파동

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1. 개요

파동은 매질의 진동이 전달되는 현상 또는 시공간 상에서 물리량이 변화하는 현상을 의미한다. 빛의 파동성은 아이작 뉴턴의 입자설과 크리스티안 호이겐스, 토머스 영 등의 파동설 대립을 거쳐, 제임스 클러크 맥스웰의 전자기학 이론과 하인리히 헤르츠의 실험을 통해 빛이 전자기파의 일종임이 밝혀졌다. 물질의 파동성은 루이 드 브로이에 의해 제안되었으며, 슈뢰딩거 방정식과 디랙 방정식으로 설명된다. 파동은 횡파, 종파, 표면파 등 다양한 종류가 있으며, 중첩, 간섭, 회절, 반사, 굴절, 편광, 분산 등의 성질을 갖는다. 중력파는 시공간의 곡률 변화로, 양자역학적 파동은 입자의 파동적 성질을 나타낸다.

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파동
일반 정보
정의	공간 또는 시간을 통해 전달되는 교란 또는 진동
매개질 진동	진폭 파장 주파수
관련 속성	파속 에너지 운동량
파동의 종류
전파 매질 유무	역학적 파동: 매질 필요 전자기파: 매질 불필요
진동 방향과 전파 방향 관계	횡파: 진동 방향과 전파 방향이 수직 종파: 진동 방향과 전파 방향이 평행
기타	중력파 물질파 뇌파 지진파 충격파 츠나미
물리학
관련 분야	음향학 전자기학 유체역학 광학 지진학 양자역학
수학
관련 함수	사인 함수 코사인 함수 푸리에 변환 파동 방정식
기타
관련 개념	간섭 회절 굴절 도플러 효과

2. 역사

파동에 대한 이해는 고대부터 시작되었다. 가장 초기에 알려진 파동 현상은 수면을 전달하는 진동으로서의 파동이었다. 빛은 파동성을 가진 대표적인 예시이지만, 빛이 파동인지 입자인지에 대한 논쟁은 오랫동안 계속되었다.

루이 드 브로이는 알베르트 아인슈타인의 광양자 가설에서 영감을 얻어 1924년에 물질파 개념을 제안했다.^[1] 에르빈 슈뢰딩거는 드 브로이의 물질파 이론을 일반화하여 파동역학을 창시했고,^[1] 파동역학은 베르너 하이젠베르크 등의 행렬역학과 함께 양자역학으로 발전했다.^[1] 1923년부터 1927년까지 수행된 데비슨-거머 실험은 물질파 개념을 실험적으로 뒷받침했다.^[2]

2. 1. 빛의 파동성

빛은 파동성을 가진 것으로 잘 알려져 있지만, 빛이 파동인지 입자인지에 대한 논쟁은 오랫동안 지속되었다.

아이작 뉴턴은 빛의 입자설을 주장하며 빛의 직진성과 굴절을 설명했다. 뉴턴의 광학 연구 성과는 1704년 저서 『광학』에 수록되어 있다. 반면, 르네 데카르트, 로버트 훅, 크리스티안 호이겐스 등은 빛의 파동설을 지지했다. 호이겐스는 1678년에 "호이겐스의 원리"를 제안했으며, 그의 광학 연구는 1690년 저서 ''Treatise on Light|빛에 관한 논고^영어''에 수록되어 있다. 파동설은 빛의 굴절을 설명했지만, 매질 중의 광속에 대한 해석은 입자설과 달랐다. 입자설은 광속이 굴절률에 비례한다고 본 반면, 파동설은 굴절률에 반비례한다고 보았다. 1850년 레옹 푸코는 물 속에서 빛의 속도가 느려진다는 것을 실험적으로 증명하여 파동설에 힘을 실었다.

1665년 프란체스코 마리아 그리말디는 빛의 회절 현상을 보고했다. 1805년경 토머스 영은 간섭 실험(영의 실험)을 통해 빛의 파동성을 입증했다.

빛이 종파인지 횡파인지에 대한 논쟁도 있었다. 데카르트와 훅은 빛이 종파라고 주장했지만, 1669년 라스무스 바르톨린이 발견한 복굴절을 설명할 수 없었다. 오귀스탱 장 프레넬은 빛이 횡파이며 복굴절이 편광으로 설명될 수 있음을 제시하고, 호이겐스의 원리를 개선하여 후진파 문제도 해결했다.

1864년 제임스 클러크 맥스웰은 전자기학 이론을 통해 빛이 전자기파의 일종임을 예측했다. 맥스웰 방정식에서 얻어진 전자기장의 파동 방정식의 위상 속도는 당시 알려진 진공 중의 광속 값과 거의 같았다. 1887년경 하인리히 헤르츠는 전자기파의 간섭, 회절, 편광 현상을 실험적으로 확인하여 맥스웰의 이론을 뒷받침했다.

빛의 파동설은 파동을 전달하는 매질로 에테르의 존재를 가정했다. 1851년 피조의 실험과 1887년 마이컬슨-몰리 실험 등으로 에테르의 성질을 검증했지만, 마이컬슨-몰리 실험 결과와 특수 상대성 이론을 통해 에테르는 존재하지 않으며 전자기파는 진공에서 전파되는 것으로 밝혀졌다.

1886년경 헤르츠가 발견한 광전 효과는 고전 전자기학으로 설명할 수 없었다. 알베르트 아인슈타인은 광양자 가설과 일함수를 도입하여 광전 효과를 설명함으로써 빛의 입자-파동 이중성을 제시했다.

