밀도 행렬

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1. 개요
2. 통계적 방법의 필요성
- 2.1. 결맞는 혼합과 결잃은 혼합
3. 밀도 연산자
- 3.1. 밀도 연산자의 정의
- 3.2. 순수 상태와 혼합 상태
4. 밀도 연산자의 시간 변화
5. 위그너 함수와 고전적 유사성
6. 폰 노이만 엔트로피
- 6.1. 섀넌 엔트로피와의 관계
7. 밀도 연산자의 응용
8. C*-대수적 공식화
9. 밀도 연산자의 역사
참조

1. 개요

밀도 행렬은 양자역학에서 시스템의 상태를 기술하는 데 사용되는 수학적 도구이다. 순수 상태와 혼합 상태를 모두 표현할 수 있으며, 폰 노이만 엔트로피와 같은 개념을 통해 시스템의 정보를 정량화하는 데 기여한다. 밀도 연산자는 힐베르트 공간에서 작용하는 반정부호, 자기 수반 연산자로 정의되며, 폰 노이만 방정식으로 시간 변화를 설명한다. 밀도 행렬은 통계역학, 양자 결어긋남, 양자 컴퓨터 등 다양한 분야에서 활용되며, C*-대수적 공식화를 통해 고전적 및 양자적 시스템을 모두 포괄하는 설명도 가능하다. 1927년 존 폰 노이만과 레프 란다우에 의해 독립적으로 도입되었으며, 펠릭스 블로흐에 의해 발전되었다.

2. 통계적 방법의 필요성

양자역학에서, 계의 상태는 상태 벡터 또는 순수 상태라고 불리는 벡터 $| \psi \rangle$ 로 나타낼 수 있다. 그러나 이러한 방식은 실험자가 상태 벡터를 완전히 알고 있다는 것을 전제로 한다.

하지만, 실험자가 계에 대한 정보를 불완전하게만 알고 있는 경우도 있다. 특히, 양자 통계 역학에서처럼 아주 많은 수의 입자를 다루는 상황에서는, 모든 입자의 정보를 실험자가 완전히 알고 있다고 가정하기는 어렵다.

이처럼 계에 대한 정보가 부족한 상황에서 양자역학을 기술하기 위해서는, 여러 개의 순수 상태에 확률을 부여한 혼합 상태를 고려해야 한다. 예를 들어, "50% 확률로 순수 상태 $| \psi_1 \rangle$ 이고, 나머지 50% 확률로 순수 상태 $| \psi_2 \rangle$ 이다"와 같이 표현할 수 있다.

2. 1. 결맞는 혼합과 결잃은 혼합

상태들이 위상 차이까지 알려진 채로 섞여 있는 경우를 '결맞는 혼합'이라 하고, 위상 차이는 알 수 없지만 각 상태의 확률 분포만 아는 경우를 '결잃은 혼합'이라 한다.

예를 들어 임의의 상태 |''ψ''_''i''〉가 섞여있는 다음과 같은 상태를 생각해보자.

:

| \psi \rangle = \sum_i c_i | \psi_i \rangle

이 경우, 관측가능량을 나타내는 연산자 ''A''의 기댓값은 다음과 같다.

:

\langle A \rangle = \sum_i |c_i|^2  \langle \psi_i | A | \psi_i \rangle

이러한 경우를, 섞인 상태의 위상 차이까지 알기 때문에 상태들의 결맞는 혼합 상태라 한다.

하지만 실제 실험에서는 각 상태들의 위상 차이까지 알 수 있는 경우는 많지 않다. 예를 들어 갓 달궈진 오븐에서 발사되는 은 원자의 상태는 완전 무작위로 나오기 때문에 위와 같이 위상 차이까지 알아내는 것은 불가능하지만, 각 상태들이 얼마만큼 나오는지는 알 수 있다. 이러한 경우, 각 상태가 나오는 확률을 ''w''_''i'' 라 하면 ''A''의 기댓값은 다음과 같다.

