에르되시 추측

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1. 개요
2. 해결된 추측들
- 2.1. 조합론 및 그래프 이론
- 2.2. 수론
3. 미해결 추측들
참조

1. 개요

에르되시 추측은 수학자 에르되시 팔이 제기한 다양한 미해결 문제들을 포괄하는 개념이다. 이 추측들은 조합론, 그래프 이론, 수론, 기하학 등 여러 분야에 걸쳐 있으며, 에르되시 본인이 제안하거나 다른 학자들과 공동으로 연구한 문제들을 포함한다. 일부는 이미 해결되었지만, 많은 추측들은 여전히 미해결 상태로 남아 있다.

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에르되시 추측
에르되시 추측
분야	수론
상태	증명됨
제안자	폴 에르되시
제안 연도	1950년
증명자	벤 그린과 테렌스 타오
증명 연도	2004년
내용
내용	임의의 양의 정수 k에 대해, 역수의 합이 수렴하는 정수열 a₁, a₂, a₃, ...이 존재하면, aᵢ는 임의의 양의 정수 k에 대해 k개 항의 산술 수열을 포함한다.
같이 보기
같이 보기	그린-타오 정리 숄츠 추측

2. 해결된 추측들

에르되시가 제안한 추측들 중 일부는 오랜 시간이 지난 후 다른 수학자들에 의해 증명되거나 반증되었다. 다음은 해결된 추측들이다.

에르되시-Burr 추측
하이날-세메레디 정리
푸르스텐베르크-샤르쾨지 정리
에르되시-로바스 추측
에르되시-하일브론 추측
에르되시-그레이엄 추측
에르되시-스튜어트 추측
카메론-에르되시 추측
에르되시-멩거 추측
에르되시의 서로 다른 거리 문제
에르되시 불일치 문제
에르되시 제곱수 추측
에르되시-파버-로바스 추측
에르되시 합집합 추측
버-에르되시 추측
에르되시-랭킨 추측
에르되시 원시 집합 추측
에르되시-자우어 문제

2. 1. 조합론 및 그래프 이론

조합론 및 그래프 이론 분야에서는 여러 추측들이 해결되었다.

1978년 안드라스 샤르쾨지는 푸르스텐베르크-샤르쾨지 정리를 강화하여 양의 정수의 제곱 차이 없는 집합의 원소의 수가 가장 큰 값의 제곱근을 폴리로그 함수 인수로 초과할 수 있다는 추측을 반증하였다.^[9]
1994년 Dias da Silva와 Hamidoune은 소수를 모듈로 한 두 집합의 합의 수에 관한 조합론적 수론의 에르되시-하일브론 추측을 증명하였다.^[11]
2003-2004년 벤 그린과 Alexander Sapozhenko는 정수의 합이 없는 집합에 대한 카메론-에르되시 추측을 증명하였다.^[14]
2014년 포드, 그린, 코냐긴, 타오는 소수 간격에 대한 에르되시-랭킨 추측을 증명하였다.^[17]
2015년 9월 테렌스 타오는 ±1-수열의 부분 합에 대한 에르되시 불일치 문제에 대한 해답을 발표했으며, 2016년에 출판되었다.^[18]
1996년 중심 이항 계수 C(2''n'', ''n'')이 ''n'' > 4에 대해 제곱이 아니라는 에르되시 제곱수 추측이 증명되었다.^[19]^[20]
2022년 Jared Duker Lichtman은 원시 집합 A(집합의 어떤 구성원도 다른 구성원을 나누지 않는 집합)에 대해 $\sum_{n\in A}\frac{1}{n\log n}$ 합이 소수의 집합에서 최대값을 얻는다는 에르되시 원시 집합 추측을 증명하였다.^[21]^[22]^[23]
Erdős–Burr 추측
Hajnal–Szemerédi theorem
Furstenberg–Sárközy theorem
2000년 어니 크루트는 단위의 단색 이집트 분수 표현에 대한 조합론적 수론의 에르되시-그레이엄 추측을 증명하였다.^[12]
2001년 플로리안 루카는 디오판토스 방정식 ''n''! + 1 = ''p''_''k''^''a'' ''p''_''k''+1^''b''에 관한 에르되시-스튜어트 추측을 해결하였다.^[13]
Erdős distinct distances problem
Erdős discrepancy problem
Erdős squarefree추측

