연관 논리

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1. 개요
2. 역사
3. 고전 논리와의 관계
- 3.1. 대표적인 논리 체계
4. 공리 및 모델
참조

1. 개요

연관 논리는 1928년 이반 오를로프에 의해 제안되었으며, 고전 논리의 조건문이 전건과 후건의 의미적 연관성을 고려하지 않는다는 문제점을 해결하기 위해 연구되었다. 앨런 앤더슨과 누엘 벨냅은 연관 논리 연구를 집대성하여 함축 시스템과 관련성 시스템을 연구했다. 연관 논리는 B, DW, DJ, TW, RW, T, R, E, RM 등 다양한 논리 체계를 포함하며, Routley–Meyer 모델, 작동 모델, 대수적 모델과 같은 다양한 모델을 통해 연구된다. 법률, 윤리, 철학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 응용될 수 있다.

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연관 논리

2. 역사

연관 논리는 1928년 소련 철학자 이반 오를로프가 그의 수학 논문 "명제의 호환성 논리"에서 제안했다.^[3] 중세 논리에서도 연관 함의의 기본 아이디어가 나타나며, 1950년대 빌헬름 아커만,^[3] 모 샤우-쿠이,^[4] 앨런조 처치^[5] 등이 선구적인 연구를 수행했다. 1970년대 누엘 벨냅과 앨런 로스 앤더슨 등은 이 분야의 역작인 ''함축: 관련성과 필연성의 논리''를 저술하여 연관 논리 연구를 집대성했다. 이들은 함축 시스템과 관련성 시스템을 연구했으며, 함축은 관련성이 있고 필연적인 것으로 간주했다.

일본에서는 1932년 C.I. 루이스가 실질 함의의 역설을 피하기 위해 엄밀 함의를 제안했고, 1955년 스기하라가 실질 함의 역설의 일반적인 특징을 처음 제시했으며, 1956년 빌헬름 아커만이 엄격 함의를 제안했다.

3. 고전 논리와의 관계

고전 논리에서 조건문은 전건이 참이고 후건이 거짓인 경우에만 거짓으로 정의된다. 따라서 전건과 후건의 참, 거짓 여부만이 조건문의 참, 거짓을 결정하며, 둘 사이의 의미적 연관성은 고려되지 않는다. 하지만 일상적인 조건문은 전건과 후건 사이에 의미적 연관성이 있어야 참으로 받아들여진다.

예를 들어, "1+1=2 이면 눈은 하얗다"는 고전 논리에서는 참이지만, 일상적인 관점에서는 전건과 후건 사이에 연관성이 없으므로 참으로 받아들이기 어렵다. 이처럼 고전 논리의 실질 함의와 일상적인 조건문 사이의 괴리를 "실질 함의의 역설"이라고 부른다.

연관 논리는 이러한 실질 함의의 역설을 해결하기 위해 등장했다. 1932년, C.I. 루이스는 엄밀 함의를 제안했지만, 엄밀 함의 역시 일상적인 조건문과는 괴리가 있었다. 이후 빌헬름 아커만의 엄격 함의, 앨런 앤더슨과 Nuel Belnap|누엘 벨냅^영어의 변수 공유 개념 등 다양한 연구가 진행되었다.

3. 1. 대표적인 논리 체계

빌헬름 아커만이 제안한 엄격 함의(Π')는 실질 함의의 역설을 피하기 위해 새로운 기본 논리 결합자를 도입한 체계이다. 앨런 앤더슨과 Nuel Belnap^영어은 Π' 체계를 재구축하여 귀결 관계의 체계 (E)를 제안했다. 벨냅은 또한 실질 함의보다 강하고 엄격 함의보다 약한 제한을 가진 상관 함의를 제안하여 상관 함의의 체계 (R)를 만들었다. 앤더슨과 벨냅은 티켓 함축 체계 (T)도 제안했다.

4. 공리 및 모델

리처드 실번과 로버트 마이어의 라우틀리-마이어 의미론 개발로 더 약한 논리의 범위가 나타나면서, 연관 논리의 초기 발전은 더 강력한 시스템에 초점을 맞추었다. 가장 약한 연관 논리 B는 다음과 같은 공리 및 규칙으로 공리화된다.

$A\to A$ (자기 함의)
$A\land B\to A$ (연언 단순화)
$A\land B\to B$ (연언 단순화)
$(A\to B)\land(A\to C)\to (A\to B\land C)$ (조건 명제 연언)
$A\to A\lor B$ (선언 도입)
$B\to A\lor B$ (선언 도입)
$(A\to C)\land(B\to C)\to (A\lor B\to C)$ (선언 명제 조건)
$A\land(B\lor C)\to (A\land B)\lor(A\land C)$ (분배 법칙)
$\lnot\lnot A\to A$ (이중 부정 제거)

규칙은 다음과 같다.

