뇌터 정리

1. 개요

뇌터 정리는 1915년 에미 뇌터가 제시한 정리로, 물리학에서 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계를 설명한다. 이 정리는 라그랑지안 또는 해밀토니안이 어떤 연속적인 대칭 변환에 대해 불변이면, 그에 해당하는 보존량이 존재한다는 것을 보여준다. 고전역학, 양자역학, 장론 등 다양한 분야에서 에너지, 운동량, 전하, 각운동량 등 보존 법칙을 이해하고 예측하는 데 중요한 도구로 사용되며, 게이지 이론의 발전에 기여했다. 뇌터 정리는 물리 법칙의 일반적인 이론에 대한 강력한 통찰력을 제공하며, 워드-다카하시 항등식과 같은 양자장론에서의 유사성을 가진다.

2. 역사적 배경

에미 뇌터는 1915년 일반 상대성 이론의 에너지 보존 법칙과 관련된 문제를 해결하기 위해 뇌터 정리를 처음 제시했다. 당시 뇌터는 다비트 힐베르트와 펠릭스 클라인의 초청으로 괴팅겐 대학교에서 연구하고 있었는데, 이들은 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 에너지 보존 법칙이 성립하지 않는 것처럼 보이는 문제에 직면해 있었다. 1918년 3월까지 뇌터는 이 문제에 대한 주요 아이디어를 대부분 완성했고, 그해 후반에 논문을 발표했다.

뇌터는 변분법과 리 군 이론을 결합하여 뇌터 정리를 증명하였고, 이를 통해 일반 상대성 이론에서도 에너지 보존 법칙이 성립한다는 것을 명확히 밝혔다.

3. 해석역학에서의 뇌터 정리

해석역학은 라그랑주 역학과 해밀턴 역학으로 구성되며, 뇌터 정리는 이 두 가지 역학 체계 모두에서 적용될 수 있다. 뇌터 정리는 라그랑지언의 변수에 대한 '연속적인' 변환이 계의 대칭성이 될 때, 최소 작용의 원리에 따라 계의 운동 방정식이 변하지 않으므로 보존량이 존재한다는 정리이다.

펠릭스 클라인은 작용 I에 대한 뇌터 정리에서 불변량을 다음과 같이 정의했다.

고전역학은 1차원 시공간(시간) 위의 고전장론으로 볼 수 있으며, 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이다. 이는 다음 치환을 통해 얻을 수 있다.

:$\backslash partial\_\backslash mu\backslash mapsto\backslash frac\; d\{dt\}$
:$x^\backslash mu\backslash to\; t$

보존 법칙은 시스템의 진화에 대한 수학적 설명에서 어떤 양 X가 운동 전체에서 일정하게 유지됨을 의미하며, 이는 불변량이다. X의 시간 변화율(시간에 대한 미분)은 수학적으로 0이다.

:$\backslash frac\{dX\}\{dt\}\; =\; \backslash dot\{X\}\; =\; 0\; ~.$

이러한 양은 보존된다고 하며, 운동 상수라고도 불린다.

르네 데카르트와 고트프리트 라이프니츠는 17세기에 충돌 실험을 바탕으로 운동량과 운동 에너지 보존을 제안했으며, 이는 후속 연구자들에 의해 개선되었다. 아이작 뉴턴은 운동량 보존 법칙을 현대적인 형태로 처음 명시하고, 뉴턴 운동 법칙의 결과임을 보였다.

18세기 후반과 19세기 초, 물리학자들은 불변량을 찾는 체계적인 방법을 개발했다. 1788년 라그랑주 역학 발전은 최소 작용의 원리와 관련하여 중요한 진전을 이루었다.

윌리엄 로언 해밀턴은 19세기에 보존된 양을 찾는 대체 방법을 개발했다. 그는 일부 좌표가 라그랑지안에서 사라지도록 좌표를 변경하는 정준 변환 이론을 개발하여 보존된 정준 운동량을 얻었다. 해밀턴-야코비 방정식은 보존된 양을 찾는 데 효율적인 접근 방식이다.

