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알라디-그린스테드 상수

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1. 개요

알라디-그린스테드 상수는 팩토리얼과 소수의 관계를 설명하는 수학적 개념이다. 함수 α(n)을 통해 팩토리얼을 소수의 거듭제곱 형태로 재정렬하고, 이 과정에서 나타나는 극한값을 계산한다. 이 함수의 극한값은 뤼로스 상수와 리만 제타 함수를 사용하여 표현할 수 있으며, 약 0.8093940205...에 접근한다.

알라디-그린스테드 상수
지도 정보
기본 정보
이름알라디-그린스테드 상수
분야수학
정의모든 양의 정수에 대한 다음 표현식의 값: Σ (-1)ⁿ⁻¹ / (n * ζ(n)) = 1 - 1/(2*ζ(2)) + 1/(3*ζ(3)) - ... 여기서 ζ(n)은 리만 제타 함수임.
값0.26854499794...
표기A
다른 이름알라디 상수, 알라디-그린스테드 상수
수학적 속성
성질초월수인지 여부는 알려지지 않음.
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목차

2. 팩토리얼과 소수

n!의 몇몇 초기 팩토리얼을 고려해본다.
가장 작은 소수로부터 자연수의 순서로 대상 정수n의 개수대로 재정렬한다.

4! = 4 \cdot 3!
\;\;\; = 4 \cdot 3 \cdot 2
\;\;\; = 2^2 \cdot 3 \cdot 2
\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

5! = 5 \cdot 4!
\;\;\; = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2
\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5
\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot3 \cdot 5

6! = 6 \cdot 5!
\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 5!
\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5
\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5
\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5

7! = 7 \cdot 6!
\;\;\; =7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5
\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7
\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7

8! = 8 \cdot 7!
\;\;\; = 2^3 \cdot 7!
\;\;\; = 2^3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7
\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8

9! = 9 \cdot 8!
\;\;\; = 3^2 \cdot 8!
\;\;\; = 3^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 3^2
\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8

10! = 10 \cdot 9!
\;\;\; = 2 \cdot 5 \cdot 9!
\;\;\; = 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 2^3
\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8 \cdot 8

팩토리얼 정보가 소수의 제곱의 정보로 이동된다.

:\alpha(n) =
:p=m(n)=max \left( P^{begin} \right)

:p는 n!에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값P이다.

2.1. 예시

4!부터 10!까지의 팩토리얼을 소수의 곱으로 나타내면 다음과 같다.

:4! = 4 \cdot 3!
: \;\;\; = 4 \cdot 3 \cdot 2
: \;\;\; = 2^2 \cdot 3 \cdot 2
: \;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

:5! = 5 \cdot 4!
:\;\;\; = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2
:\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5
:\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot3 \cdot 5

:6! = 6 \cdot 5!
:\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 5!
:\;\;\; = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5
:\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5
:\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5

:7! = 7 \cdot 6!
:\;\;\; =7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5
:\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7
:\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7

:8! = 8 \cdot 7!
:\;\;\; = 2^3 \cdot 7!
:\;\;\; = 2^3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7
:\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
:\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8

:9! = 9 \cdot 8!
:\;\;\; = 3^2 \cdot 8!
:\;\;\; = 3^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
:\;\;\; = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 3^2
:\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
:\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8

:10! = 10 \cdot 9!
:\;\;\; = 2 \cdot 5 \cdot 9!
:\;\;\; = 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
:\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
:\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
:\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 2^3
:\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8 \cdot 8

이 과정에서 팩토리얼 정보가 소수의 제곱 정보로 이동하는 것을 보여준다.

:\alpha(n) =
:p=m(n)=max \left( P^{begin} \right)

:p는 n!에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값P이다.

3. 함수 α(n)

n!의 몇몇 초기 팩토리얼을 고려해본다. 가장 작은 소수로부터 자연수의 순서로 대상 정수n의 개수대로 재정렬한다.

:4! = 4 \cdot 3! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3
:5! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot3 \cdot 5
:6! = 6 \cdot 5! = 2 \cdot 3 \cdot 5! = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5
:7! = 7 \cdot 6! =7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7
:8! = 8 \cdot 7! = 2^3 \cdot 7! = 2^3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8
:9! = 9 \cdot 8! = 3^2 \cdot 8! = 3^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 3^2
:\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8
:10! = 10 \cdot 9! = 2 \cdot 5 \cdot 9! = 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
:\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8 \cdot 8

팩토리얼 정보가 소수의 제곱의 정보로 이동된다.

:\alpha(n) =
:p=m(n)=max \left( P^{begin} \right)
:p는 n!에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값P이다.

3.1. 정의

n!의 몇몇 초기 팩토리얼을 고려해본다. 가장 작은 소수로부터 자연수의 순서로 대상 정수n의 개수대로 재정렬한다.

:4! = 4 \cdot 3! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3
:5! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot3 \cdot 5
:6! = 6 \cdot 5! = 2 \cdot 3 \cdot 5! = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5
:7! = 7 \cdot 6! =7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7
:8! = 8 \cdot 7! = 2^3 \cdot 7! = 2^3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8
:9! = 9 \cdot 8! = 3^2 \cdot 8! = 3^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 3^2
:\;\;\; = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8
:10! = 10 \cdot 9! = 2 \cdot 5 \cdot 9! = 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3
:\;\;\; = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot7 \cdot 8 \cdot 8

팩토리얼 정보가 소수의 제곱의 정보로 이동된다.

:\alpha(n) =
:p=m(n)=max \left( P^{begin} \right)
:p는 n!에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값P이다.

4. α(n)의 극한값

\alpha(8)과 \alpha(9)의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다.
:\alpha(8) = ==={1\over3}=0.3333\cdots
:\alpha(9) = ==={1\over2}=0.5
:n이 무한히 커지면서 \alpha (n)은 0.80939 40205 ....에 접근한다.
:\lim_{n\to\infty} \alpha (n)= e^{c-1}= 0.80939 40205 ....(OEIS A085291)
: c = \sum_{k=2}^{\infty} {1\over k}\ln \;\;\; c는 뤼로스 상수이다.
: c = \sum_{n=1}^{\infty} \;\;\; \zeta는 리만 제타 함수이다.
: \;\;\; = 0.78853 05659 ... (OEIS A085361)

4.1. 극한값 계산

\alpha(8)과 \alpha(9)의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다.
:\alpha(8) = ==={1\over3}=0.3333\cdots
:\alpha(9) = ==={1\over2}=0.5
:n이 무한히 커지면서 \alpha (n)은 0.80939 40205 ....에 접근한다.
:\lim_{n\to\infty} \alpha (n)= e^{c-1}= 0.80939 40205 ....(OEIS A085291)
: c = \sum_{k=2}^{\infty} {1\over k}\ln \;\;\; c는 뤼로스 상수이다.
: c = \sum_{n=1}^{\infty} \;\;\; \zeta는 리만 제타 함수이다.
: \;\;\; = 0.78853 05659 ... (OEIS A085361)