에피사이클로이드

1. 개요

에피사이클로이드는 정해진 원을 따라 다른 원이 회전할 때, 원주 위의 한 점이 그리는 곡선이다. 작은 원의 반지름을 r, 큰 원의 반지름을 R = kr로 나타낼 때, 매개변수 방정식으로 표현할 수 있으며, k 값에 따라 닫힌 곡선, 유리수 또는 무리수 형태의 곡선이 나타난다. 에피사이클로이드는 뾰족점의 개수, 길이, 넓이 등의 성질을 가지며, 면적과 호의 길이를 계산하는 공식이 존재한다.

2. 정의

에피사이클로이드는 한 원이 다른 원의 바깥쪽을 따라 굴러갈 때, 작은 원 위의 한 점이 그리는 곡선이다.

이때 작은 원을 구름원, 큰 원을 기초원이라고 부른다. $\backslash alpha$를 접선에서 점 P까지의 각도, $\backslash theta$를 시작점에서 접선까지의 각도라고 하면, 큰 원을 기준으로 작은 원이 미끄러짐 없이 움직이므로 다음 관계가 성립한다.

:$l\_R\; =\; l\_r$

각도는 호의 길이와 반지름의 비율이므로, $l\_R\; =\; \backslash theta\; R$, $l\_r\; =\; \backslash alpha\; r$ 가 성립한다. 따라서 $\backslash theta\; R\; =\; \backslash alpha\; r$ 이고, 이를 정리하면 $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{R\}\{r\}\; \backslash theta$ 가 된다.

2.1. 매개변수 방정식

작은 원의 반지름을 r, 큰 원의 반지름을 R(=kr)이라고 할 때, 에피사이클로이드 곡선을 매개변수 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

:$x\; (\backslash theta)\; =\; (R\; +\; r)\; \backslash cos\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash cos\; \backslash left(\; \backslash frac\{R\; +\; r\}\{r\}\; \backslash theta\; \backslash right)$
:$y\; (\backslash theta)\; =\; (R\; +\; r)\; \backslash sin\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\{R\; +\; r\}\{r\}\; \backslash theta\; \backslash right),$

또는

:$x\; (\backslash theta)\; =\; r\; (k\; +\; 1)\; \backslash cos\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash cos\; \backslash left(\; (k\; +\; 1)\; \backslash theta\; \backslash right)\; \backslash ,$
:$y\; (\backslash theta)\; =\; r\; (k\; +\; 1)\; \backslash sin\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\; (k\; +\; 1)\; \backslash theta\; \backslash right).\; \backslash ,$

이는 복소평면을 이용하면 더 간단하게 표현할 수 있다. 좌표평면에서 (x, y)를 $x\; +\; yi$ 꼴로 나타낼 때, 위의 매개변수 방정식을 대입하고 오일러 공식 $e^\{ix\}\; =\; cos\; x\; +\; i\; sin\; x$을 이용하면 다음과 같다.

:$z(\backslash theta)\; =\; r\; \backslash left(\; (k\; +\; 1)e^\{\; i\backslash theta\}\; -\; e^\{i(k+1)\backslash theta\}\; \backslash right)$

여기서
* 각도 $\backslash theta\; \backslash in\; [0,\; 2\backslash pi],$
* 작은 원의 반지름은 $r$이고,
* 큰 원의 반지름은 $kr$이다.

구름원 위의 임의의 점 P의 자취는 다음과 같이 구할 수 있다.

$\backslash alpha$ 를 접선 점에서 이동하는 점 P까지의 각도, $\backslash theta$를 시작점에서 접선 점까지의 각도라고 하자.

큰 원을 기준으로 작은 원이 움직일 때, 미끄러짐이 없으므로, 다음과 같은 관계를 가진다.

:$l\_R\; =\; l\_r$

각도의 정의 (호의 길이와 반지름의 비율)에 따라 $l\_R\; =\; \backslash theta\; R$, $l\_r\; =\; \backslash alpha\; r$ 가 성립한다.

따라서 $\backslash theta\; R\; =\; \backslash alpha\; r$이라는 관계식이 성립하며, 이를 정리하면 $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{R\}\{r\}\; \backslash theta$의 형태로 기술될 수 있다.

