정규 부분군

3. 성질

군 $G$의 부분군 $N\backslash le\; G$이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음과 같다.

• $G$는 아벨 군이다.
• $N$은 $G$의 중심이다.
• $N$은 자명군이다.
• $N=G$이다.
• $G$는 유한군이며, $N$의 지표 $|G|/|N|$는 $|G|$의 가장 작은 소인수이다.
• $G$는 유한군이며, $N$의 지표 $|G|/|N|$는 2이다.
• $N$은 $G$의 특성 부분군이다.

• $G$의 임의의 원소에 의한 $N$의 켤레 변환의 상은 $N$의 부분 집합이다. 즉, 모든 $g\backslash in\; G$에 대해 $gNg^\{-1\}\backslash subseteq\; N$이다.
• $G$의 임의의 원소에 의한 $N$의 켤레 변환의 상은 $N$과 같다. 즉, 모든 $g\backslash in\; G$에 대해 $gNg^\{-1\}=\; N$이다.
• 모든 $g\; \backslash in\; G$에 대해, 왼쪽 잉여류 $gN$과 오른쪽 잉여류 $Ng$가 같다.
• $G$에서 $N$의 왼쪽 및 오른쪽 잉여류 집합이 일치한다.
• $N$은 $G$의 켤레류들의 합집합이다.
• $N$은 $G$의 내부 자기 동형 사상에 의해 보존된다.
• 군 준동형 사상 $G\; \backslash to\; H$가 존재하며, 이 준동형 사상의 커널이 $N$이다.
• 어떤 군의 정규 부분군의 정규 부분군은 그 군에서 정규일 필요가 없다. 즉, 정규성은 추이 관계가 아니다. 그러나 정규 부분군의 고유 부분군은 정규이다. 정규성이 추이적인 군은 T-군이라고 불린다.
• 두 군 $G$와 $H$는 그들의 직접곱 $G\; \backslash times\; H$의 정규 부분군이다.
• 만약 군 $G$가 반직접곱 $G\; =\; N\; \backslash rtimes\; H$라면, $N$은 $G$에서 정규이지만 $H$는 $G$에서 정규일 필요는 없다.
• 정규성은 전사 준동형 사상에 의해 보존된다. 즉, $G\; \backslash to\; H$가 전사 군 준동형 사상이고 $N$이 $G$에서 정규라면, 이미지 $f(N)$은 $H$에서 정규이다.
• 정규성은 역상을 취함으로써 보존된다. 즉, $G\; \backslash to\; H$가 군 준동형 사상이고 $N$이 $H$에서 정규라면, 역상 $f^\{-1\}(N)$은 $G$에서 정규이다.
• 정규성은 직접곱을 취함으로써 보존된다. 즉, 만약 $N\_1\; \backslash triangleleft\; G\_1$이고 $N\_2\; \backslash triangleleft\; G\_2$라면, $N\_1\; \backslash times\; N\_2\backslash ;\; \backslash triangleleft\; \backslash ;G\_1\; \backslash times\; G\_2$이다.
• 지수가 2인 모든 부분군은 정규이다. 더 일반적으로, 유한 지수 $n$을 갖는 $G$의 부분군 $H$는 $G$에서 정규이고 지수가 $n!$을 나누는 부분군 $K$를 포함하며, 이것을 정규 핵이라고 부른다. 특히, $p$가 $G$의 차수를 나누는 가장 작은 소수라면, 지수 $p$인 모든 부분군은 정규이다.

• ''G''의 임의의 원소 ''g''에 대해 ''gNg''⁻¹ ⊆ ''N''이 성립한다.
• ''G''의 임의의 원소 ''g''에 대해 ''gNg''⁻¹ = ''N''이 성립한다.
• ''G''에서의 ''N''을 법으로 하는 왼쪽 잉여류 전체의 집합과 오른쪽 잉여류 전체의 집합이 일치한다.
• ''G''의 임의의 원소 ''g''에 대해 ''gN'' = ''Ng''가 성립한다.
• ''N''은 ''G''의 켤레류의 합집합이다.
• ''G'' 위에 정의된 군 준동형으로 ''N''을 그 핵으로 가지는 것이 존재한다.
• 부분군의 정규성은 전사 준동형 사상에 의해 보존된다. 또한 역상을 취하는 연산에 의해서도 보존된다.
• 정규성은 군의 직적을 취하는 연산에 의해서도 보존된다.
• 정규 부분군의 정규 부분군은 원래 군의 정규 부분군이 아닐 수도 있다. 즉, 정규성은 추이 관계가 아니다. 그러나 정규 부분군의 특성 부분군은 원래 군의 정규 부분군이다. 또한 중심 인자의 정규 부분군은 원래 군에서도 정규이며, 특히 직적 인자의 정규 부분군은 아래 군에서도 정규 부분군이 된다.
• 부분군의 지수가 2인 임의의 부분군은 정규 부분군이다.

