위상속도

1. 개요

위상 속도는 파동의 한 지점이 공간을 통해 전파되는 속도이다. 여러 개의 정현파가 중첩될 때, 파동의 결과적인 중첩은 "포락선(envelope)"과 포락선 내부의 "반송파(carrier wave)"를 생성하며, 군 속도는 이러한 포락선의 속도를 나타낸다. 굴절률은 빛의 속도와 위상 속도 사이의 비율로 정의되며, 굴절률이 주파수에 의존하지 않을 때 군 속도와 위상 속도는 같아진다. 굴절률이 주파수에 따라 달라지는 현상을 분산이라고 한다.

2. 군 속도

파동 집합의 군 속도는 다음과 같이 정의된다.

:$v\_g\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash omega\}\; \{\backslash partial\; k\}.$

여러 개의 정현파가 함께 전파될 때, 파동의 결과적인 중첩은 파동의 "봉투" 뿐만 아니라 봉투 내부에 있는 "반송파" 파동을 생성할 수 있다. 이는 변조 (진폭 및/또는 위상의 변화)를 사용하여 데이터를 전송할 때 무선 통신에서 흔히 나타난다. 이 정의에 대한 직관을 얻기 위해, 각 각의 각 주파수와 파수 벡터를 가진 (코사인) 파동의 중첩을 고려해 보면

:$\backslash begin\{align\}$
f(x, t) &= \cos(k_1 x - \omega_1 t) + \cos(k_2 x - \omega_2 t)\\
&= 2\cos\left(\frac{(k_2-k_1)x-(\omega_2-\omega_1)t}{2}\right)\cos\left(\frac{(k_2+k_1)x-(\omega_2+\omega_1)t}{2}\right)\\
&= 2f_1(x,t)f_2(x,t).
\end{align}

따라서 두 파동의 곱이 있다. 에 의해 형성된 봉투 파동과 에 의해 형성된 반송파 파동이다. 봉투 파동의 속도를 군 속도라고 한다. 의 위상 속도는 다음과 같다.
:$\backslash frac\{\backslash omega\_2\; -\; \backslash omega\_1\}\{k\_2-k\_1\}.$
연속 미분 사례에서 이는 군 속도의 정의가 된다.

2.1. 군 속도의 정의

군 속도(\( v_g \))는 파수(\( k \))에 대한 각진동수(\( \omega \))의 변화율로 정의된다.

:$v\_g\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash omega\}\; \{\backslash partial\; k\}.$

여러 개의 정현파가 중첩될 때, 파동의 결과적인 중첩은 "포락선(envelope)"과 포락선 내부의 "반송파(carrier wave)"를 생성한다. 이는 변조를 사용하여 데이터를 전송하는 무선 통신에서 흔히 나타나는 현상이다.

2.2. 군 속도와 굴절률

전자기학과 광학에서 주파수는 파수의 함수 \(\omega(k)\)로 나타낼 수 있으며, 위상 속도와 군 속도는 특정 매질과 주파수에 따라 달라진다. 빛의 속도 \(c\)와 위상 속도 \(v_p\)의 비율은 굴절률 \(n\)으로 정의된다.

군 속도는 굴절률을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\( v_g = \frac{\partial w}{\partial k} = \frac{c}{n+\omega\frac{\partial n}{\partial \omega}}.\)

굴절률이 주파수에 의존하지 않을 때(\( \frac{\partial n}{\partial \omega} = 0 \)), 군 속도는 위상 속도와 같아진다. 이러한 매질을 비분산성 매질이라고 하며, 반대로 굴절률이 주파수에 의존하는 경우를 분산성 매질이라고 한다. 매질의 다양한 특성이 주파수 \( \omega \)에 따라 달라지는 \(\omega(k)\) 관계는 매질의 분산 관계라고 알려져 있다.

3. 위상 속도

4. 분산 (광학)

굴절률은 빛의 속도 c와 위상 속도 v_p 사이의 비율이며, n c / v_p ck / ω}}로 나타낸다. 굴절률이 주파수에 의존하지 않을 때, 즉 $\backslash partial\; n\; /\; \backslash partial\backslash omega\; =\; 0$일 때 군 속도와 위상 속도가 같아진다. 이러한 경우를 비분산성이라고 하며, 반대로 굴절률이 주파수에 따라 달라지는 현상을 분산이라고 한다. 분산에서는 매질의 다양한 특성이 주파수 에 따라 달라지며,$\backslash omega(k)$ 관계는 매질의 분산 관계라고 알려져 있다.

5. 한국의 과학기술과 파동 연구

6. 같이 보기