선형계

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 선형 시스템의 조건
3. 해석 방법
4. 주요 개념
5. 제어계 설계
- 5.1. 피드백 제어
- 5.2. 제어 기법
6. 예제
참조

1. 개요

선형계는 결정론적 시스템의 한 유형으로, 중첩의 원리를 만족하거나 가산성 및 동질성 속성을 모두 만족하는 경우를 말한다. 선형 시스템은 수학적으로 입력의 선형 조합이 개별 입력에 해당하는 영 상태 출력의 선형 조합을 생성하며, 입력과 출력 간의 관계는 적분, 시간 변화 컨볼루션 합, 라플라스 변환 등을 통해 분석된다. 선형계는 상태 방정식으로 표현되며, 제어 가능성, 관측 가능성, 안정성과 같은 주요 개념을 통해 시스템을 분석하고, 상태 피드백, 출력 피드백, 극 배치법, 최적 레귤레이터 등을 활용하여 제어계를 설계한다. 단순 조화 진동자, 커패시터, 인덕터 등이 선형 시스템의 예시이다.

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선형계
개요
분야	시스템 이론, 신호 처리, 제어 이론
관련 분야	수학, 공학
유형	시스템
속성	선형성, 시간 불변성
설명
정의	중첩 원리를 만족하는 시스템
특징	입력과 출력 간의 선형 관계
예시	선형 회로, 선형 제어 시스템
수학적 표현
전달 함수	시스템의 입출력 관계를 나타내는 함수
상태 공간 표현	시스템의 내부 상태 변화를 나타내는 방정식
응용
신호 처리	필터 설계, 신호 분석
제어 이론	자동 제어 시스템 설계, 로봇 제어
통신	통신 시스템 설계, 채널 모델링
관련 개념
비선형 시스템	중첩 원리를 만족하지 않는 시스템
시스템 식별	시스템의 모델을 추정하는 과정
최적 제어	시스템의 성능을 최적화하는 제어 방법

2. 정의

일반적인 결정론적 시스템은 입력 $x(t)$ 를 출력 $y(t)$ 에 매핑하는 연산자 $H$ 로 표현할 수 있는데, 이는 일종의 블랙 박스 설명과 같다.

시스템은 제한 없이 (즉, 모든 입력, 모든 스케일링 상수 및 모든 시간에 대해) 중첩의 원리를 만족하거나, 가산성 및 동질성 속성을 모두 만족하는 경우에만 선형이다.

연속 시간 시스템에서, 두 입력 $x_1(t)$ 와 $x_2(t)$ 에 대한 출력 $y_1(t) = H \left \{ x_1(t) \right \}$ 와 $y_2(t) = H \left \{ x_2(t) \right \}$ 가 주어지면, 선형 시스템은 임의의 스칼라 값 $\alpha$ 와 $\beta$ 에 대해 다음 식을 만족해야 한다.

: $\alpha y_1(t) + \beta y_2(t) = H \left \{ \alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \right \}$

이러한 수학적 속성은 비선형 시스템보다 선형 시스템의 모델링 방정식 해를 더 간단하게 만든다.

2. 1. 선형 시스템의 조건

선형 시스템은 다음 두 가지 속성을 만족해야 한다. 이 두 속성을 합쳐 중첩의 원리 (Superposition Principle)라고 한다.

x_1(t) \,

와

x_2(t) \,

와 같은 입력이 있고, 이에 따른 출력이 다음과 같다고 할 때,

:

y_1(t) = H \left \{ x_1(t) \right \}

:

y_2(t) = H \left \{ x_2(t) \right \}

임의의 스칼라 값

\alpha

와

\beta

에 대하여 다음을 만족해야 한다.^[1]^[2]^[3]^[4]

:

\alpha y_1(t) + \beta y_2(t) = H \left \{ \alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \right \}

3. 해석 방법

선형 시스템의 해석은 다양한 방법으로 이루어진다. 시간 영역 해석과 주파수 영역 해석이 대표적인 방법이다.

