맨위로가기

얽힘 엔트로피

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

얽힘 엔트로피는 힐베르트 공간의 순수 상태를 두 부분으로 나눌 때, 한 부분의 밀도 행렬에 대한 폰 노이만 엔트로피로 정의된다. 이는 양자 시스템의 얽힘 정도를 측정하는 중요한 척도이다.

얽힘 엔트로피는 폰 노이만 얽힘 엔트로피와 레니 얽힘 엔트로피로 나눌 수 있다. 폰 노이만 얽힘 엔트로피는 감소 밀도 행렬의 폰 노이만 엔트로피로 정의되며, 레니 얽힘 엔트로피는 레니 지수를 사용하여 정의된다. 얽힘 엔트로피는 슈미트 분해의 특이값을 사용하여 표현할 수 있으며, 얽힘 척도와 밀접한 관련이 있다.

이분 얽힘 엔트로피는 면적 법칙을 따르며, 이는 양자 다체계의 복잡성을 줄이는 데 중요한 역할을 한다.

2. 이분 얽힘 엔트로피

양자 시스템을 A와 B 두 부분으로 나누었을 때, 각 부분계의 축소 밀도 행렬을 이용하여 얽힘 엔트로피를 정의한다.

양자 시스템이 N개의 입자로 구성되어 있다고 가정할 때, 시스템을 두 부분 A와 B로 나누는 것을 이분할이라고 하며, 각 부분은 각각 k개와 l개의 입자를 포함하고 k+l=N을 만족한다. 이분할 얽힘 엔트로피는 이 이분할과 관련하여 정의된다.

이분할된 상태는 폰 노이만 얽힘 엔트로피 또는 레니 얽힘 엔트로피를 통해 얽힘 정도를 측정할 수 있다.[1]

2. 1. 폰 노이만 얽힘 엔트로피

폰 노이만 얽힘 엔트로피는 얽힘 엔트로피의 가장 기본적인 형태이며, 감소 밀도 행렬을 이용하여 측정한다.[1]

2. 1. 1. 정의

힐베르트 공간 \mathcal H=\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B에 속한 순수 상태 |\psi\rangle\in\mathcal H를 생각하자. 여기에 \mathcal H_A 또는 \mathcal H_B 방향으로 대각합을 가해, 다음과 같은 밀도 행렬들을 정의할 수 있다.

:\rho=|\psi\rangle\langle\psi|

:\rho_A=\operatorname{tr}_B\rho

:\rho_B=\operatorname{tr}_A\rho

이 경우, 순수 상태 |\psi\rangle의 '''얽힘 엔트로피'''는 \rho_A 또는 \rho_B의 폰 노이만 엔트로피이다. (이 둘은 일치한다는 것을 보일 수 있다.)

:S_{AB}=-\operatorname{tr}_A(\rho_A\ln\rho_A)=-\operatorname{tr}_B(\rho_B\ln\rho_B)

이는 두 감소 상태 중 하나의 폰 노이만 엔트로피로 정의되며, 두 상태의 값이 같기 때문이다(분할에 대한 상태의 슈미트 분해로부터 증명될 수 있다). 결과는 어떤 상태를 선택하든 관계없이 동일하다. 즉, 순수 상태 \rho_{AB}= |\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB}에 대해 다음과 같이 주어진다.

:\mathcal{S}(\rho_A)= -\operatorname{Tr}[\rho_A\operatorname{log}\rho_A] = -\operatorname{Tr}[\rho_B\operatorname{log}\rho_B] = \mathcal{S}(\rho_B)

여기서 \rho_{A}=\operatorname{Tr}_B(\rho_{AB}) 및 \rho_{B}=\operatorname{Tr}_A(\rho_{AB})는 각 분할에 대한 감소 밀도 행렬이다.

얽힘 엔트로피는 상태의 슈미트 분해의 특이값을 사용하여 표현할 수 있다. 모든 순수 상태는 |\Psi \rangle = \sum_{i =1} ^m \alpha _i |u_i \rangle_A \otimes |v_i \rangle_B로 쓸 수 있으며, 여기서 |u_i\rangle_A 및 |v_i\rangle_B 는 각각 부분 시스템 A와 부분 시스템 B에서 정규 직교 상태이다. 얽힘 엔트로피는 다음과 같다.

:-\sum_i \alpha_i^2 \log(\alpha_i^2)

이러한 형태의 엔트로피 표기는 A 또는 B 부분 시스템에 대해 부분 추적을 계산하는 것과 관계없이 얽힘 엔트로피가 동일하다는 것을 명확하게 보여준다.