:

\langle A \rangle = \sum_i w_i  \langle \psi_i | A | \psi_i \rangle

이와 같이, 계에 대한 정보가 부족한 상황에서는 통계적 방법을 통해 양자역학을 기술해야 한다. 이때 중요하게 사용되는 것이 밀도 연산자이다.

혼합 상태에서 말하는 "혼합"의 확률은 고전적인 확률론의 확률(베이즈 확률)이며, 양자역학적 상태의 중첩이 아니다. 이를 편광의 예로 설명할 수 있다. 광자에는 우원 편광과 좌원 편광이 있고, 각각 순수 상태

|R\rangle

,

|L\rangle

로 나타낼 수 있다.

양자역학에서는 상태의 중첩이 가능하므로, 어떤 광자의

|R\rangle

상태와 '''이와 같은 광자의'''

|L\rangle

상태를 1/2씩 중첩하면, 광자는 다음과 같은 상태가 된다.

:

3. 밀도 연산자

밀도 연산자는 계의 통계적 앙상블에 대한 정보를 담고 있는 연산자로, 이를 통해 관측 가능량의 기댓값을 계산할 수 있다. 어떤 계의 상태를 나타내는 밀도 연산자

\rho

는 다음과 같이 정의된다.

:

\rho = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |

여기서

w_i

는 각 상태

|\psi_i\rangle

가 나타날 확률을 의미한다.

밀도 연산자를 사용하면 관측 가능량 ''A''의 기댓값을 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

:

\langle A \rangle = \mathrm{tr} (\rho A)

밀도 행렬은 밀도 연산자를 선형 연산자로 표현한 것이다. "밀도 행렬"과 "밀도 연산자"라는 용어는 종종 서로 바꿔서 사용된다.^[2]

힐베르트 공간에서 기저 상태

|0\rangle

,

|1\rangle

를 선택하면, 2차원 밀도 연산자는 다음과 같은 행렬로 표현된다.

:

(\rho_{ij}) = \left( \begin{matrix}\rho_{00} & \rho_{01} \\\rho_{10} & \rho_{11}\end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix}p_{0} & \rho_{01} \\\rho^*_{01} & p_{1}\end{matrix} \right)

여기서 대각선 요소는 실수이며 합이 1이고(두 상태

|0\rangle

,

|1\rangle

의 모집단), 비대각선 요소는 서로의 복소 켤레이다(결맞음).

일반적으로 동일한 밀도 행렬을 생성하는 무한히 많은 다른 앙상블이 존재하며, 주어진 밀도 연산자가 순수한 상태의 어떤 앙상블을 생성하는지는 고유하게 결정되지 않는다.^[9] 이러한 앙상블은 어떤 측정으로도 구별할 수 없다.^[10]

3. 1. 밀도 연산자의 정의

밀도 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:

\rho = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |

여기서

w_i

는 각 상태

|\psi_i\rangle

의 확률이다. 밀도 연산자는 계의 통계적 앙상블에 대한 정보를 담고 있어 물리적으로 매우 중요하다.

밀도 연산자는 다음과 같은 성질을 가진다.

밀도 연산자는 에르미트 연산자이다.
밀도 행렬은 양의 준정부호를 가지고 있다.
정규화 조건 : tr(''ρ'') = 1

밀도 행렬은 밀도 연산자의 선형 연산자 표현이다. "밀도 행렬"과 "밀도 연산자"라는 용어는 종종 서로 바꿔서 사용된다.^[2]

밀도 연산자는 힐베르트 공간에서 작용하는 반정부호, 자기 수반 연산자이며 트레이스가 1이다.^[3]^[4]^[5]

순수 상태의 "앙상블"에서 사영 측정 결과 ''m''을 얻을 확률은 다음과 같다.^[19]

:

p(m) = \sum_j p_j \left\langle \psi_j\right| \Pi_m \left|\psi_j\right\rangle = \operatorname{tr} \left[ \Pi_m \left ( \sum_j p_j \left|\psi_j\right\rangle \left\langle \psi_j\right|\right) \right],

이는 밀도 연산자를 통해 다음과 같이 표현된다.