$A, A\to B\vdash B$ (Modus Ponens)
$A, B\vdash A\land B$ (연언)
$A\to B\vdash (C\to A)\to(C\to B)$ (접두사)
$A\to B\vdash (B\to C)\to(A\to C)$ (접미사)
$A\to \lnot B\vdash B\to\lnot A$ (대우)

더 강력한 논리는 위 공리에 추가적인 공리를 추가하여 얻을 수 있다. 예를 들어 DW, DJ, TW, RW, T, R, E, RM 등의 논리가 있으며, 이들은 B에 특정 공리를 추가하여 얻어진다.

4. 1. Routley–Meyer 모델

리처드 실번과 로버트 마이어가 개발한 3항 관계 의미론이다. 명제 언어에 대한 Routley–Meyer 틀 F는 (W, R, *, 0)의 4중항으로 정의된다. (W: 공집합이 아닌 집합, R: W에 대한 3항 관계, *: W에서 W로의 함수, 0∈W) 모델 M은 틀 F와 평가

\Vdash

(각 점에 각 원자 명제에 대한 진리값 할당)로 구성된다. 틀에는 여러 조건이 적용된다. 복잡한 공식에 대한 진리 조건은 귀납적으로 정의된다. R 및 *에 대한 제한을 통해 다른 관련 논리에 대한 틀을 얻을 수 있다.^[1]

Routley-Meyer 모델에 대한 마지막 조건은 상속성 조건이다.

만약 $M,a\Vdash p$ 이고 $a\leq b$ 이면, 모든 원자 명제 $p$ 에 대해 $M,b\Vdash p$ 이다.

귀납적 논증에 의해, 상속성은 아래의 진리 조건을 사용하여 복잡한 공식으로 확장될 수 있음을 보일 수 있다.

만약 $M,a\Vdash A$ 이고 $a\leq b$ 이면, 모든 공식 $A$ 에 대해 $M,b\Vdash A$ 이다.

복잡한 공식에 대한 진리 조건은 다음과 같다.

$M,a\Vdash A\land B \iff M, a\Vdash A$ 이고 $M,a\Vdash B$
$M,a\Vdash A\lor B \iff M, a\Vdash A$ 또는 $M,a\Vdash B$
$M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)$
$M,a\Vdash\lnot A\iff M,a^*\nVdash A$

공식

A

는 모델

M

에서

M,0\Vdash A

인 경우에만 성립한다. 공식

A

는 틀

F

에서 A가 모든 모델

(F,\Vdash)

에서 성립하는 경우에만 성립한다. 공식

A

는 틀의 클래스에서 해당 클래스의 모든 틀에서 A가 성립하는 경우에만 유효하다.

위의 조건을 만족하는 모든 Routley–Meyer 틀의 클래스는 관련 논리 B를 유효하게 한다. R 및 *에 적절한 제한을 두어 다른 관련 논리에 대한 Routley-Meyer 틀을 얻을 수 있다. 이러한 조건은 몇 가지 표준 정의를 사용하여 더 쉽게 명시할 수 있다.

Rabcd

를

\exists x(Rabx \land Rxcd)

로 정의하고,

Ra(bc)d

를

\exists x(Rbcx \land Raxd)

로 정의한다. 일부 틀 조건과 유효하게 하는 공리는 다음과 같다.


이름	틀 조건	공리
유사 모더스 포넨스	$Raaa$	$(A\land (A\to B))\to B$
접두사	$Rabcd\Rightarrow Ra(bc)d$	$(A\to B)\to((C\to A)\to(C\to B))$
접미사	$Rabcd\Rightarrow Rb(ac)d$	$(A\to B)\to((B\to C)\to(A\to C))$
축약	$Rabc\Rightarrow Rabbc$	$(A\to(A\to B))\to(A\to B)$
가설적 삼단 논법	$Rabc\Rightarrow Ra(ab)c$	$(A\to B)\land(B\to C)\to (A\to C)$
단정	$Rabc\Rightarrow Rbac$	$A\to((A\to B)\to B)$
E 공리	$Ra0a$	$((A\to A)\to B)\to B$
밍글 공리	$Rabc\Rightarrow a\leq c$ 또는 $b\leq c$	$A\to(A\to A)$
환원	$Raa^*a$	$(A\to\lnot A)\to\lnot A$
대우	$Rabc\Rightarrow Rac^b^$	$(A\to B)\to (\lnot B\to\lnot A)$
배중률	$0^*\leq 0$	$A\lor\lnot A$
엄격한 함의 약화	$0\leq a$	$A\to(B\to B)$
약화	$Rabc\Rightarrow b\leq c$	$A\to(B\to A)$

^[1]

4. 2. 작동 모델 (Operational models)

Alasdair Urquhart는 관련 논리에서 부정 없는 단편에 대한 작동 모델을 개발했다. 이 모델은 정보 조각들을 기반으로 조건문을 해석하며, 조건문, 결합, 분리만을 포함하는 언어를 다룬다.

