가우스 적분

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1. 개요
2. 과정
3. 감마 함수와의 관계
4. 일반화
참조

1. 개요

가우스 적분은 수학에서 중요한 적분으로, 다양한 방법으로 계산할 수 있다. 극좌표 변환을 이용하거나, 데카르트 좌표계에서 푸비니-토넬리 정리를 활용하여 계산할 수 있으며, 왈리스 공식을 이용하여 근사적으로 접근할 수도 있다. 가우스 적분은 감마 함수와 밀접한 관련이 있으며, 임의의 가우스 함수의 적분, 다변수 가우스 적분, 그리고 피적분 함수에 다항식이 곱해진 형태 등으로 일반화될 수 있다. 이러한 일반화된 형태는 정규 분포와 관련된 확률 분포의 기댓값을 계산하는 데 유용하게 사용되며, 양자장론과 같은 분야에서도 활용된다.

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가우스 적분
개요
가우스 함수 exp(-x^2)의 그래프와 x축 사이의 면적은 √π이다.
정의	∫-∞^∞ exp(-x^2) dx = √π
다른 이름	오일러-푸아송 적분
일반화
일반적인 형태	∫-∞^∞ exp(-ax^2) dx = √(π/a) (a > 0)
n차 모멘트	∫-∞^∞ x^(2n) exp(-ax^2) dx = (2n-1)!! / (2^(n) a^n) √(π/a)
일반적인 형태 (이동)	∫-∞^∞ exp(-a(x+b)^2) dx = √(π/a) (a > 0)
일반적인 형태 (구간)	∫a^b exp(-x^2) dx = 1/2 √π (erf(b) - erf(a))

2. 과정

가우스 적분은 여러 가지 방법으로 계산할 수 있다.

극좌표 변환을 이용하는 방법이 대표적이다. 직교 좌표계에서 가우스 적분을 이중 적분으로 표현하고, 이를 극좌표로 변환하면 계산이 쉬워진다. 이때, 야코비 행렬식(야코비안)의 계수 $r$ 이 등장하며, 치환 적분을 통해 최종적으로 $\sqrt{\pi}$ 값을 얻는다.^[3]

푸비니-토넬리 정리를 이용하여 데카르트 좌표에서 계산할 수도 있다.^[10] 함수 $xe^{-x^2(1+y^2)}$ 를 적분 순서를 바꿔가며 적분하면 가우스 적분값을 얻을 수 있다. 라플라스가 사용한 방법^[3]^[7]은 $y=xs$ 로 치환하는 과정을 거치며, 짝함수의 성질을 이용하여 계산을 간소화한다.

왈리스 공식을 이용하여 가우스 적분을 유도할 수도 있다.^[1] 왈리스 공식에서 얻은 극한값은 가우스 적분의 하한과 상한 극한값이 된다.^[1] 반대로, 가우스 적분을 계산하여 왈리스 공식을 증명할 수도 있다.^[1]

2. 1. 극좌표 변환을 이용하는 경우

극좌표 변환을 이용하면 가우스 적분을 쉽게 계산할 수 있다. 직교 좌표계에서 가우스 적분을 이중 적분으로 표현하면 다음과 같다.

:

\int_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dx dy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)} dx dy

:

= \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right ) \cdot \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2} dy \right )

:

= \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right )^2

이 식을 극좌표로 변환하면 다음과 같다.

:

\int_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dx dy = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infin} re^{-r^2} dr d\theta

:

= 2\pi \int_0^\infty re^{-r^2} dr

:

= 2\pi \int_{-\infty}^0 \frac{1}{2} e^s ds

:

= \pi \int_{-\infty}^0 e^s ds = \pi (e^0 - e^{-\infty}) = \pi (1 - 0) = \pi

여기서

r

은 극좌표 변환 시 나타나는 야코비 행렬식의 계수이다.^[3] Jacobian determinant^영어는 야코비안으로도 불린다. 치환 적분에서

s = -r^2

를 사용하므로

ds = -2r dr

이다.

따라서

:

\left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right )^2 = \pi

이고,

e^{-x^2}

는

x

가 실수일 때 항상 양수이므로

:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt \pi

가 성립한다.

직교 좌표계에서 이중 적분으로 가우스 적분값을 계산하면 그 결과의 제곱이 되고, 껍질 적분(극좌표에서의 이중 적분)을 이용하면 적분값은

\pi

가 된다. 이 두 결과를 비교하면 가우스 적분값을 얻을 수 있다.