:

\rho = \sum_j p_j \left|\psi_j \right\rangle \left\langle \psi_j\right|,

얽힌 상태에 대한 국소 측정을 고려할 때, 축소 밀도 행렬은 다음과 같이 주어진다.^[19]

:

\rho = \operatorname{tr}_2 \left|\Psi\right\rangle\left\langle \Psi\right|

계의 관측 가능량 ''A''에 대해, 앙상블이 혼합 상태에 있을 때 밀도 연산자는 다음과 같다.

:

\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|.

기댓값 (양자역학)의 측정은 다음과 같이 계산된다.^[8]

:

\langle A \rangle = \operatorname{tr}( \rho A).

''A''가 스펙트럼 분해를 가질 경우, 측정 후 밀도 연산자는 다음과 같이 주어진다.^[11]^[12]

:

\rho_i' = \frac{P_i \rho P_i}{\operatorname{tr}\left[\rho P_i\right]}

측정 결과가 알려지지 않은 경우, 앙상블은 다음과 같이 표현된다.

:

\; \rho ' = \sum_i P_i \rho P_i.

글리슨 정리는 3차원 이상의 힐베르트 공간에서 선형성 가정을 비맥락성 가정으로 대체할 수 있음을 보여준다.^[13]

상태 공간 상의 완전 정규 직교계

| \psi_1 \rangle

,

| \psi_2 \rangle

, …에 대해, 상태 공간에서의

| \psi_k \rangle

방향의 사영 연산자를

P_k

라고 할 때,

:

\rho = \sum_k p_k  P_k  \quad(0 < p_k < 1, \quad \sum_k p_k \, = 1)

라는 형태로 표기할 수 있는 연산자

\rho

를 밀도 연산자(density operator) 혹은 밀도 행렬(density matrix)이라고 한다.

\rho

가 위와 같이 표기될 필요충분조건은 다음 3가지를 만족하는 것이다.

$\rho$ 는 유계인 자기 수반 작용소
$\rho$ 는 비음 작용소. 즉, $\langle\psi|\rho|\psi\rangle\ge 0$ 가 상태 공간상의 임의의 상태 벡터 $| \psi \rangle$ 에 대해 성립.
$\mathrm{tr}(\rho)=1$

따라서 이 3가지 조건을 만족하는 것을 밀도 행렬의 정의로 해도 좋다.

\mathrm{tr}(\rho)

는 상태 공간상의 완전 정규 직교 기저

| \psi_1 \rangle

,

| \psi_2 \rangle

, …를 사용하여

:

\mathrm{tr}(\rho) = \sum_k \langle \psi_k|\rho|\psi_k\rangle

로 정의된다.

밀도 행렬을 위 식 형태로 나타내는 것을 밀도 행렬의 '''사텐 분해'''라고 한다.

3. 2. 순수 상태와 혼합 상태

순수 상태는 하나의 상태 벡터

| \psi \rangle

로 기술되는 상태를 말하며, 밀도 연산자로는

\rho = | \psi \rangle \langle \psi |

와 같이 나타낼 수 있다.^[5] 이러한 밀도 연산자는 다음의 성질을 갖는다.^[2]

멱등원: $\rho^2 = \rho$
$\operatorname{tr}(\rho^2) = 1$

반면 혼합 상태는 여러 상태 벡터가 확률적으로 섞여 있는 상태를 의미한다. 예를 들어, "50% 확률로 순수 상태

| \psi_1 \rangle

이고, 나머지 50% 확률로 순수 상태

| \psi_2 \rangle

가 된다"와 같은 상태가 혼합 상태이다. 혼합 상태는 밀도 연산자의 볼록 결합으로 표현될 수 없는 상태를 말하며, 밀도 연산자의 언어에서 순수 상태와 구별되는 몇 가지 특징이 있다.^[5]

밀도 연산자의 제곱의 대각합, 즉

\operatorname{tr}(\rho^2)

값을 통해 앙상블의 순수/혼합 여부를 판별할 수 있다. 이 값이 1이면 순수 상태이고, 1보다 작으면 혼합 상태이다.^[2]

순수 상태와 혼합 상태는 양자 중첩과 구별되어야 한다. 양자 중첩은 동일한 입자가 여러 상태를 동시에 가질 수 있는 것을 의미하는 반면, 혼합 상태는 서로 다른 입자들이 다른 상태에 있을 확률을 나타낸다.

