범마방진

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1. 개요
2. 3×3 범마방진
3. 4×4 범마방진
- 3.1. 4×4 범마방진의 종류
- 3.2. 4×4 범마방진의 특징
4. 5×5 범마방진
5. (4n+2)×(4n+2) 범마방진
6. (6n±1)×(6n±1) 범마방진
7. 4n×4n 범마방진
8. (6n+3)×(6n+3) 범마방진
참조

1. 개요

범마방진은 마방진의 한 종류로, 가로, 세로, 대각선의 합뿐만 아니라 깨진 대각선과 같은 특정 패턴의 숫자 합도 동일한 값을 갖는 마방진이다. 3×3 범마방진은 기하학적 형태로 존재하지만, 일반적인 숫자 배열로는 존재하지 않는다. 4×4 범마방진은 가장 작은 비자명 범마방진으로, 384가지 유형이 존재하며, 가장 완벽한 마방진으로 분류된다. 5×5 범마방진은 결합 마방진이 가능하며, 오점형 패턴의 합도 마법 합과 같다. (4n+2)×(4n+2) 범마방진은 연속된 정수를 사용할 경우 존재하지 않지만, 특정 수열을 사용하면 구성할 수 있다. (6n±1)×(6n±1), 4n×4n, (6n+3)×(6n+3) 크기의 범마방진은 특정 알고리즘을 통해 제작할 수 있으며, 완전 방진을 만들기 위해 두 개의 보조 방진이 사용된다.

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범마방진
정의
설명	주대각선은 물론 꺾인 대각선의 합도 일정한 마방진
특징
완전 마방진	꺾인 대각선 쌍의 합도 마법 상수와 같음
최고 등급 마방진	여겨짐
기타 명칭
다른 이름	완전 마방진
일본어	汎魔方陣 (한마호진)

2. 3×3 범마방진

비자명한 3차 범마방진은 존재하지 않는다. 다음과 같은 범마방진에서

$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$
$a_{21}$	$a_{22}$	$a_{23}$
$a_{31}$	$a_{32}$	$a_{33}$

마방진 상수가 $s$ 라 하자. $a_{11} + a_{22} + a_{33},$ $a_{12} + a_{22} + a_{32},$ $a_{13} + a_{22} + a_{31}$ 을 모두 더하면 $3s$ 가 된다. 그런데 그 중에서 $a_{11} + a_{12} + a_{13}$ 과 $a_{31} + a_{32} + a_{33}$ 을 더하면 $1=3a_{22} = s$ 임을 알 수 있다. 하지만 3번째 세로줄을 맨 왼쪽으로 옮기고 같은 방법을 적용하면, $1=3a_{21} = s$ 이어야 한다. 따라서 수의 값은 모두 $\tfrac{1}{3}s$ 으로 같아야 한다.

그런데 마방진의 개념에서 수들 대신 기하학적인 모양으로 일반화시킬 때, 도형 마방진(geometric magic square)에서 3×3 범마방진은 존재한다.

3. 4×4 범마방진

4×4 범마방진은 가장 작은 크기의 자명하지 않은 범마방진이다. 모든 4×4 범마방진은 평행 이동 대칭성을 가지며, 특정 형태의 식으로 표현될 수 있다.^[1] 모든 2×2 부분사각형의 합이 마법 상수와 같기 때문에 가장 완벽한 마방진(most-perfect magic square)으로 불린다. 1부터 16까지의 숫자를 중복 없이 사용하는 4×4 범마방진은 총 384가지가 존재한다.

3. 1. 4×4 범마방진의 종류

4×4 마방진의 종류를 벤 다이어그램(오일러 다이어그램)으로 표시한 것이다. 같은 색으로 표시된 부분의 합이 마방진 상수로 같다.

4×4 범마방진은 가장 작은 비자명한 범마방진이다. 모든 4×4 범마방진은 다음 예시^[11]에서 한 가로/세로줄을 반대편으로 평행 이동했을 때 대칭이어야 한다.

a	a + b + c + e	a + c + d	a + b + d + e
a + b + c + d	a + d + e	a + b	a + c + e
a + b + e	a + c	a + b + c + d + e	a + d
a + c + d + e	a + b + d	a + e	a + b + c

모든 2×2 부분사각형의 합이 마법 상수이기 때문에, 4×4 범마방진은 가장 완벽한 마방진(most-perfect magic square)이다. 게다가 모든 3×3 사각형에서 반대쪽 꼭짓점에 있는 두 쌍의 수들의 합은 마법 상수의 절반이다. 따라서 모든 결합 마방진(associative)인 4×4 범마방진은 똑같은 수들이 있어야 한다.

