소수 간극

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1. 개요

소수 간극은 수론에서 연속하는 소수 사이의 차이를 의미한다. 가장 작은 소수 간극은 1로, 소수 2와 3 사이의 차이이다. 소수 정리와 에릭 웨스트진티우스의 결과에 따르면 소수 간극은 임의로 커질 수 있으며, 소수 간극의 비율은 무한정 증가한다. 반면 쌍둥이 소수 추측은 간극이 2인 소수가 무한히 많다고 예측한다. 소수 간극에 대한 다양한 추측과 상한, 하한이 연구되었으며, 한국의 수학자들도 이 분야에 기여하고 있다. 소수 간극은 산술 함수의 예시로 소수 차이 함수라고도 불린다.

소수 간극

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1. 개요
2. 간단한 관찰
3. 소수 간극의 존재성
4. 수치적 결과
5. 추가적인 결과
- 5.1. 상한
- 5.2. 하한
6. 소수 간극에 대한 추측
7. 소수 간극과 한국의 관점
8. 수론적 함수로서의 소수 간극

2. 간단한 관찰

가장 처음 나타나는 유일한 홀수 소수 간극은 짝수 소수인 2와 첫 번째 홀수 소수인 3 사이의 간극으로, 크기는 1이다. 다른 모든 소수 간극은 짝수이다. 3, 5, 7 사이의 간극 g₂와 g₃은 길이가 2인 연속된 간극 쌍에서 유일한 경우이다.

임의의 정수 n에 대해, 계승 n!는 1부터 n까지의 모든 양의 정수의 곱이다. n!+2, n!+3, …, n!+n 의 수열에서 첫 번째 항은 2로, 두 번째 항은 3으로 나누어 떨어지는 식이다. 따라서 이 수열은 n − 1개의 연속된 합성수 정수로 이루어져 있으며, 소수 간극의 길이는 최소한 n이 되어야 한다. 즉, 임의의 정수 N에 대해 g_m ≥ N을 만족하는 정수 m이 존재하여 임의로 큰 소수 간극이 존재한다.

하지만, n개의 소수 간극은 n!보다 훨씬 작은 수에서도 발생할 수 있다. 예를 들어, 크기가 14보다 큰 첫 번째 소수 간극은 소수 523과 541 사이에 나타나는데, 15!는 1307674368000으로 훨씬 더 큰 숫자이다.

소수 간의 평균 간극은 소수의 자연 로그에 따라 증가하므로, 소수 간극과 관련된 소수의 비율은 감소한다(그리고 점근적으로 0이 된다). 이는 소수 정리의 결과이다. 경험적인 관점에서, 간극의 길이와 자연 로그의 비율이 고정된 양수 k보다 크거나 같을 확률은 e^−k일 것으로 예상된다. 따라서 비율은 임의로 커질 수 있다. 실제로, 관련 정수의 자릿수와 간극의 비율은 무한정 증가한다. 이는 에릭 웨스트진티우스의 결과이다.

반대 방향으로, 쌍둥이 소수 추측은 무한히 많은 정수 n에 대해 g_n = 2라고 가정한다.

3. 소수 간극의 존재성

임의의 정수 n에 대해, 계승(n!)을 사용하면 n − 1개의 연속된 합성수 수열을 만들 수 있다. 예를 들어 n!+2, n!+3, …, n!+n 에서 첫 번째 항은 2로 나누어 떨어지고, 두 번째 항은 3으로 나누어 떨어지는 식이다. 이를 통해 임의로 큰 소수 간극이 존재함을 보일 수 있다. 즉, 어떤 큰 정수 N에 대해서도 g_m ≥ N을 만족하는 소수 간극 g_m이 존재한다.

하지만, n개의 소수 간극은 n!보다 훨씬 작은 수에서도 발생할 수 있다. 소수 간격이 14보다 큰 첫 번째 위치는 523과 541 사이이지만, 15!는 1,307,674,368,000으로 매우 큰 수이다.

소수 간의 평균 간극은 소수의 자연 로그에 따라 증가하고, 소수 간극과 관련된 소수의 비율은 감소한다(점근적으로 0이 된다). 이는 소수 정리의 결과이다.

웨스트진티우스의 결과에 의하면 정수의 자릿수에 대한 간격의 비율은 끝없이 증가한다. 반대로, 쌍둥이 소수 추측은 무한히 많은 정수 n에 대해 g_n = 2 라고 가정한다.

4. 수치적 결과

일반적으로 간극 g_n의 "공적"은 $\frac{g_n}{\ln(p_n)}$ 의 비율로 정의된다. 입증된 소수로 간극 끝이 확인된 가장 큰 소수 간극은 길이 1,113,106이고 공적 25.90이며, 18,662자리의 소수로 P. Cami, M. Jansen 및 J. K. Andersen에 의해 발견되었다.