광자 편광을 예로 들어 설명하면, 개별 광자는 오른쪽 또는 왼쪽 원형 편광(

|\mathrm{R}\rangle

또는

|\mathrm{L}\rangle

)을 가질 수 있으며, 이들의 양자 중첩 상태(

\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle

, 여기서

|\alpha|^2+|\beta|^2=1

)는 선형 편광, 원형 편광, 타원 편광 등 다양한 편광 상태를 나타낼 수 있다.

수직 편광 상태

|\mathrm{V}\rangle = (|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}

는 양자 중첩의 예시이다. 이 상태의 광자를 원형 편광판에 통과시키면 절반이 흡수되는데, 이는 광자가

|\mathrm{R}\rangle

상태와

|\mathrm{L}\rangle

상태에 각각 절반씩 존재하는 것처럼 보일 수 있다. 그러나 이것은 혼합 상태가 아니며, 선형 편광판을 통과시키면 흡수가 전혀 일어나지 않는다는 점에서 혼합 상태와 구별된다.

비편광 빛(예: 백열전구의 빛)은 혼합 상태의 예시이다. 비편광 빛은 어떤 특정한 편광 상태로 표현할 수 없으며, 확률적으로 여러 편광 상태가 섞여 있는 것으로 설명된다. 예를 들어, 각 광자가 확률 1/2로

|\mathrm{R}\rangle

편광 또는

|\mathrm{L}\rangle

편광을 갖는 경우, 또는 각 광자가 확률 1/2로 수직 편광

| \mathrm{V}\rangle

또는 수평 편광

| \mathrm{H} \rangle

을 갖는 경우 모두 실험적으로 구별할 수 없는 혼합 상태이다. 이러한 비편광 빛의 밀도 연산자는 다음과 같이 표현된다.^[8]

:

\rho = \frac{1}{2} |\mathrm{R}\rangle \langle \mathrm{R}| + \frac{1}{2}|\mathrm{L}\rangle \langle \mathrm{L}| = \frac{1}{2} |\mathrm{H}\rangle \langle \mathrm{H}| + \frac{1}{2}|\mathrm{V}\rangle \langle \mathrm{V}| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.

백열전구(1)는 혼합 상태 밀도 행렬을 가진 완전히 무작위 편광된 광자(2)를 방출한다.

4. 밀도 연산자의 시간 변화

슈뢰딩거 묘사를 사용하면, 시간 ''t''₀에서 |''ψ''〉 에 있던 상태가 시간 ''t'' 에서는 슈뢰딩거 방정식에 의해 |''ψ'',''t''₀;''t''〉로 변하게 된다. 따라서 ''t'' 에서의 밀도 연산자는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\rho(t) = \sum_i w_i | \psi_i, t_0; t \rangle \langle \psi_i, t_0; t |$

이 밀도 연산자는 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 다음과 같은 방정식을 만족함을 알 수 있다.

: $i\hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = - [\rho, H]$

여기서 [·,·]는 교환자이다. 위 식은 하이젠베르크 운동방정식과 유사해 보이지만, 부호가 다르다. 밀도 연산자는 동역학적 관측가능량이 아니기 때문에 하이젠베르크 운동방정식을 만족할 필요는 없다. 위 방정식은 고전역학적으로는 리우빌 정리와 유사하다.