시간 영역에서는 시스템의 임펄스 응답을 이용하여 출력을 계산한다. 임펄스 응답은 시스템에 임펄스 함수를 입력했을 때 나타나는 응답을 의미한다. 일반적인 연속 시간 선형 시스템의 출력은 입력과 임펄스 응답의 적분을 통해 계산된다. 시스템이 시간에 따라 변하지 않는 시불변 시스템의 경우, 임펄스 응답은 시간 차이만의 함수가 된다.

주파수 영역에서는 시스템의 전달 함수를 이용하여 해석한다. 전달 함수는 임펄스 응답 함수의 라플라스 변환으로 정의되며, 주파수 응답 함수를 통해 시스템의 주파수 특성을 파악할 수 있다.

이산 시간 시스템의 경우, 출력은 시간 변화 컨볼루션 합을 통해 입력과 관련된다. 시불변 시스템의 경우, 컨볼루션 합은 시간 지연을 고려하여 계산된다.

3. 1. 시간 영역 해석

선형 시스템에서 시변 임펄스 응답 impulse response|임펄스 응답^영어 ''h''(''t''₂, ''t''₁)은 시점에 가해진 단일 임펄스에 대해 시간 ''t'' = ''t''₂에서 나타내는 응답으로 정의된다. 즉, 선형 시스템에 대한 입력 가

x(t) = \delta(t - t_1)

이고, 여기서 는 디랙 델타 함수를 나타내며, 시스템의 해당 응답 가

y(t=t_2) = h(t_2, t_1)

일 때, 함수 는 시스템의 시변 임펄스 응답이다. 시스템은 입력이 가해지기 전에 응답할 수 없으므로 다음의 '''인과율 조건'''을 만족해야 한다.

h(t_2, t_1) = 0, t_2 < t_1

일반적인 연속 시간 선형 시스템의 출력은 입력과 적분을 통해 연관되며, 인과 관계 조건으로 인해 이중 무한 범위에서 작성될 수 있다.

y(t) = \int_{-\infty}^{t}  h(t,t') x(t')dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t,t') x(t') dt'

시스템의 특성이 작동 시간에 의존하지 않는 경우, 이를 '''시불변'''이라고 하며, 는 시간 차이 의 함수일 뿐이며, (즉, )에 대해 0이다. 를 재정의하여 입력-출력 관계를 다음과 같이 동등하게 표현할 수 있다.

y(t) = \int_{-\infty}^{t}  h(t-t') x(t') dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t-t') x(t') dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(\tau) x(t-\tau) d \tau  = \int_{0}^{\infty}  h(\tau) x(t-\tau) d \tau

선형 시불변 시스템은 임펄스 응답 함수의 라플라스 변환인 ''전달 함수''로 가장 일반적으로 특징지어지며, 다음과 같다.

H(s) =\int_0^\infty  h(t) e^{-st}\, dt.

응용 분야에서 이는 일반적으로 의 유리식 대수 함수이다. 가 음수 에 대해 0이므로, 적분은 이중 무한 범위에서 동일하게 작성될 수 있으며, 를 대입하면 ''주파수 응답 함수''에 대한 공식이 따른다.

H(i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t) e^{-i\omega t} dt

3. 2. 주파수 영역 해석

선형 시불변 시스템은 임펄스 응답 함수의 라플라스 변환인 '''전달 함수'''로 특징지을 수 있으며, 다음과 같다.

:

H(s) =\int_0^\infty  h(t) e^{-st}\, dt.

응용 분야에서 전달 함수는 일반적으로

s

의 유리식 대수 함수이다.

h(t)

가 음수

t

에 대해 0이므로, 적분은 이중 무한 범위에서 동일하게 작성될 수 있으며,

s = i\omega

를 대입하면 '''주파수 응답 함수'''를 얻을 수 있다.

:

H(i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t) e^{-i\omega t} dt

3. 3. 이산 시간 시스템

임의의 이산 시간 선형 시스템의 출력은 시간 변화 컨볼루션 합을 통해 입력과 관련된다.