1부터 16까지의 수를 중복하지 않고 사용한 모든 4×4 범마방진은 ''a''를 1로 하고, ''b'', ''c'', ''d'', ''e''를 1, 2, 4, 8 (순서는 상관없음)로 해야 얻을 수 있다. 그리고 평행 이동을 사용할 수 있다. 예를 들어 ''b'' = 1, ''c'' = 2, ''d'' = 4, ''e'' = 8로 하면, 다음과 같은 마방진을 얻을 수 있다.

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

1부터 16까지의 수를 중복하지 않고 사용한 모든 4×4 범마방진의 경우의 수는 384(=16×24)가지이다. 평행 이동으로 16개가 가능하고, 1, 2, 4, 8을 ''b'', ''c'', ''d'', ''e''에 배정할 때 4!(24)가지 방법이 있기 때문이다.

3. 2. 4×4 범마방진의 특징

가장 작은 비자명한 범마방진은 4×4 마방진이다. 모든 4×4 범마방진은 다음 예시^[11]에서 한 가로/세로줄을 반대편으로 평행 이동했을 때 대칭이어야 한다.

a	a + b + c + e	a + c + d	a + b + d + e
a + b + c + d	a + d + e	a + b	a + c + e
a + b + e	a + c	a + b + c + d + e	a + d
a + c + d + e	a + b + d	a + e	a + b + c

모든 2×2 부분사각형의 합이 마법 상수이기 때문에, 4×4 범마방진은 가장 완벽한 마방진(most-perfect magic square)이다. 게다가 모든 3×3 사각형에서 반대쪽 꼭짓점에 있는 두 쌍의 수들의 합은 마법 상수의 절반이다. 따라서 모든 결합 마방진(associative)인 4×4 범마방진은 똑같은 수들이 있어야 한다.

1부터 16까지의 수를 중복하지 않고 사용한 모든 4×4 범마방진은 a를 1로 해야 하고, b, c, d, e를 1, 2, 4, 8 (순서는 상관없음)로 해야 얻을 수 있다. 그리고 평행 이동을 사용할 수 있다. 예를 들어 b=1, c=2, d=4, e=8로 하면, 다음과 같은 마방진을 얻을 수 있다.

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

1부터 16까지의 수를 중복하지 않고 사용한 모든 4×4 범마방진의 경우의 수는 384(=16×24)가지이다. 평행 이동으로 16개가 가능하고 1, 2, 4, 8을 b, c, d, e에 배정할 때 4!(24)가지 방법이 있기 때문이다.

4. 5×5 범마방진

5×5 범마방진은 여러 종류가 있으며, 4×4 범마방진과 달리 결합 마방진이 가능하다. 다음은 그 예시이다.

20	8	21	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

5×5 범마방진은 가로줄, 세로줄, 대각선뿐만 아니라 오점형(quincunx)에 위치한 수의 합도 마법 합과 같다.^[12] 예를 들어, 위의 마방진에서 다음과 같은 오점형 패턴의 합은 모두 65이다.

17+25+'''13'''+1+9 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 가로·세로줄에서 옆에 있는 수)
21+7+'''13'''+19+5 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 가로·세로줄에서 나머지 수)
4+10+'''13'''+16+22 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 대각선에서 옆에 있는 수)
20+2+'''13'''+24+6 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 대각선에서 나머지 수)

각 오점형은 둘러싸고 있는 가로줄과 세로줄의 원형 순열을 통해 사각형 내 다른 위치로 평행 이동될 수 있다. 이는 범마방진의 마법 상수의 등식(equality)에 영향을 주지 않기 때문이다. 따라서 깨진 대각선과 유사한 깨진 오점형을 포함하면, 합이 같은 오점형이 100개가 만들어진다.