슈뢰딩거 방정식이 순수 상태가 시간에 따라 어떻게 진화하는지를 설명하는 것과 마찬가지로, '''폰 노이만 방정식''' ('''리우빌-폰 노이만 방정식'''이라고도 함)은 밀도 연산자가 시간에 따라 어떻게 진화하는지를 설명한다. 폰 노이만 방정식은 다음과 같다.^[20]^[21]^[22]

: $i \hbar \frac{\operatorname{d} \rho}{\operatorname{d} t} = [H, \rho]~,$

여기서 괄호는 교환자를 나타낸다.

이 방정식은 밀도 연산자가 슈뢰딩거 그림에 있다고 가정할 때만 성립한다. 비록 이 방정식이 하이젠베르크 그림에서 하이젠베르크 운동 방정식을 모방하는 것처럼 보이지만, 중요한 부호 차이가 있다.

: $i \hbar \frac{\operatorname{d} A^{(\mathrm{H})}}{\operatorname{d} t} = -\left[H, A^{(\mathrm{H})}\right] ~,$

여기서 $A^{(\mathrm{H})}(t)$ 는 어떤 ''하이젠베르크 그림'' 연산자이다. 그러나 이 그림에서 밀도 행렬은 ''시간에 의존하지 않으며'', 상대적인 부호는 기대값 $\langle A \rangle$ 의 시간 미분값이 ''슈뢰딩거 그림과 동일하게'' 나오도록 보장한다.^[5]

해밀토니안이 시간에 의존하지 않는 경우, 폰 노이만 방정식은 다음과 같이 쉽게 풀 수 있다.

: $\rho(t) = e^{-i H t/\hbar} \rho(0) e^{i H t/\hbar}.$

더 일반적인 해밀토니안의 경우, $G(t)$ 가 어떤 구간에 걸쳐 파동 함수 전파 연산자라면, 그 동일한 구간에 대한 밀도 행렬의 시간 진화는 다음과 같다.

: $\rho(t) = G(t) \rho(0) G(t)^\dagger.$

폰 노이만 방정식은 고전론에서의 리우빌 방정식에 대응하므로 '''리우빌-폰 노이만 방정식''', 또는 단순히 (양자) 리우빌 방정식이라고도 불린다. 폰 노이만 방정식은 순수 상태(상태 벡터)의 시간 발전을 기술하는 슈뢰딩거 방정식과 밀도 연산자의 정의식만 사용하여 도출할 수 있다.

5. 위그너 함수와 고전적 유사성

밀도 행렬 연산자는 위상 공간에서 실현될 수 있다. 위그너 함수를 통해 밀도 행렬은 다음과 같이 변환된다.

: $W(x,p) \,\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \, \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x + y) \psi(x - y) e^{2ipy/\hbar} \,dy.$

모얄 방정식으로 알려진 위그너 함수의 시간 변화 방정식은 폰 노이만 방정식의 위그너 변환이다.

: $\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t} = -\{\{W(x, p, t), H(x, p)\}\},$

여기서 $H(x,p)$ 는 해밀토니안이고, $\{\{\cdot,\cdot\}\}$ 는 양자 교환자의 변환인 모얄 괄호이다.

위그너 함수의 진화 방정식은 고전역학의 리우빌 방정식과 유사하다. 플랑크 상수 $\hbar$ 가 0에 가까워지는 극한에서, $W(x,p,t)$ 는 위상 공간에서 고전적인 리우빌 확률 밀도 함수로 축소된다.

6. 폰 노이만 엔트로피

폰 노이만 엔트로피 $S$ 는 밀도 행렬로 표현되는 혼합 상태의 무질서도 또는 불확실성의 정도를 나타내는 양이다. 순수 상태의 폰 노이만 엔트로피는 0이며, 혼합 상태는 0보다 큰 값을 가진다. 폰 노이만 엔트로피는 밀도 연산자 $\rho$ 의 대각합과 로그를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $S = -\operatorname{tr}(\rho \ln\rho).$

$\rho$ 는 양의 준정부호 연산자이므로, 스펙트럼 분해를 가지며, 이를 통해 엔트로피를 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $S = -\sum_i \lambda_i \ln\lambda_i.$

여기서 $|\varphi_i\rangle$ 는 정규 직교 벡터이고, $\lambda_i \ge 0$ 이며, $\textstyle \sum \lambda_i = 1$ 이다.