:

y[n] = \sum_{m =-\infty}^{n} { h[n,m] x[m] }  = \sum_{m =-\infty}^{\infty} { h[n,m] x[m] }

또는 시간 불변 시스템의 경우, h|h^영어 를 재정의하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

y[n] = \sum_{k =0}^{\infty} { h[k] x[n-k] } = \sum_{k =-\infty}^{\infty} { h[k] x[n-k] }

여기서

k = n-m

은 시간 ''m''에서의 자극과 시간 ''n''에서의 응답 사이의 지연 시간을 나타낸다.

4. 주요 개념

선형 시스템을 분석하고 이해하기 위한 주요 개념은 다음과 같다.

중첩의 원리: 선형 시스템은 중첩의 원리를 만족한다. 즉, 입력의 선형 조합에 대한 출력은 개별 입력에 대한 출력의 선형 조합과 같다.
동질성: 입력을 특정 값으로 스케일링하면 출력도 같은 값으로 스케일링된다.
가산성: 두 입력을 더하면 출력도 두 입력에 대한 개별 출력의 합과 같다.

이러한 성질들 덕분에 복잡한 입력에 대한 선형 시스템의 동작을 더 간단한 입력에 대한 응답의 합으로 설명할 수 있다. 이는 비선형 시스템에서는 불가능하며, 선형 시스템의 방정식을 훨씬 간단하게 만드는 요인이다.

4. 1. 모델 표현

결정론적 시스템은 입력 를 함수로 출력 에 매핑하는 연산자 로 설명할 수 있으며, 이는 일종의 블랙 박스 설명이다.

시스템은 제한 없이(즉, 모든 입력, 모든 스케일링 상수 및 모든 시간에 대해) 중첩의 원리를 만족하거나, 가산성 및 동질성 속성을 모두 만족하는 경우에만 선형이다.^[1]^[2]^[3]^[4]

중첩의 원리는 시스템에 대한 입력의 선형 조합이 개별 입력에 해당하는 개별 영 상태 출력(즉, 초기 조건을 0으로 설정하는 출력)의 선형 조합을 생성한다는 것을 의미한다.^[5]^[6]

동질성 속성을 만족하는 시스템에서 입력을 스케일링하면 항상 동일한 인수로 영 상태 응답이 스케일링된다.^[6] 가산성 속성을 만족하는 시스템에서 두 입력을 더하면 항상 개별 입력으로 인한 해당 두 영 상태 응답이 더해진다.^[6]

수학적으로, 연속 시간 시스템의 경우, 두 개의 임의의 입력

\begin{align} x_1(t) \\ x_2(t) \end{align}

뿐만 아니라 각 영 상태 출력

\begin{align}y_1(t) &= H \left \{ x_1(t) \right \} \\y_2(t) &= H \left \{ x_2(t) \right \}\end{align}

가 주어지면 선형 시스템은

\alpha y_1(t) + \beta y_2(t) = H \left \{ \alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \right \}

임의의 스칼라 값 및 , 임의의 입력 신호 및 , 그리고 모든 시간 에 대해 만족해야 한다.

결과 시스템의 동작은 복잡한 입력에 따라 더 간단한 입력에 대한 응답의 합으로 설명될 수 있다. 비선형 시스템에서는 이러한 관계가 없다. 이러한 수학적 속성은 모델링 방정식의 해를 많은 비선형 시스템보다 더 간단하게 만든다. 시불변 시스템의 경우 이는 임펄스 응답 또는 주파수 응답 방법(LTI 시스템 이론 참조)의 기초가 되며, 이는 일반적인 입력 함수 를 단위 임펄스 또는 주파수 성분으로 설명한다.

선형 시불변 시스템의 일반적인 미분 방정식은 연속의 경우 라플라스 변환과 이산의 경우(특히 컴퓨터 구현에서) Z 변환을 사용하여 분석하는 데 적합하다.

또 다른 관점은 선형 시스템에 대한 해가 기하학적 의미에서 벡터처럼 작용하는 함수 시스템을 포함한다는 것이다.

선형 모델의 일반적인 용도는 선형화를 통해 비선형 시스템을 설명하는 것이다. 이는 대개 수학적 편의를 위해 수행된다.