오점형의 합이 마법 합과 같다는 것은 가로줄, 세로줄, 대각선 합의 선형 결합을 통해 증명할 수 있다. 예를 들어, 임의의 5x5 범마방진에서

a_{11} + a_{15} + a_{33} + a_{51} + a_{55} = s

임을 증명하려면, 다음을 모두 더한 후:

대각선 합 ( $a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{44} + a_{55}$ , $a_{15} + a_{24} + a_{33} + a_{42} + a_{51}$ ) 각 3배
깨진 대각선의 합 ( $a_{11} + a_{25} + a_{34} + a_{43} + a_{52}$ , $a_{12} + a_{23} + a_{34} + a_{45} + a_{51}$ , $a_{14} + a_{23} + a_{32} + a_{41} + a_{55}$ , $a_{15} + a_{21} + a_{32} + a_{43} + a_{54}$ )
가로줄의 합 ( $a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + a_{15}$ , $a_{51} + a_{52} + a_{53} + a_{54} + a_{55}$ )

다음의 값을 빼면 된다.

가로줄의 합 ( $a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{24} + a_{25}$ , $a_{41} + a_{42} + a_{43} + a_{44} + a_{45}$ )
세로줄의 합 ( $a_{13} + a_{23} + a_{33} + a_{43} + a_{53}$ )
세로줄의 합 ( $a_{12} + a_{22} + a_{32} + a_{42} + a_{52}$ , $a_{14} + a_{24} + a_{34} + a_{44} + a_{54}$ ) 각 2배

이 결과는

5a_{11} + 5a_{15} + 5a_{33} + 5a_{51} + 5a_{55} = 5s

이고, 5로 나누면 오점형의 합이 마법 합과 같다는 것을 알 수 있다.

5. (4n+2)×(4n+2) 범마방진

연속적인 정수를 사용할 경우, $(4n+2) \times (4n+2)$ 크기의 범마방진은 존재하지 않는다. (n은 자연수) 하지만, 연속하지 않은 특정 수열을 사용하면 $(4n+2) \times (4n+2)$ 범마방진을 구성할 수 있다.^[7]

예를 들어 1+2+3+5+6+7 = 24는 다음과 같이 세 개의 덧셈 그룹으로 나누어 반으로 나눌 수 있고, 두 개의 덧셈 그룹으로 나누어 3분의 1로 나눌 수 있다.

: 1+5+6 = 2+3+7 = 12

: 1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

추가로 제곱의 합도 아래와 같이 동일하게 분할할 수 있다.

: 1² + 5² + 6² = 2² + 3² + 7² = 62

이러한 성질을 이용하여 6 × 6 범마방진을 구성할 수 있다. 하지만, 연속 정수의 합 1+2+3+4+5+6 = 21은 홀수이므로 절반으로 분할할 수 없어, 연속적인 정수로는 6 × 6 범마방진을 만들 수 없다.

10차(10 × 10)의 경우에도 1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70의 합을 동일하게 분할하여 유사한 구성을 할 수 있다.

: 1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35

: 1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

: 1² + 3² + 9² + 10² + 12² = 2² + 4² + 5² + 11² + 13² = 335

$(4n+2) \times (4n+2)$ 범마방진은 존재하지 않는다는 것이 증명되었다.^[6] 6 × 6 범마방진이 존재하지 않는다는 증명은 다음과 같다. (10 이상의 $(4n+2) \times (4n+2)$ 범마방진에서도 마찬가지 방법으로 증명할 수 있다.)

6 × 6 범마방진이 존재한다고 가정하고, 정수를 C라고 둔다. C=111이며, 이 수는 홀수이다.

{| class="wikitable"

|-

|

○	○	○
○	○	○
○	○	○
○	○	○
○	○	○
○	○	○

|

○	○	○	○	○	○

○	○	○	○	○	○

○	○	○	○	○	○

|

◎	○	◎	○	◎	○
○		○		○
◎	○	◎	○	◎	○
○		○		○
◎	○	◎	○	◎	○
○		○		○

|}

위의 왼쪽 2개의 그림에서 ○ 위치에 있는 수들의 합계는 각각 3C이다. 따라서, 오른쪽 그림에서 (○의 수의 합계)+(◎의 수의 합계의 2배)=6C이다. 오른쪽 그림의 ○는 3개의 독립적인 범대각선이기도 하므로, ○의 합계는 3C이다. 정리하면, (◎의 수의 합계)×2=3C이지만, 3C=333=홀수이므로 모순된다. 따라서 6 × 6 범마방진은 존재하지 않는다.

