에피사이클로이드

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 매개변수 방정식
- 2.2. 기하학적 의미
3. 성질
4. 증명
5. 갤러리
참조

1. 개요

에피사이클로이드는 정해진 원을 따라 다른 원이 회전할 때, 원주 위의 한 점이 그리는 곡선이다. 작은 원의 반지름을 r, 큰 원의 반지름을 R = kr로 나타낼 때, 매개변수 방정식으로 표현할 수 있으며, k 값에 따라 닫힌 곡선, 유리수 또는 무리수 형태의 곡선이 나타난다. 에피사이클로이드는 뾰족점의 개수, 길이, 넓이 등의 성질을 가지며, 면적과 호의 길이를 계산하는 공식이 존재한다.

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에피사이클로이드
정의
한국어	에피사이클로이드
영어	Epicycloid
일본어	エピサイクロイド (Episaikuroido)
개요
설명	한 원이 다른 원의 바깥쪽으로 미끄러지지 않고 굴러갈 때, 굴러가는 원의 한 정점이 그리는 자취
매개변수 방정식
변수	r: 굴러가는 원의 반지름 R: 고정된 원의 반지름 θ: 매개변수 (일반적으로 각도)
방정식	x = (R + r)cos(θ) - r cos(((R + r)/r)θ) y = (R + r)sin(θ) - r sin(((R + r)/r)θ)
특징
첨점의 개수	R/r (만약 R/r이 정수일 경우)
특수한 경우	R = r: 카디오이드 R = 2r: 네프로이드
관련 개념
관련 곡선	사이클로이드 트로코이드 하이포사이클로이드 페리트로코이드

2. 정의

에피사이클로이드는 한 원이 다른 원의 바깥쪽을 따라 굴러갈 때, 작은 원 위의 한 점이 그리는 곡선이다.

이때 작은 원을 구름원, 큰 원을 기초원이라고 부른다.

\alpha

를 접선에서 점 P까지의 각도,

\theta

를 시작점에서 접선까지의 각도라고 하면, 큰 원을 기준으로 작은 원이 미끄러짐 없이 움직이므로 다음 관계가 성립한다.

:

l_R = l_r

각도는 호의 길이와 반지름의 비율이므로,

l_R = \theta R

,

l_r = \alpha r

가 성립한다. 따라서

\theta R = \alpha r

이고, 이를 정리하면

\alpha = \frac{R}{r} \theta

가 된다.

2. 1. 매개변수 방정식

작은 원의 반지름을 r, 큰 원의 반지름을 R(=kr)이라고 할 때, 에피사이클로이드 곡선을 매개변수 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

:

x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)

:

y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right),

또는

:

x (\theta) = r (k + 1) \cos \theta - r \cos \left( (k + 1) \theta \right) \,

:

y (\theta) = r (k + 1) \sin \theta - r \sin \left( (k + 1) \theta \right). \,

이는 복소평면을 이용하면 더 간단하게 표현할 수 있다. 좌표평면에서 (x, y)를

x + yi

꼴로 나타낼 때, 위의 매개변수 방정식을 대입하고 오일러 공식

e^{ix} = cos x + i sin x

을 이용하면 다음과 같다.^[2]

:

z(\theta) = r \left( (k + 1)e^{ i\theta} - e^{i(k+1)\theta} \right)

여기서

각도 $\theta \in [0, 2\pi],$
작은 원의 반지름은 $r$ 이고,
큰 원의 반지름은 $kr$ 이다.

구름원 위의 임의의 점 P의 자취는 다음과 같이 구할 수 있다.

\alpha

를 접선 점에서 이동하는 점 P까지의 각도,

\theta

를 시작점에서 접선 점까지의 각도라고 하자.

큰 원을 기준으로 작은 원이 움직일 때, 미끄러짐이 없으므로, 다음과 같은 관계를 가진다.

:

l_R = l_r

각도의 정의 (호의 길이와 반지름의 비율)에 따라

l_R = \theta R

,

l_r = \alpha r

가 성립한다.

