슈라이어 정리

1. 개요

슈라이어 정리는 군의 정규 부분군의 두 열이 서로 동치인 세분들을 갖는다는 정리이다. 군 G의 정규 부분군의 열은 다른 열에 유한 개의 부분군을 추가하여 얻을 수 있다면 세분이라 하며, 몫군이 동형인 순열이 존재하면 두 열은 동치이다. 슈라이어 정리는 군론에서 부분군들의 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

2. 정의

군 $G$ 의 정규 부분군들의 열
: $1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_m=G$
: $1=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft H_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G$
이 주어졌을 때, 전자에 유한 개의 부분군을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 세분(refinement^영어)이라고 한다. 만약 $m=n$ 이며, 모든 $i=1,\dots,n$ 에 대하여 몫군 $G_i/G_{i-1}$ 와 $H_{\sigma(i)}/H_{\sigma(i)-1}$ 이 동형이 되는, $i=1,\dots,n$ 의 순열 $\sigma$ 가 존재한다면, 두 열은 서로 동치(equivalent^영어)라고 한다.

슈라이어 정리에 따르면, 군 $G$ 의 두 정규 부분군의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.

3. 슈라이어 정리

군 $G$ 의 정규 부분군들의 열
: $1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_m=G$
: $1=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft H_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G$
이 주어졌을 때, 전자에 유한 개의 부분군을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 세분(refinement^영어)이라고 한다. 만약 $m=n$ 이며, 모든 $i=1,\dots,n$ 에 대하여 몫군 $G_i/G_{i-1}$ 와 $H_{\sigma(i)}/H_{\sigma(i)-1}$ 이 동형이 되는, $i=1,\dots,n$ 의 순열 $\sigma$ 가 존재한다면, 두 열은 서로 동치(equivalent^영어)라고 한다.

슈라이어 정리에 따르면, 군 $G$ 의 두 정규 부분군의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.

3.1. 슈라이어 정리의 증명

4. 예시

$\mathbb{Z}_2 \times S_3$ 을 고려해 보자. 여기서 $S_3$ 는 3차 대칭군이다. 교대군 $A_3$ 은 $S_3$ 의 정규 부분군이므로, 다음과 같은 두 개의 부분 정규열이 존재한다.

: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3,$
: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \{0\} \times A_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3,$

각각의 몫군은 $(\mathbb{Z}_2,S_3)$ 과 $(A_3,\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)$ 이다.
두 부분 정규열은 동치가 아니지만, 동치인 세분화를 갖는다.

: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times A_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3$

는 $(\mathbb{Z}_2, A_3, \mathbb{Z}_2)$ 와 동형인 몫군을 가지며,

: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \{0\} \times A_3 \; \triangleleft \; \{0\} \times S_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3$

는 $(A_3, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2)$ 와 동형인 몫군을 갖는다.

4.1. Z₂ × S₃의 부분 정규열

$\mathbb{Z}_2 \times S_3$ 을 고려해 보자. 여기서 $S_3$ 는 3차 대칭군이다. 교대군 $A_3$ 은 $S_3$ 의 정규 부분군이므로, 다음과 같은 두 개의 부분 정규열이 존재한다.

: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3,$
: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \{0\} \times A_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3,$

각각의 몫군은 $(\mathbb{Z}_2,S_3)$ 과 $(A_3,\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)$ 이다.
두 부분 정규열은 동치가 아니지만, 동치인 세분화를 갖는다.

: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times A_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3$

는 $(\mathbb{Z}_2, A_3, \mathbb{Z}_2)$ 와 동형인 몫군을 가지며,

: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \{0\} \times A_3 \; \triangleleft \; \{0\} \times S_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3$

는 $(A_3, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2)$ 와 동형인 몫군을 갖는다.

4.2. 동치인 세분

군 $G$ 의 정규 부분군들의 열
: $1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_m=G$
: $1=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft H_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G$
이 주어졌을 때, 전자에 유한 개의 부분군을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 세분(refinement^영어)이라고 한다. 만약 $m=n$ 이며, 모든 $i=1,\dots,n$ 에 대하여 몫군 $G_i/G_{i-1}$ 와 $H_{\sigma(i)}/H_{\sigma(i)-1}$ 이 동형이 되는, $i=1,\dots,n$ 의 순열 $\sigma$ 가 존재한다면, 두 열은 서로 동치(equivalent^영어)라고 한다.

군 $G$ 의 두 정규 부분군의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.