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2.2. 기하학적 의미

작은 원의 반지름을 r, 큰 원의 반지름을 R = kr이라고 할 때, 에피사이클로이드 곡선을 매개변수 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

:$x\; (\backslash theta)\; =\; (R\; +\; r)\; \backslash cos\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash cos\; \backslash left(\; \backslash frac\{R\; +\; r\}\{r\}\; \backslash theta\; \backslash right)$
:$y\; (\backslash theta)\; =\; (R\; +\; r)\; \backslash sin\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\{R\; +\; r\}\{r\}\; \backslash theta\; \backslash right),$

또는

:$x\; (\backslash theta)\; =\; r\; (k\; +\; 1)\; \backslash cos\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash cos\; \backslash left(\; (k\; +\; 1)\; \backslash theta\; \backslash right)\; \backslash ,$
:$y\; (\backslash theta)\; =\; r\; (k\; +\; 1)\; \backslash sin\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\; (k\; +\; 1)\; \backslash theta\; \backslash right).\; \backslash ,$

이는 복소평면을 이용하면 더 간단한 형태로 나타낼 수 있다. 좌표평면에서 (x, y)를 $x\; +\; yi$ 꼴로 나타낼 때, 위의 매개변수 방정식을 대입하고 오일러 공식 $e^\{ix\}\; =\; cos\; x\; +\; i\; sin\; x$을 이용하면

:$z(\backslash theta)\; =\; (R+r)\; \backslash cos\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash cos(\backslash theta\; +\; \backslash frac\{R\}\{r\}\; \backslash theta)\; +\; i((R+r)\; \backslash sin\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash sin(\backslash theta\; +\; \backslash frac\{R\}\{r\}\; \backslash theta))$

:$z(\backslash theta)\; =\; r((\backslash frac\{R\}\{r\}+1)(\backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta\; )\; -\; e^\{i\; (\backslash frac\{R\}\{r\}+1)\; \backslash theta\; \}$

여기서

* $\backslash theta\; \backslash in\; [0,\; 2\; \backslash pi]$
* 구름원의 반지름 $r$
* 기초원의 반지름 $R$
* $R\; =\; kr$

k가 정수이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, k 개의 뾰족점을 가진다.

k가 유리수이고, k = p/q 꼴로 단순화할 수 있다면, p 개의 뾰족점을 가진다.

k가 무리수이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 R + 2r인 원 사이의 공간의 조밀 집합을 형성한다.

$\backslash alpha$를 접선 점에서 이동하는 점 P까지의 각도, $\backslash theta$를 시작점에서 접선 점까지의 각도라고 하자.

큰 원을 기준으로 작은 원이 움직일 때, 미끄러짐이 없으므로, 다음과 같은 관계를 가진다.

:$l\_R\; =\; l\_r$

각도의 정의 (호의 길이와 반지름의 비율)에 따라 $l\_R\; =\; \backslash theta\; R$, $l\_r\; =\; \backslash alpha\; r$ 가 성립한다.

따라서 $\backslash theta\; R\; =\; \backslash alpha\; r$이라는 관계식이 성립하며, 이를 정리하면 $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{R\}\{r\}\; \backslash theta$의 형태로 기술될 수 있다.

도형에서, 구름원 위의 점 p의 위치를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$x\; (\backslash theta)\; =\; (R\; +\; r)\; \backslash cos\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash cos\; \backslash left(\; \backslash frac\{R\; +\; r\}\{r\}\; \backslash theta\; \backslash right)$
:$y\; (\backslash theta)\; =\; (R\; +\; r)\; \backslash sin\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\{R\; +\; r\}\{r\}\; \backslash theta\; \backslash right),$

3. 성질

작은 원의 반지름을 r, 큰 원의 반지름을 R(=kr)이라고 할 때, 에피사이클로이드 곡선은 다음과 같은 매개변수 방정식으로 표현할 수 있다.

:$x\; (\backslash theta)\; =\; r\; (k\; +\; 1)\; \backslash cos\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash cos\; \backslash left(\; (k\; +\; 1)\; \backslash theta\; \backslash right)\; \backslash ,$
:$y\; (\backslash theta)\; =\; r\; (k\; +\; 1)\; \backslash sin\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\; (k\; +\; 1)\; \backslash theta\; \backslash right).\; \backslash ,$

이는 복소평면을 이용하면 더 간단하게 나타낼 수 있다. 좌표평면에서 (x, y)를 $x\; +\; yi$ 꼴로 나타내고, 위의 매개변수 방정식에 대입한 후 오일러 공식 $e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\; \backslash sin\; x$을 이용하면 다음과 같다.

:$z(\backslash theta)\; =\; r((\backslash frac\{R\}\{r\}+1)(\backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta\; )\; -\; e^\{i\; (\backslash frac\{R\}\{r\}+1)\; \backslash theta\; \}$

여기서

*$\backslash theta\; \backslash in\; [0,\; 2\; \backslash pi]$
*구름원의 반지름: $r$
*기초원의 반지름: $R$
*$R\; =\; kr$

에피사이클로이드의 예시는 다음과 같다.

