삼각형함수

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1. 개요

삼각형 함수는 개별식 함수를 사용하여 정의되며, 선형 B-스플라인으로 표현할 수 있는 함수이다. 가장 일반적인 형태는 구간별 함수로 나타낼 수 있으며, 두 개의 동일한 단위 구형 함수의 합성곱으로 정의할 수도 있다. 삼각형 함수의 폭은 스케일링 변환을 통해 조절 가능하며, 푸리에 변환은 정규화된 싱크 함수의 제곱으로 표현된다.

삼각형함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 일반적인 형태
3. 스케일링
4. 푸리에 변환

2. 정의

삼각형 함수는 일반적으로 개별식 함수를 사용하여 정의된다.

가장 일반적인 정의는 개별식 함수를 이용하거나, 구형 함수와 절댓값 함수를 이용해 표현할 수 있다. 또한, 두 개의 동일한 단위 구형 함수의 합성곱으로 정의할 수도 있다.

일부 저자는 삼각 함수의 밑변을 너비 2 대신 너비 1로 정의하기도 한다.

가장 일반적인 형태의 삼각 함수는 모든 B-스플라인을 선형으로 나타낼 수 있다.
:

\Lambda(x) = \operatorname{tri}_j(x),

여기서

x_{j-1} = -1

x_j = 0

, 그리고

x_{j+1} = 1

이다.

선형 B-스플라인은 연속적인 구간 선형 함수

f(x)

와 동일하며, 이 일반적인 삼각 함수는

f(x)

를 다음과 같이 공식적으로 정의하는 데 유용하다.

:

f(x) = \sum_j y_j \cdot \operatorname{tri}_j(x),

여기서 모든 정수

j

에 대해

x_j < x_{j+1}

이다.
구간 선형 함수는 순서쌍

(x_j, y_j)

로 표현되는 모든 점을 통과한다. 즉,
:

f(x_j) = y_j

2.1. 기본 정의

삼각형 함수(tri(x) 또는 Λ(x))의 가장 일반적인 정의는 다음과 같다.

: $\begin{align}\operatorname{tri}(x) = \Lambda(x) \ &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \max(1 - |x|, 0) \\&= \begin{cases}1 - |x| \qquad & |x| < 1 \\0 \qquad & \mathrm{otherwise} \\\end{cases}\end{align}$

이는 조각 함수(piecewise function)로 표현하면 다음과 같다.

: $\begin{align}\operatorname{tri}(x) = \Lambda(x) \ &\overset{\underset{\text{def}}{}}{=} \ \max\big(1 - |x|, 0\big) \\&= \begin{cases}1 - |x|, & |x| < 1; \\0 & \text{그 외}. \\\end{cases}\end{align}$

삼각형 함수는 구형 함수(rect(x))와 절댓값 함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: $\operatorname{tri}(x) = \operatorname{rect}(x/2) \big(1 - |x|\big).$

또한, 삼각형 함수는 두 개의 동일한 단위 구형 함수의 합성곱으로 정의할 수 있다.

: $\begin{align}\operatorname{tri}(x) &= \operatorname{rect}(x) * \operatorname{rect}(x) \\&= \int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}(x - \tau) \cdot \operatorname{rect}(\tau) \,d\tau. \\\end{align}$

2.2. 일반적인 형태

가장 일반적인 형태의 삼각형 함수는 선형 B-스플라인으로 표현할 수 있다.

: $\operatorname{tri}_j(x) = \begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_j-x_{j-1}) & x_{j-1} \le x < x_j \\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_j) & x_j \le x < x_{j+1} \\0 & \mathrm{otherwise}\end{cases}$

일부 저자는 삼각형 함수의 밑변을 너비 2 대신 너비 1로 정의하기도 한다.

3. 스케일링

삼각 함수는 모든 매개변수 $a \ne 0$ 에 대해 다음과 같이 스케일링 변환을 통해 함수의 폭을 조절할 수 있다.

: $\operatorname{tri}\left(\tfrac{t}{a}\right) = \int_{-\infty}^\infty \tfrac{1}$

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좌우로 밀어서 보기

\operatorname{rect}\left(\tfrac{\tau}{a}\right) \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t-\tau}{a}\right) \,d\tau = \begin{cases} 1 - |t/a|, & |t| < |a|; \\ 0 & \text{그 외}. \end{cases}

4. 푸리에 변환

삼각형 함수의 푸리에 변환은 푸리에 변환의 합성곱 성질과 구형파 함수의 푸리에 변환을 사용하여 쉽게 결정할 수 있다.

: $\begin{align}\mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\} &= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\}\\ &= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}\cdot \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}\\ &= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}^2\\ &= \mathrm{sinc}^2(f),\end{align}$

여기서 $\operatorname{sinc}(x) = \sin(\pi x) / (\pi x)$ 는 정규화된 싱크 함수이다.