푸비니 정리를 이용해 이중 적분을 면적 적분으로 바꾸면, 지수 함수는 항상 양수이므로 정사각형의 내접원 위에서의 적분은

I(a)^2

보다 작고, 외접원 위에서의 적분은

I(a)^2

보다 크다. 극좌표 변환을 통해 이 두 원판 위의 적분을 쉽게 계산할 수 있다.

:

x  = r \cos \theta

:

y  = r \sin\theta

:

d(x,y) = |J(r, \theta)|d(r,\theta) = r\, d(r,\theta).

적분하면,

:

\pi \left(1-e^{-a^2}\right) <  I^2(a) < \pi \left(1 - e^{-2a^2}\right).

샌드위치 정리에 의해,

:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}.

를 얻는다.

2. 2. 데카르트 좌표에서 계산하는 경우

푸비니-토넬리 정리를 이용하여 가우스 적분을 계산할 수 있다.^[10] 함수

xe^{-x^2(1+y^2)}

를

(0, \infty)

×

(0, \infty)

에서 적분 순서를 바꿔가며 적분하면 가우스 적분값을 얻을 수 있다. 먼저 x부터 적분하면 다음과 같다.

:

\int_0^\infty \int_0^\infty xe^{-x^2(1+y^2)} dxdy = \int_0^\infty \frac{1}{2(1+y^2)} dy = \frac{\pi}{4}.

y부터 적분하는 경우, xy = z로 치환하면 다음과 같다.

:

\int_0^\infty \int_0^\infty xe^{-x^2(1+y^2)} dydx = \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty xe^{-(xy)^2} dy = \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty e^{-z^2} dz = (\int_0^\infty e^{-x^2} dx)^2.

푸비니-토넬리 정리에 의해 두 적분값은 같으므로,

\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

를 얻고, 우함수의 적분법에 따라서 구하고자 하는 가우스 적분식을 얻는다.

라플라스(1812)가 사용한 다른 방법은 다음과 같다.^[3]^[7]

:

\begin{align}y & = xs \\dy & = x\,ds.\end{align}

s

의 극한이

y \to \pm\infty

일 때

x

의 부호에 따라 달라지므로,

e^{-x^2}

가 짝함수라는 사실을 이용하여 계산을 간소화한다. 즉, 모든 실수에 대한 적분은 0부터 무한대까지의 적분의 두 배이다.

:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\,dx.

적분 범위에서

x \ge 0

이므로, 변수

y

와

s

는 같은 극한을 갖는다.

:

\begin{align}I^2 &= 4 \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-\left(x^2 + y^2\right)} dy\,dx \\[6pt]&= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-\left(x^2 + y^2\right)} \, dy \right) \, dx \\[6pt]&= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-x^2\left(1+s^2\right)} x\,ds \right) \, dx \\[6pt]\end{align}

푸비니 정리를 사용하여 적분 순서를 바꾸면 다음과 같다.

:

\begin{align}I^2 &= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-x^2\left(1 + s^2\right)} x \, dx \right) \, ds  \\[6pt]&= 4 \int_0^\infty \left[ \frac{e^{-x^2\left(1+s^2\right)} }{-2 \left(1+s^2\right)} \right]_{x=0}^{x=\infty} \, ds \\[6pt]&= 4 \left (\frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{ds}{1+s^2} \right) \\[6pt]&= 2 \arctan(s)\Big |_0^\infty \\[6pt]&= \pi.\end{align}

따라서,

I = \sqrt{\pi}

이다.

2. 3. 왈리스 공식을 이용하는 경우

왈리스 공식을 이용하면

\sqrt \pi = 2 \lim_{n\to \infty} \sqrt{n} \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}

이라는 극한값을 얻을 수 있다.^[1] 이 값은 가우스 적분의 하한과 상한 극한값이 된다.^[1]

반대로, 다른 방법을 통해 가우스 적분을 계산하면 왈리스 공식을 증명할 수도 있다.^[1] 왈리스 적분 공식을 이용하여 가우스 적분을 증명하는 방법은 다음과 같다.^[1]

1.

x\geq 0

에서

1- x^2 \leq e^{-x^2} \leq \frac{1}{1+x^2}

가 성립함을 미적분학을 이용하여 보인다.^[1]

2. 자연수 ''n'' 에 대해

\int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1} \theta \, d\theta <\int_0^{\infty} e^{-nt^2} \, dt<\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2} \theta \, d\theta

가 성립함을 보인다.^[1]

3.

