슈어 보수행렬

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정칙 행렬의 경우
- 2.2. 일반화된 슈어 보수
3. 배경
4. 성질
5. 선형 방정식의 해법에의 응용
6. 확률론 및 통계학에의 응용
7. 양의 정부호성 및 준정부호성 조건
- 7.1. 양의 정부호성 조건
- 7.2. 양의 준정부호성 조건
참조

1. 개요

슈어 보수(Schur complement)는 블록 행렬의 특정 블록에 대한 보수로, 가우스 소거법과 밀접한 관련이 있다. 블록 행렬 $M := \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ 에서 D가 정칙 행렬일 때, D에 관한 슈어 보수는 $M/D := A - BD^{-1}C$ 로 정의되며, A가 정칙 행렬일 때는 $M/A := D - CA^{-1}B$ 로 정의된다. 일반화된 슈어 보수는 무어-펜로즈 역행렬을 사용하여 역행렬이 존재하지 않는 경우에도 슈어 보수를 정의할 수 있도록 확장한 개념이다. 슈어 보수는 선형 방정식 풀이, 확률 및 통계, 그리고 양의 정부호성 및 준정부호성 조건 등 다양한 분야에 응용된다.

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슈어 보수행렬

2. 정의

블록 행렬 $M := \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ 에서 행렬 A, B, C, D의 크기를 각각 p × p, p × q, q × p, q × q라고 하자. M은 (p + q) × (p + q) 행렬이 된다.

D가 정칙 행렬일 때, 블록 행렬 M의 블록 D에 관한 슈어 보수는 다음과 같이 정의되는 p × p 행렬이다.

: $M/D := A - BD^{-1}C$

마찬가지로 A가 정칙 행렬일 때, M의 A에 관한 슈어 보수는 다음과 같이 정의되는 q × q 행렬이다.

: $M/A := D - CA^{-1}B$

무어-펜로즈 역행렬을 사용하여, 역행렬이 존재하지 않는 경우에도 슈어 보수를 정의할 수 있도록 확장한 개념을 일반화 슈어 보수라고 한다. 주어진 행렬이 정칙행렬(즉, 역행렬이 존재하는 경우)이면, 일반화된 슈어 보수는 기존의 슈어 보수와 동일하다. 그러나 특이 행렬(역행렬이 존재하지 않는 경우)에 대해서도 일반화된 슈어 보수를 정의할 수 있다.

2. 1. 정칙 행렬의 경우

블록 행렬

M := \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

에서 행렬 A, B, C, D의 크기를 각각 p × p, p × q, q × p, q × q라고 하자. M은 (p + q) × (p + q) 행렬이 된다. D가 정칙 행렬일 때, 블록 행렬 M의 블록 D에 관한 슈어 보수는 다음과 같이 정의되는 p × p 행렬이다.

:

M/D := A - BD^{-1}C

마찬가지로 A가 정칙 행렬일 때, M의 A에 관한 슈어 보수는 다음과 같이 정의되는 q × q 행렬이다.

:

M/A := D - CA^{-1}B

2. 2. 일반화된 슈어 보수

일반화된 슈어 보수는 무어-펜로즈 역행렬을 사용하여, 역행렬이 존재하지 않는 경우에도 슈어 보수를 정의할 수 있도록 확장한 개념이다. 주어진 행렬이 정칙행렬(즉, 역행렬이 존재하는 경우)이면, 일반화된 슈어 보수는 기존의 슈어 보수와 동일하다. 그러나 특이 행렬(역행렬이 존재하지 않는 경우)에 대해서도 일반화된 슈어 보수를 정의할 수 있다는 장점이 있다.

3. 배경

슈어 보수 행렬은 행렬 $M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ 에 대한 블록 가우스 소거법을 수행할 때 나타난다. 블록 대각선 아래의 원소를 제거하기 위해, 행렬 ''M''에 다음과 같이 오른쪽의 ''블록 하삼각'' 행렬을 곱한다.

: $\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & I_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A - BD^{-1}C & B \\ 0 & D \end{bmatrix}$

여기서 ''I_p''는 ''p''×''p'' 단위 행렬을 나타낸다. 결과적으로 슈어 보수 $M/D = A - BD^{-1}C$ 가 좌상단 ''p''×''p'' 블록에 나타난다.

이후 소거 과정을 계속 진행하면(블록 가우스-조르당 소거법 수행),

: $\begin{bmatrix} A - BD^{-1}C & B \\ 0 & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_p & -BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix}$

''M''의 LDU 분해는 다음과 같다.

