분산 관계

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1. 개요

분산 관계는 파동의 파수와 각진동수 사이의 관계를 나타내는 것으로, 파동의 속도와 파형 변화에 영향을 미친다. 분산 관계는 광학, 해양학, 고체 물리학 등 다양한 물리 현상에서 나타나며, 특히 광학에서는 빛의 굴절과 분광 현상을 설명하는 데 중요한 역할을 한다. 또한, 고체 내 전자의 에너지와 운동량 관계, 포논의 특성, 그리고 상대론적 입자의 에너지-운동량 관계 등에서도 분산 관계가 활용된다.

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분산 관계
기본 정보
주제	파동의 분산 관계
설명	파동의 주파수와 파수(또는 파장) 사이의 관계
관계	주파수 (ω)는 파수 (k)의 함수로 표현
사용 분야	물리학, 광학
정의
일반적 표현	ω = f(k)
주파수 (ω)	파동의 시간적 진동수
파수 (k)	파동의 공간적 진동수
파장 (λ)과의 관계	k = 2π/λ
주요 특징
선형 분산 관계	ω ∝ k (주파수와 파수가 비례)
비선형 분산 관계	ω는 k에 대한 비선형 함수
예시
진공 중의 전자기파	선형 분산 관계 (ω = ck, 여기서 c는 빛의 속도)
물질 매질에서의 전자기파	비선형 분산 관계 (굴절률에 따라 다름)
물결파	비선형 분산 관계 (표면 장력, 중력 등 영향)
드브로이파	입자의 운동량과 에너지를 파동으로 표현 (E = ħω, p = ħk)
중요성
파동의 전파	파동이 어떻게 매질을 통해 전파되는지 이해
매질의 특성	매질의 물리적 특성 연구
광학 시스템 설계	렌즈, 광섬유 등 광학 시스템 설계에 활용
파동 현상 분석	파동 간섭, 회절 등 파동 현상 분석
물질의 분산	매질에서 물질이 파동을 어떻게 분산시키는지 분석
추가 정보
위상 속도 (v_p)	v_p = ω/k (파동의 한 점이 이동하는 속도)
군 속도 (v_g)	v_g = dω/dk (파동의 포락선이 이동하는 속도)
참고 자료
관련 링크	영문 위키백과: 분산 관계 일본어 위키백과: 분산 관계 한국어 위키백과: 분산 관계

2. 분산의 정의 및 기본 원리

분산은 서로 다른 파장을 가진 정현파가 서로 다른 전파 속도를 가질 때 발생하는 현상으로, 혼합된 파장의 파수는 공간적으로 퍼지는 경향이 있다.

일반적으로 각 주파수의 파수에 대한 함수적 의존성을 '분산 관계'라고 부르는데, 이는 매질에서 흡수보다는 굴절, 즉 굴절률의 실수 부분에 초점을 맞출 때 사용하는 용어다. 입자의 경우, 분산 관계는 운동량의 함수로서 에너지를 나타낸다.

임의의 파동은 푸리에 변환을 통해 "특정 파수만을 갖는 단색파의 집합"으로 분해할 수 있다. 이때, 파수와 각진동수가 계의 성질에 따라 만족하는 관계

: $\omega =\omega(k) \,$

를 '''분산 관계''' 또는 '''분산식'''이라고 한다.

여기서 "분산"이란 파가 전달될 때 파형이 변하는 것을 의미한다.

파수와 각진동수가 비례 관계에 있지 않을 경우, 성분마다 위상 속도가 다르기 때문에 전파 시 파형의 변화를 수반한다. 그러한 계는 '''분산적'''이거나 '''분산계'''라고 한다. 반면, 파수와 각진동수가 비례 관계( $\omega =vk \,$ )로 나타날 때는 '''분산'''이 없다.