4. 몫군

군^한국어 ''G''의 정규 부분군 ''N''이 주어지면, 잉여류 집합에 다음과 같은 연산을 정의하여 몫군 ''G/N''을 만들 수 있다.

:(a₁N)(a₂N) := (a₁a₂)N

이 연산은 잉여류 집합 ''G/N'' × ''G/N''에서 ''G/N''으로 가는 사상을 정의한다. 이 사상이 잘 정의되었다는 것은 대표 원소 a₁, a₂의 선택에 영향을 받지 않는다는 것을 의미한다. 이를 위해 다른 대표 원소 a₁'∈ a₁N, a₂' ∈ a₂N을 고려하면, n₁, n₂∈ N이 존재하여 a₁' = a₁n₁, a₂' = a₂n₂가 된다. 따라서 다음이 성립한다.

:a₁' a₂' N = a₁n₁a₂n₂N = a₁a₂n₁' n₂N = a₁a₂N

여기서 ''N''이 정규 부분군이므로, n₁a₂ = a₂n₁'을 만족하는 n₁'∈ N이 존재한다는 사실을 이용했다. 이는 이 곱셈이 잉여류 간의 잘 정의된 사상임을 보여준다.

이 연산을 통해 잉여류 집합은 몫군이라 불리는 군이 되며, ''G/N''으로 표기한다. f(a) = aN으로 주어지는 자연스러운 군 준동형 사상 f : G → G/N이 존재한다. 이 준동형 사상은 ''N''을 ''G/N''의 항등원, 즉 잉여류 eN = N으로 보낸다. 즉, ker(f) = N이다.

일반적으로 군 준동형 사상 f : G → H는 G의 부분군을 H의 부분군으로 보낸다. 또한, H의 모든 부분군의 역상은 G의 부분군이다. H에서 자명군 {e}의 역상을 준동형 사상의 핵이라고 부르며, ker f로 표기한다. 핵은 항상 정규 부분군이며, G의 상 f(G)는 항상 G / ker f와 동형이다(제1 동형 정리).

정규 부분군은 정의역이 ''G''인 준동형 사상의 핵이다.