2. 2. 물질의 파동성

루이 드 브로이는 알베르트 아인슈타인의 광양자 가설에 영감을 받아 1924년에 물질파라는 개념을 제안했다.^[1] 에르빈 슈뢰딩거는 드 브로이의 물질파 이론을 일반화하려 시도하여 파동역학을 창시했다.^[1] 파동역학은, 선행하여 발표된 베르너 하이젠베르크 등의 행렬역학과 함께 양자역학으로 발전했다.^[1]

물질파 개념은 1923년부터 1927년까지 수행된 데비슨-거머 실험에 의해 실험적으로 뒷받침되었다.^[2]

3. 성질

매질 내의 한 점에서 생긴 매질의 진동 상태가 매질을 통해서 퍼져 나가는 현상을 말한다. 공간상의 한 점에서 서로 순환적으로 변환되는 두 가지 형태의 에너지가 존재할 때, 이를 진동자(振動子, oscillator)로 볼 수 있다. 파동은 시간과 공간으로 주어지는 한 점에서 정의되는 물리량 ''g(t,x)''이 변화하는 것이다. 주변에 있는 다른 한 점이 이와 동일한 성질을 가지면, 이 두 진동자 간에 커플링(coupling)이 일어나고, 시간의 흐름과 함께 에너지가 주변의 진동자로 전파될 수 있다. 이러한 식으로 에너지가 퍼져나가는 것이 파동이다.

파동 방정식으로 나타낼 수 있는 파동을 선형 파동이라고 한다. 선형 파동에 대해 중첩 원리가 성립한다.

진행파끼리는 서로 영향을 주지 않는다.
여러 파동이 중첩되는 영역에서의 진폭은 해당 파동 형상의 진폭의 합과 같다.

중첩의 원리로 설명되는 현상으로 간섭이 있다. 위상이 일치하는 파동의 중첩은 서로를 강화하지만, 위상이 절반 정도 어긋난 파동의 중첩은 서로를 상쇄한다.

파동이 장애물 근처를 지나면, 장애물 주변으로 파면이 휘어져 전달될 수 있다. 이 현상을 회절이라고 한다. 회절 현상은 호이겐스-프레넬의 원리에 의해 설명된다. 호이겐스-프레넬의 원리에 따르면, 진행파의 파면에서 이차적인 구면파(소원파)가 발생하며, 이것들이 중첩되어 회절을 일으킨다고 생각된다.

주기성을 갖는 파동, 특히, 사인파에서는 진동수, 주기, 진폭, 파수, 파장 등의 물리량이 정의된다.

같은 시각에 장의 양이 같은 값을 갖는 점들의 집합으로 만들어지는 면을 파면이라고 한다. 파면이 구면인 것을 구면파라고 한다. 파면이 평면인 것을 평면파라고 한다.

4. 수학적 기술

파동은 함수 ''F''(''x'',''t'')로 기술할 수 있다. 여기서 ''x''는 위치, ''t''는 시간이다. ''F''(''x'',''t'')의 값은 시간에 따라 변하는 물리량이다. 예를 들어 탄성 고체 내부 진동의 경우, 진동이 없을 때 점 ''x''에 있을 재료 입자의 현재 변위를 나타내는 벡터가 될 수 있다. 전자기파의 경우 전기장 벡터 ''E'', 자기장 벡터 ''H'', 또는 포인팅 벡터 등이 될 수 있다. 유체역학에서는 유체의 속도 벡터, 압력, 온도, 밀도 등이, 화학 반응에서는 반응 매질 내 특정 물질의 농도가 될 수 있다.

파동의 종류를 연구하는 방법 중 하나는 파동 값의 시간에 따른 변화를 제한하는 수학 방정식을 제시하는 것이다. 이 방정식의 해는 해당 파동 종류를 구성한다. 예를 들어, 균질하고 등방성인 고체 재료 블록 내부의 온도는 열 방정식으로 알려진 편미분 방정식으로 기술된다. 가스 용기 내에서 반향하는 소리는 파동 방정식으로 불리는 미분 방정식으로 기술된다.

4. 1. 단일 파동

솔리톤도 참조

파동은 함수 ''F''(''x'',''t'')와 같이 설명할 수 있다. 여기서 ''x''는 위치이고 ''t''는 시간이다.

''x''의 값은 파동이 정의된 공간의 한 점이다. 수학적으로는 일반적으로 벡터이며, 데카르트 3차원 공간

\mathbb{R}^3

에 속한다. 그러나 많은 경우 1차원을 무시하고 ''x''를 데카르트 평면

\mathbb{R}^2

의 점으로 둘 수 있다. 이는 드럼 가죽의 진동을 연구할 때 해당된다. 바이올린 현 또는 리코더의 진동을 연구할 때는 ''x''를 데카르트 선

\R

의 점, 즉 실수 집합으로 제한할 수 있다. 반면에 시간 ''t''는 항상 스칼라, 즉 실수로 가정한다.

''F''(''x'',''t'')의 값은 시간에 따라 변할 수 있는 점 ''x''에 할당된 관심 있는 모든 물리적 양이 될 수 있다. 예를 들어, ''F''가 탄성 고체 내부의 진동을 나타내는 경우, ''F''(''x'',''t'')의 값은 일반적으로 진동이 없을 때 점 ''x''에 있을 재료 입자의 현재 변위를 나타내는 벡터이다. 전자기파의 경우 ''F''의 값은 전기장 벡터 ''E'', 자기장 벡터 ''H'', 포인팅 벡터 ''E''×''H''와 같은 관련 양이 될 수 있다. 유체역학에서 ''F''(''x'',''t'')의 값은 점 ''x''에서 유체의 속도 벡터, 압력, 온도, 밀도와 같은 스칼라 속성이 될 수 있다. 화학 반응에서 ''F''(''x'',''t'')는 반응 매질의 점 ''x'' 근처에 있는 어떤 물질의 농도가 될 수 있다.