밀도 행렬은 어떤 혼합 상태를 나타내며, 혼합 상태는 순수한 상태의 집합에 어떤 확률 분포를 부여한 것이다. 따라서 이 확률 분포에 대해 정보 이론에서의 섀넌 엔트로피(정보량)를 정의할 수 있으며, 여기에 볼츠만 상수를 곱한 것을 밀도 행렬의 폰 노이만 엔트로피라고 한다.

폰 노이만 엔트로피는 일반적인 관측(사영 관측)을 수행했을 경우에는 증가할 수 있지만, 감소하는 일은 없다. 그러나 더 일반적인 관측을 했을 경우에는 감소하는 경우가 있다.^[33]^[34] 양자 상호작용을 혼합계 내에서 소거함으로써, 관측은 "정보를 감소시킨다" (양자 얽힘, 결어긋남 참조). 즉, 고립되지 않은 계의 폰 노이만 엔트로피를 감소시키는 것은 가능하지만, 이는 계 외부의 폰 노이만 엔트로피를 상승시키고 있는 경우에만 해당하며, 계 내외의 폰 노이만 엔트로피는 감소하지 않는다. (열역학 제2법칙 참조)

6. 1. 섀넌 엔트로피와의 관계

폰 노이만 엔트로피는 정보 이론의 섀넌 엔트로피를 양자역학적으로 확장한 개념이다.^[17] 섀넌 엔트로피는 확률 변수

X

에 대해 다음과 같이 정의된다.

:

H(X) := -\sum_j \Pr[X=j] \log_e \Pr[X=j]

여기서

\Pr[X=j]

는 확률 변수

X

가

j

값을 가질 확률이고,

\log_e

는 자연 로그이다.

밀도 행렬

\rho

를 가진 양자 시스템의 폰 노이만 엔트로피는 다음과 같이 정의된다.

:

S = -\sum_i \lambda_i \ln \lambda_i = -\operatorname{tr}(\rho \ln \rho).

여기서

\lambda_i

는 밀도 행렬

\rho

의 고윳값이고,

\ln

은 행렬 로그,

\operatorname{tr}

은 대각합이다. 이 정의는 순수 상태의 폰 노이만 엔트로피가 0임을 의미한다.^[17]

만약

\rho_i

가 직교 부분 공간에서 지지되는 상태라면, 이러한 상태의 볼록 결합

\rho = \sum_i p_i \rho_i

의 폰 노이만 엔트로피는 상태

\rho_i

의 폰 노이만 엔트로피와 확률 분포

p_i

의 섀넌 엔트로피에 의해 주어진다.

:

S(\rho) = H(p_i) + \sum_i p_i S(\rho_i).

상태

\rho_i

가 직교 지지를 갖지 않으면, 우변의 합은 볼록 결합

\rho

의 폰 노이만 엔트로피보다 엄격하게 크다.^[19]

7. 밀도 연산자의 응용

밀도 행렬은 통계역학, 양자 결어긋남, 양자 컴퓨터, 양자 정보 이론 등 다양한 분야에서 활용된다.

'''통계역학''': 정준 앙상블에서 밀도 행렬은 $\rho = \exp(-\beta H)/Z(\beta)$ 형태로 나타난다. 여기서 $\beta$ 는 역온도 $(k_{\rm B} T)^{-1}$ 이고, $H$ 는 시스템의 해밀토니안이다. $\rho$ 의 대각합이 1이라는 정규화 조건에서 분배 함수는 $Z(\beta) = \mathrm{tr} \exp(-\beta H)$ 로 정의된다. 입자 수가 불확실한 경우 폭 공간에서 상태를 합산하여 밀도 행렬을 만드는 그랜드 정준 앙상블을 적용한다.^[23]

통계역학에서 상태의 통계적 앙상블을 혼합 상태로 간주할 수 있다. 양자 통계역학에서는 어떤 해밀토니안의 각 에너지 고유 상태가 혼합되어 있다고 생각하여 밀도 행렬을 표현하는 경우가 많다. 밀도 행렬은 혼합 비율이 정준 분포로 나타낼 수 있으면 다음과 같다.

