완벽한 입체마방진
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1. 개요
완벽한 입체마방진은 존 R. 헨드릭스가 제안한 입체마방진의 새로운 정의로, 모든 가능한 선의 합이 마법 상수와 같은 마방진을 의미하며, 나시크 초입방체 마방진이라고도 불린다. 가장 작은 완전 마법 정육면체는 8차이며, 홀수 차수에서는 존재하지 않는다. 4차, 5차 입체마방진의 예시가 존재하며, 소수를 이용하여 고차원 마방진을 구성할 수 있다.
| 설명 | 가로줄, 세로줄, 높이줄, 그리고 4개의 입체대각선뿐 아니라 각 단면에서의 대각선의 합이 마법 상수로 일정한 입체마방진 |
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| 추가 조건 | 범대각선의 합도 일정한 전대각선 입체마방진 |
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| 마법 상수 | 입방진의 크기와 숫자의 범위에 따라 결정됨 |
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| 구성 방법 | 다양한 알고리즘과 패턴을 통해 구성 가능 |
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| 응용 | 퍼즐, 수학 게임, 암호학 등 |
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| 관련 항목 | 마방진
입체마방진
범대각선 마방진
초입방체 마방진 |
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2. 정의
입체마방진은 각 행, 열, 기둥 및 주대각선의 합이 모두 같은 마법 상수를 갖는 n x n x n 정육면체 배열이다. John R. Hendricks는 범대각선 입체마방진이 모든 가능한 선에서 합이 같기 때문에 통상적으로 '완벽'하다고 불린다는 점에 착안하여 '완벽한' 입체마방진의 대안적 정의를 제시했다. 이는 기존의 완벽한 입체마방진과는 다른 개념이므로, 더 명확한 용어인 나시크 초입방체 마방진을 참고하는 것이 좋다.
2.1. 대안 정의
John R. Hendricks는 '완벽'한 입체마방진에 대한 대안적 정의를 제안하였다. 이는 범대각선 입체마방진에서 모든 가능한 선의 합이 같기 때문에, 통상적으로 '완벽'하다고 불렸다는 것에 근거한다. 이 정의는 완벽한 입체마방진과는 다르므로, 더 분명한 용어인 나시크 초입방체 마방진을 참고하는 것이 좋다.
이러한 정의는 모든 차원의 초입방체에 적용될 수 있다. 간단히 말해, 차수 m 마법 초입방체에서 m개의 셀로 이루어진 모든 가능한 선의 합이 마법 상수와 같으면, 해당 초입방체는 완전하다. 이 초입방체에 포함된 모든 더 낮은 차원의 초입방체 역시 완전하게 된다. 이는 평면 및 대각선 사각형이 판대각 마방진일 필요가 없는, 원래의 정의와는 다르다. 예를 들어, 8차 마법 정육면체는 "완전"에 대한 구 정의에 따라 244개의 올바른 선을 가지지만, 이 새로운 정의에 따르면 832개의 올바른 선을 갖는다.
가장 작은 완전 마법 정육면체는 8차이며, 이중 홀수 차수에서는 존재할 수 없다.
가브리엘 아르누(Gabriel Arnoux)는 1887년에 17차 완전 마법 정육면체를 만들었다. F.A.P. 버나드(F.A.P.Barnard)는 1888년에 8차 및 11차 완전 정육면체를 발표했다.
3. 역사
3x3x3 입체마방진은 존재하지만, 2x2x2 입체마방진은 존재하지 않는다. 4x4x4 입체마방진은 여러 형태로 존재하는데, 1982년 토마스 크리그스만(Thomas Krijgsman)이 마법 상수 130을 갖는 4차 정육면체를 발표했다.
5x5x5 및 6x6x6 완전 입체마방진은 오랫동안 알려지지 않았으나, 2003년 월터 트럼프(Walter Trump)와 크리스티안 보이어(Christian Boyer)가 컴퓨터를 사용하여 마법 상수 315를 갖는 5차 정육면체를 발견했다.