모든 차원 ''d''(1, 2 또는 3)에 대해 파동의 정의역은

\mathbb{R}^d

의 부분 집합 ''D''이며, 함수 값 ''F''(''x'',''t'')는 ''D''의 모든 점 ''x''에 대해 정의된다. 예를 들어, 드럼 가죽의 움직임을 설명할 때 ''D''를 원점 (0,0)을 중심으로 하는 평면

\mathbb{R}^2

의 원반 (원)으로 간주하고, ''F''(''x'',''t'')를 ''D''의 점 ''x''와 시간 ''t''에서 가죽의 수직 변위로 둘 수 있다.

4. 2. 파동의 중첩

중첩 원리에 따라 동일한 유형의 파동은 종종 중첩되어 공간과 시간의 특정 지점에서 동시에 나타난다. 해당 지점의 속성은 각 구성 파동의 해당 지점에서의 속성의 합이다. 일반적으로 속도는 동일하지 않으므로 파형은 시간과 공간에 따라 변화한다.

4. 3. 파동 스펙트럼

파랑 스펙트럼, 전자기 스펙트럼, 스펙트럼

4. 4. 파동의 종류

때로는 특정한 하나의 파동에 관심이 있을 수 있지만, 더 자주 가능한 많은 파동의 집합을 이해해야 할 때가 있다. 예를 들어 드럼 스틱으로 한 번 두드린 후 드럼 가죽이 진동할 수 있는 모든 방식, 또는 공항으로 접근하는 비행기에서 얻을 수 있는 모든 가능한 레이더 반사파 등이 있다.

이러한 상황 중 일부에서, 파동의 집합은 F(A, B, ...; x, t)로 설명할 수 있다. 이 함수는 x와 t 외에 특정 매개변수 A, B, ...에 의존한다. 이러한 매개변수에 다른 값을 선택하여 서로 다른 파동, 즉 x와 t의 서로 다른 함수를 얻을 수 있다.

예를 들어, "순수한" 음을 연주하는 리코더 내부의 음압은 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있는 정상파이다.

: F(A,L,n,c;x,t) = A (cos 2πx(2n - 1)/4L) (cos 2πct(2n - 1)/4L)

매개변수 A는 파동의 진폭(즉, 음의 크기와 관련된 관 내의 최대 음압)을 정의한다. c는 소리의 속도이고, L은 관의 길이이며, n은 정상파의 마디 수를 지정하는 양의 정수(1, 2, 3, ...)이다. (위치 x는 마우스피스에서 측정해야 하며, 시간 t는 마우스피스에서의 압력이 최대인 순간부터 측정해야 한다. 양 λ = 4L/(2n - 1)은 방출된 음의 파장이고, f = c/λ는 그 주파수이다.) 이 일반적인 방정식에서 매개변수에 특정 값을 선택하지 않고도 이러한 파동의 많은 일반적인 특성을 추론할 수 있다.

또 다른 예로, 드럼 가죽의 진동이 한 번의 타격 후 가죽 중심에서 타격 지점까지의 거리 r과 타격의 세기 s에만 의존할 수 있다. 그러면 가능한 모든 타격에 대한 진동은 함수 F(r, s; x, t)로 설명할 수 있다.

때로는 관심 있는 파동의 집합이 무한히 많은 매개변수를 가질 수 있다. 예를 들어, 금속 막대가 처음에는 길이 방향으로 서로 다른 지점에서 다양한 온도로 가열된 다음 진공 상태에서 자체적으로 냉각되도록 허용될 때 온도가 어떻게 되는지 설명하려고 할 수 있다. 이 경우, 스칼라 또는 벡터 대신 매개변수는 h(x)가 막대의 각 지점 x에서의 초기 온도인 함수 h여야 한다. 그런 다음 나중 시간의 온도는 함수 h에 의존하는 함수 F(즉, 함수 연산자)로 표현될 수 있으며, 따라서 나중 시간의 온도는 F(h; x, t)이다.

4. 5. 미분 파동 방정식

파동의 한 종류를 연구하는 또 다른 방법은, 파동의 값들이 시간에 따라 어떻게 변할 수 있는지 제한하는 수학 방정식을 제시하는 것이다. 그러면 해당 파동 종류는 이러한 제약 조건을 만족하는 모든 함수, 즉 방정식의 모든 해로 구성된다.

이러한 접근 방식은 물리학에서 매우 중요한데, 그 이유는 이러한 제약 조건이 일반적으로 파동이 진화하도록 하는 물리적 과정의 결과이기 때문이다. 예를 들어, 어떤 균질하고 등방성 고체 재료 블록 내부의 온도를 나타내는 함수

F(x,t)

는 다음과 같은 편미분 방정식에 의해 제한된다.

:

\frac{\partial F}{\partial t}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta Q(x,t)

여기서

Q(x,t)

는 시간

t

에

x

근처에서 (예를 들어 화학 반응에 의해) 단위 부피 및 시간당 생성되는 열이고,

x_1,x_2,x_3

는 점

x

의 데카르트 좌표이다.

\partial F/\partial t

는

t

에 대한

F

의 (첫 번째) 도함수이고,

\partial^2 F/\partial x_i^2

는

x_i

에 대한

F

의 2차 도함수이다.

이 방정식은 고체 매질에서 열 확산을 지배하는 물리학 법칙에서 파생될 수 있다. 이러한 이유로, 수학에서는 온도 외에 다른 많은 물리적 양에도 적용되지만, 열 방정식이라고 한다.

또 다른 예로, 가스 용기 내에서 반향하는 소리는 컨테이너 내의 한 지점

x

와 시간

t

에서의 압력을 나타내는 함수

F(x,t)

로 설명할 수 있다. 가스가 처음에 균일한 온도와 조성을 가지고 있었다면,

F

의 진화는 다음 공식에 의해 제한된다.

