조르당 표준형

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1. 개요

조르당 표준형은 대수적으로 닫힌 체 위의 정사각 행렬을 특정 형태의 행렬로 변환하는 방법으로, 행렬의 닮음 변환을 통해 얻어진다. 이 변환은 행렬을 조르당 블록으로 구성된 블록 대각 행렬로 나타내며, 각 블록은 고유값과 관련된 정보를 담고 있다. 조르당 표준형은 고유값, 기하적 중복도, 대수적 중복도와 같은 행렬의 중요한 특성을 파악하는 데 사용되며, 행렬의 거듭제곱, 지수 함수 계산, 최소 다항식 결정 등 다양한 응용 분야에서 활용된다. 실수 행렬의 경우, 복소 고유값에 대응하는 블록을 실수 형태로 변환하여 실수 조르당 표준형을 구성할 수 있다. 조르당 표준형은 선형대수학의 중요한 결과들을 증명하고 행렬의 성질을 분석하는 데 기여하며, 콤팩트 작용소와 같은 일반화된 개념에도 적용될 수 있다.

조르당 표준형

개요

유형	선형대수학
발명가	카미유 조르당

정의

설명	선형 변환을 나타내는 행렬의 특별한 형태이며, 행렬의 고윳값과 대수적 중복도를 나타낸다.
참고	모든 행렬이 조르당 표준형으로 변환 가능한 것은 아니다. 조르당-슈발리 분해와 밀접한 관련이 있다.
중요성	조르당 표준형은 행렬의 성질을 분석하고 이해하는 데 유용한 도구이며, 선형 시스템의 해를 구하거나 행렬 함수를 계산하는 데 사용될 수 있다.

관련 개념	고유값 고유벡터 최소 다항식 특성 다항식 행렬 분해 조르당 블록 일반화 고유 공간 조르당-슈발리 분해

선형 시스템	선형 시스템의 해를 구하는 데 사용된다.
행렬 함수	행렬 함수를 계산하는 데 사용된다.
행렬 분석	행렬의 성질을 분석하고 이해하는 데 유용하다.

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ (특히 복소수체 $\mathbb C$ ) 위의 임의의 정사각 행렬 $M$ 은 어떤 가역 행렬 $G$ 를 통해 다음과 같은 꼴의 행렬과 닮음이다.

: $G^{-1}MG=\begin{pmatrix}J_1 \\& \ddots \\&& J_k\end{pmatrix}$

여기서 $J_i$ 는 조르당 블록이라고 불리는 특별한 형태의 정사각 행렬이다. 이러한 표현은 $J_i$ 들의 순서를 무시하면 유일하며, $M$ 의 조르당 표준형이라고 한다.

조르당 블록의 대각 성분 $\lambda_i$ 는 $M$ 의 고윳값이다. 서로 다른 조르당 블록의 대각 성분은 서로 같을 수 있다. 각 고윳값에 대응하는 조르당 블록의 수는 그 고윳값의 기하적 중복도와 같으며, 모든 고윳값의 기하적 중복도의 합은 $k$ 이다. 조르당 표준형의 대각선 위에 주어진 고윳값이 등장하는 횟수는 그 고윳값의 대수적 중복도와 같다.

만약 모든 조르당 블록의 크기가 1×1이면(즉, $k=n$ 이면), 조르당 표준형은 대각 행렬이 된다. 반대로 주대각선 위에 1이 있는 조르당 블록이 존재한다면(즉, $k 이라면), 기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작은 고윳값이 적어도 하나 존재하게 되므로 M 은 대각화 가능 행렬 이 아니다.$

조르당 표준형은 $M$ 으로 유도된 $K[x]$ -가군 $K^n$ ( $x\cdot v=Mv$ )의 으뜸 분해에서, $M$ 에 대응하는 $K$ -선형 변환 $v\mapsto x\cdot v$ 의 적절한 기저에 대한 행렬과 같다.

2.1. 조르당 블록

조르당 블록(Jordan block)은 주대각선에는 동일한 고윳값 λ가 위치하고, 주대각선 바로 위에는 1이 위치하며, 나머지 원소는 모두 0인 정사각 행렬이다.