7x7x7 입체마방진은 1866년 A.H. 프로스트가 발표했다. 8x8x8 입체마방진은 비교적 쉽게 만들 수 있다. 충분히 큰
소수 n에 대해 n x n x n 입체마방진은
라틴 방진의 입체 버전을 조합하여 만들 수 있다.
n>7, 즉 n=11 이상의 소수인 경우, x축 방향으로 +1, y축 방향으로 +2, z축 방향으로 +4씩 숫자를 이동시켜 배치하면 3차원 배열 L[x][y][z] ≡ x+2*y+4*z (mod n) (0≦x,y,z＜n)에서 x축, y축, z축 및 대각선 방향(x±y, y±z, z±x, x±y±z)의 26방향 모두에서 0부터 n-1까지의 숫자가 한 줄로 늘어서는 입체 라틴 방진이 만들어진다.
이를 n진수 3자리 숫자의 조합으로 확장하면, 3차원 배열 C[x][y][z] = n*n*MOD(x+2*y+4*z, n) + n*MOD( 2*x+4*y+z, n) + MOD( 4*x+y+2*z, n) +1 (0≦x,y,z＜n, MOD(r,p)는 r을 p로 나눈 나머지)는 입방진이 된다.
마찬가지로 4차원 이상에서도 +8, +16, ...과 같이 증분을 주어 다차원 마방진을 만들 수 있다. 예를 들어 n>15, 즉 n=17 이상의 소수에서 4차원 마방진은 T[x][y][z][w] = n*n*n*MOD( x+2*y+4*z+8*w , n) + n*n*MOD( 2*x+4*y+8*z+ w , n) + n*MOD( 4*x+8*y+ z+2*w , n) + MOD( 8*x+ y+2*z+4*w , n) + 1 과 같이 만들 수 있으며, 임의의 차원에서 다차원 마방진을 만들 수 있다.
4. 예시
1. 토마스 크리그스만(Thomas Krijgsman)의 4차 정육면체, 1982년; 마법 상수 130.
2. 월터 트럼프(Walter Trump)와 크리스티안 보이어(Christian Boyer)의 5차 정육면체, 2003년 11월 13일; 마법 상수 315.
5. 고차원 마방진
n이 소수일 때, n × n × n 크기의 라틴 방진을 이용하여 입체마방진을 쉽게 구성할 수 있다.
n>7, 즉 n=11 이상의 소수에서, 예를 들어 x축 방향으로 +1, y축 방향으로 +2, z축 방향으로 +4씩 숫자를 이동시켜 배치하면, L[x][y][z] ≡ x+2*y+4*z (mod n)로 놓았을 때 3차원 배열 L[x][y][z] (0≦x,y,z＜n)에서는 x축 방향, y축 방향, z축 방향 및 대각선 방향(x±y 방향, y±z 방향, z±x 방향, 입체적인 대각 방향 x±y±z 방향)의 26방향 어느 쪽에서도 0부터 n-1까지의 숫자가 한 줄로 늘어서게 된다.
이를 n진수 3자리 숫자의 조합을 고려한 경우에도 마찬가지로, 3차원 배열을 다음과 같이 정의하면 입방진이 된다.
C[x][y][z] = n*n*MOD(x+2*y+4*z, n) + n*MOD( 2*x+4*y+z, n) + MOD( 4*x+y+2*z, n) +1
(0≦x,y,z＜n), MOD(r,p)는 잉여 함수, 즉 r을 p로 나눈 나머지를 나타낸다.
마찬가지로 4축 이상에 +8, +16, ....과 같이 증분을 주어 4차원 이상의 초입방체의 마방진을 만들 수 있다.
예를 들어 n＞15, 즉 n=17 이상의 소수에서 4차원 마방진은 다음과 같이 만들 수 있다.
T[x][y][z][w] = n*n*n*MOD( x+2*y+4*z+8*w , n) + n*n*MOD( 2*x+4*y+8*z+ w , n) + n*MOD( 4*x+8*y+ z+2*w , n) + MOD( 8*x+ y+2*z+4*w , n) + 1
이와 같이 임의의 차원에서 다차원 마방진을 만들 수 있다.