2. 1. 1. 에르되시-파버-로바스 추측

에르되시-파버-로바스 추측은 클릭의 합집합 채색에 관한 것으로, Dong Yeap Kang, Tom Kelly, 다니엘라 큔, Abhishek Methuku, 데릭 오스투스에 의해 (모든 큰 n에 대해) 증명되었다.^[4]

2. 1. 2. 에르되시 합집합 추측

집합에 관한 에르되시 합집합 추측은 2018년 조엘 모레이라(Joel Moreira), 플로리안 칼 리히터(Florian Karl Richter), 도널드 로버트슨(Donald Robertson)에 의해 증명되었다. 증명은 2019년 3월 "Annals of Mathematics"에 게재되었다.^[5]

2. 1. 3. 버-에르되시 추측

그래프의 램지 수에 관한 버-에르되시 추측은 2015년 이충범(Choongbum Lee)에 의해 증명되었다.^[6]^[7]

2. 1. 4. 하이날-세메레디 정리

공정한 채색에 관한 추측은 1970년 안드라스 하이날과 엔드레 세메레디에 의해 증명되었으며, 현재 하이날-세메레디 정리로 알려져 있다.^[8]

2. 1. 5. 에르되시-로바스 추측

미셸 데자는 1974년에 약한/강한 델타 시스템에 대한 에르되시-러바스 추측을 증명하였다.^[10]

2. 1. 6. 에르되시-멩거 추측

에르되시-멩거 추측은 무한 그래프에서 분리된 경로에 대한 추측으로, 2009년 론 아하라니와 엘리 베르거(Eli Berger)가 증명하였다.^[15]

2. 1. 7. 에르되시의 서로 다른 거리 문제

래리 거스와 네츠 카츠가 2010년에 이 문제를 증명했지만, log ''n''의 정확한 거듭제곱은 아직 결정되지 않았다.^[16]

2. 1. 8. 에르되시-자우어 문제

''n''-정점 그래프가 ''k''-정규 부분 그래프를 포함하지 않고 가질 수 있는 최대 에지 수에 관한 문제로, Oliver Janzer와 베니 수다코프에 의해 해결되었다.^[24]^[25]

2. 2. 수론

Erdős–Burr 추측
Hajnal–Szemerédi theorem
Furstenberg–Sárközy theorem
Erdős–Lovász 추측
에르되시-페이버-러바스 추측은 클릭의 합집합 채색에 관한 것으로, Dong Yeap Kang, Tom Kelly, 다니엘라 큔, Abhishek Methuku, 데릭 오스투스에 의해 (모든 큰 n에 대해) 증명되었다.^[4]
집합에 관한 에르되시 합집합 추측은 2018년 Joel Moreira, Florian Karl Richter, Donald Robertson에 의해 증명되었다. 증명은 2019년 3월 "Annals of Mathematics"에 게재되었다.^[5]
그래프의 램지 수에 관한 버-에르되시 추측은 2015년 Choongbum Lee에 의해 증명되었다.^[6]^[7]
공정한 채색에 관한 추측은 1970년 안드라스 하이날과 엔드레 세메레디에 의해 증명되었으며 현재 하이날-세메레디 정리로 알려져 있다.^[8]
약한/강한 델타 시스템에 대한 에르되시-러바스 추측은 1974년 미셸 데자에 의해 증명되었다.^[10]
무한 그래프에서 분리된 경로에 대한 에르되시-멩거 추측은 2009년 론 아하라니와 Eli Berger에 의해 증명되었다.^[15]
에르되시의 서로 다른 거리 문제. 정확한 지수는 2010년 래리 거스와 네츠 카츠에 의해 증명되었지만, log ''n''의 정확한 거듭제곱은 아직 결정되지 않았다.^[16]
에르되시-자우어 문제는 n-정점 그래프가 k-정규 부분 그래프를 포함하지 않고 가질 수 있는 최대 에지 수에 관한 것으로, Oliver Janzer와 베니 수다코프에 의해 해결되었다.^[24]^[25]