분산이 없는 경우, 파를 구성하는 각 성분은

: $e^{i(kx-\omega t)}=e^{ik(x- vt)} \,$

이 되며, 모든 성분이 파수에 의존하지 않고 일정 속도로 진행하기 때문에, 파형을 바꾸지 않고 전파한다. 예를 들어, 실온의 공기를 전파하는 음파는 거의 분산이 없기 때문에, 사람이 낸 소리는 거의 파형을 바꾸지 않고 전달된다.

양자역학에서는 에너지와 진동수가 비례하므로( $E = \hbar \omega$ ), 계의 에너지 고유값과 파수의 관계 $E = E(k)$ 도 분산 관계라고 한다.

2. 1. 파동의 속도와 분산 관계

평면파의 속도

v

는 파장

\lambda

의 함수로 나타낼 수 있다. 즉,

v = v(\lambda)

이다. 파동의 속도, 파장, 주파수 ''f'' 사이에는

v(\lambda) = \lambda\ f(\lambda)

와 같은 관계가 성립한다. 여기서 함수

f(\lambda)

는 주어진 매질의 분산 관계를 나타낸다.

일반적으로 분산 관계는 각진동수

\omega=2\pi f

와 파수

k=2 \pi /\lambda

를 사용하여 표현한다. 위의 관계를 이 변수들로 다시 쓰면

\omega(k)= v(k) \cdot k

가 된다. 여기서 ''f''는 ''k''의 함수로 간주한다. ''ω''(''k'')를 사용하여 분산 관계를 설명하는 것이 표준이 되었는데, 그 이유는 위상 속도 ''ω''/''k''와 군 속도 ''dω''/''dk''가 모두 이 함수를 통해 편리하게 표현될 수 있기 때문이다.

푸리에 변환을 통해 임의의 파동을 "특정 파수만을 갖는 단색파의 집합"으로 분해할 수 있다. 이때 파수와 각진동수가 만족하는 관계를 '''분산 관계''' 또는 '''분산식'''이라고 한다. 파수와 각진동수의 대응 관계가 여러 개 존재하는 경우도 있으며, 각각의 관계를 파의 모드라고 부르기도 한다.

분산 관계로부터 파동의 성질을 나타내는 몇 가지 중요한 지표를 유도할 수 있다. 파의 위상 부분이 일정하게 전파되는 속도는, 이것을 시간으로 미분하여,

:

v_\mathrm{p} = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k}

로 주어진다. 이것을 '''위상 속도'''라고 한다. 한편, 다양한 파수를 가진 파들의 집합인 파속에서 그 '''군 속도'''는,

:

v_\mathrm{g} = \frac{d \omega(k)}{dk}

로 주어진다.

분산이 없는 경우에는,

:

v_\mathrm{p} = v, \quad v_\mathrm{g} = v \,

이므로, 「분산이 없다」는 조건은 「위상 속도와 군 속도가 일치한다」는 것과 동등하다.

일반적인 파동 방정식

:

\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

을 따르는 파동 현상에서,

:

\omega =c k \,

의 관계가 만족되어, 분산이 없는 파가 된다.

3. 다양한 물리 현상에서의 분산 관계

분산 관계는 광학, 수면파, 전자기파, 물질파 등 다양한 물리 현상에서 나타난다.

광학: 태양광과 같은 백색광이 프리즘을 통과할 때 무지개처럼 색깔별로 분광되는 현상을 분산이라고 한다. 이는 백색광이 다양한 각진동수를 가진 전자기장으로 구성되어 있고, 프리즘이라는 매질에서 각 전자기파의 굴절률이 각진동수에 따라 다르기 때문이다. 매질 내 전자기파의 위상 속도는 각진동수에 의존하는 굴절률과 진공 속의 광속을 통해 표현되며, 이에 대응하는 분산 관계가 성립한다. 분산 관계라는 용어는 광학에서의 이러한 분산 현상에서 유래되었다.^[2]
수면파: 깊이가 h인 수층에서 중력과 표면 장력을 고려한 수면파의 분산 관계는 다음 식을 만족한다.