: $M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_p & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_p & 0 \\ D^{-1}C & I_q \end{bmatrix}$

따라서, ''M''의 역행렬은 ''D''^-1과 슈어 보수의 역행렬 (존재한다고 가정)을 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $M^{-1} = \begin{bmatrix} \left(A - BD^{-1}C\right)^{-1} & -\left(A - BD^{-1}C\right)^{-1} BD^{-1} \\ -D^{-1}C\left(A - BD^{-1}C\right)^{-1} & D^{-1} + D^{-1}C\left(A - BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left(M/D\right)^{-1} & -\left(M/D\right)^{-1} B D^{-1} \\ -D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1} & D^{-1} + D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1} B D^{-1} \end{bmatrix}$

위의 관계는 ''D''^-1과 ''M/D''를 포함하는 소거 연산에서 파생된다. ''A''와 ''D''의 역할을 서로 바꿔서 동일한 유도를 수행할 수 있다. 이 두 가지 다른 방식으로 얻은 ''M''^-1의 표현식을 동일시함으로써 ''M''의 두 슈어 보수: ''M/D''와 ''M/A''를 관련시키는 행렬 역행렬 보조 정리를 얻을 수 있다.

4. 성질

''p''와 ''q''가 모두 1이면(즉, ''A'', ''B'', ''C'' 및 ''D''가 모두 스칼라), 2x2 행렬의 역행렬에 대한 다음 공식을 얻는다.

: $M^{-1} = \frac{1}{AD-BC} \left[ \begin{matrix} D & -B \\ -C & A \end{matrix}\right]$

단, ''AD'' − ''BC''는 0이 아니다.

일반적으로, ''A''가 가역 행렬이면, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}M &= \begin{bmatrix} A&B\\C&D \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} I_p & 0 \\ CA^{-1} & I_q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_p & A^{-1}B \\ 0 & I_q \end{bmatrix}, \\[4pt]M^{-1} &= \begin{bmatrix} A^{-1} + A^{-1} B (M/A)^{-1} C A^{-1} & - A^{-1} B (M/A)^{-1} \\ - (M/A)^{-1} CA^{-1} & (M/A)^{-1} \end{bmatrix}\end{align}$

이 역행렬이 존재할 때마다 위 식이 성립한다.

''A''와 ''D''가 가역 행렬일 때, ''M''의 행렬식은 다음과 같이 주어진다.

: $\det(M) = \det(A) \det\left(D - CA^{-1} B\right)$ , 그리고

: $\det(M) = \det(D) \det\left(A - BD^{-1} C\right)$

이는 2 × 2 행렬에 대한 행렬식 공식을 일반화한 것이다.

만약 ''D''가 가역 행렬이면, ''M''의 계수는 다음과 같이 주어지는 거트만 계수 가산 공식이 성립한다.

: $\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}(D) + \operatorname{rank}\left(A - BD^{-1} C\right)$

''A''가 가역 행렬이면, 블록 행렬 ''M''의 ''관성''은 ''A''의 관성에 ''M''/''A''의 관성을 더한 것과 같다는 Haynsworth 관성 가산 공식이 성립한다.

몫 항등식은 다음과 같다.^[5]

: $A/B = ((A/C)/(B/C))$ .

라플라시안 행렬의 슈어 보수는 라플라시안 행렬이다.^[6]

구분 행렬 ''M''이 양의 정부호대칭 행렬이라면, 슈어 보수 ''M/D''도 그러하다.

5. 선형 방정식의 해법에의 응용

슈어 보수 행렬은 다음과 같은 선형 방정식 시스템을 풀 때 자연스럽게 나타난다.^[8]

: $\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$ .

부분 행렬 $A$ 가 가역 행렬이라고 가정하면, $x = A^{-1} (u - By).$ 와 같이 방정식에서 $x$ 를 제거할 수 있다. 이 식을 두 번째 방정식에 대입하면 다음을 얻는다.

: $\left(D - CA^{-1}B\right)y = v-CA^{-1}u.$

이것을 원래 방정식에서 $x$ 를 제거하여 얻은 ''축소된 방정식''이라고 한다. 축소된 방정식에 나타나는 행렬 $D - CA^{-1}B$ 는 $M$ 에서 첫 번째 블록 $A$ 의 슈어 보수이다. 축소된 방정식을 풀고, 첫번째 식에 대입하면,

: $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}A^{-1} + A^{-1} B S^{-1} C A^{-1} & -A^{-1} B S^{-1} \\$

S^{-1} C A^{-1} & S^{-1}

\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}.