작동 프레임은 집합과 이항 연산 등으로 구성되며, 관련 논리 R의 조건문을 모델링하기 위해 다음 조건들이 부여된다.

$x\cdot x=x$
$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$
$x\cdot y=y\cdot x$
$0\cdot x=x$

이 조건들을 만족하면 작동 프레임은 결합 반격자가 된다. 작동 모델은 프레임과 평가로 구성되며, 평가는 점과 원자 명제 쌍을 진리값에 매핑하고, 복잡한 공식에 대한 평가는 확장될 수 있다.

R의 조건문 단편은 반격자 모델 클래스에 대해 건전하고 완전하며,

(A\to(B\lor C))\land(B\to C)\to (A\to C)

공식은 작동 모델에서 유효하지만 R에서는 유효하지 않다. Kit Fine과 Gerald Charlwood는 이 논리에 대한 완전한 공리적 증명 시스템을 제공했고, Charlwood는 Dag Prawitz의 시스템과 동등한 자연 연역 시스템을 제시했다.

E와 T의 조건문을 모델링하기 위해 작동 의미론에 접근성 관계 등을 추가하여 조건문의 진리 조건을 변경할 수 있다. 또한, 작동 모델을 사용하여 수축 없는 관련 논리 TW 및 RW를 모델링할 수 있다.

Urquhart는 R에 대한 반격자 논리가 R의 긍정적 단편보다 강하다는 것을 보였다. Lloyd Humberstone은 선언에 대한 다른 진리 조건을 허용하여 연산 모델을 풍부하게 만들었고, 그 결과 생성된 모델 클래스는 정확히 R의 긍정적 단편을 생성한다.

험버스톤(Humberstone)은 프레임 조건을 추가하거나 삭제하여 다른 논리를 모델링하도록 의미론을 조정했다.


시스템	프레임 조건
B	1, 5-9, 14
TW	1, 11, 12, 5-9, 14
EW	1, 10, 11, 5-9, 14
RW	1-3, 5-9
T	1, 11, 12, 13, 5-9, 14
E	1, 10, 11, 13, 5-9, 14
R	1-9
RM	1-3, 5-9, 15

4. 2. 1. Urquhart 모델

Alasdair Urquhart는 박사 학위 논문과 이후 연구에서 관련 논리에 대한 부정 없는 단편에 대한 작동 모델을 개발했다. 작동 모델의 핵심 아이디어는 모델의 점을 정보 조각으로 보는 것이다. 조건문을 뒷받침하는 정보와 그 전건을 뒷받침하는 정보를 결합하면 후건을 뒷받침하는 정보가 생성된다는 직관에 기반한다. 작동 모델은 일반적으로 부정을 해석하지 않기 때문에, 이 섹션에서는 조건문, 결합 및 분리만 포함하는 언어를 고려한다.

작동 프레임

F

는 삼중항

(K,\cdot,0)

으로 정의된다. 여기서

K

는 비어 있지 않은 집합,

0\in K

,

\cdot

는

K

에 대한 이항 연산이다. 프레임에는 여러 조건이 있는데, 이 중 일부는 다른 논리를 모델링하기 위해 삭제할 수 있다. 관련 논리 R의 조건문을 모델링하기 위해 Urquhart가 제안한 조건은 다음과 같다.

$x\cdot x=x$
$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$
$x\cdot y=y\cdot x$
$0\cdot x=x$

이러한 조건 하에서 작동 프레임은 결합 반격자가 된다.

작동 모델

M

은 프레임

F

와 평가

V

로 구성된다. 평가

V

는 점과 원자 명제 쌍을 진리값 T 또는 F에 매핑한다.

V

는 복잡한 공식에 대한 평가

\Vdash

로 확장될 수 있다.

원자 명제의 경우: $M,a\Vdash p \iff V(a,p)=T$
$M,a\Vdash A\land B \iff M, a\Vdash A$ 그리고 $M,a\Vdash B$
$M,a\Vdash A\lor B \iff M, a\Vdash A$ 또는 $M,a\Vdash B$
$M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

M,0\Vdash A

일 경우 수식

A

는 모델

M

에서 성립한다. 각 모델

M\in C

에서 성립하는 경우 공식

A

는 모델 클래스

C

에서 유효하다.