:

\omega=|k| \sqrt{ \biggl ( \frac{g}{k}+ \frac{\sigma k}{\rho} \biggr) \tanh{kh} }

여기서 g는 중력 가속도, σ는 표면 장력의 세기, ρ는 물의 밀도이다.

탄성 매질: 이상적인 현의 경우, 분산 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\omega = k \sqrt{\frac{T}{\mu}}

여기서 T는 현의 장력, μ는 현의 단위 길이당 질량이다. 이는 비분산 매질의 예시로, 위상 속도와 군 속도가 같고 진동 주파수와 무관하다. 비이상적인 현의 경우 강성을 고려하여 분산 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\omega^2 = \frac{T}{\mu} k^2 + \alpha k^4,

여기서

\alpha

는 현에 따라 달라지는 상수이다.

고체 내 전자와 포논: 고체 연구에서 전자의 분산 관계(띠 구조)는 물질의 전기적 특성(절연체, 반도체, 도체)을 결정한다. 포논의 분산 관계는 물질의 음향적 및 열적 특성과 관련되어 있다. 포논은 고체 내 음파의 양자이다.
전자 광학: 투과전자현미경에서 고에너지(예: 200keV) 전자를 사용하는 경우, 전자회절 패턴을 이용해 결정의 3차원 분산면 단면을 직접 이미징할 수 있다.^[4]

3. 1. 진공에서의 평면파

진공에서의 평면파는 파동 전파의 가장 간단한 경우이다. 기하학적 제약이 없고 전달 매질과의 상호 작용이 없다.

진공 상태에서 전자기파는 선형 분산 관계를 가지며, 위상 속도와 군 속도가 광속과 같다. (비분산성) 드 브로이 물질파는 비선형 분산 관계를 가진다.

3. 1. 1. 전자기파의 분산

진공 상태에서 전자기파의 각진동수는 파수에 비례한다.

:

\omega = c k.

이는 ''선형'' 분산 관계이며, 이 경우 파동은 '''비분산성'''이라고 한다. 즉, 위상 속도와 군 속도는 같다.

:

v = \frac{\omega}{k} = \frac{d\omega}{d k} = c,

따라서 둘 다 진공에서 광속과 같으며, 주파수에 무관하다.

3. 1. 2. 드 브로이 물질파의 분산

드 브로이 물질파의 주파수 분산 관계는 비선형적이다. 비상대론적 근사에서 주파수(

\omega

)는 다음 두 부분으로 구성된다.

정지 질량의 드 브로이 주파수( $\hbar \omega_0 = m_{0}c^2$ )에 의한 상수 부분
운동 에너지에 의한 이차 부분

수식으로 표현하면 다음과 같다.

\omega(k) \approx \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m_{0} }\,.

이는 진공 상태에서 물질파의 주파수

\omega

가 비상대론적 근사에서 파수 (

k=2\pi/\lambda

)에 따라 변한다는 것을 나타낸다. 물질파의 응용은 비상대론적 속도에서 일어나지만, 드브로이는 특수 상대성 이론을 적용하여 그의 파동을 유도했다.

상대론적 에너지-운동량 관계식은 다음과 같다.

E^2 = (p \textrm c)^2 + \left(m_0 \textrm c^2\right)^2\,

물질파의 에너지와 운동량에 대한 드브로이 관계식은 다음과 같다.

:

E = \hbar \omega \,, \quad \mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}\,,

여기서

\omega

는 각진동수이고,

\mathbf{k}

는 크기가

k

인 파수인 파동 벡터이다.

\hbar

로 나누고 제곱근을 취하면 '''상대론적 분산 관계'''를 얻는다.

\omega(k) = \sqrt{k^2c^2 + \left(\frac{m_0c^2}{\hbar}\right)^2} \,.

물질파를 이용한 실제 연구는 비상대론적 속도에서 이루어진다. 근사하기 위해 정지 질량 의존 주파수를 꺼내면 다음과 같다.

\omega = \frac{m_0 c^2}{\hbar}\sqrt{1+ \left( \frac{k\hbar}{m_{0} c} \right)^2 } \,.