: $J_i =\begin{pmatrix}\lambda_i & 1 \\& \lambda_i & \ddots \\&& \ddots & 1 \\&&& \lambda_i\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(n_i;K)$

일부 교재에서는 주대각선 바로 아래에 1이 위치하게 표현하기도 하지만, 고윳값은 여전히 주대각선에 위치한다.

조르당 블록의 크기는 해당 고윳값에 대한 고유 벡터들의 주기(period)에 의해 결정된다.

2.2. 실수 조르당 표준형

모든 성분이 실수인 행렬은 복소수 행렬로서 유일한 조르당 표준형을 가지지만, 특성 다항식이 허근을 갖는 경우 실수 행렬이 아니다. 실수체의 기약 다항식은 1차 다항식과 $(x-a)^2+b^2$ ($a,b\in\mathbb R$, $b\ne 0$) 꼴의 2차 다항식으로 구성되므로, 2차 다항식에 해당하는 부분은 다른 기저를 취하여 표준형이 실수 행렬이 되도록 할 수 있다.

임의의 실수 정사각 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)$에 대하여, 가역 행렬 $G\in\operatorname{GL}(n;\mathbb R)$을 통해 다음과 같은 꼴의 행렬과 닮음이며, 이는 주대각선 위 $J_i$의 순서를 무시하면 유일하다. 이를 $M$의 실수 조르당 표준형(real Jordan normal form^영어)이라고 한다.

: $G^{-1}MG=\begin{pmatrix}J_1 \\& \ddots \\&& J_k\end{pmatrix}$

여기서 $J_i$ ($i=1,\dots,k$)는 다음 두 가지 중 하나의 형태이다.

* $J_i =
\begin{pmatrix}
\lambda_i & 1 \\
& \lambda_i & \ddots \\
&& \ddots & 1 \\
&&& \lambda_i
\end{pmatrix}
\in\operatorname{Mat}(n_i;K)$

* $J_i=
\begin{pmatrix}
a_i & -b_i & 1 & 0 \\
b_i & a_i & 0 & 1 \\
&& a_i & -b_i & \ddots \\
&& b_i & a_i & \ddots & 1 & 0 \\
&&&& \ddots & 0 & 1 \\
&&&&& a_i & -b_i \\
&&&&& b_i & a_i
\end{pmatrix}
\in\operatorname{Mat}(2n_i;K)$

$M$으로 유도된 $\mathbb R[x]$-가군 $\mathbb R^n$ ($x\cdot v=Mv$)의 으뜸 분해
: $\mathbb R^n\cong\prod_{i=1}^k\mathbb R[x]/(p_i^{n_i}(x))$
에서, $M$에 대응하는 $\mathbb R$-선형 변환 $v\mapsto x\cdot v$의 행렬이 실수 조르당 표준형이 되는 기저를 얻으려면, 으뜸 분해의 각 성분 $\mathbb R[x]/(p_i^{n_i}(x))$ 속에서 다음과 같은 기저를 취한다.

* $p_i(x)=x-\lambda_i$라면, $\{(x-\lambda_i)^{n_i-1},(x-\lambda_i)^{n_i-2},\dots,1\}$
* $p_i(x)=(x-a_i)^2+b_i^2$라면, $\{v_{i,2n_i}(x),v_{i,2n_i-1}(x),\dots,v_{i,1}(x)\}$
* $v_{i,2n_i-2r+2}(x)=p_i(x)^{n_i-r}\left(\Re((x-a_i)+b_i\sqrt{-1})^r)+\Im((x-a_i)+b_i\sqrt{-1})^r\right)$
* $v_{i,2n_i-2r+1}(x)=p_i(x)^{n_i-r}\left(\Re((x-a_i)+b_i\sqrt{-1})^r)-\Im((x-a_i)+b_i\sqrt{-1})^r\right)$
* $r=1,2,\dots,n_i$

실수 행렬의 경우, 복소수 고윳값 대신 다음과 같은 2x2 블록을 사용하여 실수 조르당 표준형을 구성할 수 있다.