:

\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta P(x,t)

여기서

P(x,t)

는 스피커 또는

x

바로 옆에 있는 피스톤과 같은 외부 프로세스에 의해

x

근처의 가스에 가해지는 추가 압축력이다.

이 미분 방정식은 균질하고 등방성인 비전도성 고체에서의 기계적 진동 및 전자기장의 거동을 설명한다. 이 방정식은 열 흐름의 방정식과 왼쪽 변이 시간에 대한

F

의 2차 도함수인

\partial^2 F/\partial t^2

라는 점에서만 다르다. 이러한 작은 변화는 해 집합

F

에 큰 차이를 만든다. 이 미분 방정식은 매우 특별한 종류의 파동만 설명하지만, 수학에서 "the" 파동 방정식이라고 불린다.

5. 탄성 매질에서의 파동

탄성 매질에서의 파동은 파동 방정식과 달랑베르트 공식으로 설명할 수 있다.

매질인 줄에서 파동인 횡파(예: 펄스)를 생각해 보자. 이 줄은 단일 공간 차원을 갖는다고 가정하면, 이 파동은 다음과 같은 특징을 갖는다.

공간의 $x$ 방향으로 진행한다. (양의 $x$ 방향은 오른쪽, 음의 $x$ 방향은 왼쪽)
일정한 진폭 $u$ 를 갖는다.
일정한 속도 $v$ 로 진행하며, 이 속도는 파장과 무관하고(분산 없음) 진폭과도 무관하다.(선형 매질, 비선형 아님)^[4]^[5]
일정한 파형을 유지한다.

이러한 파동은 다음과 같은 2차원 함수로 표현할 수 있다.

$u(x,t) = F(x - v t)$ (파형 $F$ 가 오른쪽으로 이동)
$u(x,t) = G(x + v t)$ (파형 $G$ 가 왼쪽으로 이동)

또는 더 일반적으로는 달랑베르트 공식에 의해 다음과 같이 표현된다.^[6]

:

u(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt).

이는 매질을 통해 반대 방향으로 이동하는 두 개의 구성 파형

F

와

G

를 나타낸다. 이 파동은 편미분 방정식으로 일반화할 수 있다.^[7]

:

\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

일반적인 해는 뒤아멜의 원리에 기초한다.^[8]

5. 1. 파형

달랑베르 공식에서 ''F''의 형태는 인수 ''x'' − ''vt''를 포함한다. 이 인수의 상수 값은 ''F''의 상수 값에 해당하며, 이러한 상수 값은 ''x''가 ''vt''가 증가하는 것과 동일한 속도로 증가하는 경우에 발생한다. 즉, 함수 ''F''와 같은 모양의 파동은 속도 ''v''로 양의 ''x'' 방향으로 이동한다.^[9]

주기 ''λ''를 갖는 주기 함수 ''F'' (''F''(''x'' + ''λ'' − ''vt'') = ''F''(''x'' − ''vt''))의 경우, 공간에서 ''F''의 주기성은 주어진 시간 ''t''에서 파동을 찍은 사진에서 파동이 공간에서 주기 ''λ'' (파동의 파장)로 변화하는 것을 발견한다는 것을 의미한다. 유사한 방식으로, ''F''의 이 주기성은 시간에서도 주기성을 암시한다. 즉, ''vT'' = ''λ''인 경우 ''F''(''x'' − ''v''(''t'' + ''T'')) = ''F''(''x'' − ''vt'')이므로 고정된 위치 ''x''에서 파동을 관찰하면 파동이 주기 ''T'' = ''λ''/''v''로 요동치는 것을 알 수 있다.^[10]

5. 2. 진폭과 변조

파동의 진폭은 일정할 수 있으며(이 경우 파동은 ''c.w.'' 또는 ''연속파'') 시간 및/또는 위치에 따라 달라지도록 ''변조''될 수 있다. 진폭 변화의 윤곽을 파동의 ''포락선''이라고 한다. 수학적으로, 변조된 파동은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.^[11]^[12]^[13]

:

u(x,t) = A(x,t) \sin \left(kx - \omega t + \phi \right) ,

여기서

A(x,\ t)

는 파동의 진폭 포락선이고,

k

는 ''파수''이며

\phi

는 ''위상''이다. 만약 군속도

v_g

가 파장에 무관하다면, 이 방정식은 다음과 같이 단순화될 수 있다.^[14]

:

u(x,t) = A(x - v_g t) \sin \left(kx - \omega t + \phi \right) ,

이는 포락선이 군속도로 이동하며 그 모양을 유지함을 보여준다. 그렇지 않고 군속도가 파장에 따라 달라지는 경우, 펄스 모양은 종종 ''포락선 방정식''을 사용하여 설명되는 방식으로 변경된다.^[14]^[15]

진폭 변조된 파동의 ''포락선''(천천히 변하는 빨간색 곡선)의 그림. 빠르게 변하는 파란색 곡선은 변조되고 있는 ''반송파''입니다.

5. 3. 위상 속도와 군 속도

파동과 관련된 두 가지 속도로 위상 속도와 군 속도가 있다.

위상 속도는 파동의 위상이 파동 전파하는 속도이다. 파동의 주어진 위상(예: 마루)은 위상 속도로 이동하는 것처럼 보인다. 위상 속도는 파장 λ|람다^영어와 파동 주기 T||^영어로 표현되며 다음과 같다.

:

v_\mathrm{p} = \frac{\lambda}{T}.

군 속도는 정의된 포락선을 가진 파동에서 파동 진폭의 전체적인 모양(파동의 변조 또는 포락선)이 공간을 통해 전파되는 것을 측정하는 속성이다.

6. 특수한 파동

특수한 파동에는 다음과 같은 것들이 있다.