5. 예

• 유클리드 군 $\backslash operatorname\{IO\}(n)=\backslash mathbb\; R^n\backslash rtimes\backslash operatorname\{O\}(n)$은 평행 이동의 군 $\backslash mathbb\; R^n$을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 $\backslash operatorname\; O(n)$은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.
• 모든 군 $G$에 대해, $G$의 항등원만으로 구성된 자명한 부분군 $\backslash \{\; e\; \backslash \}$은 항상 $G$의 정규 부분군이다. 마찬가지로, $G$ 자체도 항상 $G$의 정규 부분군이다 (이것이 유일한 정규 부분군인 경우, $G$는 단순군이라고 한다). 임의의 군의 다른 정규 부분군으로는 군의 중심 (다른 모든 원소와 교환하는 원소의 집합)과 교환자 부분군 $[G,G]$이 있다. 더 일반적으로, 공액은 동형사상이므로 모든 특성 부분군은 정규 부분군이다.
• $G$가 아벨 군이면, $G$의 모든 부분군은 정규 부분군이다. 왜냐하면 $gN\; =\; \backslash \{gn\backslash \}\_\{n\backslash in\; N\}\; =\; \backslash \{ng\backslash \}\_\{n\backslash in\; N\}\; =\; Ng$이기 때문이다. 모든 군 $G$에 대해, $G$의 ''중심'' $Z(G)$의 모든 부분군은 $G$에서 정규 부분군이다 (특별한 경우로 $G$가 아벨 군이면, 중심은 $G$ 전체이므로, 아벨 군의 모든 부분군이 정규 부분군이라는 사실을 알 수 있다). 아벨 군이 아니지만 모든 부분군이 정규 부분군인 군을 해밀턴 군이라고 한다.
• 정규 부분군의 구체적인 예는 항등원과 두 개의 3-순환으로 구성된 대칭군 $S\_3$의 부분군 $N\; =\; \backslash \{(1),\; (123),\; (132)\backslash \}$이다. 특히, $N$의 모든 잉여류는 $N$ 자체와 같거나 $(12)N\; =\; \backslash \{\; (12),\; (23),\; (13)\backslash \}$과 같음을 확인할 수 있다. 반면에, 부분군 $H\; =\; \backslash \{(1),\; (12)\backslash \}$는 $S\_3$에서 정규 부분군이 아닌데, 그 이유는 $(123)H\; =\; \backslash \{(123),\; (13)\; \backslash \}\; \backslash neq\; \backslash \{(123),\; (23)\; \backslash \}\; =\; H(123)$이기 때문이다. 이것은 지수 2인 모든 부분군 $H\; \backslash leq\; G$가 정규 부분군이라는 일반적인 사실을 보여준다.
• 행렬군 내의 정규 부분군의 예로, 행렬 곱셈 연산 아래에서 실수 성분을 가진 모든 가역 $n\backslash times\; n$ 행렬의 일반 선형군 $\backslash mathrm\{GL\}\_n(\backslash mathbf\{R\})$과 행렬식이 1인 모든 $n\backslash times\; n$ 행렬의 부분군 $\backslash mathrm\{SL\}\_n(\backslash mathbf\{R\})$ (특수 선형군)을 고려할 수 있다. 부분군 $\backslash mathrm\{SL\}\_n(\backslash mathbf\{R\})$이 $\backslash mathrm\{GL\}\_n(\backslash mathbf\{R\})$에서 정규 부분군인 이유는, $\backslash mathrm\{SL\}\_n(\backslash mathbf\{R\})$의 임의의 행렬 $X$와 임의의 가역 행렬 $A$에 대해, $\backslash det(AXA^\{-1\})\; =\; \backslash det(A)\; \backslash det(X)\; \backslash det(A)^\{-1\}\; =\; \backslash det(X)\; =\; 1$이므로, $AXA^\{-1\}\; \backslash in\; \backslash mathrm\{SL\}\_n(\backslash mathbf\{R\})$이기 때문이다. 이는 $\backslash mathrm\{SL\}\_n(\backslash mathbf\{R\})$이 $\backslash mathrm\{GL\}\_n(\backslash mathbf\{R\})$에서의 공액 연산에 닫혀 있음을 의미하며, 따라서 정규 부분군이다.
• 루빅스 큐브 군에서, 모서리 조각 또는 가장자리 조각의 방향에만 영향을 미치는 연산으로 구성된 부분군은 정규 부분군이다.
• 병진군은 모든 차원에서 유클리드 군의 정규 부분군이다. 이는 단일 병진 변환과 동일한 효과를 갖는, 강체 변환을 적용한 후, 병진 변환을 수행하고 역 강체 변환을 수행하는 것을 의미한다. 반대로, 원점에 대한 모든 회전의 부분군은 차원이 2 이상인 경우 유클리드 군의 정규 부분군이 ''아니다'': 먼저 변환하고, 원점에 대해 회전한 다음 다시 변환하는 것은 일반적으로 원점을 고정하지 않으며, 따라서 원점에 대한 단일 회전과 동일한 효과를 갖지 않는다.
• 단위원만으로 이루어진 군과, 군 그 자체는 항상 정규 부분군이 된다. 자명한 부분군 이외에 정규 부분군을 가지지 않을 때, 단순군이라고 한다.
• 군의 중심은 정규 부분군이다.
• 교환자 부분군은 정규 부분군이다.
• 더 일반적으로, 특성 부분군은 정규 부분군이다. 공액 사상은 자기동형이기 때문이다.
• 아벨 군의 임의의 부분군은 정규 부분군이다. 식이 항상 성립하기 때문이다. 비 아벨 군이지만, 임의의 부분군이 정규 부분군인 군이 존재하며, Hamiltonian group|해밀턴 군^영어이라고 한다.
• 임의 차원의 병진군(평행 이동의 집합이 이루는 군)은 유클리드 군의 정규 부분군이다. 예를 들어, "3차원의 회전, 평행 이동, 역방향으로의 회전"의 결과는 단순한 평행 이동으로 간주할 수 있다.
• Rubik's Cube group|루빅 큐브 군^영어에서는, 모서리 조각만 변경하는 조작의 군이 정규 부분군이다.

6. 역사

에바리스트 갈루아가 정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식하였다.

7. 관련 개념

• 비정규 부분군
• 반정규 부분군
• 비정상 부분군
• 자기 정규화 부분군
• 아이디얼
• 반군 아이디얼

7. 1. 정규 부분군 생성

• 고유 부분군
• 완전 고유 부분군
• 정규화 부분군
• 켤레 폐포
• 정규 핵

7. 2. 정규성 관련 성질

• $G$는 아벨 군이다.
• $N$은 $G$의 중심이다.
• $N$은 자명군이다.
• $N=G$이다.
• $G$는 유한군이며, $N$의 지표 $|G|/|N|$는 $|G|$의 가장 작은 소인수이다.
• $G$는 유한군이며, $N$의 지표 $|G|/|N|$는 2이다.
• $N$은 $G$의 특성 부분군이다.