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가장 큰 알려진 공적 값 ()
공적	g_n	자릿수	p_n	날짜	발견자
41.938784	8350	87	293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227	2017	Gapcoin
39.620154	15900	175	3483347771 × 409#/30 − 7016	2017	Dana Jacobsen
38.066960	18306	209	650094367 × 491#/2310 − 8936	2017	Dana Jacobsen
38.047893	35308	404	100054841 × 953#/210 − 9670	2020	Seth Troisi
37.824126	8382	97	512950801 × 229#/5610 − 4138	2018	Dana Jacobsen

크라메르-샹크스-그랜빌 비율은 g_n / (ln(p_n))²의 비율이다. 소수 2, 3, 7에 대한 이 비율의 비정상적으로 높은 값을 제외하면, 이 비율의 가장 큰 알려진 값은 소수 1693182318746371에 대해 0.9206386이다.

모든 m < n에 대해 g_m < g_n인 경우 g_n''을 최대 간극이라 한다. 현재까지 알려진 가장 큰 최대 소수 간극은 길이 1676으로, 소수 20733746510561442863 다음에 발생한다.

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최대 소수 간극 (일부)
#	g_n	p_n
64	1,132	1,693,182,318,746,371
75	1,476	1,425,172,824,437,699,411
80	1,550	18,361,375,334,787,046,697
83	1,676	20,733,746,510,561,442,863

5. 추가적인 결과

5.1. 상한

베르트랑 공준은 1852년에 증명되었으며, k와 2k 사이에는 항상 소수가 존재한다. 특히 p_n+1 < 2p_n이고, 이는 g_n < p_n임을 의미한다.

1896년에 증명된 소수 정리는 소수 p와 다음 소수 사이의 간격의 평균 길이가 충분히 큰 소수에 대해 ln(p)에 점근적으로 접근한다고 말한다. 실제 간격의 길이는 이보다 훨씬 크거나 작을 수 있지만, 소수 정리로부터 소수 간격 길이의 상한을 추론할 수 있다. 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해, 모든 $n > N$ 에서 $g_n < p_n\epsilon$ 인 수 $N$ 이 있으며, 소수에 비례하여 간격이 임의로 작아진다. 즉, $\lim_{n\to\infty}\frac{g_n}{p_n}=0.$ 이다.

귀도 호하이젤(Guido Hoheisel)은 1930년에 $\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)} \text{ as } x \to \infty,$ 를 만족하는 상수 θ < 1이 존재함을 처음으로 보였고, 충분히 큰 n에 대해 $g_n 임을 보였다. 호하이젤은$ θ에 대해 32999/33000의 가능한 값을 얻었으며, 이는 한스 하일브론(Hans Heilbronn)에 의해 249/250로 개선되었고, 니콜라이 추다코프(Nikolai Chudakov)에 의해 임의의 ε > 0에 대해 θ = 3/4 + ε로 개선되었다.

앨버트 잉엄(Albert Ingham)은 어떤 양의 상수 c에 대해, $\zeta(1/2 + it)=O(t^c)\,$ 일 때, 임의의 $\theta > (1 + 4c)/(2 + 4c)$ 에 대해 $\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)}$ 임을 보였다. 여기서 O는 란다우 표기법, ζ는 리만 제타 함수, π는 소수 계량 함수이다. c > 1/6이 허용된다는 것을 통해, θ가 5/8보다 큰 임의의 수치임을 알 수 있다. 잉엄의 결과에 따르면 n이 충분히 클 경우, n³과 (n + 1)³ 사이에 반드시 소수가 존재한다.

1972년 마틴 헉슬리(Martin Huxley)는 θ = 7/12 = 0.58(3)을 선택할 수 있음을 보였다. 2001년 R.C. 베이커(R.C. Baker), 글린 허먼(Glyn Harman), 야노스 핀츠(János Pintz)는 θ는 0.525로 취급될 수 있음을 보였다.

2005년, 다니엘 골드스톤(Daniel Goldston), 야노스 핀츠(János Pintz), 젬 이을드름(Cem Yıldırım)은 $\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=0$ 을 증명했고, 2년 후 이를 개선하여 $\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}<\infty.$ 로 했다.

2013년, 장이탕(Yitang Zhang)은 $\liminf_{n\to\infty} g_n < 7\cdot 10^7,$ 을 증명했다. 이는 70,000,000을 넘지 않는 간격이 무한히 많다는 의미이다. 장이탕의 경계를 최적화하는 Polymath 프로젝트의 공동 작업으로 2013년 7월 20일에 경계를 4680까지 낮추는 데 성공했다. 2013년 11월, 제임스 메이너드(James Maynard)는 GPY 체를 새롭게 개선한 것을 도입하여 경계를 600까지 낮추고, 임의의 m에 대해 각각 m개의 소수를 포함하는 해석이 무한한 경계 간격이 존재함을 보였다. 메이너드의 생각을 사용하여, Polymath 프로젝트는 경계를 246으로 개선했다. 엘리엇-할버스탐 가설(Elliott–Halberstam conjecture)과 그 일반형을 가정하면, N은 각각 12와 6으로 감소된다.

5.2. 하한

1931년, 에릭 웨스트진티우스(Erik Westzynthius)는 최대 소수 간극이 대수적으로보다 빠르게 증가한다는 것을 증명했다. 즉,

: $\limsup_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=\infty.$

이다.

