계승 소수

1. 개요

계승 소수는 다중 계승을 이용하여 정의되는 소수의 일종으로, n!_k ± 1 형태를 가진다. 특히 n! ± 1 형태의 계승 소수, n!! ± 1 형태의 이중 계승 소수, p# ± 1 형태의 소수 계승 소수로 구분된다. n! + 1 형태의 계승 소수는 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209, 288465, …가 있으며, n! - 1 형태의 계승 소수는 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21480, 34790, 94550, 103040, 147855, 208003, ...가 있다. 또한, 이중 계승 소수는 n!! - 1과 n!! + 1 형태로 나뉘며, 소수 계승 소수는 p# + 1과 p# - 1 형태로 구분된다. n! ± 1이 모두 소수인 자연수는 3 뿐이며, 이러한 소수나 합성수의 무한 존재 여부는 아직 밝혀지지 않았다.

2. 정의

다중 계승 소수는 $n!\_k\backslash pm\; 1$ 꼴의 소수이다. 특히, 계승 소수는 $n!\backslash pm\; 1$ 꼴의 소수이며, 이중 계승 소수(double factorial prime^영어)는 $n!!\backslash pm\; 1$ 꼴의 소수이다.

비슷하게, 소수 계승 소수(primorial prime^영어)는 $p\backslash \#\backslash pm\; 1$ 꼴의 소수이다. 여기서 $p$는 소수이다. 특히, $p\backslash \#+1$ 꼴의 소수를 유클리드 소수라고 한다.

3. 계승 소수

계승 소수(Factorial prime)는 n! ± 1 (n은 자연수) 형태의 소수를 말한다. 크게 두 가지 형태로 나뉜다.

* n! + 1 형태: n!에 1을 더한 형태 (n은 0 이상의 정수)
* n! - 1 형태: n!에서 1을 뺀 형태 (n은 자연수)

n!+1과 n!-1은 n의 값이 커질수록 급격하게 커지는 경향이 있다.

3.1. n! + 1 형태의 계승 소수

n! + 1이 소수가 되는 n은 다음과 같다.

3.2. n! - 1 형태의 계승 소수

n! - 1이 소수가 되는 n은 다음과 같다.

4. 이중 계승 소수

이중 계승 소수는 n!! + 1 형태와 n!! - 1 형태로 나뉜다. 여기서 n!!은 n의 이중 계승을 의미한다.

4.1. n!! + 1 형태의 이중 계승 소수

n!! + 1이 소수가 되는 n은 다음과 같다.

: 0, 1, 2, 518, 33416, 37310, 52608, 123998, ...

4.2. n!! - 1 형태의 이중 계승 소수

n!! - 1이 소수가 되는 n은 다음과 같다.

: 3, 4, 6, 8, 16, 26, 64, 82, 90, 118, 194, 214, 728, ...

5. 소수 계승 소수

소수 계승 소수(Prime Primorial Prime)는 소수 p에 대해 p# ± 1 (p#은 p의 소수 계승) 형태로 표현되는 소수를 말한다. 여기서 소수 계승 p#은 p보다 작거나 같은 모든 소수의 곱을 의미한다.

소수 계승 소수는 p# + 1 형태와 p# - 1 형태로 나뉜다. 전자는 유클리드 소수라고도 불린다.

5.1. p# + 1 형태의 소수 계승 소수 (유클리드 소수)

p^영어# + 1이 소수가 되는 n과 p는 다음과 같다.

5.2. p# - 1 형태의 소수 계승 소수

p# - 1이 소수가 되는 n과 p는 다음과 같다.

6. 기타

이 모두 소수인 자연수 n은 3 뿐이며, 다른 그러한 자연수 n은 아직 발견되지 않았다. 또는 의 소수나 합성수가 무수히 존재하는지는 알려져 있지 않다. 에 관해서는 윌슨의 정리에서 합성수가 무수히 존재한다는 것을 소수의 무한성으로부터 쉽게 알 수 있다.