R의 조건문 단편은 반격자 모델 클래스에 대해 건전하고 완전하다. 결합 및 분리가 있는 논리는 R의 조건문, 결합, 분리 단편보다 더 강하다. 특히, 공식

(A\to(B\lor C))\land(B\to C)\to (A\to C)

는 작동 모델에 유효하지만 R에서는 유효하지 않다. R에 대한 작동 모델에 의해 생성된 논리에는 Kit Fine과 Gerald Charlwood에 의한 완전한 공리적 증명 시스템이 있다. Charlwood는 또한 이 논리에 대한 자연 연역 시스템을 제공했으며, 이는 공리적 시스템과 동등하다는 것을 증명했다. Charlwood는 그의 자연 연역 시스템이 Dag Prawitz가 제공한 시스템과 동등하다는 것을 보여주었다.

작동 의미론은 E의 조건문을 모델링하기 위해 비어 있지 않은 세계 집합

W

와 프레임에 접근성 관계

\leq

를 추가하여 조정될 수 있다. 접근성 관계는 E의 조건문이 S4 필요성을 갖는다는 아이디어를 포착하기 위해 반사적이고 전이적이어야 한다. 그런 다음 평가는 원자 명제, 점 및 세계의 삼중항을 진리값에 매핑한다. 조건문에 대한 진리 조건은 다음과 같이 변경된다.

$M,a, w\Vdash A\to B\iff \forall b, \forall w'\geq w(M,b, w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)$

작동 의미론은 T의 조건문을 모델링하기 위해 관계

\leq

를

K\times K

에 추가하여 조정될 수 있다. 관계는 다음 조건을 준수해야 한다.

$0\leq x$
만약 $x\leq y$ 그리고 $y\leq z$ 이면, $x\leq z$
만약 $x\leq y$ 이면, $x\cdot z\leq y\cdot z$

조건문에 대한 진리 조건은 다음과 같이 변경된다.

$M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

작동 모델을 사용하여 수축 없는 관련 논리 TW 및 RW를 모델링하는 두 가지 방법이 있다. 첫 번째 방법은

x\cdot x=x

조건을 삭제하는 것이다. 두 번째 방법은 프레임에 대한 반격자 조건을 유지하고 프레임에 분리성 이항 관계

J

를 추가하는 것이다. 이러한 모델의 경우 조건문에 대한 진리 조건은 TW의 경우 순서 추가와 함께 다음과 같이 변경된다.

$M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab \land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

4. 3. 대수적 모델 (Algebraic models)

일부 연관 논리는 대수적 모델을 가질 수 있는데, 예를 들어 논리 R이 그러하다. R에 대한 대수적 구조는 드 모르간 모노이드로 정의된다. 드 모르간 모노이드는 잔류 조건을 따르는 잔류 격자이다.

드 모르간 모노이드는 6개의 튜플

(D,\land,\lor,\lnot,\circ,e)

로 구성되며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

$(D,\land,\lor,\lnot)$ 는 단항 연산 $\lnot$ 를 가진 분배적 격자이며, $\lnot\lnot x=x$ 및 $x\leq y$ 이면 $\lnot y\leq \lnot x$ 이다.
$(D,\circ,e)$ 는 아벨 모노이드이며, 항등원은 $e$ 이다. 이항 연산 $\circ$ 는 교환적( $x\circ y=y\circ x$ )이고 결합적( $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ )이며, $e\circ x=x$ 이다.
모노이드는 격자 정렬되며 $x\circ(y\lor z)=(x\circ y)\lor(x\circ z)$ 를 만족한다.
$x\leq x\circ x$
만약 $x\circ y\leq z$ 이면, $x\circ\lnot z\leq \lnot y$ 이다.

R의 조건문을 해석하는 연산

x\to y

는

\lnot(x\circ\lnot y)

로 정의된다.

해석

v

는 명제 언어에서 드 모르간 모노이드

M

으로의 준동형 사상으로 정의된다.

모든 원자 명제에 대해 $v(p)\in D$
$v(\lnot A)=\lnot v(A)$
$v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)$
$v(A\land B)=v(A)\land v(B)$
$v(A\to B)=v(A)\to v(B)$

드 모르간 모노이드

M

과 해석

v

에서, 공식

A

가

e\leq v(A)

인 경우에만

v

에서 성립한다고 한다. 공식

A

는 모든 드 모르간 모노이드의 모든 해석에서 성립하는 경우에만 유효하다. 논리 R은 드 모르간 모노이드에 대해 건전하고 완전하다.

참조

_[1] 논문 Implication and the Algebra of Logic. 1912
_[2] 논문 The issues concerning material implication. 1917
_[3] 간행물 Begründung einer strengen Implikation 1956
_[4] 간행물 The Deduction Theorems and Two New Logical Systems 1950
_[5] 서적 The Weak Theory of Implication Kommissions-Verlag Karl Alber 1951

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