• 만약 $H$가 $G$의 정규 부분군이고, $K$가 $H$를 포함하는 $G$의 부분군이라면, $H$는 $K$의 정규 부분군이다.
• 어떤 군의 정규 부분군의 정규 부분군은 그 군에서 정규일 필요가 없다. 즉, 정규성은 추이 관계가 아니다. 그러나 정규 부분군의 고유 부분군은 정규이다. 정규성이 추이적인 군은 T-군이라고 불린다.
• 두 군 $G$와 $H$는 그들의 직접곱 $G\; \backslash times\; H$의 정규 부분군이다.
• 만약 군 $G$가 반직접곱 $G\; =\; N\; \backslash rtimes\; H$라면, $N$은 $G$에서 정규이지만 $H$는 $G$에서 정규일 필요는 없다.
• 만약 $M$과 $N$이 가법군 $G$의 정규 부분군이고 $G\; =\; M\; +\; N$이며 $M\; \backslash cap\; N\; =\; \backslash \{0\backslash \}$이라면, $G\; =\; M\; \backslash oplus\; N$이다.
• 정규성은 전사 준동형 사상에 의해 보존된다. 즉, $G\; \backslash to\; H$가 전사 군 준동형 사상이고 $N$이 $G$에서 정규라면, 이미지 $f(N)$은 $H$에서 정규이다.
• 정규성은 역상을 취함으로써 보존된다. 즉, $G\; \backslash to\; H$가 군 준동형 사상이고 $N$이 $H$에서 정규라면, 역상 $f^\{-1\}(N)$은 $G$에서 정규이다.
• 정규성은 직접곱을 취함으로써 보존된다. 즉, 만약 $N\_1\; \backslash triangleleft\; G\_1$이고 $N\_2\; \backslash triangleleft\; G\_2$라면, $N\_1\; \backslash times\; N\_2\backslash ;\; \backslash triangleleft\; \backslash ;G\_1\; \backslash times\; G\_2$이다.
• 지수가 2인 모든 부분군은 정규이다. 더 일반적으로, 유한 지수 $n$을 갖는 $G$의 부분군 $H$는 $G$에서 정규이고 지수가 $n!$을 나누는 부분군 $K$를 포함하며, 이것을 정규 핵이라고 부른다. 특히, $p$가 $G$의 차수를 나누는 가장 작은 소수라면, 지수 $p$인 모든 부분군은 정규이다.
• $G$의 정규 부분군은 $G$에서 정의된 군 준동형 사상의 커널과 정확히 일치한다.
• 두 정규 부분군 $N$과 $M$이 $G$의 정규 부분군일 때, 그들의 교집합 $N\backslash cap\; M$과 곱 $N\; M\; =\; \backslash \{n\; m\; :\; n\; \backslash in\; N\backslash ;\; \backslash text\{\; and\; \}\backslash ;\; m\; \backslash in\; M\; \backslash \}$ 또한 $G$의 정규 부분군이다.
• $G$의 정규 부분군은 부분 집합 포함 관계 하에서 최소 원소는 $\backslash \{\; e\; \backslash \}$이고 최대 원소는 $G$인 격자를 형성한다. 이 격자에서 두 정규 부분군 $N$과 $M$의 만남은 그들의 교집합이고, 결합은 그들의 곱이다. 이 격자는 완비이며 모듈러이다.
• 부분군의 정규성은 전사 준동형 사상에 의해 보존된다. 또한 역상을 취하는 연산에 의해서도 보존된다.
• 정규성은 군의 직적을 취하는 연산에 의해서도 보존된다.
• 정규 부분군의 정규 부분군은 원래 군의 정규 부분군이 아닐 수도 있다. 즉, 정규성은 추이 관계가 아니다. 그러나 정규 부분군의 특성 부분군은 원래 군의 정규 부분군이다. 또한 중심 인자의 정규 부분군은 원래 군에서도 정규이며, 특히 직적 인자의 정규 부분군은 아래 군에서도 정규 부분군이 된다.
• 부분군의 지수가 2인 임의의 부분군은 정규 부분군이다.

7. 3. 정규성보다 강한 조건

• $G$는 아벨 군이다.
• $N$은 $G$의 중심이다.
• $N$은 자명군이다.
• $N=G$이다.
• $G$는 유한군이며, $N$의 지표 $|G|/|N|$는 $|G|$의 가장 작은 소인수이다.
• $G$는 유한군이며, $N$의 지표 $|G|/|N|$는 2이다.
• $N$은 $G$의 특성 부분군이다.

• 고유 부분군
• 완전 고유 부분군
• 특성 부분군
• fully characteristic subgroup|완전 특성 부분군^영어

7. 4. 정규성보다 약한 조건

• 준정규 부분군
• 상승 부분군
• 하강 부분군
• 반정규 부분군
• 켤레 순환 부분군
• 모듈 부분군
• 전정규 부분군
• 다항 정규 부분군
• C-정규 부분군
• 자기 정규화 부분군