에미 뇌터의 불변 정리에 대한 연구는 1915년 펠릭스 클라인과 다비드 힐베르트가 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론 관련 작업을 도울 때 시작되었다.

3.1. 라그랑주 역학에서의 뇌터 정리

Emmy Noether^독일어의 정리에 따르면, 라그랑지언이 어떤 연속적인 변환에 대해 변하지 않으면, 그에 해당하는 보존량이 존재한다. 라그랑지언 L은 일반적으로 일반화 좌표 q, 일반화 속도 q̇, 그리고 시간 t의 함수로 주어진다. 작용 적분 S는 라그랑지안을 시간에 대해 적분한 것이다.

미소 변환 δt, δq에 대해 작용 적분이 불변이라면, 뇌터 정리에 따라 다음의 보존량 X를 얻을 수 있다.

:$X\_r\; =\; \backslash left($
\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\dot{q}^i -L
\right) T_r -\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i} Q_r^i

이 보존량은 푸아송 괄호를 사용하여 미소 변환을 정의하는 데에도 사용될 수 있다.

:$\backslash \{\; X\_r,\; t\; \backslash \}\; =\; T\_r,~$
\{ X_r, q^i \} = Q_r^i

예를 들어, 물리 시스템이 공간에서 어떻게 방향을 잡든 동일하게 동작한다면, 해당 시스템의 라그랑지안은 연속적인 회전에 대해 대칭이다. 뇌터 정리는 이러한 대칭으로부터 시스템의 각운동량이 보존되어야 한다고 규정한다. 물리 시스템 자체가 대칭일 필요는 없다. 공간에서 회전하는 울퉁불퉁한 소행성은 비대칭성에도 불구하고 각운동량을 보존한다. 대칭적인 것은 시스템의 운동 법칙이다.

또 다른 예로, 물리적 과정이 장소나 시간에 관계없이 동일한 결과를 보인다면, 해당 라그랑지안은 공간과 시간에서 각각 연속적인 평행 이동에 대해 대칭이다. 뇌터 정리에 따르면, 이러한 대칭성은 이 시스템 내에서 각각 선형 운동량과 에너지의 보존 법칙을 설명한다.

3.2. 해밀턴 역학에서의 뇌터 정리

해밀턴 역학에서는 일반화 좌표와 일반화 운동량을 사용하여 시스템의 운동을 기술한다. 뇌터 정리는 해밀토니안이 어떤 미소 변환에 대해 불변이면, 그 변환의 생성자는 시간 불변이라는 것을 의미한다. 미소 변환에 의한 일반화 좌표와 일반화 운동량의 변화는 생성자를 통해 표현될 수 있으며, 어떤 관측량의 변화는 그 관측량과 생성자의 푸아송 괄호로 나타낼 수 있다. 해밀토니안이 미소 변환에 대해 불변이면, 푸아송 괄호의 성질에 의해 생성자는 시간 불변이 된다. 이는 해밀토니안이 시간 변화의 생성자이므로, 어떤 관측량이 해밀토니안에 대해 불변이라면 그 관측량은 시간에 대해 불변이라는 것을 의미한다.

해밀턴 역학에서 뇌터 정리는 다음과 같이 표현된다.

> 해밀토니안이 어떤 미소 변환 $\backslash delta$에 대해 불변이면, $\backslash delta$의 생성자 $G\_\{\backslash delta\}$는 시간 불변이다.

여기서 $\backslash delta$의 생성자 $G\_\{\backslash delta\}$란, $\backslash delta$에 의한 벡터 $(q^i,p^i)$의 증가분 $\backslash delta\; (q^i,p^i)$가

:$\backslash delta\; (q^i,p^i)\; =$
\left(
\frac{\partial G_{\delta}}{\partial p^i},
-\frac{\partial G_{\delta}}{\partial q^i}
\right)

로 나타낼 수 있는 양이다.