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx=2\sqrt{n} \int_0^{\infty} e^{-nt^2} \, dt

는 ''n'' → ∞ 일 때

\sqrt{\pi}

로 수렴함을 왈리스 공식을 이용하여 보인다.^[1]

3. 감마 함수와의 관계

피적분 함수는 짝함수이므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\int_{-\infty}^\infty \exp (-x^2 )\, dx=2\int_0^\infty \exp (-x^2 )\, dx$

위 식에 변수 변환 x = t^1/2을 하면 오일러 적분을 얻는다.

: $2\int_0^\infty \exp(-x^2 )\, dx = 2\int_0^\infty \frac{1}{2} \exp(-t)\, t^{-1/2} \, dt=\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) =\sqrt{\pi}$

여기서 Γ는 감마 함수이다. 이 식은 반정수 값의 팩토리얼이 √π의 유리수 배가 되는 이유를 보여준다. 더 일반적으로, 다음 식이 성립한다.

: $\int_0^\infty \exp (-ax^b )\, dx=\frac{1}{b} a^{-1/b} \, \Gamma \left( \frac{1}{b} \right)$

4. 일반화

다변수 가우스 적분은 행렬식을 이용하여 계산할 수 있으며, 이는 다변량 정규 분포 연구에 응용된다.^[4]

A가 대칭 양의 정부호(따라서 가역)인 n × n 정밀도 행렬(공분산 행렬의 역행렬)이라고 가정하면, 다음 식이 성립한다.

: $\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^n x = \int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x \right)} \, d^n x = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} =\sqrt{\frac{1}{\det (A / 2\pi)}} =\sqrt{\det (2 \pi A^{-1})}$

제곱 완성을 통해 일반화하면 다음과 같다.

: $\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x + b^\mathsf{T} x + c\right)} \, d^n x = \sqrt{\det (2 \pi A^{-1})} e^{\frac 12 b^\mathsf{T} A^{-1}b + c}$

이 결과는 다변량 정규 분포 연구에 응용된다.^[4]

또한, 다음 식도 성립한다.

: $\int x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}} \, \exp{\left( -\frac{1}{2} \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^nx =\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} \, \frac{1}{2^N N!} \, \sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})_{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}$

여기서 σ는 {1, …, 2N}의 치환이고, 오른쪽 항의 추가 계수는 N개의 A⁻¹의 {1, …, 2N}의 모든 조합적 짝짓기에 대한 합이다.

어떤 해석 함수 f에 대해, 성장에 대한 적절한 경계와 다른 기술적 기준을 만족하는 경우(일부 함수에는 적용되고 다른 함수에는 적용되지 않으며, 다항식은 문제없다.) 다음 식이 성립한다.

: $\int f(\vec x) \exp{\left( - \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp{\left({1\over 2} \sum_{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)} f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0}$

미분 연산자 위의 지수는 멱급수로 이해된다.

A가 대칭 양정부호 행렬이라면 (모두 열 벡터라고 가정) 다음이 성립한다.

: $\int \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}B_i x_i\right) d^n x=\int e^{-\frac{1}{2}\vec{x}^\mathsf{T} \mathbf{A} \vec{x}+\vec{B}^\mathsf{T} \vec{x}} d^n x= \sqrt{ \frac{(2\pi)^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{2}\vec{B}^\mathsf{T}\mathbf{A}^{-1}\vec{B}}.$

A를 양의 정부호 대칭행렬이라고 하면 다음이 성립한다.

: $\int \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n} \alpha_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n} b_i x_i\right)d^nx = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det{A}}}\exp\left(\frac{1}{2}{}^t\boldsymbol{b}A^{-1}\boldsymbol{b}\right)$

(단, $\boldsymbol{b}$ 는 열벡터이고, ${}^t\boldsymbol{b}$ 는 행렬의 전치를 나타낸다.)

피적분 함수에 다항식이 곱해진 형태의 가우스 적분은 적분 기호 아래의 미분법을 이용하여 계산할 수 있다.

부분 적분을 사용하여 점화식을 구하여 위 식을 계산할 수도 있다.

