19 페이지를 참조하라.

$m$ (또는 대칭성에 의해 $n$)이 양의 정수일 때, 감마 함수 $\backslash Gamma$의 정의에 따라

:$\backslash Beta(m,n)\; =\backslash frac\{(m-1)!\backslash ,(n-1)!\}\{(m+n-1)!\}\; =\; \backslash frac\{m\; +\; n\}\{mn\}\; \backslash Bigg/\; \backslash binom\{m\; +\; n\}\{m\}$

이 관계를 유도하기 위해, 두 팩토리얼의 곱을 적분으로 나타낸다. 이들은 두 개의 독립적인 변수에 대한 적분이므로, 반복 적분으로 결합할 수 있다.

3.3. 이항 계수와의 관계

베타 함수는 이항 계수와 밀접한 관련이 있다. m (또는 대칭성에 의해 n)이 양의 정수일 때, 감마 함수의 정의에 따라,

:$\backslash Beta(m,n)\; =\backslash frac\{(m-1)!\backslash ,(n-1)!\}\{(m+n-1)!\}\; =\; \backslash frac\{m\; +\; n\}\{mn\}\; \backslash Bigg/\; \backslash binom\{m\; +\; n\}\{m\}$

3.4. 다양한 적분 표현

다음은 베타 함수의 다양한 적분 표현이다.

:$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; =2\backslash int\_0^\{\backslash pi/2\}\backslash sin^\{2x-1\}\backslash theta\backslash cos^\{2y-1\}\backslash theta\backslash ,\{\backslash rm\; d\}\backslash theta.$

:$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; =\backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{t^\{x-1\}\}\{(1+t)^\{x+y\}\}\backslash ,\{\backslash rm\; d\}t.$

:$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; =\backslash frac\{1\}\{2^\{x+y-1\}\}\; \backslash int\_\{-1\}^\{1\}\; (1+t)^\{x-1\}(1-t)^\{y-1\}\; \backslash ,\{\backslash rm\; d\}t.$

3.5. 급수 표현

베타 함수는 다음과 같은 무한 급수로 표현될 수 있다.

:$\backslash Beta(x,\; y)\; =\; \backslash frac\{1\}\{y\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; (-1)^n\; \backslash frac\{y(y-1)(y-2)\backslash cdots(y-n)\}\{n!\; (x+n)\}$

3.6. 무한 곱 표현

Beta function^영어는 다음과 같은 무한 곱으로 표현될 수 있다.

:$\backslash Beta(x,\; y)\; =\; \backslash frac\{x+y\}\{xy\}\; \backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(1+\backslash frac\{xy\}\{n(x+y+n)\}\backslash right)^\{-1\}.$

3.7. 함수 등식

베타 함수는 대칭 함수이므로, 모든 입력 $z\_1$ 및 $z\_2$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash Beta(z\_1,z\_2)\; =\; \backslash Beta(z\_2,z\_1)$

베타 함수의 주요 속성은 감마 함수와의 관계이다.

:$\backslash Beta(z\_1,z\_2)=\backslash frac\{\backslash Gamma(z\_1)\backslash ,\backslash Gamma(z\_2)\}\{\backslash Gamma(z\_1+z\_2)\}$

베타 함수는 이항 계수와도 관련이 있다. (또는 대칭성에 의해 )이 양의 정수일 때,

:$\backslash Beta(m,n)\; =\backslash frac\{(m-1)!\backslash ,(n-1)!\}\{(m+n-1)!\}\; =\; \backslash frac\{m\; +\; n\}\{mn\}\; \backslash Bigg/\; \backslash binom\{m\; +\; n\}\{m\}$

베타 함수를 정의하는 적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$$
\begin{align}
\Beta(z_1,z_2) &= 2\int_0^{\pi / 2}(\sin\theta)^{2z_1-1}(\cos\theta)^{2z_2-1}\,d\theta, \\[6pt]
&= \int_0^\infty\frac{t^{z_1-1}}{(1+t)^{z_1+z_2}}\,dt, \\[6pt]
&= n\int_0^1t^{nz_1-1}(1-t^n)^{z_2-1}\,dt, \\
&= (1-a)^{z_2} \int_0^1 \frac{(1-t)^{z_1-1}t^{z_2-1}}{(1-at)^{z_1+z_2}}dt \qquad \text{for any } a\in\mathbb{R}_{\leq 1},
\end{align}

두 번째에서 세 번째 항으로 넘어가는 식에서 은 임의의 양의 실수이다. 첫 번째 적분에서 두 번째 적분으로 넘어가려면 $t\; =\; \backslash tan^2(\backslash theta)$로 치환한다.

