순환 좌표

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순환 좌표(Cyclic coordinates)에 대해 질문하신 것으로 이해했습니다. 순환 좌표에 대해 자세히 설명해 드리겠습니다.
순환 좌표란?고전 역학에서 라그랑지언(Lagrangian)에 나타나지 않는 좌표를 순환 좌표라고 합니다. 다른 말로는 무시할 수 있는 좌표(ignorable coordinate)라고도 합니다. 라그랑지언은 운동 에너지와 위치 에너지의 차이로 정의되는 함수인데, 여기에 특정 좌표가 나타나지 않는다는 것은 그 좌표에 대한 일반화 운동량이 보존된다는 것을 의미합니다.
순환 좌표의 중요성

• 운동량 보존: 순환 좌표에 대응하는 일반화 운동량은 운동 상수가 됩니다. 즉, 시간이 지나도 그 값이 변하지 않고 보존됩니다.
• 문제 단순화: 순환 좌표를 이용하면 라그랑지언을 단순화할 수 있고, 결과적으로 운동 방정식을 더 쉽게 풀 수 있습니다. 해밀턴 역학에서는 순환 좌표가 있으면 위상 공간의 차원이 줄어드는 효과가 있습니다.

• 중심력 문제: 중심력(중심에서 멀어지는 거리에만 의존하는 힘) 하에서 움직이는 입자의 운동을 극좌표 (r, θ)로 기술할 때, 각도 θ는 순환 좌표가 됩니다. 이는 각운동량이 보존되기 때문입니다.
• 자유 입자: 직교 좌표계 (x, y, z)에서 자유 입자(어떤 힘도 받지 않는 입자)의 라그랑지언은 x, y, z 좌표를 포함하지 않습니다. 따라서 세 좌표 모두 순환 좌표이며, 각 좌표에 대응하는 운동량(Px, Py, Pz)이 보존됩니다.

• 일반화 속도에만 의존하는 운동 에너지를 갖는 시스템에서 순환 좌표는 운동량 보존과 관련이 있습니다.
• 해밀토니안 역학에서 순환 좌표는 위상 공간의 차원을 줄여 문제를 단순화하는 데 기여합니다.
• 뇌터 정리(Noether's theorem)에 따르면, 순환 좌표는 대칭성과 연관되어 있으며, 이 대칭성은 보존 법칙으로 이어집니다.