: $C_i =\left[ \begin{array}{rr}a_i & -b_i \\b_i & a_i \\\end{array} \right]$

이 2x2 블록($C_i$)은 복소수 고윳값 $\lambda_i = a_i + ib_i$의 실수부($a_i$)와 허수부($b_i$)를 이용하여 구성되며, 복소 평면에서 $\lambda_i$에 대한 곱셈을 나타낸다. 상위 대각 블록은 2×2 단위 행렬이다.

3. 성질

대수적으로 닫힌 체(특히 복소수체) 위의 정사각 행렬은 조르당 블록들로 구성된 닮음 행렬로 표현될 수 있으며, 이를 조르당 표준형이라고 한다. 조르당 표준형에서 조르당 블록의 순서를 무시하면, 그 순서와 상관없이 유일하게 결정된다.

조르당 블록의 대각 성분은 행렬의 고윳값이다. 서로 다른 조르당 블록의 대각 성분이 같을 수도 있다.

* 고윳값에 대응하는 조르당 블록의 수는 그 고윳값의 기하학적 중복도와 같다.
* 조르당 표준형의 대각선 위에 주어진 고윳값이 등장하는 횟수는 그 고윳값의 대수적 중복도와 같다.
* 모든 조르당 블록의 크기가 1×1이라면, 조르당 표준형은 대각 행렬이 되며, 이는 행렬이 대각화 가능 행렬임을 의미한다.
* 주대각선 위에 1이 있는 조르당 블록이 존재한다면, 기하학적 중복도가 대수적 중복도보다 작은 고윳값이 적어도 하나 존재하며, 해당 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다.

조르당 표준형은 행렬로 유도된 가군의 으뜸 분해와 관련이 있으며, 이를 통해 조르당 표준형의 기저를 얻을 수 있다.

3.1. 특성 다항식과 최소 다항식

행렬 A의 특성 다항식은 조르당 표준형 J의 특성 다항식과 같다. 닮은 행렬은 동일한 특성 다항식을 가지므로, $p_A(\lambda)=p_J(\lambda)=\prod_i (\lambda-\lambda_i)^{m_i}$ 이다. 여기서 $\lambda_i$ 는 J의 i번째 근이며, $m_i$ 는 그 중복도이다.

행렬 A의 최소 다항식은 조르당 표준형 J의 최소 다항식과 같다. 최소 다항식은 모닉 다항식이므로 $\varphi_A(x)=\varphi_J(x)$ 이다. 최소 다항식이 $\varphi_A(x)=\textstyle\prod\limits_{k=1}^m(x-\lambda_k)^{r_k}$ 로 인수분해될 때, J의 고윳값 $\lambda_k$ 에 해당하는 조르당 블록 중 가장 큰 조르당 블록의 크기는 $r_k$ 이다.

예시는 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

예시	특성 다항식	최소 다항식	조르당 표준형 (J)
1	$(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)$	$(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)$	$\begin{bmatrix}$
2	$(x-\lambda)^2$	$(x-\lambda)^2$	$\begin{bmatrix}$
3	$(x-\lambda)^2$	$x-\lambda$	$\begin{bmatrix}$
4	$(x-\lambda)^4$	$(x-\lambda)^2$	$\begin{bmatrix}$

4. 계산법

n차 정방 행렬 A의 조르당 표준형은 다음과 같이 계산할 수 있다.;입력:n차 정방 행렬 A;출력:P^-1AP가 조르당 표준형이 되는 n차 가역 행렬 P;알고리즘# 행렬 A의 서로 다른 고유값 λ₁, …, λ_s을 구한다.# A_i = A - λ_iI로 둔다. (여기서 I는 n차 단위 행렬이다.)# rank A_i^k_i = rank A_i^k_i+1가 되는 최소 자연수 k_i를 구한다.# W_i,j = im A_i^j ∩ ker A_i로 둔다.# 부분 공간의 증가 열 W_{i,k_i-1} ⊂ … ⊂ W_i,1 ⊂ W_i,0 = ker A_i에 따라 ker A_i의 기저 b_i,1, …, b_{i,t_i}를 구한다.# b_i,j ∈ W_{i,d_i,j} - W_{i,d_i,j+1}가 되는 자연수 d_i,j를 구한다.# 연립 일차 방정식 A_i^d_i,jx_i,j = b_i,j의 해 x_i,j를 구한다.# e_i,j = A_i^jx_i,j로 둔다.# P_i,j = [e_{i,d_i,j}, …, e_i,1, e_i,0]로 둔다.# P = [P_1,1, …, P_1,t₁, …, P_s,1, …, P_{s,t_s}]를 출력한다.