2. 1. 2. 슈미트 분해

힐베르트 공간 \mathcal H=\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B에 속한 순수 상태 |\psi\rangle\in\mathcal H가 있다고 하자. 이 경우, 순수 상태 |\psi\rangle는 다음과 같은 슈미트 분해를 통해 표현할 수 있다.

:|\Psi \rangle = \sum_{i =1} ^m \alpha _i |u_i \rangle_A \otimes |v_i \rangle_B

여기서 |u_i\rangle_A 및 |v_i\rangle_B 는 각각 부분 시스템 A와 부분 시스템 B에서 정규 직교 상태이다.

이때 얽힘 엔트로피는 다음과 같이 슈미트 분해의 특이값(\alpha_i)을 사용하여 표현할 수 있다.

:-\sum_i \alpha_i^2 \log(\alpha_i^2)

이러한 표현은 얽힘 엔트로피가 A 또는 B 부분 시스템에 대해 대각합을 계산하는 것과 관계없이 동일하다는 것을 보여준다.[1]

2. 1. 3. 다른 얽힘 척도와의 관계

많은 얽힘 척도는 순수 상태에 대해 평가될 때 얽힘 엔트로피로 수렴한다. 이러한 척도에는 다음이 포함된다.

  • 추출 가능한 얽힘
  • 얽힘 비용
  • 형성 얽힘
  • 얽힘의 상대 엔트로피
  • 압착된 얽힘


얽힘 엔트로피로 수렴하지 않는 일부 얽힘 척도는 다음과 같다.

  • 음수성
  • 로그 음수성
  • 얽힘의 견고성[1]

2. 2. 레니 얽힘 엔트로피

레니 얽힘 엔트로피 \mathcal{S}_\alpha는 축소된 밀도 행렬과 레니 지수 \alpha \geq 0로 정의된다. 이는 축소된 밀도 행렬의 레니 엔트로피로 정의된다.

: \mathcal{S}_\alpha (\rho_A) = \frac{1}{1-\alpha} \operatorname{log} \operatorname{tr} (\rho_A^\alpha) = \mathcal{S}_\alpha(\rho_B)

\alpha\rightarrow 1의 극한에서, 레니 얽힘 엔트로피는 폰 노이만 얽힘 엔트로피에 접근한다.

3. 예시: 결합된 조화 진동자

양자 조화 진동자 두 개가 결합된 모델은 얽힘 엔트로피를 구체적으로 계산하는 예시이다.[2] 이 모델을 통해 폰 노이만 엔트로피와 레니 엔트로피를 계산할 수 있다.

3. 1. 모델 설정

두 개의 결합된 양자 조화 진동자를 고려해 보자. 위치는 q_A와 q_B이고, 운동량은 p_A와 p_B이며, 시스템 해밀토니안은 다음과 같다.[2]

:H=(p_A^2 + p_B^2)/2 + \omega_1^2 ( q_A^2 + q_B^2)/{2} + { \omega_2^2 (q_A - q_B)^2}/{2}

\omega_\pm^2 = \omega_1^2 + \omega_2^2 \pm \omega_2^2로, 시스템의 순수 바닥 상태 밀도 행렬은 \rho_{AB} = |0\rangle \langle 0|이고, 위치 기준에서는 다음과 같다.[2]

:\langle q_A, q_B | \rho_{AB} | q_A', q_B' \rangle \propto \exp \left( -{\omega_+ (q_A + q_B)^2}/{2} -{\omega_- (q_A - q_B)^2}/{2} -{\omega_+ (q'_A + q'_B)^2}/{2} -{\omega_- (q'_A - q'_B)^2}/{2} \right)

3. 2. 폰 노이만 엔트로피 계산

양자 조화 진동자 두 개가 결합된 경우를 생각해보자. 위치는 q_A와 q_B, 운동량은 p_A와 p_B로 나타내고, 시스템의 해밀토니안은 다음과 같다.[2]

:H=(p_A^2 + p_B^2)/2 + \omega_1^2 ( q_A^2 + q_B^2)/{2} + { \omega_2^2 (q_A - q_B)^2}/{2}

여기서 \omega_\pm^2 = \omega_1^2 + \omega_2^2 \pm \omega_2^2 이다. 시스템의 순수 바닥 상태 밀도 행렬은 \rho_{AB} = |0\rangle \langle 0|이고, 위치 기준에서는 다음과 같이 표현된다.

:\langle q_A, q_B | \rho_{AB} | q_A', q_B' \rangle \propto \exp \left( -{\omega_+ (q_A + q_B)^2}/{2} -{\omega_- (q_A - q_B)^2}/{2} -{\omega_+ (q'_A + q'_B)^2}/{2} -{\omega_- (q'_A - q'_B)^2}/{2} \right)

부분 계 A의 축소 밀도 행렬은 다음과 같다.