2. 2. 1. 푸르스텐베르크-샤르쾨지 정리 관련 추측

푸르스텐베르크-샤르쾨지 정리를 강화하여 양의 정수의 제곱 차이 없는 집합의 원소의 수가 가장 큰 값의 제곱근을 폴리로그 함수 인수로 초과할 수 있다는 것을 명시하는 추측은 1978년 안드라스 샤르쾨지에 의해 반증되었다.^[9]

2. 2. 2. 에르되시-하일브론 추측

에르되시-하일브론 추측은 소수를 모듈로 한 두 집합의 합의 수에 관한 조합론적 수론의 추측이다. 이 추측은 1994년 Dias da Silva와 Hamidoune에 의해 증명되었다.^[11]

2. 2. 3. 에르되시-그레이엄 추측

에르되시-그레이엄 추측은 단위의 단색 이집트 분수 표현에 대한 조합론적 수론의 추측으로, 2000년 어니 크루트에 의해 증명되었다.^[12]

2. 2. 4. 에르되시-스튜어트 추측

디오판토스 방정식 ''n''! + 1 = ''p''_''k''^''a'' ''p''_''k''+1^''b''에 관한 에르되시-스튜어트 추측은 2001년 플로리안 루카에 의해 해결되었다.^[13]

2. 2. 5. 카메론-에르되시 추측

정수의 합이 없는 집합에 대한 카메론-에르되시 추측은 2003-2004년 벤 그린과 Alexander Sapozhenko에 의해 증명되었다.^[14]

2. 2. 6. 에르되시-랭킨 추측

에르되시-랭킨 추측은 소수 간격에 대한 추측으로, 2014년 케빈 포드, 벤 그린, 세르게이 코냐긴, 테렌스 타오가 증명하였다.^[17]

2. 2. 7. 에르되시 불일치 문제

테렌스 타오는 2015년 9월에 ±1-수열의 부분 합에 대한 에르되시 불일치 문제의 해답을 발표했으며, 이 해답은 2016년에 출판되었다.^[18]

2. 2. 8. 에르되시 제곱수 추측

''n'' > 4일 때 중심 이항 계수 C(2''n'', ''n'')은 제곱수가 아니라는 에르되시 제곱수 추측은 1996년에 증명되었다.^[19]^[20]

2. 2. 9. 에르되시 원시 집합 추측

원시 집합 A(집합의 어떤 구성원도 다른 구성원을 나누지 않는 집합)에 대해

\sum_{n\in A}\frac{1}{n\log n}

합이 소수의 집합에서 최댓값을 얻는다는 추측으로, 2022년 Jared Duker Lichtman에 의해 증명되었다.^[21]^[22]^[23]

3. 미해결 추측들

다음은 아직 증명되지 않았거나 반증되지 않은 에르되시의 추측들이다.