6. (6n±1)×(6n±1) 범마방진

$(6n \pm 1) \times (6n \pm 1)$ 판대각선 마방진은 다음 알고리즘으로 만들 수 있다.

# 마방진의 첫 번째 열을 첫 번째 $6n \pm 1$ 개의 자연수로 설정한다.

1
2
3
4
5
6
7

# 첫 번째 열을 두 번째 열에 복사하되, 2행씩 순환 이동한다.

1	6
2	7
3	1
4	2
5	3
6	4
7	5

# 현재 열을 다음 열에 복사하되, 2행씩 순환 이동하여 사각형이 완전히 채워질 때까지 계속한다.

1	6	4	2	7	5	3
2	7	5	3	1	6	4
3	1	6	4	2	7	5
4	2	7	5	3	1	6
5	3	1	6	4	2	7
6	4	2	7	5	3	1
7	5	3	1	6	4	2

# 두 번째 사각형을 만들고 첫 번째 사각형의 전치 행렬을 복사한다.

{| class="wikitable"

|-

| '''A'''

1	6	4	2	7	5	3
2	7	5	3	1	6	4
3	1	6	4	2	7	5
4	2	7	5	3	1	6
5	3	1	6	4	2	7
6	4	2	7	5	3	1
7	5	3	1	6	4	2

| $A^T$

1	2	3	4	5	6	7
6	7	1	2	3	4	5
4	5	6	7	1	2	3
2	3	4	5	6	7	1
7	1	2	3	4	5	6
5	6	7	1	2	3	4
3	4	5	6	7	1	2

|}

# 두 번째 사각형에 $6n \pm 1$ 을 곱하고, 첫 번째 사각형을 더하고, 사각형의 각 셀에서 $6n \pm 1$ 을 빼서 최종 사각형을 만든다.

예: $A + (6n \pm 1)A^T - (6n \pm 1)B$ , 여기서 B는 모든 셀이 1인 마방진이다.

1	13	18	23	35	40	45
37	49	5	10	15	27	32
24	29	41	46	2	14	19
11	16	28	33	38	43	6
47	3	8	20	25	30	42
34	39	44	7	12	17	22
21	26	31	36	48	4	9

7. 4n×4n 범마방진

다음은 $4n \times 4n$ 범마방진을 만드는 알고리즘이다.

1. 정사각형의 첫 번째 행과 첫 번째 $2n$ 개의 열에 처음 $2n$ 개의 자연수를 넣는다.

2. 처음 $2n$ 개의 자연수 아래에 다음 $2n$ 개의 자연수를 반대로 넣는다. 이때 각 수직 쌍의 합은 같아야 한다.

3. 첫 번째 사각형 아래에 해당 $2 \times 2n$ 사각형을 $2n-1$ 번 복사한다.

4. 왼쪽 $4n \times 2n$ 사각형을 오른쪽 $4n \times 2n$ 사각형에 복사하지만 링 방식으로 한 행씩 이동한다.

5. 두 번째 $4n \times 4n$ 정사각형을 만들고 첫 번째 정사각형을 복사하지만 90° 회전한다.

6. 두 번째 정사각형에 $4n$ 을 곱하고 첫 번째 정사각형을 더하고 정사각형의 각 셀에서 $4n$ 을 뺌으로써 최종 정사각형을 만든다.

이 알고리즘으로 만들어진 $4n \times 4n$ 범마방진에서 모든 $2 \times 2$ 정사각형은 합이 같다.

8. (6n+3)×(6n+3) 범마방진

(6n+3) × (6n+3) 범마방진은 다음 알고리즘으로 만들 수 있다.

# 먼저 각 열의 합이 같은 (2n+1) × 3 직사각형을 처음 6n+3개의 자연수로 만든다. 3×3 마방진으로 시작하여 직사각형의 나머지 셀을 잔물결 스타일로 설정하여 이 작업을 수행할 수 있다. 다음은 그 예시이다.