이 정의로부터, 어떤 관측량 $A(q^i,p^i)$의 $\backslash delta$에 의한 변화 $\backslash delta\; A(q^i,p^i)$는 $A$와 $G\_\{\backslash delta\}$의 푸아송 괄호에 의해 표현된다.

:$\backslash delta\; A(q^i,p^i)$
=
\nabla A \cdot \delta (q^i,p^i)
=
\nabla A \cdot
\left(
\frac{\partial G_\delta}{\partial p^i},
- \frac{\partial G_\delta}{\partial q^i}
\right)
=
\left(
\frac{\partial A}{\partial q^i}
\frac{\partial G_\delta}{\partial p^i}
-
\frac{\partial A}{\partial p^i}
\frac{\partial G_\delta}{\partial q^i}
\right)
=
\{A,G_{\delta}\}

해밀토니안이 미소 변환 $\backslash delta$에 대해 불변이라면, $\backslash delta\; H(q^i,p^i)\; =\; \backslash \{H,G\_\{\backslash delta\}\backslash \}=0$가 성립한다. 푸아송 괄호의 왜곡 대칭성에 의해

:$\backslash \{H,G\_\{\backslash delta\}\backslash \}\; =\; -\; \backslash \{G\_\{\backslash delta\},H\backslash \}\; =\; -\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}G\_\{\backslash delta\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; 0$

따라서 $G\_\{\backslash delta\}$는 시간 불변이다.

$\backslash left($
\frac{\partial A}{\partial p^i},
-\frac{\partial A}{\partial q^i}
\right)

는 위상 공간 상의 A의 등고선을 따라가는 벡터로 생각할 수 있다. 이것을 "$A$가 만들어내는 흐름"이라고 부르면, 푸아송 괄호 $\backslash \{A,B\backslash \}$는 "B가 만들어내는 흐름을 따른 A의 변화"로 생각할 수 있다. 뇌터 정리의 일반화는 다음과 같다.

> $\backslash \{A,B\backslash \}=0$이면, $\backslash \{B,A\backslash \}=0$

혹은

> A가 B가 만들어내는 흐름에 대해 불변일 때, B도 A가 만들어내는 흐름에 대해 불변이다.

해밀토니안 H는 시간 변화의 생성자이므로, 만약 H가 어떤 관측량 A가 만들어내는 흐름에 대해 불변이라면, A는 H가 만들어내는 흐름, 즉 시간에 대해 불변이다.

4. 장론에서의 뇌터 정리

장 이론은 시공간의 각 점에서 정의되는 장을 다루는 이론 체계로, 고전장론과 양자장론으로 나뉜다. 뇌터 정리는 장론에서도 중요하며, 특히 뇌터 전류와 뇌터 전하는 장론에서 자주 사용되는 개념이다.

어떤 대칭에 의해 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환을 할 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$x\text{'}^\backslash mu=x^\backslash mu+\backslash delta\_\backslash epsilon\; x^\backslash mu$
:$\backslash phi\text{'}(x\text{'})=\backslash phi(x)+\backslash delta\_\backslash epsilon\backslash phi(x)=\backslash phi(x\text{'})+\backslash delta\_\backslash epsilon\backslash phi(x\text{'})-\backslash partial\_\backslash mu\backslash phi(x\text{'})\backslash delta\_\backslash epsilon\; x^\backslash mu(x\text{'})$

작용이 라그랑지언에 대해 불변이면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야 한다.

:$\backslash mathcal\; L(\backslash phi\text{'}(x),\backslash phi\text{'}(x),x)-\backslash mathcal\; L(\backslash phi(x),\backslash phi(x),x)=\backslash partial\_\backslash mu(\backslash epsilon\; J^\backslash mu(x)-\backslash delta\_\backslash epsilon\; x^\backslash mu\backslash mathcal\; L(x))$

만약 라그랑지언이 정확히 불변이면 $J=0$이 된다.