에르되시-갸르파스 추측: 최소 차수가 3인 그래프에서 길이가 2의 거듭제곱인 사이클에 대한 추측.^[1]
에르되시-하이나르 추측: 유도된 제외된 부분 그래프로 정의된 그래프 집합에서 모든 그래프가 큰 클릭 또는 큰 독립 집합을 갖는다는 추측.^[1]
에르되시-몰린-왈시 추측: 강력한 수의 연속적인 삼중항에 대한 추측.
에르되시-셀프리지 추측: 서로 다른 모듈로를 가진 덮개 시스템은 적어도 하나의 짝수 모듈로를 포함한다는 추측.
에르되시-슈트라우스 추측: 디오판토스 방정식 4/''n'' = 1/''x'' + 1/''y'' + 1/''z'' 에 대한 추측.
등차수열에 관한 에르되시 추측: 역수의 합이 발산하는 수열에서 등차수열에 대한 추측.
에르되시-세케레시 추측: 점 집합이 큰 볼록 다각형을 포함하도록 보장하는 데 필요한 점의 수에 대한 추측.
덧셈 기저에 대한 에르되시-투란 추측: 자연수의 덧셈 기저에 대한 추측.
합리적인 역수 급수를 갖는 빠르게 증가하는 정수 수열에 대한 추측.
에르되시 정삼각형 안에 원 채우기 추측: 삼각수보다 1 작은 수의 원으로 정삼각형을 채우는 것에 대한 노먼 오일러^[2]와의 추측.
최소 중첩 문제: ''M''(''n'')의 극한을 추정하는 문제.
$2^n$ 의 삼진법 전개는 모든 $n > 8$ 에 대해 적어도 하나의 숫자 2를 포함한다는 추측.^[3]
에르되시-모저 방정식: 1¹ + 2¹ = 3¹ 외에는 해가 없다는 추측.

3. 1. 조합론 및 그래프 이론

멱수 추측
Erdős–Selfridge 추측
에르되시-스트라우스 추측
에르되시 등차수열 추측
Erdős–Szekeres추측
Erdős–Turán추측
에르되시 실베스터수열 추측
에르되시 정삼각형안에 원채우기 추측
Minimum overlap problem
강력한 수의 연속적인 삼중항에 대한 에르되시-몰린-왈시 추측.
서로 다른 모듈로를 가진 덮개 시스템은 적어도 하나의 짝수 모듈로를 포함한다는 에르되시-셀프리지 추측.
디오판토스 방정식 4/''n'' = 1/''x'' + 1/''y'' + 1/''z'' 에 대한 에르되시-슈트라우스 추측.
역수의 합이 발산하는 수열에서 등차수열에 관한 에르되시 추측.
점 집합이 큰 볼록 다각형을 포함하도록 보장하는 데 필요한 점의 수에 대한 에르되시-세케레시 추측.
자연수의 덧셈 기저에 대한 에르되시-투란 추측.
합리적인 역수 급수를 갖는 빠르게 증가하는 정수 수열에 대한 추측.
삼각수보다 1 작은 수의 원으로 정삼각형에서의 원 채우기에 대한 노먼 오일러^[2]와의 추측.
''M''(''n'')의 극한을 추정하는 최소 중첩 문제.
$2^n$ 의 삼진법 전개는 모든 $n > 8$ 에 대해 적어도 하나의 숫자 2를 포함한다는 추측.^[3]
에르되시-모저 방정식은 1^''k'' + 2^''k'' + ... + (''m'' – 1)^''k'' = ''m''^''k''에서 1¹ + 2¹ = 3¹ 외에는 해가 없다는 추측.

3. 1. 1. 에르되시-갸르파스 추측

최소 차수가 3인 그래프에서 길이가 2의 거듭제곱인 사이클에 대한 추측은 에르되시-갸르파스 추측이다.^[1]

3. 1. 2. 에르되시-하이나르 추측

에르되시-하이나르 추측은 유도된 제외된 부분 그래프로 정의된 그래프 집합에서 모든 그래프가 큰 클릭 또는 큰 독립 집합을 갖는다는 추측이다.^[1]

3. 1. 3. 에르되시-파버-로바스 추측

에르되시-파버-로바스 추측은 교차하는 크기가 최대 1인 n개의 클릭으로 구성된 그래프는 n개의 색으로 색칠할 수 있다는 추측이다.^[1]