베타 함수는 무한 합으로 쓸 수 있다.

: $\backslash Beta(x,y)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(1-x)\_n\}\{(y+n)\backslash ,n!\}$

(여기서 $(x)\_n$은 상승 팩토리얼이다.)

그리고 무한 곱으로 쓸 수 있다.

: $\backslash Beta(x,y)\; =\; \backslash frac\{x+y\}\{x\; y\}\; \backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(\; 1+\; \backslash dfrac\{x\; y\}\{n\; (x+y+n)\}\backslash right)^\{-1\}.$

베타 함수는 파스칼의 항등식과 유사한 다음 항등식을 만족한다.

:$\backslash Beta(x,y)\; =\; \backslash Beta(x,\; y+1)\; +\; \backslash Beta(x+1,\; y)$

그리고 한 좌표에 대한 간단한 재귀 관계는 다음과 같다.

:$\backslash Beta(x+1,y)\; =\; \backslash Beta(x,\; y)\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{x\}\{x+y\},\; \backslash quad\; \backslash Beta(x,y+1)\; =\; \backslash Beta(x,\; y)\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{y\}\{x+y\}.$

$x,\; y\; \backslash geq\; 1$의 경우, 베타 함수는 컨볼루션으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash Beta(x,y)\; \backslash cdot\backslash left(t\; \backslash mapsto\; t\_+^\{x+y-1\}\backslash right)\; =\; \backslash Big(t\; \backslash mapsto\; t\_+^\{x-1\}\backslash Big)\; *\; \backslash Big(t\; \backslash mapsto\; t\_+^\{y-1\}\backslash Big)$

특정 지점에서의 계산은 단순화될 수 있다. 예를 들어,

:$\backslash Beta(1,x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}$

:$\backslash Beta(x,1-x)\; =\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{\backslash sin(\backslash pi\; x)\},\; \backslash qquad\; x\; \backslash not\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$

이 마지막 공식에서 $x\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$를 취하면 $\backslash Gamma(1/2)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}$가 된다.

이것을 베타 함수의 곱에 대한 이변량 항등식으로 일반화하면 다음과 같다.

:$\backslash Beta(x,y)\; \backslash cdot\; \backslash Beta(x+y,1-y)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{x\; \backslash sin(\backslash pi\; y)\}\; .$

베타 함수에 대한 오일러 적분은 포흐아머 윤곽선에 대한 적분으로 변환될 수 있다.

:$\backslash left(1-e^\{2\backslash pi\; i\backslash alpha\}\backslash right)\backslash left(1-e^\{2\backslash pi\; i\backslash beta\}\backslash right)\backslash Beta(\backslash alpha,\backslash beta)\; =\backslash int\_C\; t^\{\backslash alpha-1\}(1-t)^\{\backslash beta-1\}\; \backslash ,\; dt.$

이 포흐아머 윤곽선 적분은 모든 및 값에 대해 수렴하므로 베타 함수의 해석적 연속을 제공한다.

정수에 대한 감마 함수가 팩토리얼을 설명하는 것처럼, 베타 함수는 인덱스를 조정한 후 이항 계수를 정의할 수 있다.

:$\backslash binom\{n\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{(n+1)\backslash ,\backslash Beta(n-k+1,\; k+1)\}.$

또한, 정수 의 경우, 는 의 연속적인 값에 대한 닫힌 형태의 보간 함수를 제공하기 위해 인수분해될 수 있다.

:$\backslash binom\{n\}\{k\}\; =\; (-1)^n\backslash ,\; n!\; \backslash cdot\backslash frac\{\backslash sin\; (\backslash pi\; k)\}\{\backslash pi\; \backslash displaystyle\backslash prod\_\{i=0\}^n\; (k-i)\}.$

베타 함수는 다음 관계식을 만족한다.

*$x\backslash Beta(x,\backslash ,\; y+1)\; =y\backslash Beta(x+1,\backslash ,\; y).$

*$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; =\backslash Beta(x+1,\backslash ,\; y)\; +\backslash Beta(x,\backslash ,\; y+1).$

*$(x+y)\backslash Beta(x,\backslash ,\; y+1)\; =y\backslash Beta(x,\backslash ,\; y).$

*$\backslash Beta(x,\backslash ,\; x)\; =2^\{1-2x\}\; \backslash Beta\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ,x\backslash right).$

*$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\backslash ,\backslash Beta(x+y,\backslash ,\; z)\; =\backslash Beta(y,\backslash ,\; z)\backslash ,\backslash Beta(y+z,\backslash ,x)\; =\backslash Beta(z,\backslash ,\; x)\backslash ,\backslash Beta(z+x,\backslash ,y).$

3.8. 포흐하머 표시

Pochhammer contour^영어를 취하면, 다음의 포흐하머 표시가 성립한다.