3.1. 뾰족점(Cusp)의 개수

k가 정수이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, k 개의 뾰족점을 가진다.

k가 유리수인 경우, k = p/q 꼴로 단순화시킬 수 있다면, p 개의 뾰족점을 가진다.

k가 무리수이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 R + 2r인 원 사이의 공간의 조밀 부분 집합을 형성한다.

3.2. 특수한 경우

작은 원의 반지름을 r, 큰 원의 반지름을 R = kr이라 할 때, 에피사이클로이드는 다음과 같은 매개변수 방정식으로 표현할 수 있다.

:$x\; (\backslash theta)\; =\; r\; (k\; +\; 1)\; \backslash cos\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash cos\; \backslash left(\; (k\; +\; 1)\; \backslash theta\; \backslash right)\; \backslash ,$
:$y\; (\backslash theta)\; =\; r\; (k\; +\; 1)\; \backslash sin\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\; (k\; +\; 1)\; \backslash theta\; \backslash right).\; \backslash ,$

* k가 정수이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, k개의 뾰족점을 가진다.
* k가 유리수이고 k = p/q (p, q는 서로소)로 나타낼 수 있다면, 곡선은 p개의 뾰족점을 가진다.
* k가 무리수이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 R + 2r인 원 사이의 공간의 조밀 부분 집합을 형성한다.

k가 양의 정수일 때, 에피사이클로이드의 면적 A와 호의 길이 s는 다음과 같다.

:$A=(k+1)(k+2)\backslash pi\; r^2,$
:$s=8(k+1)r.$

이는 에피사이클로이드의 면적이 원래 고정된 원보다 $\backslash frac\{(k+1)(k+2)\}\{k^2\}$배 더 크다는 것을 의미한다.

에피사이클로이드는 일종의 에피트로코이드이다.

첨점이 하나인 에피사이클은 심장형선이고, 두 개인 것은 네프로이드이다.

에피사이클로이드와 그 축선은 닮음이다.

3.3. 길이와 넓이

초기 점이 기초원 위에 있다고 가정할 때, $k\; (k\; =\; \backslash frac\{R\}\{r\})$가 양수이면 에피사이클로이드의 면적은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$A\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{2\backslash pi\}\; y(\backslash theta)\; \backslash frac\{dx\}\{d\; \backslash theta\}\; d\; \backslash theta$

에피사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식

:$x\; (\backslash theta)\; =\; (R\; +\; r)\; \backslash cos\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash cos\; \backslash left(\; \backslash frac\{R\; +\; r\}\{r\}\; \backslash theta\; \backslash right)$
:$y\; (\backslash theta)\; =\; (R\; +\; r)\; \backslash sin\; \backslash theta\; -\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\{R\; +\; r\}\{r\}\; \backslash theta\; \backslash right),$

를 대입하여 계산하면,

:$A\; =\; (k+1)(k+2)\; \backslash pi\; r\; ^2$

으로 정리할 수 있다.

에피사이클로이드의 길이는 다음 식을 통해 구할 수 있다.

:$l\; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{2\; \backslash pi\}\; \backslash sqrt\{(\backslash frac\{dx\}\{d\; \backslash theta\})^2\; +\; \backslash frac\{dy\}\{d\; \backslash theta\})^2\}\; d\; \backslash theta$

이 식에 에피사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식을 대입하여 계산하면,

:$l\; =\; 8(k+1)\; r$

를 얻는다. 시작점이 큰 원 위에 있다고 가정하고, $k$가 양의 정수이면 에피사이클로이드의 면적 $A$와 호의 길이 $s$는 다음과 같다.

:$A=(k+1)(k+2)\backslash pi\; r^2,$
:$s=8(k+1)r.$

이는 에피사이클로이드의 면적이 원래 고정된 원보다 $\backslash frac\{(k+1)(k+2)\}\{k^2\}$배 더 크다는 것을 의미한다.

4. 증명

구름원 위의 임의의 점 P의 자취를 구하고자 한다.

접선 점에서 이동하는 점 P까지의 각도를 \(\alpha\), 시작점에서 접선 점까지의 각도를 \(\theta\)라고 하자.

큰 원을 기준으로 작은 원이 움직일 때, 미끄러짐이 없으므로 다음과 같은 관계를 가진다.

:\(l_R = l_r\)

각도의 정의 (호의 길이와 반지름의 비율)에 따라 \(l_R = \theta R\), \(l_r = \alpha r\) 가 성립한다.

따라서 \(\theta R = \alpha r\)이라는 관계식이 성립하며, 이를 정리하면 \(\alpha = \frac{R}{r} \theta\)의 형태로 기술될 수 있다.

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도형에서, 구름원 위의 점 p의 위치를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\(x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)\)
:\(y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)\)

5. 갤러리