3. 2. 수론

에르되시-파베르-로바스 추측
에르되시-갸르파스 추측
에르되시-하이날 추측
멱수 추측
에르되시 등차수열 추측
최소 중첩 문제
최소 차수가 3인 그래프에서 길이가 2의 거듭제곱인 사이클에 대한 에르되시-갸르파스 추측.
유도된 제외된 부분 그래프로 정의된 그래프 집합에서 모든 그래프가 큰 클릭 또는 큰 독립 집합을 갖는다는 에르되시-하이날 추측.^[1]
삼각수보다 1 작은 수의 원으로 정삼각형에서의 원 채우기에 대한 노먼 오일러와의 추측.^[2]
''M''(''n'')의 극한을 추정하는 최소 중첩 문제.
$2^n$ 의 삼진법 전개는 모든 $n > 8$ 에 대해 적어도 하나의 숫자 2를 포함한다는 추측.^[3]

3. 2. 1. 에르되시-몰린-왈시 추측

강력한 수의 연속적인 삼중항에 대한 에르되시-몰린-왈시 추측.^[1]

3. 2. 2. 에르되시-셀프리지 추측

서로 다른 모듈로를 가진 덮개 시스템은 적어도 하나의 짝수 모듈로를 포함한다는 추측이다.^[1]

3. 2. 3. 에르되시-슈트라우스 추측

디오판토스 방정식 4/''n'' = 1/''x'' + 1/''y'' + 1/''z''^영어에 대한 추측이다.

3. 2. 4. 등차수열에 관한 에르되시 추측

역수의 합이 발산하는 수열에서 등차수열에 관한 에르되시 추측이 있다.^[1]

3. 2. 5. 에르되시-세케레시 추측

에르되시-세케레시 추측은 점 집합이 큰 볼록 다각형을 포함하도록 보장하는 데 필요한 점의 수에 대한 추측이다.

3. 2. 6. 덧셈 기저에 대한 에르되시-투란 추측

자연수의 덧셈 기저에 대한 에르되시-투란 추측.^[1]

3. 2. 7. 실베스터 수열 관련 추측

Sylvester's sequence|실베스터 수열^영어의 각 항의 역수의 합은 1로 수렴한다. 에르되시는 합리적인 역수 급수를 갖는 빠르게 증가하는 정수 수열에 대한 추측을 제시하였다.^[2]

3. 2. 8. 에르되시-모저 방정식 관련 추측

에르되시-모저 방정식

1^k + 2^k + \cdots + (m - 1)^k = m^k

은

1^1 + 2^1 = 3^1

외에는 해가 없다는 추측이다.

3. 3. 기하학

에르되시-세케레시 추측: 점 집합이 큰 볼록 다각형을 포함하도록 보장하는 데 필요한 점의 수에 대한 추측이다.
에르되시-갸르파스 추측: 최소 차수가 3인 그래프에서 길이가 2의 거듭제곱인 사이클에 대한 추측이다.
에르되시-하이나르 추측: 유도된 제외된 부분 그래프로 정의된 그래프 집합에서 모든 그래프가 큰 클릭 또는 큰 독립 집합을 갖는다는 추측이다.^[1]
최소 중첩 문제: ''M''(''n'')의 극한을 추정하는 문제이다.

3. 3. 1. 에르되시 정삼각형 안에 원 채우기 추측

정삼각형에서의 원 채우기에 대한 노먼 오일러^[2]와의 추측으로, 삼각수보다 1 작은 수의 원을 사용한다.