:

\rho = \frac{\mathrm{e}^{-\beta H}}{\operatorname{Tr} (\mathrm{e}^{-\beta H}) }

대정준 분포에서는 다음과 같다.

:

\rho = \frac{\mathrm{e}^{-\beta H_\mathrm{G}}}{\operatorname{Tr} (\mathrm{e}^{-\beta H_\mathrm{G}}) } = \mathrm{e}^{\beta(\Omega - H_\mathrm{G})}

여기서

\beta

는 역온도,

k_\mathrm{B}

는 볼츠만 상수,

\Omega

는 그랜드 포텐셜,

H_\mathrm{G}

는 대정준 분포에서의 해밀토니안이다.

이때 관측가능량(옵저버블)의 기대값

\langle A \rangle

는 다음과 같다.

:

\langle A \rangle = \operatorname{Tr}\{\rho A\} = \frac{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}A\}}{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\}}

특히

A

가 항등 연산자

A = Id

인 경우,

:

\langle \operatorname{Id} \rangle = \frac{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\operatorname{Id}\}}{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\}} = \frac{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\}}{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\}} = 1

을 만족한다. 또한,

A

가 해밀토니안

A = H

인 경우, 해밀토니안의 고유값을

(E_i)

로 하면,

:

\langle H \rangle = \frac{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}H\}}{\operatorname{Tr}\{\mathrm{e}^{-\beta H}\}} = \frac{\sum_i E_i\mathrm{e}^{-\beta E_i}}{\sum_i \mathrm{e}^{-\beta E_i}}

로 다시 쓸 수 있다.

'''양자 결어긋남''': 격리되지 않은 양자 시스템이 다른 시스템(측정 장치 포함)과 얽힘을 일으키는 과정을 설명하고 결과를 계산하는 데 밀도 행렬이 사용된다. 환경과의 상호작용으로 시스템은 순수 상태에서 비일관적인 혼합 상태로 전환되는데, 이는 실질적으로 비가역적이다. 이 현상은 양자역학의 고전적 극한을 설명하지만, 파동 함수 붕괴는 설명할 수 없다.^[24]
'''양자 컴퓨터, 양자 정보 이론, 열린 양자계''': 잡음( 양자 편극 채널, 진폭 감쇠 채널 등)과 양자 결어긋남이 발생하는 분야에서 밀도 행렬이 활용된다.
'''양자 토모그래피''': 측정 결과를 바탕으로 해당 결과와 일치하는 밀도 행렬을 계산하는 과정이다.^[25]^[26]
'''원자나 분자 분석''': 전자 상관 관계를 무시하고 각 전자가 독립적인 단일 입자 파동 함수를 갖는다고 가정하는 하트리-폭 방법에서 슬레이터 행렬식을 구성할 때 밀도 행렬이 사용된다.

8. C*-대수적 공식화

일반적으로 모든 자기 수반 연산자가 관측 가능한 양을 나타내는 양자 역학적 설명은 유지될 수 없다는 것이 널리 받아들여지고 있다.^[27]^[28] 이러한 이유로 관측 가능한 양은 추상 C*-대수 ''A''의 원소(즉, 연산자 대수로 구별되는 표현이 없는 것)로 식별되며, 상태는 ''A''에 대한 양의 선형 범함수이다. 그러나 GNS 구성을 사용하여, ''A''를 연산자의 부분 대수로 실현하는 힐베르트 공간을 복구할 수 있다.

기하학적으로 C*-대수 ''A'' 위의 순수한 상태는 ''A''의 모든 상태 집합의 극점인 상태이다. GNS 구성의 속성에 의해 이러한 상태는 ''A''의 기약 표현에 해당한다.