:$\backslash left(1-e^\{2\backslash pi\; ix\}\backslash right)\backslash left(1-e^\{2\backslash pi\; iy\}\backslash right)\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)=$
\int_{C}\zeta^{x-1}(1-\zeta)^{y-1} \, {\rm d}\zeta.

3.9. 평가

스털링 근사에 의해, 복소수 x, y의 실수부가 충분히 큰 양의 값일 때, 다음과 같다.

:$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; \backslash sim\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\}\; \backslash frac\{x^\{x-1/2\}\backslash ,\; y^\{y-1/2\}\}\{(x+y)^\{x+y-1/2\}\}.$

x가 충분히 크고 y가 고정되어 있을 때는 다음과 같다.

:$\backslash Beta(x,\backslash ,\; y)\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{\backslash Gamma\}(y)\backslash ,x^\{-y\}.$

4. 미분

다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\_1\}\; \backslash mathrm\{B\}(z\_1,\; z\_2)\; =\; \backslash mathrm\{B\}(z\_1,\; z\_2)\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash Gamma\text{'}(z\_1)\}\{\backslash Gamma(z\_1)\}\; -\; \backslash frac\{\backslash Gamma\text{'}(z\_1\; +\; z\_2)\}\{\backslash Gamma(z\_1\; +\; z\_2)\}\; \backslash right)\; =\; \backslash mathrm\{B\}(z\_1,\; z\_2)\; \backslash big(\backslash psi(z\_1)\; -\; \backslash psi(z\_1\; +\; z\_2)\backslash big),$

:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\_m\}\; \backslash mathrm\{B\}(z\_1,\; z\_2,\; \backslash dots,\; z\_n)\; =\; \backslash mathrm\{B\}(z\_1,\; z\_2,\; \backslash dots,\; z\_n)\; \backslash left(\backslash psi(z\_m)\; -\; \backslash psi\backslash left(\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; z\_k\; \backslash right)\backslash right),\; \backslash quad\; 1\backslash le\; m\backslash le\; n,$

여기서 $\backslash psi(z)$는 디감마 함수를 나타낸다.

5. 특수값

베타 함수는 특정 값에서 감마 함수나 삼각 함수를 통해 그 값을 나타낼 수 있다.

*$\backslash Beta(1,\backslash ,\; x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}.$
*$\backslash Beta(x,\backslash ,\; 1-x)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash sin(\backslash pi\; x)\}\; \backslash qquad\; (x\backslash notin\; \backslash mathbb\{Z\}).$
*$\backslash Beta\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ,\; x\backslash right)\; =\; \backslash frac\{2^\{2x-1\}\backslash \{\backslash Gamma(x)\backslash \}^2\}\{\backslash Gamma(2x)\}.$

특히, $\backslash Beta\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ,\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash pi.$이다.

0 이상의 정수 $l$, $m$에 대해서는 다음과 같은 공식들이 성립한다.

*$\backslash Beta(l+1,\backslash ,\; m+1)\; =\backslash frac\{l!\backslash ,m!\}\{(l+m+1)!\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{(l+m+1)\backslash dbinom\{l+m\}\{m\}\}.$
*$\backslash Beta\backslash left(l+\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ,\; m+1\backslash right)\; =\backslash frac\{2^\{2m+1\}\backslash ,\; (2l)!\backslash ,m!\backslash ,(l+m)!\}\{l!\backslash ,(2l+2m+1)!\}\; =\backslash frac\{2\backslash ,\; (2l-1)!!\backslash ,(2m)!!\}\{(2l+2m+1)!!\}.$
*$\backslash Beta\backslash left(l+\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ,\; m+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\; =\backslash frac\{\backslash pi\backslash ,\; (2l)!\backslash ,(2m)!\}\{2^\{2l+2m\}\backslash ,\; l!\backslash ,m!\backslash ,(l+m)!\}\; =\backslash frac\{\backslash pi\backslash ,\; (2l-1)!!\backslash ,(2m-1)!!\}\{(2l+2m)!!\}.$

6. 불완전 베타 함수

불완전 베타 함수는 베타 함수의 일반화로, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Beta(x;\backslash ,a,b)\; =\; \backslash int\_0^x\; t^\{a-1\}\backslash ,(1-t)^\{b-1\}\backslash ,dt.$

x = 1일 때, 불완전 베타 함수는 완전 베타 함수와 일치한다. 두 함수 간의 관계는 감마 함수와 그 일반화인 불완전 감마 함수 사이의 관계와 같다. 양의 정수 a와 b에 대해, 불완전 베타 함수는 유리 계수를 갖는 a + b - 1차 다항식이 된다.