5. 예시

5차 정사각행렬 A의 고윳값이 중복을 포함하여 1, 2, 2, 2, 2라고 하자. 고윳값 1에 대응하는 고유벡터는 하나이고, 고윳값 2에 대응하는 고유벡터는 2개가 있다. 고윳값 1에 대응하는 고유벡터의 (A - I)에 대한 주기는 1, 고윳값 2에 대응하는 첫 번째 고유벡터의 (A - 2I)에 대한 주기는 3, 두 번째 고유벡터의 (A - 2I)에 대한 주기는 1이라고 가정한다. 그러면 고유벡터가 세 개이므로 조르당 블록은 세 개가 된다. 같은 고윳값의 고유벡터들에 대해 주기가 큰 것부터 작은 것으로 배열하면, 각 고유벡터에 대한 조르당 블록은 다음과 같다.:

J_1 = \begin{pmatrix} 1\end{pmatrix}

J_2 =\begin{pmatrix}2      & 1    & 0 \\0      & 2    & 1 \\0      & 0    & 2\end{pmatrix}

J_3 = \begin{pmatrix}2\end{pmatrix}

따라서 A의 조르당 표준형은 다음과 같이 구할 수 있다.

:

J_A =\begin{pmatrix}1      & 0    & 0  & 0  & 0 \\0      & 2    & 1  & 0  & 0 \\0      & 0    & 2  & 1  & 0 \\0      & 0    & 0  & 2  & 0 \\0      & 0    & 0  & 0  & 2\end{pmatrix}

다른 예시로, 행렬

A

를 다음과 같이 정의하자.

:

A =\left[ \begin{array}{rrrr}5 &  4 &  2 &  1 \\0 &  1 & -1 & -1 \\-1 & -1 &  3 &  0 \\1 &  1 & -1 &  2\end{array} \right]

이 행렬

A

의 특성 다항식은 다음과 같다.
:

\begin{align} \chi(\lambda) & = \det(\lambda I - A) \\ &  = \lambda^4 - 11 \lambda^3 + 42 \lambda^2 - 64 \lambda + 32  \\ & = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-4)^2. \, \end{align}

이는 고윳값이 대수적 중복도에 따라 1, 2, 4, 4임을 의미한다. 각 고윳값에 해당하는 고유 공간을 구하면 다음과 같다.
* 고윳값 1: 열 벡터 v = (−1, 1, 0, 0)^T에 의해 생성(span)된다.
* 고윳값 2: w = (1, −1, 0, 1)^T에 의해 생성된다.
* 고윳값 4: (이중 고유값임에도 불구하고) x = (1, 0, −1, 1)^T에 의해 생성된다.

세 고윳값 각각의 기하학적 중복도(주어진 고유값의 고유 공간 차원)는 1이다. 따라서 4와 같은 두 고유값은 단일 조르당 블록에 해당하며, 행렬 A의 조르당 표준형은 직접 합으로 표현된다.

:

J = J_1(1) \oplus J_1(2) \oplus J_2(4) =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}.

조르당 체인은 세 개가 있다. 고유값 1과 2에 해당하는 길이 1의 체인 {v}와 {w}가 있다. 고유값 4에 해당하는 길이 2의 체인을 찾기 위해 다음을 계산한다.

:

\ker(A-4I)^2 = \operatorname{span} \, \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \right\}

여기서 I는 4 × 4 단위 행렬이다. A − 4I의 커널에 없는 벡터 y = (1,0,0,0)^T를 선택하면, (A − 4I)y = x이고 (A − 4I)x = 0이므로 {y, x}는 고유값 4에 해당하는 길이 2의 체인이다.