콤팩트 연산자 ''K''(''H'')의 C*-대수의 상태는 정확히 밀도 연산자에 해당하므로, ''K''(''H'')의 순수한 상태는 양자 역학적 의미의 순수한 상태와 정확히 일치한다.

C*-대수적 공식화는 고전적 및 양자적 시스템을 모두 포함하는 것으로 볼 수 있다. 시스템이 고전적인 경우, 관측 가능한 양의 대수는 아벨 C*-대수가 된다. 이 경우 상태는 확률 측도가 된다.

9. 밀도 연산자의 역사

밀도 연산자 및 행렬의 형식주의는 1927년 존 폰 노이만^[29]과 레프 란다우^[30]가 독립적으로 도입하였고, 1946년 펠릭스 블로흐^[31]가 발전시켰다. 폰 노이만은 양자 통계 역학과 양자 측정 이론을 개발하기 위해 밀도 행렬을 도입했다. 밀도 행렬이라는 이름 자체는 1932년 유진 위그너가 도입한 고전 통계 역학에서의 위상 공간 확률 측정(위치와 운동량의 확률 분포)과의 고전적 대응 관계에서 유래했다.^[3]

란다우는 복합 양자 시스템의 하위 시스템을 상태 벡터로 설명할 수 없다는 점에 착안하여 밀도 연산자를 도입했다.^[30]

참조

_[1] 서적 Principles of quantum mechanics Springer 2014
_[2] 서적 Compendium of Quantum Physics Springer Berlin Heidelberg
_[3] 논문 Description of States in Quantum Mechanics by Density Matrix and Operator Techniques
_[4] 서적 Statistical Structure of Quantum Theory Springer
_[5] 서적 Quantum Theory for Mathematicians
_[6] 서적 Quantum Mechanics, Volume 1 John Wiley & Sons 2019
_[7] 서적 Reduced Density Matrices in Quantum Chemistry Academic Press
_[8] 서적 Quantum Theory: Concepts and Methods Kluwer
_[9] 논문 The Schrödinger-HJW Theorem 2006-02
_[10] 논문 Some comments on the concept of state in quantum mechanics https://doi.org/10.1[...] 1981-11-01
_[11] 논문 Über die Zustandsänderung durch den Messprozeß
_[12] 간행물 Lüders Rule Springer Berlin Heidelberg 2009
_[13] 논문 Measures on the closed subspaces of a Hilbert space http://www.iumj.indi[...]
_[14] 논문 Quantum States and Generalized Observables: A Simple Proof of Gleason's Theorem 2003
_[15] 논문 Gleason-Type Derivations of the Quantum Probability Rule for Generalized Measurements 2004
_[16] 논문 Is There Contextuality for a Single Qubit? 2008
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_[19] 간행물 Quantum Computation and Quantum Information Cambridge University Press
_[20] 간행물 The theory of open quantum systems https://books.google[...] Oxford University Press
_[21] 간행물 Statistical mechanics https://books.google[...] Springer
_[22] 간행물 Classical Mechanics and Relativity World Scientific
_[23] 서적 Statistical Physics of Particles Cambridge University Press
_[24] 논문 Quantum Decoherence
_[25] 논문 Practical Bayesian tomography 2016-01-01
_[26] 논문 Measuring the Single-Particle Density Matrix for Fermions and Hard-Core Bosons in an Optical Lattice 2018-12-28
_[27] 간행물 Mathematical Foundations of Quantum Mechanics Dover Publications
_[28] 간행물 Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory Wiley-Interscience
_[29] 논문 Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik https://eudml.org/do[...]
_[30] 서적 Collected Papers of L.D. Landau
_[31] 논문 Density matrices as polarization vectors
_[32] 문서 本節は[[#H13|H13]]の19.1節を参考にした。
_[33] 간행물 Quantum Computation and Quantum Information Cambridge University Press
_[34] 간행물 The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics Princeton University Press

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