와 같이 표현할수 있다. 따라서, 블록 행렬의 역행렬에 대한 공식은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix}A^{-1} + A^{-1} B S^{-1} C A^{-1} & - A^{-1} B S^{-1} \\

S^{-1} C A^{-1} & S^{-1}

\end{bmatrix}.

특히, 슈어 보수는

M

의 역행렬의

2,2

블록 요소의 역행렬이다.

이 알고리즘의 수치적 정확도를 위해서는

A

가 잘 조건화되어야 한다.

이 방법은 전기 공학에서 네트워크 방정식의 차원을 줄이는 데 유용하다. 특히 출력 벡터의 요소가 0일 때 유용하다. 예를 들어,

v

가 널 벡터이면 계수 행렬의 차원을 줄이면서

u

는 수정하지 않는다. 이것은 전기 공학에서 노드 제거 또는 크론 축소라고 불리며 장점으로 사용된다.

6. 확률론 및 통계학에의 응용

임의의 열 벡터 ''X'', ''Y''가 각각 '''R'''^''n''과 '''R'''^''m''에 속하고, '''R'''^{''n'' + ''m''}의 벡터 (''X'', ''Y'')는 다음과 같은 대칭 양의 정부호 행렬을 공분산으로 갖는 다변량 정규 분포를 따른다고 가정한다.

: $\Sigma = \left[\begin{matrix} A & B \\ B^\mathrm{T} & C\end{matrix}\right],$

여기서 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 는 ''X''의 공분산 행렬이고, $C \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 는 ''Y''의 공분산 행렬이며, $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ 는 ''X''와 ''Y'' 사이의 공분산 행렬이다.

''Y''가 주어졌을 때 ''X''의 조건부 분산은 $\Sigma$ 에서 ''C''의 슈어 보수이다.^[7]^[11]

: $\begin{align}\operatorname{Cov}(X \mid Y) &= A - BC^{-1}B^\mathrm{T} \\\operatorname{E}(X \mid Y) &= \operatorname{E}(X) + BC^{-1}(Y - \operatorname{E}(Y))\end{align}$

위의 행렬 $\Sigma$ 를 임의 벡터의 공분산이 아닌, ''표본'' 공분산으로 간주하면, 이는 위샤트 분포를 가질 수 있다. 이 경우, $\Sigma$ 에서 ''C''의 슈어 보수 또한 위샤트 분포를 가진다.

7. 양의 정부호성 및 준정부호성 조건

실수 성분으로 이루어진 대칭 행렬 ''X''가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

: $X = \begin{bmatrix} A & B \\ B^\mathrm{T} & C\end{bmatrix}.$

만약 ''A''가 가역행렬이면, ''X''가 양의 정부호 행렬일 필요충분조건은 ''A''와 ''A''의 보수행렬 ''X/A''가 모두 양의 정부호 행렬인 것이다.

:

X \succ  0 \Leftrightarrow  A \succ  0, X/A = C - B^\mathrm{T} A^{-1} B \succ  0.

만약 ''C''가 가역행렬이면, ''X''가 양의 정부호 행렬일 필요충분조건은 ''C''와 ''C''의 보수행렬 ''X/C''가 모두 양의 정부호 행렬인 것이다.

:

X \succ  0 \Leftrightarrow C \succ  0, X/C = A - B C^{-1} B^\mathrm{T} \succ  0.

만약 ''A''가 양의 정부호 행렬이면, ''X''가 양의 준정부호 행렬일 필요충분조건은 보수행렬 ''X/A''가 양의 준정부호 행렬인 것이다.^[2]

:

\text{If } A \succ 0, \text{ then } X \succeq 0 \Leftrightarrow X/A = C - B^\mathrm{T} A^{-1} B \succeq 0.

만약 ''C''가 양의 정부호 행렬이면, ''X''가 양의 준정부호 행렬일 필요충분조건은 보수행렬 ''X/C''가 양의 준정부호 행렬인 것이다.

:

\text{If } C \succ 0,\text{ then } X \succeq 0 \Leftrightarrow X/C = A - B C^{-1} B^\mathrm{T} \succeq 0.