$t\; =\; \backslash sin^2\backslash theta$ 및 $t\; =\; \backslash frac1\{1+s\}$를 대입하여 다음을 증명할 수 있다.

:$\backslash Beta(x;\backslash ,a,b)\; =\; 2\; \backslash int\_0^\{\backslash arcsin\; \backslash sqrt\; x\}\; \backslash sin^\{2a-1\backslash !\}\backslash theta\backslash cos^\{2b-1\backslash !\}\backslash theta\backslash ,\backslash mathrm\; d\backslash theta\; =\; \backslash int\_\{\backslash frac\{1-x\}x\}^\backslash infty\; \backslash frac\{s^\{b-1\}\}\{(1+s)^\{a+b\}\}\backslash ,\backslash mathrm\; ds$

정규화된 불완전 베타 함수 (또는 줄여서 정규화된 베타 함수)는 불완전 베타 함수와 완전 베타 함수를 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:$I\_x(a,b)\; =\; \backslash frac\{\backslash Beta(x;\backslash ,a,b)\}\{\backslash Beta(a,b)\}.$

정규화된 불완전 베타 함수는 베타 분포의 누적 분포 함수이며, 단일 성공 확률 p와 베르누이 시행 횟수 n을 갖는 이항 분포를 따르는 확률 변수 X의 누적 분포 함수 $F(k;\backslash ,n,p)$와 관련이 있다.

:$F(k;\backslash ,n,p)\; =\; \backslash Pr\backslash left(X\; \backslash le\; k\backslash right)\; =\; I\_\{1-p\}(n-k,\; k+1)\; =\; 1\; -\; I\_p(k+1,n-k).$

7. 다변수 베타 함수

베타 함수는 둘 이상의 인수를 갖는 함수로 확장될 수 있다.

:$\backslash Beta(\backslash alpha\_1,\backslash alpha\_2,\backslash ldots\backslash alpha\_n)\; =\; \backslash frac\{\backslash Gamma(\backslash alpha\_1)\backslash ,\backslash Gamma(\backslash alpha\_2)\; \backslash cdots\; \backslash Gamma(\backslash alpha\_n)\}\{\backslash Gamma(\backslash alpha\_1\; +\; \backslash alpha\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash alpha\_n)\}\; .$

이 다변량 베타 함수는 디리클레 분포의 정의에 사용된다. 이것은 다항 계수와 이항 계수 사이의 관계와 유사하다. 예를 들어, 파스칼의 항등식과 유사한 다음 관계가 성립한다.

:$\backslash Beta(\backslash alpha\_1,\backslash alpha\_2,\backslash ldots\backslash alpha\_n)\; =\; \backslash Beta(\backslash alpha\_1+1,\backslash alpha\_2,\backslash ldots\backslash alpha\_n)+\backslash Beta(\backslash alpha\_1,\backslash alpha\_2+1,\backslash ldots\backslash alpha\_n)+\backslash cdots+\backslash Beta(\backslash alpha\_1,\backslash alpha\_2,\backslash ldots\backslash alpha\_n+1)\; .$

8. 응용

베타 함수는 레지 궤도의 산란 진폭을 계산하고 나타내는 데 유용하다. 또한, 최초로 알려진 산란 진폭으로, 가브리엘 베네치아노에 의해 처음 추측된 끈 이론에서 발견되었다. 일종의 확률적 항아리 과정인 선호적 부착 과정의 이론에도 나타난다. 베타 함수는 베타 분포 및 베타 소수 분포와 같이 통계학에서도 중요하다.

9. 소프트웨어 구현

베타 함수는 여러 프로그래밍 언어 및 소프트웨어 패키지에서 구현되어 제공된다.

스프레드시트나 컴퓨터 대수 시스템에 포함된 함수를 사용하여 완전 및 불완전 베타 함수 값을 계산할 수 있다.

예를 들어, Microsoft Excel에서 완전 베타 함수는 `GammaLn` 함수를 사용하여 계산할 수 있다.
:값 = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))
Python의 SciPy 패키지에서는 `special.gammaln`를 사용한다.

불완전 베타 함수는 연분수 확장을 사용하여 계산한다. ([https://www.gnu.org/software/gsl/doc/html/specfunc.html#incomplete-beta-function GNU Octave])

다음은 불완전 베타 함수가 구현된 주요 프로그래밍 언어 및 소프트웨어 패키지 목록이다.