:\langle q_A | \rho_A | q_A' \rangle \propto \exp \left( \frac{2(\omega_+ - \omega_-)^2 q_A q_A' -(8\omega_+ \omega_- + (\omega_+ - \omega_-)^2)(q_A^2+q_A'^2) }{8(\omega_+ + \omega_-)} \right)

\rho_A는 열 평형 상태에서 진동수 \omega \equiv \sqrt{\omega_+ \omega_-}를 갖는 단일 양자 조화 진동자의 밀도 행렬과 정확히 같다. 이때 온도 T는 \omega/k_B T = \cosh^{-1} \left( \frac{8\omega_+ \omega_- + (\omega_+ - \omega_-)^2}{(\omega_+ - \omega_-)^2}\right) 로 주어지며, k_B 는 볼츠만 상수이다. \rho_A의 고윳값은 음이 아닌 정수 n에 대해 \lambda_n = (1-e^{-\omega/k_BT})e^{-n\omega/k_BT}이다. 따라서 폰 노이만 엔트로피는 다음과 같이 계산된다.

:-\sum_n \lambda_n \ln(\lambda_n) = \frac{\omega/k_BT}{e^{\omega/k_BT}-1} - \ln(1-e^{-\omega/k_BT})

마찬가지로 레니 엔트로피는 S_\alpha (\rho_A) = \frac{(1-e^{- \omega/k_B T})^\alpha}{1-e^{-\alpha \omega/k_BT}}/(1-\alpha)이다.

3. 3. 레니 엔트로피 계산

두 개의 결합된 양자 조화 진동자를 고려한다. 위치는 q_A와 q_B이고, 운동량은 p_A와 p_B이며, 시스템 해밀토니안은 다음과 같다.

:H=(p_A^2 + p_B^2)/2 + \omega_1^2 ( q_A^2 + q_B^2)/{2} + { \omega_2^2 (q_A - q_B)^2}/{2}

\omega_\pm^2 = \omega_1^2 + \omega_2^2 \pm \omega_2^2로, 시스템의 순수 바닥 상태 밀도 행렬은 \rho_{AB} = |0\rangle \langle 0|이고, 위치 기준에서는 \langle q_A, q_B | \rho_{AB} | q_A', q_B' \rangle \propto \exp \left( -{\omega_+ (q_A + q_B)^2}/{2} -{\omega_- (q_A - q_B)^2}/{2} -{\omega_+ (q'_A + q'_B)^2}/{2} -{\omega_- (q'_A - q'_B)^2}/{2} \right)이다. [2]

\langle q_A | \rho_A | q_A' \rangle \propto \exp \left( \frac{2(\omega_+ - \omega_-)^2 q_A q_A' -(8\omega_+ \omega_- + (\omega_+ - \omega_-)^2)(q_A^2+q_A'^2) }{8(\omega_+ + \omega_-)} \right)

\rho_A가 열 평형 상태에 있는 진동수 \omega \equiv \sqrt{\omega_+ \omega_-}를 가진 단일 양자 조화 진동자의 밀도 행렬과 정확히 같기 때문에, 온도 T ( \omega/k_B T = \cosh^{-1} \left( \frac{8\omega_+ \omega_- + (\omega_+ - \omega_-)^2}{(\omega_+ - \omega_-)^2}\right), 여기서 k_B 는 볼츠만 상수)에서 \rho_A의 고유값은 음이 아닌 정수 n에 대해 \lambda_n = (1-e^{-\omega/k_BT})e^{-n\omega/k_BT}이다.

마찬가지로 레니 엔트로피는 S_\alpha (\rho_A) = \frac{(1-e^{- \omega/k_B T})^\alpha}{1-e^{-\alpha \omega/k_BT}}/(1-\alpha)이다.

4. 이분 얽힘 엔트로피의 면적 법칙

양자 상태는 얽힘 엔트로피의 주요 항이 두 부분계 사이의 경계 면적에 비례하여 증가하는 경우 "면적 법칙"을 충족한다.[1]

면적 법칙은 국소적인 갭이 있는 양자 다체계의 바닥 상태에서 매우 흔하게 나타난다.[1] 이는 중요한 응용 분야를 가지고 있으며, 이러한 응용 분야 중 하나는 양자 다체계의 복잡성을 크게 줄인다는 것이다.[1] 예를 들어, 밀도 행렬 재정규화군 및 행렬 곱 상태는 암묵적으로 이러한 면적 법칙에 의존한다.[1]

참조

[1] 웹사이트 Entropy of entanglement https://www.quantiki[...] 2015-10-23
[2] 논문 Entropy and area Phys. Rev. Lett. 1993-08-02
[3] 간행물 Colloquium: Area laws for the entanglement entropy 2010-02


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com