1938년, 로버트 랭킨은

: $g_n > \frac{c\ \log n\ \log\log n\ \log\log\log\log n}{(\log\log\log n)^2}$

부등식을 만족하는 상수 c > 0가 존재함을 증명하여 웨스트진티우스와 폴 에르되시의 결과를 개선했다. 그는 나중에 γ가 오일러-마스케로니 상수일 때 임의의 상수 c < e^γ를 취할 수 있음을 보였다. 1997년에 상수 c의 값은 2e^γ 미만의 값으로 개선되었다.

폴 에르되시는 위 부등식에서 상수 c가 임의로 크게 취해질 수 있다는 것을 증명하거나 반증하는 것에 대해 10,000미국 달러의 상금을 걸었다. 이는 2014년에 케빈 포드, 벤 그린, 세르게이 코냐긴, 테렌스 타오와 제임스 메이너드에 의해 독립적으로 옳음이 증명되었다.

이 결과는 포드-그린-코냐긴-메이너드-타오에 의해

: $g_n > \frac{c\ \log n\ \log\log n\ \log\log\log\log n}{\log\log\log n}$

으로 더 개선되었다.

테렌스 타오는 에르되시의 원래 상금의 정신에 따라 이 부등식에서 c가 임의로 크게 취해질 수 있다는 것을 증명하는 것에 대해 10,000달러를 걸었다.

소수 체인에 대한 하한도 결정되었다.

6. 소수 간극에 대한 추측

르장드르 추측은 연속적인 제곱수 사이에 항상 소수가 존재한다는 내용이다. 이는 $g_n = O(\sqrt{p_n})$ 을 의미한다. 안드리차의 추측은 $g_n < 2\sqrt{p_n} + 1$ 이다. 오퍼만의 추측은 이보다 더 강력한 주장으로, 충분히 큰 $n$ 에 대해 $g_n < \sqrt{p_n}$ 이다.

하랄드 크라메르는 리만 가설 하에서 $g_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n)$ 임을 증명했다. 더 나아가, 그는 $g_n = O\!\left((\log p_n)^2\right)\!$ 이라고 추측했다.

피루즈바흐트의 추측은 $p_{n}^{1/n}\!$ 이 n의 엄격하게 감소하는 함수라는 것으로, $g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n - 1 \text{ for all } n > 9$ 를 의미한다. 이는 크라메르 추측의 강력한 형태이지만, 그랜빌과 핀츠의 휴리스틱과는 일치하지 않는다.

폴리냑의 추측은 모든 양의 짝수 k가 소수 간격으로 무한히 많이 발생한다는 내용이다. k = 2인 경우는 쌍둥이 소수 추측이다. 이 추측은 아직 k의 특정 값에 대해 입증되거나 반증되지 않았지만, 특정 값 이하에서는 참임이 증명되었다.

7. 소수 간극과 한국의 관점

소수 간극 연구는 현대 정수론의 중요한 분야이며, 한국의 수학자들도 이 분야에 기여하고 있다. 리만 가설을 전제로 하면, 하랄드 크라메르는 소수 간극 $g_n$ 이 $g_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n)$ 임을 증명했다. 더 나아가, 크라메르는 소수 간극이 $g_n = O\left((\log p_n)^2\right)$ 일 것이라는 크라메르의 추측을 제시했다. 피루즈바흐트의 추측은 $p_{n}^{1/n}$ ( $p_n$ 은 n번째 소수)가 n에 대해 엄격하게 감소하는 함수라는 것으로, 이 추측이 참이라면 $g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n \text{ for all } n > 4.$ 를 만족한다. 이는 크라메르 추측의 강한 형태를 암시하지만, Granville과 Pintz의 휴리스틱과는 모순된다.

오퍼만의 추측은 크라메르의 추측보다 약하며, 예상되는 간격은 $g_n < \sqrt{p_n}$ 의 차수이다. 이보다 약한 안드리차의 추측은 $g_n < 2\sqrt{p_n} + 1$ 이라는 내용을 담고있다. 이는 연속하는 제곱수 사이에는 소수가 반드시 있다는 르장드르 추측보다 약간 강하다.

폴리냑의 추측은 모든 양의 짝수 k가 무한히 소수의 간격으로 나타난다는 내용으로, k = 2인 경우는 쌍둥이 소수 추측이다. 이 추측은 특정 k 값에 대해서는 아직 증명되지 않았지만, 장이탕의 결과는 적어도 1개의 7천만보다 작은 k 값에 대해서는 참임을 증명했다. 특히, 장이탕의 소수 간극 제한 증명은 한국계 수학자 테렌스 타오가 참여한 Polymath 프로젝트를 통해 더욱 발전되어, 상한이 246으로 개선되었다.

8. 수론적 함수로서의 소수 간극

소수 간극 g_n, 즉 n번째 소수와 (n + 1)번째 소수 사이의 간격은 산술 함수의 한 예시이다. 이 맥락에서 소수 간극은 보통 d_n으로 표기되며, 소수 차이 함수라고 불린다. 이 함수는 곱셈적 함수도 덧셈적 함수도 아니다.