이때, 뇌터 정리에 의해 유도되는 보존 법칙에 등장하는 뇌터 전류와 뇌터 전하는 다음과 같다.

:$\backslash epsilon\; j^\backslash mu=$
J^\mu-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L
-\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)
-\partial_\nu\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\cdots

오일러-라그랑주 방정식을 따르는 경로의 경우 $\backslash delta\backslash mathcal\; L/\backslash delta\backslash phi=0$이므로, 이러한 경로에서는 $j^\backslash mu$가 보존류를 이루며, 다음과 같은 보존량이 존재한다.

:$Q=\backslash int\; j^0(x)\backslash ;d^3x$

뇌터 정리는 1915년에 도출된 일반적인 버전의 특수한 경우이다. 장 이론 문제는 역학 문제보다 현대 물리학에서 더 흔하므로, 이 장 이론 버전이 뇌터 정리의 가장 일반적으로 사용되는 버전이다.

4차원 시공간에서 연속적인 장에 대한 뇌터 정리 버전을 살펴보자. 모든 공간과 시간에 정의된 미분 가능한 일련의 장 $\backslash varphi$가 있다고 가정한다. 예를 들어, 온도 $T(\backslash mathbf\{x\},\; t)$는 이러한 장의 대표적인 예가 될 것이다. 최소 작용의 원리는 이러한 장에 적용될 수 있지만, 작용은 이제 공간과 시간에 대한 적분이다.

:$\backslash mathcal\{S\}\; =\; \backslash int\; \backslash mathcal\{L\}\; \backslash left(\backslash varphi,\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash varphi,\; x^\backslash mu\; \backslash right)\; \backslash ,\; d^4\; x$

장 $\backslash varphi$의 연속 변환은 다음과 같이 무한소로 쓸 수 있다.

:$\backslash varphi\; \backslash mapsto\; \backslash varphi\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash Psi,$

여기서 $\backslash Psi$는 일반적으로 $x^\backslash mu$와 $\backslash varphi$ 둘 다에 의존할 수 있는 함수이다. $\backslash Psi$가 물리적 대칭성을 생성하기 위한 조건은 작용 $\backslash mathcal\{S\}$가 불변으로 남는 것이다. 라그랑지안 밀도 $\backslash mathcal\{L\}$이 불변으로 남는다면 확실히 참이지만, 라그랑지안이 발산에 의해 변경될 경우에도 참이다.

:$\backslash mathcal\{L\}\; \backslash mapsto\; \backslash mathcal\{L\}\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash Lambda^\backslash mu,$

왜냐하면 발산의 적분은 발산 정리에 따라 경계 항이 되기 때문이다. 주어진 작용으로 설명되는 시스템은 이 유형의 여러 독립적인 대칭성을 가질 수 있으며, $r\; =\; 1,\; 2,\; \backslash ldots,\; N,$로 인덱싱되므로 가장 일반적인 대칭 변환은 다음과 같이 쓰여진다.

:$\backslash varphi\; \backslash mapsto\; \backslash varphi\; +\; \backslash varepsilon\_r\; \backslash Psi\_r,$

결과적으로

:$\backslash mathcal\{L\}\; \backslash mapsto\; \backslash mathcal\{L\}\; +\; \backslash varepsilon\_r\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash Lambda^\backslash mu\_r.$

이러한 시스템의 경우, 뇌터 정리는 $N$개의 보존된 전류 밀도가 있다고 말한다.

:$j^\backslash nu\_r\; =\; \backslash Lambda^\backslash nu\_r\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial\; \backslash varphi\_\{,\backslash nu\}\}\; \backslash cdot\; \backslash Psi\_r$

이러한 경우, 보존 법칙은 4차원 방식으로 표현된다.