사인파: 파동을 함수로 나타낼 때 사용되는 방법 중 하나이다.
평면파: 값의 변화가 한 공간 방향에서만 일어나는 파동으로, 전자기파를 소스로부터 멀리 떨어진 곳에서 모델링하는 데 사용된다.
정상파: "고정파"라고도 하며, 포락선이 일정한 위치에 머물러 있는 파동이다. 이 현상은 반대 방향으로 이동하는 두 파동 사이의 간섭으로 인해 발생한다. 바이올린 현이 변위되면 횡파가 브리지와 너트에서 현이 고정된 곳으로 전파되어 파동이 다시 반사된다. 브리지와 너트에서 두 반대 파동은 위상 반전되어 서로 상쇄되어 마디를 생성한다. 두 마디 사이의 중간 지점에는 두 반대 방향으로 전파되는 파동이 최대한 "강화"되는 배가 있다. 시간에 따른 순 에너지 전달은 없다.

'''솔리톤''' (고독파): 일정한 속도로 전파되면서 형태를 유지하는 자기 강화 파동 묶음이다. 솔리톤은 매질 내에서 비선형성과 분산 관계의 상쇄로 인해 발생한다. (분산 효과는 파동의 속도가 주파수에 따라 달라지는 특정 시스템의 속성이다.) 솔리톤은 물리적 시스템을 설명하는 광범위한 약 비선형 분산 편미분 방정식 클래스의 해이다.

6. 1. 사인파

사인파는 파동을 설명하는 한 가지 방법이다. 파동은 함수

F(x,t)

로 나타낼 수 있는데, 여기서

x

는 위치,

t

는 시간이다.

6. 2. 평면파

평면파는 값의 변화가 한 공간적 방향에서만 일어나는 일종의 파동이다. 즉, 해당 방향에 수직인 평면에서 값은 일정하다. 평면파는 파동이 변화하는 방향을 나타내는 단위 길이의 벡터

\hat n

과, 해당 방향(

\hat n \cdot \vec{x}

)을 따른 변위와 시간(

t

)의 함수로 파동이 어떻게 변하는지를 설명하는 파동 프로파일로 지정할 수 있다. 파동 프로파일은

\hat n \cdot \vec{x}

조합에서 위치

\vec{x}

에만 의존하기 때문에,

\hat n

에 수직인 방향으로의 변위는 필드 값에 영향을 미칠 수 없다.

평면파는 종종 전자기파를 소스로부터 멀리 떨어진 곳에서 모델링하는 데 사용된다. 전자기 평면파의 경우, 전기장과 자기장 자체는 전파 방향에 횡적이며, 서로 수직이기도 하다.

6. 3. 정상파

정상파는 "고정파"라고도 하며, 포락선이 일정한 위치에 머물러 있는 파동이다. 이 현상은 반대 방향으로 이동하는 두 파동 사이의 간섭으로 인해 발생한다.

진폭과 주파수가 동일한 두 개의 반대 방향으로 전파되는 파동의 "합"은 "정상파"를 생성한다. 정상파는 일반적으로 경계가 파동의 추가 전파를 막아 파동의 반사를 일으키고, 따라서 반대 방향으로 전파되는 파동을 도입할 때 발생한다. 예를 들어, 바이올린 현이 변위되면 횡파가 브리지와 너트에서 현이 고정된 곳으로 전파되어 파동이 다시 반사된다. 브리지와 너트에서 두 반대 파동은 위상 반전되어 서로 상쇄되어 마디를 생성한다. 두 마디 사이의 중간 지점에는 두 반대 방향으로 전파되는 파동이 최대한 "강화"되는 배가 있다. 시간에 따른 순 에너지 전달은 없다.

6. 4. 고독파

'''솔리톤''' 또는 '''고독파'''는 일정한 속도로 전파되면서 형태를 유지하는 자기 강화 파동 묶음이다. 솔리톤은 매질 내에서 비선형성과 분산 관계의 상쇄로 인해 발생한다. (분산 효과는 파동의 속도가 주파수에 따라 달라지는 특정 시스템의 속성이다.) 솔리톤은 물리적 시스템을 설명하는 광범위한 약 비선형 분산 편미분 방정식 클래스의 해이다.

7. 물리적 성질

파동 방정식으로 나타낼 수 있는 파동을 선형 파동이라고 하며, 중첩의 원리가 성립한다. 중첩의 원리에 따르면 진행파끼리는 서로 영향을 주지 않으며, 여러 파동이 중첩되는 영역에서의 진폭은 해당 파동 형상의 진폭의 합과 같다.

위상이 일치하는 파동의 중첩은 서로를 강화하지만, 위상이 절반 정도 어긋난 파동의 중첩은 서로를 상쇄하는데, 이러한 중첩의 원리로 설명되는 현상을 간섭이라고 한다.

파동이 장애물 근처를 지나면 장애물 주변으로 파면이 휘어져 전달될 수 있는데, 이러한 현상을 회절이라고 한다. 회절 현상은 호이겐스-프레넬의 원리에 의해 설명된다. 호이겐스-프레넬의 원리에 따르면, 진행파의 파면에서 이차적인 구면파(소원파)가 발생하며, 이것들이 중첩되어 회절을 일으킨다.

주기성을 갖는 파동, 특히 사인파에서는 진동수, 주기, 진폭, 파수, 파장 등의 물리량이 정의된다.

같은 시각에 장의 양이 같은 값을 갖는 점들의 집합으로 만들어지는 면을 파면이라고 한다. 파면이 구면인 것을 구면파, 파면이 평면인 것을 평면파라고 한다.

