섹시 소수

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1. 개요
2. 섹시 소수의 종류
3. 기타
참조

1. 개요

섹시 소수는 6만큼의 차이를 보이는 소수들의 집합을 의미한다. 두 섹시 소수는 (p, p+6) 형태, 세 섹시 소수는 (p, p+6, p+12) 형태, 네 섹시 소수는 (p, p+6, p+12, p+18) 형태, 다섯 섹시 소수는 (5, 11, 17, 23, 29)로 구성된다. 섹시 소수의 무한성은 아직 증명되지 않았으며, 이는 쌍둥이 소수 추측과 관련이 있다.

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섹시 소수
섹시 소수
정의	차이가 6인 소수
예시	(5, 11)
관련 개념	쌍둥이 소수 세쌍둥이 소수 사촌 소수 에르디시오 소수
수학적 성질
형태	(p, p + 6) 형태의 소수 쌍
추가 조건	p + 2 또는 p + 4가 소수일 경우 세쌍둥이 소수가 됨
예외	(5, 11) 외에는 p + 2 와 p + 4 중 하나는 반드시 3의 배수
예시
첫 번째 섹시 소수 쌍	(5, 11) (7, 13) (11, 17) (13, 19) (17, 23) (23, 29) (31, 37) (37, 43) (41, 47) (47, 53) (53, 59) (61, 67) (67, 73) (73, 79) (83, 89) (97, 103) (101, 107) (103, 109) (107, 113) (127, 133) (151, 157) (157, 163) (167, 173) (173, 179) (191, 197) (193, 199) (197, 203) (223, 229) (227, 233) (233, 239) (251, 257) (257, 263) (263, 269) (271, 277) (277, 283) (307, 313) (311, 317) (331, 337) (347, 353) (353, 359) (359, 365) (367, 373) (373, 379) (383, 389) (389, 395) (397, 403) (433, 439) (443, 449) (457, 463) (461, 467) (463, 469) (487, 493) (491, 497) (499, 505) (521, 527) (523, 529) (541, 547) (547, 553) (557, 563) (563, 569) (569, 575) (577, 583) (587, 593) (593, 599) (601, 607) (607, 613) (613, 619) (617, 623) (641, 647) (647, 653) (653, 659) (661, 667) (673, 679) (677, 683) (683, 689) (691, 697) (727, 733) (733, 739) (743, 749) (751, 757) (757, 763) (761, 767) (769, 775) (773, 779) (787, 793) (797, 803) (809, 815) (821, 827) (823, 829) (827, 833) (853, 859) (857, 863) (863, 869) (877, 883) (881, 887) (883, 889) (907, 913) (937, 943) (941, 947) (947, 953) (953, 959) (967, 973) (971, 977) (977, 983) (983, 989) (991, 997)

2. 섹시 소수의 종류

섹시 소수는 두 소수의 차가 6인 경우를 기본으로 하며, 세 개, 네 개, 다섯 개의 소수가 연속적으로 6의 간격을 유지하는 경우로 확장될 수 있다.

두 섹시 소수 (Sexy Prime Pairs): 두 소수의 차가 6인 경우 (''p'', ''p''+6) 형태로 표현된다. 자세한 내용은 해당 섹션을 참조.
세 섹시 소수 (Sexy Prime Triplets): (''p'', ''p'' + 6, ''p'' + 12)가 모두 소수인 경우를 말한다. 이 때 ''p'' + 18은 합성수여야 한다. 자세한 내용은 해당 섹션을 참조.
네 섹시 소수 (Sexy Prime Quadruplets): ''p'', ''p'' + 6, ''p'' + 12, ''p'' + 18이 모두 소수인 경우를 말하며, ''p'' = 5를 제외하고 십진법 표기에서 ''p''의 끝자리는 1이다. 자세한 내용은 해당 섹션을 참조.
다섯 섹시 소수 (Sexy Prime Quintuplets): 다섯 개의 소수가 연속적으로 6만큼 차이나는 경우는 (5, 11, 17, 23, 29)가 유일하다. 이는 다섯 소수 중 하나는 반드시 5로 나누어떨어지기 때문이다.^[1]

2. 1. 두 섹시 소수 (Sexy Prime Pairs)

섹시 소수쌍은 두 소수의 차가 6인 경우를 말한다. (''p'', ''p''+6) 형태로 표현된다.

500 이하의 섹시 소수쌍은 다음과 같다.^[4]

(5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), (53, 59), (61, 67), (67, 73), (73, 79), (83, 89), (97, 103), (101, 107), (103, 109), (107, 113), (131, 137), (151, 157), (157, 163), (167, 173), (173, 179), (191, 197), (193, 199), (223, 229), (227, 233), (233, 239), (251, 257), (257, 263), (263, 269), (271, 277), (277, 283), (307, 313), (311, 317), (331, 337), (347, 353), (353, 359), (367, 373), (373, 379), (383, 389), (433, 439), (443, 449), (457, 463), (461, 467)

켄 데이비스(Ken Davis)가 발견한 11593자리수의 섹시 소수쌍이 알려진 가장 큰 섹시 소수쌍이다. 이 소수쌍은 (''p'', ''p''+6) 형태로 표현되며, ''p''는 다음과 같다.