\hbar/c

인자가 매우 작다는 것을 알 수 있다. 따라서

k

가 너무 크지 않으면

\sqrt{1+x^2}\approx 1+x^2/2,

로 전개하고 곱하면 다음과 같다.

\omega(k) \approx \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m_{0} }\,.

이것은 위에서 논의된 비상대론적 근사를 제공한다. 비상대론적 슈뢰딩거 방정식으로 시작하면 첫 번째 항인 정지 질량 항이 없어진다.

3. 2. 광학에서의 분산

태양광과 같은 백색광을 프리즘에 통과시키면, 투과된 빛은 무지개처럼 각 색깔별로 분광된다. 이 현상은 광학에서 '''분산'''이라고 불린다. 이는 백색광이 각진동수가 다른 전자기장으로 구성되어 있으며, 프리즘이라는 매질에서 각각의 굴절률이 각진동수에 따라 다르기 때문이다. 이때, 매질을 전파하는 전자기파의 위상 속도는 각진동수에 의존하는 굴절률과 진공 속의 광속을 이용하여,

:

c(\omega)= \frac{c}{n(\omega)} \,

로 표현된다. 이때, 대응하는 분산 관계는

:

\omega= c(\omega)k  \,

이 된다. 분산 관계라는 용어는 광학에서의 이 분산 현상에서 유래한다.^[2]

3. 3. 수면파에서의 분산

깊이가 h인 수층에서, 중력과 표면 장력을 고려한 수면파의 분산 관계는 다음을 만족한다.

:

\omega=|k| \sqrt{ \biggl ( \frac{g}{k}+ \frac{\sigma k}{\rho} \biggr) \tanh{kh} }

여기서, g는 중력 가속도이고, σ는 표면 장력의 세기이며, ρ는 물의 밀도이다.

3. 3. 1. 심해파의 분산 관계

심해 파랑의 분산 관계는 종종 다음과 같이 표현된다.^[3]

:

\omega = \sqrt{gk},

여기서 ''g''는 중력 가속도이다. 이 경우 심해는 일반적으로 수심이 파장의 절반보다 큰 경우를 의미한다. 이 경우 위상 속도는

:

v_p = \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{g}{k}},

이고 군 속도는

:

v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{1}{2} v_p.

3. 4. 탄성 매질에서의 분산

이상적인 현의 경우, 분산 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\omega = k \sqrt{\frac{T}{\mu}},

여기서 ''T''는 현의 장력이고, ''μ''는 현의 단위 길이당 질량이다. 진공에서의 전자기파의 경우와 마찬가지로, 이상적인 현은 비분산 매질이다. 즉, 위상 속도와 군 속도는 같고(1차 근사에서) 진동 주파수와 무관하다.

강성을 고려하는 비이상적인 현의 경우, 분산 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\omega^2 = \frac{T}{\mu} k^2 + \alpha k^4,

여기서

\alpha

는 현에 따라 달라지는 상수이다.

3. 5. 고체 내 전자와 포논의 분산

고체 연구에서 전자의 분산 관계 연구는 매우 중요하다. 전자의 분산 관계(띠 구조)는 물질의 전기적 특성(절연체, 반도체, 도체)을 결정한다. 포논의 분산 관계는 물질의 음향적 및 열적 특성과 관련되어 있다. 포논은 고체 내 음파의 양자이다.

3. 5. 1. 전자 띠 구조

결정의 주기성으로 인해 전자는 주어진 운동량에 대해 많은 에너지 준위를 가질 수 있으며, 어떤 에너지는 어떤 운동량에서도 이용할 수 없다. 모든 가능한 에너지와 운동량의 집합을 재료의 띠 구조라고 한다. 띠 구조의 특성은 재료가 절연체, 반도체, 도체인지 여부를 결정한다.