:$\backslash partial\_\backslash nu\; j^\backslash nu\; =\; 0,$

이는 구 내의 보존된 양이 구에서 일부가 흘러나가지 않는 한 변할 수 없다는 아이디어를 표현한다. 예를 들어, 전하는 보존된다. 구 내의 전하량은 전하의 일부가 구를 떠나지 않는 한 변할 수 없다.

시간과 공간에서 평행 이동에 따라 동일하게 동작하는 장의 물리적 시스템을 고려해 보자. 이 경우, N = 4로, 공간과 시간의 각 차원에 대해 하나씩이다. 공간에서의 무한소 평행 이동은 다음과 같다.

:$x^\backslash mu\; \backslash mapsto\; x^\backslash mu\; +\; \backslash varepsilon\_r\; \backslash delta^\backslash mu\_r$

:$\backslash Psi\_r\; =\; -\backslash delta^\backslash mu\_r\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash varphi.$

라그랑지안 밀도는 동일한 방식으로 변환되며,

:$\backslash Lambda^\backslash mu\_r\; =\; -\backslash delta^\backslash mu\_r\; \backslash mathcal\{L\}$

따라서 뇌터 정리는 응력-에너지 텐서 T_μ^ν에 대한 보존 법칙에 해당하며, 여기서 우리는 $r$ 대신 $\backslash mu$를 사용했다. 즉, 앞에서 주어진 표현식을 사용하여, 네 개의 보존된 전류(각 $\backslash mu$에 대해 하나씩)를 텐서 $T$로 수집함으로써, 뇌터 정리는 다음을 제공한다.

:$$
T_\mu{}^\nu =
\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_{,\nu}}\right) \cdot \varphi_{,\mu} - \delta^\nu_\mu \mathcal{L}


:$T\_\backslash mu\{\}^\backslash nu\{\}\_\{,\backslash nu\}\; =\; 0$

전하의 보존은 미분 대신에 장 φ에 선형인 Ψ를 고려함으로써 도출될 수 있다. 양자역학에서, 점 x에서 입자를 발견할 확률 진폭 ψ(x)는 복소수 장 φ이며, 이는 공간과 시간의 모든 점에 복소수를 할당하기 때문이다. 확률 진폭 자체는 물리적으로 측정할 수 없으며, 측정 세트에서 확률 p = |ψ|²만 추론할 수 있다. 따라서, 시스템은 |ψ|²을 변경하지 않고 ψ 장과 그 복소 공액 장 ψ^*의 변환에 대해 불변이며, 예를 들어

:$\backslash psi\; \backslash rightarrow\; e^\{i\backslash theta\}\; \backslash psi\backslash \; ,\backslash \; \backslash psi^\{*\}\; \backslash rightarrow\; e^\{-i\backslash theta\}\; \backslash psi^\{*\}~,$

복소수 회전이다. 위상 θ가 무한소로 작아지는 극한에서, δθ는 매개변수 ε로 간주될 수 있으며, Ψ는 각각 iψ와 −iψ*와 같다. 구체적인 예는 클라인-고든 방정식이며, 상대론적으로 올바른 슈뢰딩거 방정식의 스핀이 없는 입자 버전으로, 라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

:$L\; =\; \backslash partial\_\{\backslash nu\}\backslash psi\; \backslash partial\_\{\backslash mu\}\backslash psi^\{*\}\; \backslash eta^\{\backslash nu\; \backslash mu\}\; +\; m^2\; \backslash psi\; \backslash psi^\{*\}.$

이 경우, 뇌터 정리는 보존된 (∂ ⋅ j = 0) 전류가

:$j^\backslash nu\; =\; i\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; x^\backslash mu\}\; \backslash psi^\{*\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi^\{*\}\}\{\backslash partial\; x^\backslash mu\}\; \backslash psi\; \backslash right)\; \backslash eta^\{\backslash nu\; \backslash mu\}~,$

와 같다고 말하며, 이것은 그 입자 종의 전하로 곱해질 때 해당 유형의 입자에 의한 전하 밀도와 같다. 이 "게이지 불변성"은 처음 헤르만 바일에 의해 언급되었으며, 물리학의 게이지 대칭성의 원형 중 하나이다.