피적분 함수의 지수가 다른 짝수차 다항식으로 바뀐 경우에도, 급수해는 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어 4차 다항식을 지수로 하는 지수 함수의 적분은 다음과 같이 표현된다.^[5]

: $\begin{align}&\int_{-\infty}^{\infty} \exp(\alpha x^4 + \beta x^3 + \gamma x^2 + \delta x + \epsilon)\,dx\\[5pt]&= \frac{1}{2} \exp(\epsilon) \sum_{n,m,p=0 \atop n+p=0 \bmod 2}^{\infty}\frac{\beta^n}{n!}\;\frac{\gamma^m}{m!}\;\frac{\delta^p}{p!}\;\frac{\Gamma \left( \dfrac{3n+2m+p+1}{4} \right)}{\exp \left( \dfrac{3n+2m+p+1}{4} \log(-\alpha) \right)}\end{align}$

위 식에서 $n+p \equiv 0 \pmod 2$ 이어야 하는 이유는, $-\infty$ 에서 $0$ 까지의 적분이 각 항에 $(-1)^{n+p}/2$ 라는 인자를, $0$ 에서 $+\infty$ 까지의 적분이 각 항에 $1/2$ 이라는 인자를 기여하기 때문이다. 이러한 적분들은 양자장론에서 나타난다.^[5]

4. 1. 가우스 함수의 적분

임의의 가우스 함수의 적분은 다음과 같다.

:

\int_{-\infty}^{\infty}  e^{-a(x+b)^2}\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}.

다른 형태는 다음과 같다.

:

\int_{-\infty}^{\infty}e^{- (a x^2 + b x + c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}-c}.

이 식은 로그 정규 분포와 같이 정규 분포와 관련된 일부 연속 확률 분포의 기댓값을 계산하는 데 유용하다.

임의의 가우스 함수의 적분은 다음과 같이 주어지기도 한다.^[8]

:

\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-a{x^2}\right)dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\qquad\operatorname{Re}\{a\}\geq 0,{a}\neq 0

:

\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-a{(x-b)^2}\right)dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\qquad\operatorname{Re}\{a\}> 0,b\in\mathbb{C}

4. 2. 다변수화

다변수 가우스 적분|多變數가우스積分^한국어은 행렬식을 이용하여 계산할 수 있다. 이 결과는 다변량 정규 분포 연구에 응용된다.^[4]

A가 대칭 양의 정부호(따라서 가역)인 n × n 정밀도 행렬(공분산 행렬의 역행렬)이라고 가정하면, 다음과 같은 식이 성립한다.

:

\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^n x = \int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x \right)} \, d^n x = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} =\sqrt{\frac{1}{\det (A / 2\pi)}} =\sqrt{\det (2 \pi A^{-1})}

제곱 완성을 통해 다음과 같이 일반화할 수 있다.

:

\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x + b^\mathsf{T} x + c\right)} \, d^n x = \sqrt{\det (2 \pi A^{-1})} e^{\frac 12 b^\mathsf{T} A^{-1}b + c}

이 결과는 다변량 정규 분포 연구에 응용된다.^[4]

또한, 다음과 같은 식도 성립한다.

:

\int x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}} \, \exp{\left( -\frac{1}{2} \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^nx =\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} \, \frac{1}{2^N N!} \, \sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})_{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}

여기서 σ는 {1, …, 2N}의 치환이고, 오른쪽 항의 추가 계수는 N개의 A⁻¹의 {1, …, 2N}의 모든 조합적 짝짓기에 대한 합이다.

어떤 해석 함수 f에 대해, 성장에 대한 적절한 경계와 다른 기술적 기준을 만족하는 경우(일부 함수에는 적용되고 다른 함수에는 적용되지 않는다. 다항식은 문제없다.) 다음과 같은 식이 성립한다.

:

\int f(\vec x) \exp{\left( - \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp{\left({1\over 2} \sum_{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)} f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0}

미분 연산자 위의 지수는 멱급수로 이해된다.

4. 3. 1차항을 포함하는 다변수 가우스 적분

A가 대칭 양의 정부호 (따라서 가역) 정밀도 행렬이고, 이는 공분산 행렬의 역행렬이라고 가정하면, 제곱 완성을 통해 다음과 같이 일반화할 수 있다.^[4]

:

\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x + b^\mathsf{T} x + c\right)} \, d^n x = \sqrt{\det (2 \pi A^{-1})} e^{\frac 12 b^\mathsf{T} A^{-1}b + c}

이 사실은 다변량 정규 분포 연구에 적용된다.