첫 번째와 세 번째 명제는 양의 정부호 행렬을 따르는 최소화 값으로 고려함으로써 유도할 수 있다.^[8]

:

u^\mathrm{T} A u + 2 v^\mathrm{T} B^\mathrm{T} u + v^\mathrm{T} C v, \,

(''u''에 대한 고정된) ''v''의 함수.

또한, 다음이 성립한다.

:

\begin{bmatrix} A & B \\ B^\mathrm{T} & C \end{bmatrix} \succ 0\Longleftrightarrow \begin{bmatrix} C & B^\mathrm{T} \\ B & A \end{bmatrix} \succ 0

그리고 양의 준정부호 행렬에 대해서도 마찬가지이므로, 두 번째 명제는 첫 번째 명제로부터, 네 번째 명제는 세 번째 명제로부터 직접적으로 도출된다.

일반화 역행렬을 사용하여 ''X''의 양의 준정부호성에 대한 필요충분조건을 제시할 수 있다.^[2]

$X \succeq 0 \Leftrightarrow A \succeq 0, C - B^\mathrm{T} A^g B \succeq 0, \left(I - A A^{g}\right)B = 0 \,$
$X \succeq 0 \Leftrightarrow C \succeq 0, A - B C^g B^\mathrm{T} \succeq 0, \left(I - C C^g\right)B^\mathrm{T} = 0,$

여기서

A^g

는

A

의 일반화 역행렬을 나타낸다.

7. 1. 양의 정부호성 조건

실수 성분으로 이루어진 대칭 행렬 ''X''가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

:

X = \begin{bmatrix} A & B \\ B^\mathrm{T} & C\end{bmatrix}.

만약 ''A''가 가역행렬이면, ''X''가 양의 정부호 행렬일 필요충분조건은 ''A''와 ''A''의 보수행렬 ''X/A''가 모두 양의 정부호 행렬인 것이다.

:

X \succ  0 \Leftrightarrow  A \succ  0, X/A = C - B^\mathrm{T} A^{-1} B \succ  0.

만약 ''C''가 가역행렬이면, ''X''가 양의 정부호 행렬일 필요충분조건은 ''C''와 ''C''의 보수행렬 ''X/C''가 모두 양의 정부호 행렬인 것이다.

:

X \succ  0 \Leftrightarrow C \succ  0, X/C = A - B C^{-1} B^\mathrm{T} \succ  0.

만약 ''A''가 양의 정부호 행렬이면, ''X''가 양의 준정부호 행렬일 필요충분조건은 보수행렬 ''X/A''가 양의 준정부호 행렬인 것이다.^[2]

:

\text{If } A \succ 0, \text{ then } X \succeq 0 \Leftrightarrow X/A = C - B^\mathrm{T} A^{-1} B \succeq 0.

만약 ''C''가 양의 정부호 행렬이면, ''X''가 양의 준정부호 행렬일 필요충분조건은 보수행렬 ''X/C''가 양의 준정부호 행렬인 것이다.

:

\text{If } C \succ 0,\text{ then } X \succeq 0 \Leftrightarrow X/C = A - B C^{-1} B^\mathrm{T} \succeq 0.

첫 번째와 세 번째 명제는 양의 정부호 행렬을 따르는 최소화 값으로 고려함으로써 유도할 수 있다.^[8]

:

u^\mathrm{T} A u + 2 v^\mathrm{T} B^\mathrm{T} u + v^\mathrm{T} C v,

(''u''에 대한) ''v''의 함수로.

또한, 다음이 성립하므로

:

\begin{bmatrix} A & B \\ B^\mathrm{T} & C \end{bmatrix} \succ 0\Longleftrightarrow \begin{bmatrix} C & B^\mathrm{T} \\ B & A \end{bmatrix} \succ 0

그리고 양의 준정부호 행렬에 대해서도 마찬가지이므로, 두 번째 명제는 첫 번째 명제로부터, 네번째 명제는 세 번째 명제로부터 직접적으로 도출된다.

일반화 역행렬을 사용하여 ''X''의 양의 준정부호성에 대한 필요충분조건도 있다.^[2]

$X \succeq 0 \Leftrightarrow A \succeq 0, C - B^\mathrm{T} A^g B \succeq 0, \left(I - A A^{g}\right)B = 0 \,$ 그리고
$X \succeq 0 \Leftrightarrow C \succeq 0, A - B C^g B^\mathrm{T} \succeq 0, \left(I - C C^g\right)B^\mathrm{T} = 0,$

여기서

A^g

는

A

의 일반화 역행렬을 나타낸다.