7. 1. 전파

매질 내의 한 점에서 생긴 매질의 진동 상태가 매질을 통해서 퍼져 나가는 현상을 말한다. 공간상의 한 점에서 서로 순환적으로 변환되는 두 가지 형태의 에너지가 존재할 때, 이를 진동자(振動子, oscillator)로 볼 수 있다. 파동은 시간과 공간으로 주어지는 한 점에서 정의되는 물리량 ''g(t,x)''이 변화하는 것이다. 주변에 있는 다른 한 점이 이와 동일한 성질을 가지면, 이 두 진동자 간에 커플링(coupling)이 일어나고, 시간의 흐름과 함께 에너지가 주변의 진동자로 전파될 수 있다. 이러한 식으로 에너지가 퍼져나가는 것이 파동이다.

진동의 방향과 전파 방향의 관계에 따라 종파와 횡파를 구분할 수 있다.

전자기파는 진공뿐만 아니라 물질 매질에서도 전파된다. 소리와 같은 다른 유형의 파동의 전파는 전송 매질에서만 발생할 수 있다.

7. 1. 1. 평면파의 반사

지진학에서 평면파의 전파와 반사는 중요한 개념이다. 압력파(P파) 또는 전단파(SH파 또는 SV파)와 같은 평면파의 전파 및 반사는 고전 지진학 분야에서 처음으로 특성화되었으며, 현대 지진 토모그래피의 기본 개념으로 간주된다.^[1] 이 문제에 대한 해석적인 해는 존재하며 잘 알려져 있다.^[1] 주파수 영역 해는 먼저 변위장의 헬름홀츠 분해를 구한 다음, 이를 파동 방정식에 대입하여 얻을 수 있다.^[1] 여기서, 평면파 고유 모드를 계산할 수 있다.^[1]

7. 2. 파동 속도

파동 속도는 파동의 위상과 에너지(및 정보) 전달과 관련된 속도에 대한 다양한 종류의 파동 속도를 나타내는 일반적인 개념이다. 위상 속도는 다음과 같이 주어진다.

:

v_{\rm p} = \frac{\omega}{k},

여기서:

''v''_p는 위상 속도(SI 단위는 m/s)
''ω''는 각진동수 (SI 단위는 rad/s)
''k''는 파수 (SI 단위는 rad/m)

위상 속도는 특정 주파수에서 파동의 일정한 위상 점이 이동하는 속도를 알려준다. 각진동수 ''ω''는 파수 ''k''와 독립적으로 선택할 수 없지만, 둘은 분산 관계를 통해 관련되어 있다.

:

\omega = \Omega(k).

특수한 경우

\Omega(k) = ck

에서 ''c''는 상수이며, 모든 주파수가 동일한 위상 속도 ''c''로 이동하기 때문에 파동은 비분산적이라고 한다. 예를 들어 진공에서의 전자기파는 비분산적이다. 분산 관계가 다른 형태인 경우에는 분산파가 있다. 분산 관계는 파동이 전파되는 매질과 파동의 종류(예: 전자기파, 음파, 해양 표면파)에 따라 달라진다.

좁은 범위의 주파수에서 발생된 파동 묶음이 이동하는 속도를 군 속도라고 하며, 이는 분산 관계의 기울기로부터 결정된다.

:

v_{\rm g} = \frac{\partial \omega}{\partial k}

대부분의 경우, 파동은 매질을 통한 에너지의 움직임이다. 또, 대부분 군 속도는 에너지가 이 매질을 통해 이동하는 속도이다.

7. 3. 투과와 매질

파동은 일반적으로 전송 매체를 통해 직선으로(즉, 직진으로) 이동한다. 이러한 매체는 다음 범주 중 하나 이상으로 분류할 수 있다.^[1]

유한한 범위를 갖는 경우 ''유계 매질'', 그렇지 않은 경우 ''무계 매질''^[1]
매질의 특정 지점에서 서로 다른 파동의 진폭을 더할 수 있는 경우 ''선형 매질''^[1]
공간의 다른 위치에서 물리적 특성이 변경되지 않는 경우 ''균일 매질'' 또는 ''균질 매질''^[1]
하나 이상의 물리적 특성이 하나 이상의 방향에서 다른 경우 ''이방성 매질''^[1]
모든 방향에서 물리적 특성이 ''동일''한 경우 ''등방성 매질''^[1]

7. 4. 흡수

일반적으로 파동은 파동 에너지의 대부분 또는 전부가 손실 없이 전파될 수 있는 매질에서 정의된다. 그러나 재료는 파동에서 에너지를 제거하여 일반적으로 열로 변환하는 경우 "손실" 특성을 갖는 것으로 특징지을 수 있다. 이를 "흡수"라고 한다.^[1] 투과 또는 반사 시 파동의 에너지를 흡수하는 재료는 굴절률이 복소수인 것으로 특징지어진다.^[1] 흡수량은 일반적으로 파동의 주파수(파장)에 따라 다르며, 이는 예를 들어 물체가 색상을 나타낼 수 있는 이유를 설명한다.^[1]

7. 5. 반사

파동이 반사 표면에 부딪히면 방향이 바뀌는데, 이때 입사 파동과 표면에 수직인 선이 이루는 각은 반사 파동과 동일한 수직선이 이루는 각과 같다.

7. 6. 굴절

각도로 더 낮은 파동 속도 영역으로 들어가는 정현파 진행 평면파. 파장이 감소하고 방향이 바뀌는 것을 보여준다(굴절)

굴절은 파동이 속도를 바꾸는 현상이다. 수학적으로 이는 위상 속도의 크기가 변한다는 것을 의미한다. 일반적으로 굴절은 파동이 하나의 전송 매질에서 다른 매질로 통과할 때 발생한다. 파동이 물질에 의해 굴절되는 정도는 물질의 굴절률에 의해 주어진다. 입사 및 굴절 방향은 두 물질의 굴절률과 스넬의 법칙으로 관련된다.