따라서

\theta R = \alpha r

이라는 관계식이 성립하며, 이를 정리하면

\alpha = \frac{R}{r} \theta

의 형태로 기술될 수 있다.

2. 2. 기하학적 의미

작은 원의 반지름을 r, 큰 원의 반지름을 R = kr이라고 할 때, 에피사이클로이드 곡선을 매개변수 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

:

x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)

:

y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right),

또는

:

x (\theta) = r (k + 1) \cos \theta - r \cos \left( (k + 1) \theta \right) \,

:

y (\theta) = r (k + 1) \sin \theta - r \sin \left( (k + 1) \theta \right). \,

이는 복소평면을 이용하면 더 간단한 형태로 나타낼 수 있다. 좌표평면에서 (x, y)를

x + yi

꼴로 나타낼 때, 위의 매개변수 방정식을 대입하고 오일러 공식

e^{ix} = cos x + i sin x

을 이용하면

:

z(\theta) = (R+r) \cos \theta - r \cos(\theta + \frac{R}{r} \theta) + i((R+r) \sin \theta - r \sin(\theta + \frac{R}{r} \theta))

:

z(\theta) = r((\frac{R}{r}+1)(\cos \theta + i \sin \theta ) - e^{i (\frac{R}{r}+1) \theta }

여기서

$\theta \in [0, 2 \pi]$
구름원의 반지름 $r$
기초원의 반지름 $R$
$R = kr$

''k''가 정수이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, ''k'' 개의 뾰족점을 가진다.

''k''가 유리수이고, ''k'' = ''p''/''q'' 꼴로 단순화할 수 있다면, ''p'' 개의 뾰족점을 가진다.

''k''가 무리수이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 ''R'' + 2''r''인 원 사이의 공간의 조밀 집합을 형성한다.

\alpha

를 접선 점에서 이동하는 점 P까지의 각도,

\theta

를 시작점에서 접선 점까지의 각도라고 하자.

큰 원을 기준으로 작은 원이 움직일 때, 미끄러짐이 없으므로, 다음과 같은 관계를 가진다.

:

l_R = l_r

각도의 정의 (호의 길이와 반지름의 비율)에 따라

l_R = \theta R

,

l_r = \alpha r

가 성립한다.

따라서

\theta R = \alpha r

이라는 관계식이 성립하며, 이를 정리하면

\alpha = \frac{R}{r} \theta

의 형태로 기술될 수 있다.

도형에서, 구름원 위의 점 p의 위치를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)

:

y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right),

3. 성질

작은 원의 반지름을 r, 큰 원의 반지름을 R(=kr)이라고 할 때, 에피사이클로이드 곡선은 다음과 같은 매개변수 방정식으로 표현할 수 있다.

: $x (\theta) = r (k + 1) \cos \theta - r \cos \left( (k + 1) \theta \right) \,$

: $y (\theta) = r (k + 1) \sin \theta - r \sin \left( (k + 1) \theta \right). \,$

이는 복소평면을 이용하면 더 간단하게 나타낼 수 있다. 좌표평면에서 (x, y)를 $x + yi$ 꼴로 나타내고, 위의 매개변수 방정식에 대입한 후 오일러 공식 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 을 이용하면 다음과 같다.

: $z(\theta) = r((\frac{R}{r}+1)(\cos \theta + i \sin \theta ) - e^{i (\frac{R}{r}+1) \theta }$

여기서

$\theta \in [0, 2 \pi]$
구름원의 반지름: $r$
기초원의 반지름: $R$
$R = kr$

에피사이클로이드의 예시는 다음과 같다.

3. 1. 뾰족점(Cusp)의 개수

''k''가 정수이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, ''k'' 개의 뾰족점을 가진다.

''k''가 유리수인 경우, ''k'' = ''p''/''q'' 꼴로 단순화시킬 수 있다면, ''p'' 개의 뾰족점을 가진다.

''k''가 무리수이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 ''R'' + 2''r''인 원 사이의 공간의 조밀 부분 집합을 형성한다.