3. 5. 2. 포논의 분산 관계

포논은 고체 내의 음파에 대한 양자이며, 빛에 대한 광자와 유사하다. 즉, 음파를 전달하는 양자이다. 포논의 분산 관계는 재료의 음향적 및 열적 특성과 직접적으로 관련되어 있다. 대부분의 계에서 포논은 두 가지 주요 유형으로 분류할 수 있다. 브릴루앙 영역 중심에서 밴드가 0이 되는 포논을 음향 포논이라고 하는데, 이는 긴 파장의 한계에서 고전적인 소리에 해당하기 때문이다. 다른 것들은 광학 포논인데, 전자기 복사에 의해 여기될 수 있기 때문이다.^[10]^[11]

고체에서 포논의 모델로서, 두 종류의 원자로 구성된 1차원 격자의 진동을 생각해 보자. 이때, 이 격자계의 주기를 2a|2a^영어로 하고, 두 원자의 질량을 m1|m1^영어, m2|m2^영어, 결합 상수를 f|f^영어라고 하면, 분산 관계는 다음과 같다.

:

\omega^2= \frac{f}{m_\mu} \left ( 1 \pm  \sqrt{1-\frac{4m_\mu^{\, 2}}{m_1m_2} \sin^2{ka} } \right ),\quad  \frac{1}{m_\mu}=\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}

부호가 - 인 경우가 음향 모드에 해당하고, + 인 경우가 광학 모드에 해당한다. 특히 q|q^영어 → 0 로 한 장파장 극한에서, 음향 모드에서는

:

\omega = \sqrt{ \frac{2f}{m_1+m_2}} a|k|

광학 모드에서는

:

\omega = \sqrt{ \frac{2f}{m_\mu}} = \sqrt{ \frac{2(m_1+m_2)f}{m_1m_2} }

이 된다.^[10]^[11]

3. 6. 전자 광학

투과전자현미경에서 고에너지(예: 200keV) 전자를 사용하는 경우, 수렴빔 전자회절(CBED) 패턴의 고차 라우에 영역(HOLZ) 선의 에너지 의존성을 이용하면 결정의 3차원 분산면 단면을 직접 이미징할 수 있다.^[4] 이 역학적 효과는 격자상수, 빔 에너지의 정밀 측정에 응용되었으며, 최근에는 전자산업에서 격자 변형 측정에도 활용되고 있다.

4. 상대론적 관점에서의 분산 관계

상대론적 관점에서 양자장론의 전자는 디랙 방정식으로 기술되며, 특정한 분산 관계를 만족한다.

4. 1. 상대론적 전자의 분산 관계

상대론적 양자장론에서 전자는 디랙 방정식으로 기술된다. 이때, 전자는 다음의 분산 관계를 만족한다.

:

\omega= \sqrt{(ck)^2+\biggl ( \frac{mc^2}{\hbar} \biggr)^2}

여기서, m은 전자 질량, c는 광속이다.

5. 분산 관계의 역사

아이작 뉴턴은 프리즘을 이용한 굴절 실험을 수행했지만, 분산 관계의 물질 의존성을 인식하지 못했다.^[5]

1776년 피에르 시몽 라플라스는 물 위 파동의 분산을 연구했다.^[6]

크라머스-크로니히 관계식(1926-27)은 산란 이론에서 분산 관계와 인과 관계의 연관성을 보여준다.^[7]

6. 한국의 관련 기술 및 산업에의 응용 (추가)

분산 관계에 대한 이해는 한국의 주요 산업 분야에 필수적이다.

참조

_[1] 서적 Fundamentals of optics https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1957
_[2] 서적 Modern Physics Saunders
_[3] 서적 Water wave mechanics for engineers and scientists World Scientific, Singapore
_[4] 학술지 Higher order Laue zone effects in electron diffraction and their use in lattice parameter determination
_[5] 서적 Never at Rest: A Biography of Isaac Newton https://archive.org/[...] Cambridge University 1983
_[6] 학술지 The origins of water wave theory
_[7] 학술지 Causality and the dispersion relation: Logical foundations
_[8] 간행물 学術用語集物理学編 1990
_[9] harvnb
_[10] harvnb
_[11] 논문 1982
_[12] 논문 1973

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