7. 7. 회절

회절은 파동이 장애물을 만나거나 구멍을 통과할 때 구부러지거나 퍼지는 현상이다.^[1] 회절 효과는 장애물이나 구멍의 크기가 파동의 파장과 비슷할 때 더 두드러진다.^[1]

7. 8. 간섭

선형 매질(일반적인 경우)에서 파동이 서로 공간의 한 영역에서 교차할 때, 실제로 서로 상호작용하지 않고 다른 파동이 없는 것처럼 계속 진행된다. 그러나 해당 영역의 임의의 지점에서 해당 파동을 설명하는 ''장(field)의 양''은 중첩 원리에 따라 더해진다. 파동이 고정된 위상 관계에서 동일한 주파수를 갖는 경우, 일반적으로 두 파동이 ''동위상''이 되어 진폭이 ''더해지는'' 위치와 ''역위상''이 되어 진폭이 (부분적으로 또는 완전히) ''상쇄되는'' 다른 위치가 존재한다. 이것을 간섭 무늬라고 한다.

7. 9. 편광

편광은 횡파에서 진동 방향이 특정 방향으로 제한되는 현상이다. 파동 운동이 두 개의 직교 방향에서 동시에 발생할 수 있을 때 나타난다. 수식어 없이 편광이라고만 할 때는 보통 선형 편광을 의미한다. 횡파가 한 방향으로만 진동하면 선형 편광된다. 선형 편광의 경우, 진동이 발생하는 진행 방향에 수직인 평면의 상대적인 방향을 추가하는 것이 유용하며, 예를 들어 편광면이 지면에 평행한 경우 "수평"으로 표시할 수 있다. 전자기파는 자유 공간에서 전파될 때 횡파이며, 편광 필터를 사용하여 편광할 수 있다.

소리파와 같은 종파는 편광을 나타내지 않는다. 이러한 파동은 진동 방향이 진행 방향, 오직 하나뿐이다.

7. 10. 분산

분산은 굴절률이 주파수에 따라 달라지는 현상으로, 물질의 원자적 특성에서 비롯된다.^[17] 파동의 위상 속도 또는 군 속도가 주파수에 따라 달라질 때 분산이 일어난다. 분산은 백색광을 프리즘에 통과시켜 무지개색 스펙트럼을 생성하는 것으로 확인할 수 있다. 아이작 뉴턴은 백색광이 서로 다른 색의 빛의 혼합물이라는 것을 처음으로 인식했다.^[17]

7. 11. 도플러 효과

도플러 효과는 파동의 주파수가 파원과 관찰자의 상대적인 운동에 따라 변하는 현상이다.^[18] 이 현상은 1842년에 이 현상을 설명한 오스트리아의 물리학자 크리스티안 도플러의 이름을 따서 명명되었다.

8. 역학적 파동

매질 내의 한 점에서 생긴 매질의 진동 상태가 매질을 통해서 퍼져 나가는 현상을 파동이라고 한다. 파동은 시간과 공간으로 주어지는 한 점에서 정의되는 물리량이 변화하는 것이다. 주변에 있는 다른 한 점이 이와 동일한 성질을 가지면, 이 두 진동자 간에 커플링(coupling)이 일어나고, 시간의 흐름과 함께 에너지가 주변의 진동자로 전파될 수 있다.

역학적 파동은 물질의 진동이며, 매질을 통해 에너지를 전달한다.^[19] 파동은 먼 거리를 이동할 수 있지만, 전송 매질의 이동은 제한적이다. 따라서 진동하는 물질은 초기 위치에서 멀리 이동하지 않는다. 역학적 파동은 탄성과 관성을 가진 매질에서만 생성될 수 있다. 역학적 파동에는 횡파, 종파, 표면파의 3가지 유형이 있다.

8. 1. 현의 파동

진동하는 현을 따라 이동하는 횡파의 속도(''v'')는 현의 장력(''T'')을 선형 질량 밀도(''μ'')로 나눈 값의 제곱근에 정비례한다.^[1]

:

v = \sqrt{\frac{T}{\mu}},

여기서 선형 밀도 ''μ''는 현의 단위 길이당 질량이다.^[1]

8. 2. 음파

음파는 기체, 액체, 고체를 통해 전파되는 종파이다. 소리 파동은 다음과 같은 속도로 이동한다.

:

v = \sqrt{\frac{B}{\rho_0}},

여기서

B

는 단열 체적 탄성률이고,

\rho_0

는 매질의 주변 밀도이다. (음속 참고).^[1]

8. 3. 수면파

연못 표면의 잔물결은 실제로는 횡파와 종파의 조합이며, 따라서 표면의 점들은 궤도 경로를 따른다.^[1]
관성파는 회전하는 유체에서 발생하며 코리올리 효과에 의해 복원된다.^[3]
해양 표면파는 물을 통해 전파되는 섭동이다.^[4]

8. 4. 체파

체파는 온도, 조성, 물질 위상에 따라 밀도와 탄성 계수(강성)가 달라지는 매질 내부를 통과하는 파동이다. 밀도와 탄성 계수의 변화는 빛의 굴절과 유사한 효과를 낸다. 입자 운동 유형에 따라 종파와 횡파 두 가지 유형의 체파가 발생한다.^[1]

8. 5. 지진파

지진파는 지구의 층을 통과하는 에너지 파동으로, 지진, 화산 폭발, 마그마 이동, 대규모 산사태 및 저주파 음향 에너지를 방출하는 대규모 인공 폭발의 결과이다. 지진파에는 체파(1차파(P파)와 2차파(S파))와 표면파(레일리파, 러브파, 스톤리파)가 있다.

8. 6. 충격파

충격파는 전파되는 일종의 교란이다. 파동이 유체 내의 국지적인 음속보다 빠르게 이동할 때, 그것은 충격파이다. 일반적인 파동과 마찬가지로 충격파는 에너지를 전달하고 매질을 통해 전파될 수 있다. 그러나, 그것은 매질의 압력, 온도, 밀도의 급격하고 거의 불연속적인 변화를 특징으로 한다.^[20]

8. 7. 전단파

전단파는 전단 강성과 관성으로 인한 체적파이다. 고체와 점성이 충분히 높은 액체를 통해 전달될 수 있다.