변환 행렬 P는 P⁻¹AP = J를 만족하도록 v, w, x, y를 열 벡터로 구성하여 만들 수 있다.

:

P = \left[\begin{array}{c|c|c|c} v & w & x & y \end{array}\right] =\left[ \begin{array}{rrrr}-1 &  1 &  1 &  1 \\1 & -1 &  0 &  0 \\0 &  0 & -1 &  0 \\0 &  1 &  1 &  0\end{array} \right].

실제로 P⁻¹AP = J가 성립함을 확인할 수 있다.

:

P^{-1}AP=J=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 4 & 1 \\0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}.

복소수 성분 정방 행렬의 조르당 표준형의 또 다른 예는 다음과 같다.
:

A = \begin{bmatrix}1  &2 \\-2 &5\end{bmatrix},~P = \begin{bmatrix}1 &-\frac{1}{2} \\1 &0\end{bmatrix},~ P^{-1}AP = \begin{bmatrix}3 &1 \\0 &3\end{bmatrix}

6. 역사

카미유 조르당이 1870년에 정의하였다.

7. 응용

조르당 표준형은 다른 정리를 증명하는 데 많이 쓰인다.

* 스펙트럼 사영 정리를 증명할 수 있다.
: n차 정사각행렬 A의 고윳값을 중복을 고려하여 ${\lambda_{1},\cdots ,\lambda_{n}}$ 라 할 때, 임의의 다항식 p(x)에 대하여 p(A)의 고윳값은 ${\displaystyle p(\lambda _{1}),\cdots ,p(\lambda _{n})}$이 된다.
* 케일리-해밀턴 정리를 일반적인 경우에 증명할 수 있다.

또한, 조르당 표준형에 있는 행렬의 경우 여러 성질들을 쉽게 계산할 수 있다.

* 조르당 표준형을 구하는 과정에서 얻은 값으로 행렬의 최소 다항식을 구할 수 있다.
* 거꾸로, 행렬의 극소다항식을 알면 조르당 표준형을 쉽게 구할 수 있는 경우가 많다.
* 조르당 표준형을 이용하여 어떤 행렬 A의 행렬 지수 표현 ${\displaystyle e^{A}}$를 쉽게 계산할 수 있다.

조르당 표준형은 본질적으로 정사각 행렬에 대한 분류 결과이며, 따라서 선형대수학의 몇 가지 중요한 결과는 조르당 표준형의 결과로 볼 수 있다.

8. 일반화

Jordan normal form^영어은 바나흐 공간 위의 콤팩트 작용소로 일반화될 수 있는데, 그 이유는 콤팩트 작용소의 스펙트럼에서 0이 아닌 모든 점은 고윳값이기 때문이다. 이러한 일반화를 위해, 먼저 함수해석학적 언어를 사용하여 조르당 분해를 재구성할 수 있다. 정칙 함수 미적분을 사용하면, 유계 작용소 T에 대해 σ(T)를 포함하는 열린 집합 G에서 정칙 함수인 복소 함수 f에 대해 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $f(T) = \frac 1 {2 \pi i} \int_\Gamma f(z)(z - T)^{-1} \, dz.$

여기서 Γ는 σ(T)가 Γ의 내부에 놓이도록 하는 조르당 곡선들의 유한 모임이다. 이 함수 미적분은 다항 함수 미적분을 확장하며, 스펙트럼 사상 정리가 성립하고, 대수 준동형 사상이다.

유한 차원의 경우, σ(T)는 복소 평면에서 유한한 이산 집합이다. 이 경우, 함수 미적분을 이용하여 연산자 e_i(T)를 정의할 수 있는데, 이는 사영 연산자이다. 이를 통해 부분 공간으로의 분해를 얻을 수 있으며, 이는 조르당 체인에 의해 생성된 부분 공간으로의 사영과 일치한다.

콤팩트 작용소의 경우, 스펙트럼의 모든 점(0 제외)은 고립점이며, resolvent 함수의 극점과 관련이 있다. 고유값의 차수는 그 지수와 일치하며, 이는 콤팩트 작용소에도 적용된다.