4.1. 고전 장론에서의 뇌터 정리

어떤 대칭에 의하여 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환을 하는 경우, 고전 장론에서 뇌터 정리가 어떻게 적용되는지 살펴보자.

우선, 장을 역학 변수로 취급하며, 작용 적분은 라그랑지언 밀도를 시공간에 대해 적분한 것이다.

:$S[\backslash phi]\; =\; \backslash int\_\backslash Omega\; \backslash mathrm\{d\}^4x\backslash ,\; \backslash mathcal\{L\}(\backslash phi,\backslash partial\backslash phi,x)$

계가 좌표와 장의 미소 변환에 대해 대칭성을 가질 때, 뇌터 정리는 뇌터 전류가 보존되고 연속 방정식을 만족한다는 것을 보여준다.

좌표와 장의 미소 변환은 다음과 같다.

:$x^\backslash mu\; \backslash to\; x\text{'}^\backslash mu\; =\; x^\backslash mu\; +\backslash delta\; x^\backslash mu$

:$\backslash phi\_i(x)\; \backslash to\; \backslash phi\text{'}\_i(x\text{'})\; =\; \backslash phi\_i(x)\; +\backslash delta\; \backslash phi\_i(x)$

이때, 뇌터 전류는 다음과 같이 정의된다.

:$j^\backslash mu\; \backslash equiv\; \backslash biggl($
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} \partial_\nu\phi_i
-\delta_\nu^\mu\mathcal{L} \biggr) \delta x^\nu
-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} \delta \phi_i

이 뇌터 전류는 연속 방정식 $\backslash partial\_\backslash mu\; j^\backslash mu\; =0$를 만족한다.

뇌터 전류는 장 자체의 변환뿐만 아니라 좌표의 변환도 포함하는 개념이다. 현대적인 관점에서는 장의 변분을 동일 좌표값에서의 차이를 취한 리 미분으로 기술하는 것이 편리하다.

:$\backslash delta\_\backslash epsilon\; \backslash phi\_i(x)$
\equiv \phi'(x) -\phi(x)
= \delta\phi_i(x) - \delta x^\mu \partial_\mu\phi_i

이때 뇌터 전류는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$j^\backslash mu\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\backslash mu\backslash phi\_i)\}$
\delta_\epsilon \phi_i -\mathcal{L} \delta x^\mu

특히 미소 변환이 매개변수의 선형 결합으로 쓰여져 있는 경우에는, 뇌터 전류를 매개변수의 성분별로 나누어 쓸 수 있으며, 각각의 뇌터 전류는 연속 방정식을 만족한다.

:$\backslash delta\; x^\backslash mu\; =\; \backslash epsilon^a\; X^\{a\backslash mu\}(x)$

:$\backslash delta\_\backslash epsilon\; \backslash phi\_i(x)\; =\backslash epsilon^a\; \backslash delta^a\backslash phi\_i(x)$

:$j^\{a\backslash mu\}\; \backslash equiv\; -\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial(\backslash partial\_\backslash mu\backslash phi\_i)\}$
\delta^a \phi_i -\mathcal{L} X^{a\mu}

:$\backslash partial\_\backslash mu\; j^\{a\backslash mu\}\; =0$

뇌터 전류의 시간 성분을 공간 적분한 것은 뇌터 전하라고 불리며, 이는 미소 변환의 생성자가 된다.