9. 전자기파

전기장과 자기장의 진동으로 구성된 파동이다. 전자기파는 두 장의 진동 방향에 수직인 방향으로 이동한다. 19세기 제임스 클러크 맥스웰은 진공에서 전기장과 자기장이 파동 방정식을 만족하며 속도가 빛의 속도와 같다는 것을 보여주었다. 이를 통해 가시광선이 전자기파라는 아이디어가 나왔다. 빛과 전자기파의 통일은 1880년대 말 하인리히 헤르츠에 의해 실험적으로 확인되었다. 전자기파는 서로 다른 주파수(따라서 파장)를 가질 수 있으며, 이에 따라 전파, 마이크로파, 적외선, 가시광선, 자외선, X선, 감마선과 같은 파동대역으로 분류된다. 각 대역의 주파수 범위는 연속적이며, 각 대역의 한계는 대부분 임의적이다. 단, 정상적인 인간의 눈으로 볼 수 있어야 하는 가시광선은 예외이다.

10. 양자역학적 파동

양자역학에서 입자는 파동의 성질을 갖는다. 진동자(振動子, oscillator)는 공간상의 한 점에서 서로 순환적으로 변환되는 두 가지 형태의 에너지가 존재하는 것이다. 파동은 시간과 공간으로 주어지는 한 점에서 정의되는 물리량 ''g(t,x)''이 변화하는 것이고, 주변에 있는 다른 한 점이 이와 동일한 성질을 가지면, 이 두 진동자 간에 커플링(coupling)이 일어나고, 시간의 흐름과 함께 에너지가 주변의 진동자로 전파될 수 있다.

10. 1. 슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식은 양자역학에서 입자의 파동적 행동을 설명한다. 이 방정식의 해는 입자의 확률 밀도를 설명하는 데 사용될 수 있는 파동 함수이다.

10. 2. 디랙 방정식

디랙 방정식은 전자기 상호작용을 상세히 설명하는 상대론적 파동 방정식이다. 디랙 파동은 수소 스펙트럼의 미세한 세부 사항을 완전히 엄밀한 방식으로 설명했다. 이 파동 방정식은 또한 이전에 의심되거나 관찰되지 않았지만 실험적으로 확인된 새로운 형태의 물질인 반물질의 존재를 암시했다.^[23] 양자장론의 맥락에서, 디랙 방정식은 스핀-1/2 입자에 해당하는 양자장을 설명하도록 재해석된다.

11. 중력파

중력파는 중력 또는 부력이 평형을 회복하기 위해 작용할 때 유체 매질 또는 두 매질의 경계면에서 생성되는 파동이다. 물 표면파가 가장 익숙한 예이다.^[1]

참조

_[1] 논문 Harv 1980
_[2] 논문 What Is a Signal? [Lecture Notes] 2018-09
_[3] 논문 Radial, spiral and reverberating waves of spreading depolarization occur in the gyrencephalic brain 2014-10-01
_[4] 서적 Seismic waves and rays in elastic media Elsevier
_[5] 서적 Modulated waves: theory and application https://www.amazon.c[...] Johns Hopkins University Press
_[6] 서적 Wave motion in elastic solids https://books.google[...] Dover
_[7] 웹사이트 Kinematic Derivation of the Wave Equation http://prism.texarka[...] 2012-12-11
_[8] 서적 Geometric wave equations American Mathematical Society Bookstore
_[9] 서적 All you wanted to know about mathematics but were afraid to ask https://books.google[...] Cambridge University Press
_[10] 서적 Introduction to Macromolecular Crystallography Wiley
_[11] 서적 FEW-cycle Laser Dynamics and Carrier-envelope Phase Detection https://books.google[...] Cuvillier Verlag
_[12] 서적 Oscillations and waves https://books.google[...] Springer
_[13] 서적 Fundamentals of carrier transport https://books.google[...] Cambridge University Press
_[14] 서적 Foundations for guided-wave optics Wiley
_[15] 서적 Localized Waves Wiley-Interscience
_[16] 웹사이트 Topographic amplification of seismic waves https://sites.google[...] 2023-02-24
_[17] 서적 Optics Addison-Wesley 1998
_[18] 서적 College Physics: Reasoning and Relationships https://books.google[...] Cengage Learning 2009
_[19] 서적 Physics for scientists & engineers with modern physics Pearson Prentice Hall 2009
_[20] 서적 Fundamentals of Aerodynamics McGraw-Hill Science/Engineering/Math 2001-01
_[21] 논문 On kinematic waves. II. A theory of traffic flow on long crowded roads 1955
_[22] 논문 Shockwaves on the highway 1956
_[23] 서적 Quantum Mechanics for Applied Physics and Engineering Courier Dover Publications
_[24] 서적 Advances in Electronics and Electron Physics Academic Press
_[25] 서적 Quantum Mechanics https://books.google[...] Springer
_[26] 서적 Electronic basis of the strength of materials https://books.google[...] Cambridge University Press
_[27] 서적 Principles of quantum mechanics https://books.google[...] Cambridge University Press
_[28] 서적 The applied dynamics of ocean surface waves https://books.google[...] World Scientific
_[29] 서적 Quantum Mechanics https://books.google[...] Springer
_[30] 서적 The picture book of quantum mechanics https://books.google[...] Springer
_[31] 서적 Modern mathematical methods for physicists and engineers https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[32] 뉴스 Gravitational waves detected for 1st time, 'opens a brand new window on the universe' http://www.cbc.ca/ne[...] Canadian Broadcasting Corporation 2016-02-11

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