현 (기하학)

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1. 개요

현은 원의 둘레 위의 두 점을 잇는 선분으로 정의되며, 원의 성질과 삼각법에서 중요한 역할을 한다. 원의 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으면 길이가 같고, 원의 중심을 지나는 현은 지름으로 가장 긴 현이다. 타원에서는 평행한 현의 중점이 일직선상에 놓인다. 고대 삼각법에서는 현 함수를 사용하여 각도와 현의 길이를 연결했으며, 현대의 사인 함수와 밀접한 관련이 있다. 현 함수는 단위원 위의 두 점 사이의 현의 길이로 정의되며, 사인 함수와 반각 공식을 통해 관계를 나타낼 수 있다.

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1. 개요
2. 원의 현
3. 타원의 현
4. 삼각법에서의 현
- 4.1. 현 함수
- 4.2. 역 현 함수

2. 원의 현

현은 원둘레를 두 개의 호로 나누며, 호와 함께 활꼴을 이룬다. 현은 원에 내접하는 정다각형의 한 변이 될 수 있다.

2.1. 원의 현의 성질

* 현의 길이가 같을 필요충분조건은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있다는 것이다.
* 길이가 같은 현은 원의 중심에서 같은 크기의 중심각을 갖는다.
* 원의 중심을 지나는 현은 지름이며, 해당 원에서 가장 긴 현이다.
* 현 $\overline{AB}$ 와 $\overline{CD}$ 의 연장선(할선)이 점 $P$ 에서 만날 때, $AP \cdot PB = CP \cdot PD$ 가 성립한다(방멱의 정리).

2.2. 현과 지름의 관계

유클리드 기하학 원론 제3권 법칙35에 따르면, 원의 중심을 지나는 현(지름)

\overline{AB}

가 다른 현

\overline{CD}

를 수직이등분할 때, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

\overline{OC}^2 = \overline{CE}^2+ \overline{OE}^2

\overline{OC} = \overline{OB} =  \overline{AO}

\overline{OB}= \overline{OE}  + \overline{EB}

따라서
:

\overline{CE}^2 =\overline{OC}^2 - \overline{OE}^2

\overline{CE}^2 =\overline{AO}^2 - \overline{OE}^2

그리고
:

\overline{AO}^2 - \overline{OE}^2  = \left( \overline{AO} -\overline{OE}\right) \left(\overline{AO}+ \overline{OE} \right)

\overline{AO}^2 - \overline{OE}^2  = \left( \overline{EB}\right) \left(\overline{AE} \right)

따라서
:

\left( \overline{CE}\right) \left(\overline{CE} \right)  =\left( \overline{EB}\right) \left(\overline{AE} \right)

\left( \overline{CE}\right) \left(\overline{ED} \right)  =\left( \overline{EB}\right) \left(\overline{AE} \right)

이다.

이렇게 현의 길이와 지름의 길이는 일대일 대응한다.

2.3. 정다각형과 현

현은 원에 내접하는 정다각형의 한 변이 될 수 있다. 단위원에 내접하는 정다각형의 한 변인 현의 길이는 정다각형의 변의 개수에 따라 결정되며, 다음 표와 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

정다각형(n)	변심거리	현의 길이
3	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
4	$\frac{\sqrt{2}}{2}$ \|\| $\sqrt{2}$
5	$\sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{10 + 2\sqrt{5}}}$ \|\| $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}$
6	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ \|\| $\sqrt{1}$
8		$\sqrt{2 - \sqrt{2}}$
12		$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

3. 타원의 현

타원에서 서로 평행한 현들의 중점은 모두 일직선상에 있다。

4. 삼각법에서의 현

현은 삼각법의 초기 발전에 광범위하게 사용되었다. 히파르코스는 기원전 2세기에 최초로 알려진 삼각 함수표를 편찬했는데, 이는 현재 남아 있지 않지만 현 함수의 값을 표로 만든 것(7½° 단위)이었다. 2세기경, 프톨레마이오스는 그의 천문학 서적에서 더욱 방대한 현의 표를 편찬하여 1/2° 간격으로 1/2°부터 180°까지의 각도에 대한 현의 값을 제시했다. 프톨레마이오스는 지름이 120인 원을 사용했으며, 정수 부분 이후 두 개의 육십진법(60진법) 자릿수까지 정확한 현의 길이를 제시했다.

초기 삼각법에서는 현이 널리 사용되었다. 알려진 가장 오래된 삼각함수표는 히파르코스가 편찬한 현의 표로, 7.5° 간격으로 현 함수의 값이 나열되어 있었다. 2세기에 알렉산드리아의 프톨레마이오스는 천문학 서적인 알마게스트에서 보다 상세한 현의 표(0.5°부터 180°까지 0.5° 간격, 원의 지름 120, 소수점 이하 60진법 두 자리까지 정확)를 편찬하였다.

4.1. 현 함수

현 함수는 그림과 같이 기하학적으로 정의된다. 각의 현은 그 중심각으로 분리된 단위원 위의 두 점 사이의 현의 길이이다. 각 θ는 양의 방향으로 취해지며 0 < θ ≤ π (라디안 측정) 구간에 있어야 한다. 현 함수는 한 점을 (1,0)으로, 다른 점을 (cos θ, sin θ)으로 취하고, 피타고라스 정리를 사용하여 현의 길이를 계산함으로써 현대의 사인 함수와 관련 지을 수 있다.

:

\operatorname{crd}\ \theta = \sqrt{(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta} = \sqrt{2-2\cos \theta} =2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right).

마지막 단계는 반각 공식을 사용한다. 현대 삼각법이 사인 함수를 기반으로 하는 것처럼 고대 삼각법은 현 함수를 기반으로 했다. 히파르코스는 현에 관한 12권짜리 저술을 썼다고 알려져 있지만, 현재 모두 소실되었으므로, 상당한 지식이 있었을 것으로 추정된다.

현 함수는 사인 함수와 유사한 여러 항등식을 만족시킨다.

👆

좌우로 밀어서 보기

이름	사인 기반	현 기반
피타고라스 정리	$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \,$	$\operatorname{crd}^2 \theta + \operatorname{crd}^2 (\pi- \theta) = 4 \,$
반각 공식	$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \,$	$\operatorname{crd}\ \frac{\theta}{2} = \sqrt{2-\operatorname{crd}(\pi - \theta)} \,$
중앙선 (a)	$c=2 \sqrt{r^2- a^2}$	$c=\sqrt{D ^2-4 a^2}$
각 (θ)	$c=2 r \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$	$c=\frac{D}{2} \operatorname{crd}\ \theta$

역함수도 존재한다.

:

\theta = 2\arcsin\frac{c}{2r}

4.2. 역 현 함수

현 함수 crd의 역함수 acrd도 존재하며, 역사인 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

: $\operatorname{acrd}(y) = 2\arcsin\Bigl(\frac{y}{2}\Bigr)$