선형 시스템에 대한 이전 정의는 SISO(단일 입력 단일 출력) 시스템에 적용할 수 있다. MIMO(다중 입력 다중 출력) 시스템의 경우, 입력 및 출력 신호(, , , ) 대신 입력 및 출력 신호 벡터(, , , )가 고려된다.^[2]^[4]

선형 시스템에 대한 이러한 정의는 미분 방정식의 미분 적분학의 정의 및 선형 변환의 선형 대수학의 정의와 유사하다.

; 상태 방정식(state equation)

: 1계 선형 상수 계수 상미분 방정식

::

\begin{matrix}\dot{x}(t) &=& Ax(t) + Bu(t)\\y(t) &= & C x(t) + D u(t)\end{matrix}

: 형태로 표현되는 것을 대상으로 한다. 단,

x(t) \in R^{n}

은 시스템의 상태,

x_0

는 시스템의 초기 상태,

u(t) \in R^{m}

은 시스템의 입력,

y(t) \in R^{l}

은 시스템의 출력이다. 또한,

A

,

B

,

C

,

D

는 각각

(n,n)

,

(n,m)

,

(l,n)

,

(l,m)

차 행렬이며, 대개는

D=0

인 경우(엄밀히 proper 시스템)를 다룬다. 1입력 1출력 시스템을 SISO(single input and single output) 시스템, 그 외를 MIMO(multiple input and multiple output) 시스템이라고 부른다.

4. 2. 시스템 분석

선형 시스템에서 평형점은 모든 입력을 0으로 했을 때, 상태가 변하지 않는 점을 의미한다. 선형 시스템에서는 원점 또는 원점을 포함하는 선형 공간이 평형점이 된다.

안정성은 상태가 평형점에서 약간 벗어났을 때, 다시 평형점으로 돌아가는 성질을 의미한다. 이는

A

행렬의 고유값의 실수부 부호에 따라 판별된다.

제어 가능성은 임의의 초기 상태, 시간, 최종적인 상태에 대해, 시스템의 해가 최종 상태를 만족하는 입력이 존재하는지 여부를 나타낸다. 만약 이러한 입력이 존재하면 시스템은 제어 가능하다고 하고, 그렇지 않으면 제어 불가능하다고 한다. 제어 가능성은 다음의 제어 가능 행렬

V

의 계수가 행 풀 랭크인지 확인하여 판별할 수 있다.

:

V = \left[B, AB, \ldots, A^{n-1}B \right]

완전 제어 가능한 시스템은, 원래의 시스템이 불안정하더라도 상태 피드백을 통해 반드시 안정화할 수 있다.

관측 가능성은 임의의 시간에 대해, 해당 구간에서의 입력과 출력의 시간 응답으로부터 초기 상태를 결정할 수 있는지 여부를 의미한다. 만약 초기 상태를 결정할 수 있으면 시스템은 관측 가능하다고 하고, 그렇지 않으면 관측 불가능하다고 한다. 관측 가능성은 다음의 관측 가능 행렬

N

의 계수가 열 풀 랭크인지 확인하여 판별할 수 있다.

:

N = \left[\begin{matrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{matrix}\right]

완전 관측 가능한 시스템은, 관측기를 통해 출력으로부터 그 내부 상태를 추정하는 것이 가능하다.

4. 3. 정규형

좌표 변환을 통해 시스템을 특정 형태로 변환하여 선형계의 공통 성질을 분석하는 방법이다. 예를 들어 조르당 표준형, 제어 가능 정규형 등이 있다.

4. 4. 기타

관측기는 제어 입력과 출력으로부터 내부 상태를 추정하는 시스템이다.^[1] 시스템 식별은 시스템의 입력과 출력으로부터 시스템 내부의 파라미터를 구하는 것으로, 모델을 기술하는 파라미터가 알려져 있다는 것을 전제로 하는 현대 제어 이론에서 매우 중요한 프로세스이다.^[1]

5. 제어계 설계

선형 시스템의 제어는 시스템의 안정성을 확보하고 원하는 성능을 얻기 위해 수행된다. 제어 방법에는 상태 피드백과 출력 피드백이 있다. 상태 피드백은 모든 내부 상태를 기반으로, 출력 피드백은 출력을 기반으로 제어 입력을 결정하는 것이다.^[1]

