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시 (기하학)

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1. 개요

시(矢, Sagitta)는 원의 현과 호로 둘러싸인 영역을 의미하며, 기하학에서 중요한 개념으로 사용된다. 현의 길이, 높이(화살거리), 반지름 사이의 관계를 나타내는 다양한 공식이 존재하며, 특히 화살거리가 반지름에 비해 작을 때 근사 공식을 사용할 수 있다. 활꼴은 건축, 토목 공학에서 구조물 설계에 활용되며, 물리학에서는 가속 입자의 곡률 반경을 계산하는 데 사용된다. 중국의 심괄은 활꼴과 관련된 근사 공식을 제시했으며, 곽수경은 이를 발전시켰다.

시 (기하학)
개요

이미지 준비중입니다.

현(기하학)과 시(s) 사이의 관계. r은 원의 반지름이다.
정의현의 중점과 원호의 중점 사이의 거리
다른 이름애펄라타, 화살
공식
공식 명칭s = r - √(r² - (ℓ/2)²)
변수 설명s: 시 (sagitta)
r: 반지름
ℓ: 현의 길이
활용
활용 분야건축학
광학
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목차

2. 정의

활꼴은 원의 현과 호로 둘러싸인 영역이다. 활꼴에서 현의 길이(l)는 높이(화살거리, s)와 반지름(r)에 대하여,
: s= r -\sqrt{r^2 - \left( \right)^2}
,
: l = 2 \sqrt{2rs - s^2}
의 관계가 있다.

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예시) L(현),s(시),r(반지름)
예시) L(현),s(시),r(반지름)

3. 공식

예시) L(현),s(시),r(반지름)
예시) L(현),s(시),r(반지름)

활꼴에서 현의 길이(l)는 높이(화살거리, s)와 반지름(r)에 대해 다음 관계가 있다.
: r^2 = \left( \right)^2 + (r-s)^2
: s= r -\sqrt{r^2 - \left( \right)^2}
: l = 2 \sqrt{2rs - s^2}
s는 시타(호의 깊이 또는 높이)를 나타내고, r은 원의 반지름과 같으며, l은 호의 밑변을 가로지르는 현의 길이를 나타낸다. \tfrac12l과 r - s는 r이 빗변인 직각삼각형의 두 변이므로, 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립한다.
: r^2 = \left(\tfrac12l\right)^2 + \left(r-s\right)^2.
이 식을 재배열하여 다른 세 가지를 구할 수 있다.
: \begin{align}
s &= r - \sqrt{r^2 - \tfrac14l^2}, \\[10mu]
l &= 2\sqrt{2rs - s^2}, \\[5px]
r &= \frac{s^2 + \tfrac14l^2}{2s} = \frac{s}{2}+\frac{l^2}{8s}.
\end{align}
시타는 versine 함수로부터도 계산할 수 있는데, 이 함수는 중심각 의 각을 가지는 호에 적용되며, 단위원의 versine과 일치한다.
: s = r \operatorname{versin}\theta = r\left(1-\cos\theta\right) = 2r\sin^2\frac\theta 2.

4. 근사

예시) L(현),s(시),r(반지름)
예시) L(현),s(시),r(반지름)

활꼴에서 화살거리(s)가 반지름(r)에 비해 매우 작을 때, 다음 공식을 사용할 수 있다.
:s\approx \frac{l^2}{8r}.

화살거리(s)가 작고, 화살거리, 반지름, 현의 길이가 알려져 있다면, 다음 공식을 사용하여 호의 길이를 추정할 수 있다.
:a\approx l+\frac{2 s^2}{r}\approx l+\frac{8 s^2}{3 l},
여기서 는 호의 길이를 나타낸다.

이 공식은 중국의 수학자 심괄에게 알려졌으며, 2세기 후에 곽수경에 의해 더 정확한 공식이 개발되었다.

5. 응용

활꼴은 건축, 토목 공학에서 곡선 벽, 아치형 천장, 교량 등 다양한 구조물을 설계하는 데 널리 사용되는 "평평해진" 호를 만드는 데 사용된다.

물리학에서는 시(矢, Sagitta)가 가속 입자의 곡률 반지름을 계산하는 데 사용된다. 특히 거품 상자 실험에서 붕괴 입자의 운동량을 결정하는 데 활용된다. 역사적으로, 시는 구심 시스템에서 움직이는 물체의 계산에 사용되었으며, 아이작 뉴턴의 프린키피아에서도 이 방법이 사용되었다.

6. 역사

6.1. 동아시아

중국의 수학자 심괄(沈括, 1031년 ~ 1095년)은 사깃타, 반지름, 현의 길이를 이용하여 호의 길이를 추정하는 근사 공식을 제시했다. 2세기 후, 곽수경(郭守敬, 1231년 ~ 1316년)은 심괄의 연구를 발전시켜 사깃타를 포함하는 더 정확한 공식을 개발했다.

6.2. 서양

건축가, 엔지니어, 시공업자들은 곡선 벽, 아치형 천장, 다리 등 다양한 구조물에 "평평해진" 활꼴을 만들기 위해 관련 방정식을 활용한다. 처짐(sagitta)은 물리학에서도 사용되는데, 현의 길이와 함께 가속 입자의 곡률 반경을 계산하는 데 사용된다. 이는 특히 거품 상자 실험에서 붕괴 입자의 운동량을 결정하는 데 활용된다. 역사적으로 처짐은 구심 시스템에서 움직이는 물체의 계산 매개변수로도 사용되었으며, 아이작 뉴턴(Isaac Newton, 1643년 1월 4일 ~ 1727년 3월 31일)은 그의 저서 《프린키피아》에서 이 방법을 사용했다.

7. 한국의 활꼴