A가 다시 대칭 양정부호 행렬이라면 (모두 열 벡터라고 가정하면)

:

\int \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}B_i x_i\right) d^n x=\int e^{-\frac{1}{2}\vec{x}^\mathsf{T} \mathbf{A} \vec{x}+\vec{B}^\mathsf{T} \vec{x}} d^n x= \sqrt{ \frac{(2\pi)^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{2}\vec{B}^\mathsf{T}\mathbf{A}^{-1}\vec{B}}.

를 양의 정부호 대칭행렬이라고 하면

:

\int \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n} \alpha_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n} b_i x_i\right)d^nx = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det{A}}}\exp\left(\frac{1}{2}{}^t\boldsymbol{b}A^{-1}\boldsymbol{b}\right)

이 성립한다. 단, 이며 는 행렬의 전치를 나타낸다.

4. 4. 피적분 함수의 다항식 배

피적분 함수에 다항식이 곱해진 형태의 가우스 적분은 적분 기호 아래의 미분법을 이용하여 계산할 수 있다. 아래는 그 예시이다.

:

\int_0^\infty x^{2n}  e^{-\frac{x^2}{a^2}}\,dx = \sqrt{\pi}\frac{a^{2n+1} (2n-1)!!}{2^{n+1}}

:

\int_0^\infty x^{2n+1} e^{-\frac{x^2}{a^2}}\,dx = \frac{n!}{2} a^{2n+2}

:

\int_0^\infty x^{2n}e^{-bx^2}\,dx = \frac{(2n-1)!!}{b^n 2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{b}}

:

\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-bx^2}\,dx = \frac{n!}{2b^{n+1}}

:

\int_0^\infty x^{n}e^{-bx^2}\,dx = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2b^{\frac{n+1}{2}}}

여기서

n

은 양의 정수이다.

이 식들을 유도하는 방법은 적분 기호 아래 미분을 이용하는 것이다.

:

\begin{align}\int_{-\infty}^\infty x^{2n} e^{-\alpha x^2}\,dx&= \left(-1\right)^n\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} e^{-\alpha x^2}\,dx \\&= \left(-1\right)^n\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx\\[6pt]&= \sqrt{\pi} \left(-1\right)^n\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n}\alpha^{-\frac{1}{2}} \\&= \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\frac{(2n-1)!!}{\left(2\alpha\right)^n}\end{align}

부분 적분을 사용하여 점화식을 구하여 위 식을 계산할 수도 있다.

4. 5. 지수함수의 다항식이 고차인 경우

피적분 함수의 지수가 다른 짝수차 다항식으로 바뀐 경우에도, 급수해는 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어 4차 다항식을 지수로 하는 지수 함수의 적분은 다음과 같이 표현된다.^[5]

:

\begin{align}&\int_{-\infty}^{\infty} \exp(\alpha x^4 + \beta x^3 + \gamma x^2 + \delta x + \epsilon)\,dx\\[5pt]&= \frac{1}{2} \exp(\epsilon) \sum_{n,m,p=0 \atop n+p=0 \bmod 2}^{\infty}\frac{\beta^n}{n!}\;\frac{\gamma^m}{m!}\;\frac{\delta^p}{p!}\;\frac{\Gamma \left( \dfrac{3n+2m+p+1}{4} \right)}{\exp \left( \dfrac{3n+2m+p+1}{4} \log(-\alpha) \right)}\end{align}

위 식에서

n+p \equiv 0 \pmod 2

이어야 하는 이유는,

-\infty

에서

0

까지의 적분이 각 항에

(-1)^{n+p}/2

라는 인자를,

0

에서

+\infty

까지의 적분이 각 항에

1/2

이라는 인자를 기여하기 때문이다. 이러한 적분들은 양자장론에서 나타난다.^[5]

참조

_[1] 웹사이트 The Evolution of the Normal Distribution https://www.maa.org/[...] 2006-04-00
_[2] 논문 Integration in Finite Terms with Special Functions: the Error Function
_[3] 웹사이트 The Probability Integral https://www.york.ac.[...]
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_[7] 웹사이트 いわゆるガウス積分 https://paul-painlev[...] 2016-05-04
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_[9] 문서 equationNote|g2.1|式 2.1 설명
_[10] 서적 Lebesgue Integration on Euclidean Space Jones and Bartlett mathematics

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