:''p'' = (117924851×587502×9001#×(587502×9001#+1)+210)×(587502×9001#−1)/35+5^[4]

여기서 9001#는 primorial 기호이다.

2023년 7월 기준으로,Serge Batalov에 의해 발견된 51,934자리 숫자가 가장 큰 섹시 소수이다. 그 섹시 소수를 (''p'', ''p'' + 6)라고 하면, ''p''는

:''p'' = 11922002779 · (2¹⁷²⁴⁸⁶ - 2⁸⁶²⁴³) + 2⁸⁶²⁴⁵ - 5

로 주어진다.^[2]

2. 2. 세 섹시 소수 (Sexy Prime Triplets)

세 섹시 소수는 (''p'', ''p'' + 6, ''p'' + 12)가 모두 소수인 경우를 말한다. ''p'' + 18이 합성수여야 하는데, 이는 (''p'', ''p'' + 6, ''p'' + 12)와 (''p'' + 6, ''p'' + 12, ''p'' + 18)이 중복 계산되는 것을 막기 위해서이다.

1000 이하의 세 섹시 소수는 다음과 같다.^[5]

(7, 13, 19), (17, 23, 29), (31, 37, 43), (47, 53, 59), (67, 73, 79), (97, 103, 109), (101, 107, 113), (151, 157, 163), (167, 173, 179), (227, 233, 239), (257, 263, 269), (271, 277, 283), (347, 353, 359), (367, 373, 379), (557, 563, 569), (587, 593, 599), (607, 613, 619), (647, 653, 659), (727, 733, 739), (941, 947, 953), (971, 977, 983), (1117, 1123, 1129), (1181, 1187, 1193), (1217, 1223, 1229), (1277, 1283, 1289), (1291, 1297, 1303), (1361, 1367, 1373), (1427, 1433, 1439)

2023년 7월 기준으로, 알려진 가장 큰 세쌍둥이 섹시 소수는 Serge Batalov가 발견한 15,004자리 수이다. 여기서 ''p''는 다음과 같다.^[3]

:''p'' = 2494779036241 · 2⁴⁹⁸⁰⁰ + 1

2. 3. 네 섹시 소수 (Sexy Prime Quadruplets)

네 섹시 소수는 ''p'', ''p'' + 6, ''p'' + 12, ''p'' + 18이 모두 소수인 경우를 말한다. ''p'' = 5를 제외하고 십진법 표기에서 p의 끝자리는 1이다.

1000 이하의 네 섹시 소수는 다음과 같다.

(5, 11, 17, 23)

(11, 17, 23, 29)

(41, 47, 53, 59)

(61, 67, 73, 79)

(251, 257, 263, 269)

(601, 607, 613, 619)

(641, 647, 653, 659)

As of|2023년|2023년^영어 7월 기준으로, 알려진 가장 큰 네 섹시 소수는 Ken Davis가 발견한 3,207자리 수이다.^[3]

: ''p'' = (1021328211729 · 2521# · (483 · 2521# + 1) + 11#) · (483 · 2521# - 1) / 7# + 1

(여기서 #는 소수 계승을 나타낸다).

네 섹시 소수가 무한히 존재하는지는 알려져 있지 않다.

2. 4. 다섯 섹시 소수 (Sexy Prime Quintuplets)

다섯 개의 소수가 연속적으로 6만큼 차이나는 경우는 (5, 11, 17, 23, 29)가 유일하다. 이는 다섯 소수 중 하나는 반드시 5로 나누어떨어지기 때문이다.^[1]

3. 기타

섹시 소수는 소수의 일종으로, 계승 소수, 메르센 소수, 쌍둥이 소수 등과 함께 소수의 종류를 구성하는 한 요소이다. 섹시 소수의 개념은 소수 간극 연구와 관련이 있다.

참조

_[1] 논문 Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes
_[2] 웹사이트 CPAP-2 https://www.pzktupel[...] Norman Luhn 2024-01-30
_[3] 웹사이트 Sexy Triplets & Sexy Quadruplets https://www.pzktupel[...] Norman Luhn 2024-01-30
_[4] 웹사이트 11593 digit sexy prime pair http://tech.groups.y[...] 2009-05-06
_[5] 웹사이트 The largest known sexy CPAP's http://primerecords.[...] 2014-06-28
_[6] 웹사이트 Gigantic sexy and cousin primes http://groups.yahoo.[...] 2009-01-27

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