7. 2. 양의 준정부호성 조건

실수 성분으로 이루어진 대칭 행렬 ''X''가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

:

X = \left[\begin{matrix} A & B \\ B^\mathrm{T} & C\end{matrix}\right].

만약 ''A''가 가역행렬이면, ''X''가 양의 정부호 행렬일 필요충분조건은 ''A''와 ''A''의 슈어 보수 ''X/A''가 모두 양의 정부호 행렬인 것이다.

:

X \succ  0 \Leftrightarrow  A \succ  0, X/A = C - B^\mathrm{T} A^{-1} B \succ  0.

만약 ''C''가 가역행렬이면, ''X''가 양의 정부호 행렬일 필요충분조건은 ''C''와 ''C''의 슈어 보수 ''X/C''가 모두 양의 정부호 행렬인 것이다.

:

X \succ  0 \Leftrightarrow C \succ  0, X/C = A - B C^{-1} B^\mathrm{T} \succ  0.

만약 ''A''가 양의 정부호 행렬이면, ''X''가 양의 준정부호 행렬일 필요충분조건은 슈어 보수 ''X/A''가 양의 준정부호 행렬인 것이다.^[2]

:

\text{If } A \succ 0, \text{ then } X \succeq 0 \Leftrightarrow X/A = C - B^\mathrm{T} A^{-1} B \succeq 0.

만약 ''C''가 양의 정부호 행렬이면, ''X''가 양의 준정부호 행렬일 필요충분조건은 슈어 보수 ''X/C''가 양의 준정부호 행렬인 것이다.

:

\text{If } C \succ 0,\text{ then } X \succeq 0 \Leftrightarrow X/C = A - B C^{-1} B^\mathrm{T} \succeq 0.

첫 번째와 세 번째 명제는 양의 정부호 행렬을 따르는 최소화 값으로 고려함으로써 유도할 수 있다.^[8]

:

u^\mathrm{T} A u + 2 v^\mathrm{T} B^\mathrm{T} u + v^\mathrm{T} C v, \,

(''u''에 대한 고정된) ''v''의 함수.

또한, 다음이 성립한다.

:

\left[\begin{matrix} A & B \\ B^\mathrm{T} & C \end{matrix}\right] \succ 0\Longleftrightarrow \left[\begin{matrix} C & B^\mathrm{T} \\ B & A \end{matrix}\right] \succ 0

그리고 양의 준정부호 행렬에 대해서도 마찬가지이므로, 두 번째 명제는 첫 번째 명제로부터, 네 번째 명제는 세 번째 명제로부터 직접적으로 도출된다.

일반화된 슈어 보수를 사용하여 ''X''의 양의 준정부호성에 대한 필요충분조건을 제시할 수 있다.^[2]

$X \succeq 0 \Leftrightarrow A \succeq 0, C - B^\mathrm{T} A^g B \succeq 0, \left(I - A A^{g}\right)B = 0 \,$
$X \succeq 0 \Leftrightarrow C \succeq 0, A - B C^g B^\mathrm{T} \succeq 0, \left(I - C C^g\right)B^\mathrm{T} = 0,$

여기서

A^g

는

A

의 일반화 역행렬을 나타낸다.

참조

_[1] 논문 Über Potenzreihen die im Inneren des Einheitskreises beschränkt sind https://eudml.org/do[...]
_[2] 서적 The Schur Complement and Its Applications Springer
_[3] 간행물 "On the Schur Complement" Basel Mathematical Notes 1968-06
_[4] 논문 Unified theory of nuclear reactions
_[5] 논문 An identity for the Schur complement of a matrix https://www.ams.org/[...] 1969
_[6] 논문 Effective resistance is more than distance: Laplacians, Simplices and the Schur complement https://linkinghub.e[...] 2022
_[7] 서적 Mathematical theory of probability and statistics https://archive.org/[...] Academic Press
_[8] 서적 Convex Optimization Cambridge University Press
_[9] 서적 The Schur Complement and Its Applications Springer
_[10] 간행물 "On the Schur Complement" Basel Mathematical Notes 1968-06
_[11] 서적 Mathematical theory of probability and statistics Academic Press
_[12] 서적 Convex Optimization Cambridge University Press
_[13] 서적 The Schur Complement and Its Applications Springer
_[14] 간행물 "On the Schur Complement" Basel Mathematical Notes 1968-06

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