5. 1. 피드백 제어

상태 피드백은 모든 내부 상태를 기반으로 제어 입력을 결정하는 것이며,

u = Fx

로 표현된다.^[1] 출력 피드백은 출력을 기반으로 제어 입력을 결정하는 것이며,

u = Ky

로 표현된다.^[1] 극 배치법은 폐루프 시스템의 극을 결정하고, 이를 실현하는 피드백 게인을 구하는 제어 시스템 설계 방법이다.^[1] 최적 레귤레이터는 최적 제어 이론을 참조하라.^[1]

5. 2. 제어 기법

극 배치법 (pole placement method)은 폐루프 시스템의 극을 결정하고, 이를 실현하는 피드백 게인을 구하는 제어 시스템 설계 방법이다.^[1]
최적 레귤레이터 (optimal regulator)는 최적 제어 이론을 참고한다.^[1]

6. 예제

단순 조화 진동자는 다음과 같은 미분 방정식으로 표현할 수 있다.

: $m \frac{d^2(x)}{dt^2} = -kx.$

만약 $H(x(t)) = m \frac{d^2(x(t))}{dt^2} + kx(t),$ 라면 ''H''는 선형 연산자이다. ''y''(''t'') = 0 으로 두면, 미분 방정식을 ''H''(''x''(''t'')) = ''y''(''t'') 로 다시 쓸 수 있으며, 이는 단순 조화 진동자가 선형 시스템임을 보여준다.

그 외 다른 선형 시스템의 예시는 다음과 같다.^[4]

: $y(t) = k \, x(t)$

: $y(t) = k \, \frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt}$

: $y(t) = k \, \int_{-\infty}^{t}x(\tau) \mathrm d\tau$

일반 선형 미분 방정식으로 설명되는 모든 시스템 또한 선형 시스템이다.

선형 시스템의 출력 대 입력 그래프는 원점을 지나는 직선일 필요는 없다. 예를 들어, 상수 정전 용량 커패시터 또는 상수 인덕턴스 인덕터와 같이 $y(t) = k \, \frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt}$ 로 설명되는 시스템은 중첩 원리를 만족하기 때문에 선형이다. 하지만 입력이 정현파일 때 출력 또한 정현파이므로, 출력-입력 그래프는 원점을 중심으로 하는 타원이며 원점을 지나는 직선이 아니다.

또한, 입력이 정현파인 경우에도 선형 시스템의 출력은 고조파를 포함할 수 있으며, 입력보다 더 작은 기본 주파수를 가질 수 있다. 예를 들어, $y(t) = (1.5 + \cos{(t)}) \, x(t)$ 로 설명되는 시스템은 중첩 원리를 만족하므로 선형이다. 그러나 입력이 $x(t) = \cos{(3t)}$ 형태의 정현파일 때, 곱-합 삼각 함수 항등식을 사용하면 출력이 $y(t) = 1.5 \cos{(3t)} + 0.5 \cos{(2t)} + 0.5 \cos{(4t)}$ 임을 쉽게 알 수 있다. 즉, 출력은 입력과 동일한 주파수(3 rad/s)의 정현파로만 구성되지 않고, 2 rad/s 및 4 rad/s 주파수의 정현파도 포함한다. 더욱이, 출력 정현파 기본 주기의 최소 공배수를 취하면, 출력의 기본 각 주파수가 1 rad/s이며, 이는 입력의 기본 각 주파수와 다르다.

참조

_[1] 서적 Signals, Systems, and Transforms Pearson
_[2] 서적 MIMO Signals and Systems Springer
_[3] 서적 Signals and Systems: A MATLAB Integrated Approach CRC Press
_[4] 서적 Signals and Systems McGraw-Hill
_[5] 서적 A Practical Approach to Signals and Systems Wiley
_[6] 서적 Signals and Systems: Analysis Using Transform Methods and MATLAB® McGraw-Hill
_[7] 서적 Signals and Systems Springer
_[8] 서적 Signals and systems Oxford University Press
_[9] 서적 Continuous Signals and Systems with MATLAB CRC Press
_[10] 서적 Signals and Systems: Principles and Applications Cambridge University Press

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