{| class="wikitable" style="text-align:center"

|-

! 9×9 마방진

! 15×15 마방진

! 21×21 마방진

|-

|

1	2	3
5	6	4
9	7	8

세로 합 = 15

|

1	2	3
5	6	4
9	7	8
10	11	12
15	14	13

세로 합 = 40

|

1	2	3
5	6	4
9	7	8
10	11	12
15	14	13
16	17	18
21	20	19

세로 합 = 77

|}

# 이 직사각형을 (6n+3) × (6n+3) 사각형의 왼쪽 상단 모서리에 놓고 직사각형의 사본 두 개를 아래에 놓아 사각형의 처음 3개 열을 완전히 채운다.

1	2	3
5	6	4
9	7	8
1	2	3
5	6	4
9	7	8
1	2	3
5	6	4
9	7	8

# 왼쪽 3개 열을 다음 3개 열에 복사하지만 링 방식으로 1개 행씩 이동한다.

1	2	3	9	7	8
5	6	4	1	2	3
9	7	8	5	6	4
1	2	3	9	7	8
5	6	4	1	2	3
9	7	8	5	6	4
1	2	3	9	7	8
5	6	4	1	2	3
9	7	8	5	6	4

# 현재 3개 열을 다음 3개 열에 복사하고 링 방식으로 1개 행씩 이동하여 사각형이 완전히 채워질 때까지 계속한다.

1	2	3	9	7	8	5	6	4
5	6	4	1	2	3	9	7	8
9	7	8	5	6	4	1	2	3
1	2	3	9	7	8	5	6	4
5	6	4	1	2	3	9	7	8
9	7	8	5	6	4	1	2	3
1	2	3	9	7	8	5	6	4
5	6	4	1	2	3	9	7	8
9	7	8	5	6	4	1	2	3

# 두 번째 사각형을 만들고 첫 번째 사각형의 전치 행렬을 복사한다.

{| class="wikitable" style="text-align:center;vertical-align:bottom"

|-

! A

! A^T

|-

|

1	2	3	9	7	8	5	6	4
5	6	4	1	2	3	9	7	8
9	7	8	5	6	4	1	2	3
1	2	3	9	7	8	5	6	4
5	6	4	1	2	3	9	7	8
9	7	8	5	6	4	1	2	3
1	2	3	9	7	8	5	6	4
5	6	4	1	2	3	9	7	8
9	7	8	5	6	4	1	2	3

|

1	5	9	1	5	9	1	5	9
2	6	7	2	6	7	2	6	7
3	4	8	3	4	8	3	4	8
9	1	5	9	1	5	9	1	5
7	2	6	7	2	6	7	2	6
8	3	4	8	3	4	8	3	4
5	9	1	5	9	1	5	9	1
6	7	2	6	7	2	6	7	2
4	8	3	4	8	3	4	8	3

|}

# 두 번째 사각형에 (6n+3)을 곱하고, 첫 번째 사각형을 더하고, 사각형의 각 셀에서 (6n+3)을 뺌으로써 최종 사각형을 만든다.

예: A + (6n+3)A^T - (6n+3)B, 여기서 B는 모든 셀이 1인 마방진이다.

1	38	75	9	43	80	5	42	76
14	51	58	10	47	57	18	52	62
27	34	71	23	33	67	19	29	66
73	2	39	81	7	44	77	6	40
59	15	49	55	11	48	63	16	53
72	25	35	68	24	31	64	20	30
37	74	3	45	79	8	41	78	4
50	60	13	46	56	12	54	61	17
36	70	26	32	69	22	28	65	21

참조

_[1] 웹사이트 Magic Counting with Inside-Out Polytopes https://matthbeck.gi[...] 2018-05-13
_[2] 웹사이트 4 x 4 Complete magic square https://web.archive.[...]
_[3] 간행물 교양의 수학과 마방진 : 4차의 초마방진의 해명 http://id.nii.ac.jp/[...]
_[4] 웹사이트 Panmagic Square -- from Wolfram MathWorld http://mathworld.wol[...]
_[5] 웹사이트 4次完全魔方陣のすべて http://www.daido-it.[...]
_[6] 문서 魔方陣について埼玉大学理学部櫻井力 2014年11月13日 http://www.rimath.sa[...]
_[7] 문서 魔方陣の世界
_[8] 문서 完全魔方陣埼玉大学櫻井力 http://www.rimath.sa[...]
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