3. 2. 특수한 경우

작은 원의 반지름을 ''r'', 큰 원의 반지름을 ''R'' = ''kr''이라 할 때, 에피사이클로이드는 다음과 같은 매개변수 방정식으로 표현할 수 있다.

:

x (\theta) = r (k + 1) \cos \theta - r \cos \left( (k + 1) \theta \right) \,

:

y (\theta) = r (k + 1) \sin \theta - r \sin \left( (k + 1) \theta \right). \,

''k''가 정수이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, ''k''개의 뾰족점을 가진다.
''k''가 유리수이고 ''k'' = ''p''/''q'' (''p'', ''q''는 서로소)로 나타낼 수 있다면, 곡선은 ''p''개의 뾰족점을 가진다.
''k''가 무리수이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 ''R'' + 2''r''인 원 사이의 공간의 조밀 부분 집합을 형성한다.

''k''가 양의 정수일 때, 에피사이클로이드의 면적 ''A''와 호의 길이 ''s''는 다음과 같다.

:

A=(k+1)(k+2)\pi r^2,

:

s=8(k+1)r.

이는 에피사이클로이드의 면적이 원래 고정된 원보다

\frac{(k+1)(k+2)}{k^2}

배 더 크다는 것을 의미한다.

에피사이클로이드는 일종의 에피트로코이드이다.

첨점이 하나인 에피사이클은 심장형선이고, 두 개인 것은 네프로이드이다.

에피사이클로이드와 그 축선은 닮음이다.^[3]

3. 3. 길이와 넓이

초기 점이 기초원 위에 있다고 가정할 때,

k (k = \frac{R}{r})

가 양수이면 에피사이클로이드의 면적은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

A = \int_{0}^{2\pi} y(\theta) \frac{dx}{d \theta} d \theta

에피사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식

:

x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)

:

y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right),

를 대입하여 계산하면,

:

A = (k+1)(k+2) \pi r ^2

으로 정리할 수 있다.

에피사이클로이드의 길이는 다음 식을 통해 구할 수 있다.

:

l = \int\limits_{0}^{2 \pi} \sqrt{(\frac{dx}{d \theta})^2 + \frac{dy}{d \theta})^2} d \theta

이 식에 에피사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식을 대입하여 계산하면,

:

l = 8(k+1) r

를 얻는다. 시작점이 큰 원 위에 있다고 가정하고,

k

가 양의 정수이면 에피사이클로이드의 면적

A

와 호의 길이

s

는 다음과 같다.

:

A=(k+1)(k+2)\pi r^2,

:

s=8(k+1)r.

이는 에피사이클로이드의 면적이 원래 고정된 원보다

\frac{(k+1)(k+2)}{k^2}

배 더 크다는 것을 의미한다.

4. 증명

구름원 위의 임의의 점 P의 자취를 구하고자 한다.

접선 점에서 이동하는 점 P까지의 각도를 $\alpha$, 시작점에서 접선 점까지의 각도를 $\theta$라고 하자.

큰 원을 기준으로 작은 원이 움직일 때, 미끄러짐이 없으므로 다음과 같은 관계를 가진다.

:$l_R = l_r$

각도의 정의 (호의 길이와 반지름의 비율)에 따라 $l_R = \theta R$, $l_r = \alpha r$ 가 성립한다.

따라서 $\theta R = \alpha r$이라는 관계식이 성립하며, 이를 정리하면 $\alpha = \frac{R}{r} \theta$의 형태로 기술될 수 있다.

도형에서, 구름원 위의 점 p의 위치를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)$

:$y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)$

5. 갤러리

참조

_[1] 웹사이트 https://grabcad.com/[...]
_[2] 논문 Epicycloids and Blaschke products by Chunlei Cao, Alastair Fletcher, Zhuan Ye https://arxiv.org/ab[...]
_[3] 웹사이트 Epicycloid Evolute - from Wolfram MathWorld http://mathworld.wol[...]
_[4] 웹사이트 Tartapelago http://www.maecla.it[...] 2005

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