3. 4. 기타

에르되시-파베르-로바스 추측
에르되시-갸르파스 추측
에르되시-하이날 추측
멱수 추측
에르되시-셀프리지 추측
에르되시-스트라우스 추측
에르되시 등차수열 추측
에르되시-세케레시 추측
에르되시-투란 추측
에르되시 실베스터수열 추측
에르되시 정삼각형안에 원채우기 추측
최소 차수가 3인 그래프에서 길이가 2의 거듭제곱인 사이클에 대한 에르되시-갸르파스 추측.
유도된 제외된 부분 그래프로 정의된 그래프 집합에서 모든 그래프가 큰 클릭 또는 큰 독립 집합을 갖는다는 에르되시-하이날 추측.^[1]
강력한 수의 연속적인 삼중항에 대한 에르되시-몰린-왈시 추측.
서로 다른 모듈로를 가진 덮개 시스템은 적어도 하나의 짝수 모듈로를 포함한다는 에르되시-셀프리지 추측.
디오판토스 방정식 4/''n'' = 1/''x'' + 1/''y'' + 1/''z'' 에 대한 에르되시-슈트라우스 추측.
역수의 합이 발산하는 수열에서 등차수열에 관한 에르되시 추측.
점 집합이 큰 볼록 다각형을 포함하도록 보장하는 데 필요한 점의 수에 대한 에르되시-세케레시 추측.
자연수의 덧셈 기저에 대한 에르되시-투란 추측.
합리적인 역수 급수를 갖는 빠르게 증가하는 정수 수열에 대한 추측.
삼각수보다 1 작은 수의 원으로 정삼각형에서의 원 채우기에 대한 노먼 오일러^[2]와의 추측.
에르되시-모저 방정식은 1¹ + 2¹ = 3¹ 외에는 해가 없다는 추측.

3. 4. 1. 최소 중첩 문제

''M''(''n'')의 극한을 추정하는 최소 중첩 문제.^[2]

3. 4. 2. 2ⁿ의 삼진법 전개 관련 추측

2ⁿ의 삼진법 전개는 모든 n > 8에 대해 적어도 하나의 숫자 2를 포함한다는 추측이다.^[3]

참조

_[1] 간행물 Ramsey-type theorems
_[2] 간행물 A finite packing problem
_[3] 간행물 Ternary expansions of powers of 2
_[4] 간행물 Mathematicians Settle Erdős Coloring Conjecture https://www.quantama[...] 2021-04-05
_[5] 간행물 A proof of a sumset conjecture of Erdős
_[6] 간행물 Choongbum Lee proved the Burr-Erdős conjecture https://gilkalai.wor[...] 2015-05-22
_[7] 간행물 Ramsey numbers of degenerate graphs
_[8] 간행물 Combinatorial theory and its applications, II (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969) North-Holland
_[9] 간행물 On difference sets of sequences of integers. II
_[10] 간행물 Solution d'un problème de Erdős-Lovász
_[11] 간행물 Cyclic spaces for Grassmann derivatives and additive theory
_[12] 간행물 Unit Fractions University of Georgia, Athens
_[13] 간행물 On a coloring conjecture about unit fractions
_[14] 간행물 On a conjecture of Erdős and Stewart
_[15] 간행물 The Cameron-Erdős conjecture
_[16] 간행물 The Cameron-Erdős conjecture
_[17] 간행물 Menger's Theorem for infinite graphs
_[18] 간행물 On the Erdős distinct distances problem in the plane 2015
_[19] 간행물 Large gaps between consecutive prime numbers 2016
_[20] 간행물 The Erdős discrepancy problem
_[21] 간행물 On divisors of binomial coefficients. I
_[22] 간행물 Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients 1996
_[23] Arxiv A proof of the Erdős primitive set conjecture 2022-02-04
_[24] 웹사이트 Graduate Student's Side Project Proves Prime Number Conjecture https://www.quantama[...] 2022-06-06
_[25] 웹사이트 Primes and Primitive Sets https://www.numberph[...] 2022-06-21
_[26] Arxiv Resolution of the Erdős-Sauer problem on regular subgraphs 2022-04-26
_[27] 웹사이트 New Proof Shows When Structure Must Emerge in Graphs https://www.quantama[...] 2022-06-23

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