:$Q^a\; \backslash equiv\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3\backslash mathbf\{x\}\backslash ,\; j^\{0a\}$

:$[iQ^a,\; \backslash phi\_i(x)]=\backslash delta^a\backslash phi\_i(x)$

4.2. 양자 장론에서의 뇌터 정리

해석역학이나 장 이론에서 중요한 정리인 뇌터 정리는 양자장론에서도 유효하다. 양자장론에서 뇌터 정리의 양자역학적 유사성은 워드-다카하시 항등식으로 표현된다. 워드-다카하시 항등식은 뇌터 정리의 기댓값을 포함하는 형태로, 양자 요동에 의한 효과를 고려한다.

5. 뇌터 보존량의 예

뇌터 정리는 다양한 물리 시스템에 적용될 수 있으며, 각각의 경우에 해당하는 보존 법칙을 유도할 수 있다. 흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다.

예를 들어, 물리 시스템이 공간에서 어떻게 방향을 잡든 동일하게 동작한다면(즉, 불변하다면), 해당 시스템의 라그랑지안은 연속적인 회전에 대해 대칭이다. 이러한 대칭으로부터, 뇌터 정리는 운동 법칙의 결과로 시스템의 각운동량이 보존되어야 한다고 규정한다.

또 다른 예로, 물리적 과정이 장소나 시간에 관계없이 동일한 결과를 보인다면, 해당 라그랑지안은 공간과 시간에서 각각 연속적인 평행 이동에 대해 대칭이다. 뇌터 정리에 따르면, 이러한 대칭성은 이 시스템 내에서 각각 선형 운동량과 에너지의 보존 법칙을 설명한다.

6. 뇌터 정리의 응용 및 중요성

뇌터 정리는 물리학에서 중요한 역할을 하며, 다음과 같은 응용 사례를 갖는다.

* 공간적 불변성: 물리 시스템이 공간의 모든 위치에서 동일하게 동작한다면(병진 운동), 선운동량 보존 법칙이 성립한다. 즉, 고립계의 총 선운동량은 일정하다.
* 시간적 불변성: 물리 법칙이 모든 시점에서 동일하다면, 에너지 보존 법칙이 성립한다. 즉, 고립계의 총 에너지는 일정하다.
* 회전 불변성: 물리 법칙이 공간의 모든 방향에서 동일하다면, 각운동량 보존 법칙이 성립한다. 즉, 고립계의 총 각운동량은 일정하다.
* 로렌츠 부스트 불변성: 물리 법칙이 모든 관성 기준 틀에 대해 동일하다면, 질량 중심 정리가 성립한다. 즉, 고립계의 질량 중심은 일정한 속도로 움직인다.

양자장론에서 뇌터 정리와 유사한 워드-다카하시 항등식은 전하량 보존과 같은 추가적인 보존 법칙을 유도한다. 전하량 보존은 전하를 띤 입자의 복소수 장의 위상 인자 변화에 대한 불변성에서 비롯되며, 관련된 게이지 불변성은 전위 및 벡터 전위와 관련된다.

뇌터 전하는 정지 블랙홀의 엔트로피를 계산하는 데에도 사용된다.

뇌터 정리는 보존 법칙에 대한 통찰력을 제공하고, 실용적인 계산 도구로 사용된다는 점에서 중요하다. 연구자들은 이 정리를 통해 물리 시스템의 관찰된 대칭성으로부터 보존되는 양(불변량)을 결정할 수 있다. 또한, 주어진 불변량을 가진 가설적인 라그랑지안 전체를 고려하여 물리 시스템을 설명할 수도 있다.

뇌터 정리는 해석역학이나 장 이론에서 중요한 정리이다. 어떤 계가 특정 변환에 대해 기술에 변화를 받지 않는 경우, 이 변환을 계의 대칭성이라고 한다. 특히 해석역학에서는 변환에 대해 계의 작용 적분이 변하지 않는 경우를 대칭성이라고 한다. 뇌터 정리는 라그랑지언의 변수에 대한 연속적인 변환이 계의 대칭성을 이루는 경우, 대칭성 아래에서의 작용의 변분이 어떤 보존량의 시간에 대한 전미분이 된다는 정리이다.