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위상 잡음

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목차

1. 개요

위상 잡음은 신호의 위상 변화로 인해 발생하는 잡음으로, 발진기 등에서 나타나는 현상이다. 위상 잡음은 신호의 전력을 인접 주파수로 분산시켜 측파대를 발생시키며, 위상 잡음 PSD, 주파수 잡음 PSD, 분수 주파수 안정성 PSD, 스펙트럼 순도 등 다양한 방식으로 표현될 수 있다. 위상 잡음은 지터로 변환하여 표현할 수도 있으며, 스펙트럼 분석기나 위상 잡음 측정 시스템을 이용하여 측정할 수 있다. 위상 잡음으로 인한 스펙트럼선의 확산은 기본 선폭과 적분 선폭으로 특징지어지며, 레이저와 같은 시스템의 성능을 제한하는 요소로 작용하기도 한다.

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위상 잡음

2. 정의

위상 잡음은 신호 위상에 나타나는 불규칙한 변동으로, 통신 시스템, 레이더, 오실레이터 등 다양한 분야에서 중요한 요소이다. 위상 잡음은 역사적으로 두 가지 상충되는 정의로 사용되어 왔는데, 하나는 신호 위상의 스펙트럼 밀도만을 의미하고,[6] 다른 하나는 신호 자체의 스펙트럼 추정에서 비롯되는 위상 스펙트럼(진폭 스펙트럼과 짝을 이룸)을 의미한다.[7] 이러한 정의들은 "용어 정의" 섹션에서 더 자세히 설명된다.

위상 잡음은 다양한 방식으로 표현되고 측정될 수 있으며, "수학적 정의" 섹션에서는 이러한 표현 방식들을 수학적으로 다룬다.

2. 1. 용어 정의

역사적으로 위상 잡음은 두 가지 상충되는 정의로 사용되어 왔다. 일부 저자들은 위상 잡음을 신호 위상의 스펙트럼 밀도만으로 정의하지만,[6] 다른 정의로는 신호 자체의 스펙트럼 추정에서 비롯되는 위상 스펙트럼(진폭 스펙트럼과 짝을 이룸)을 의미한다.[7]

이상적인 발진기는 순수한 정현파를 생성한다. 주파수 영역에서 이는 발진기 주파수에서 단일 쌍의 디랙 델타 함수(양수 및 음수 켤레)로 표현된다. 즉, 모든 신호의 전력은 단일 주파수에 있다. 모든 실제 발진기는 위상 변조된 잡음 성분을 갖는다. 위상 잡음 성분은 신호의 전력을 인접 주파수로 분산시켜 잡음 측파대를 발생시킨다.

잡음 없는 신호는 다음과 같다.

:x(t)= A\cos(2 \pi f_0 t)

위상 잡음은 신호에 \phi(t)로 표현되는 확률 과정을 추가하여 나타낸다.

:x(t)= A\cos(2 \pi f_0 t + \phi (t))

다양한 위상 잡음 과정, \phi(t)는 서로 다른 전력 스펙트럼 밀도(PSD)를 갖는다. 예를 들어, 백색 잡음 PSD는 f^0 추세를 따르고, 분홍색 잡음 PSD는 f^{-1} 추세를 따르며, 갈색 잡음 PSD는 f^{-2} 추세를 따른다.

\operatorname{S}_{\phi}(f) 는 위상 잡음의 자기상관의 푸리에 변환에 의해 주어진 단일 측파대(f>0) 위상 잡음 PSD \left[ \frac{rad^2}{Hz} \right] 이다.[1]

: \operatorname{S}_{\phi}(f) = \mathcal{F}\left[ \operatorname{E} \left[ \phi(t)\overline{\phi(t+\tau)} \right]\right]

잡음은 또한 단일 측파대(f>0) 주파수 잡음 PSD, \operatorname{S}_{\Delta \nu}(f) \left[ \frac{Hz^2}{Hz} \right] , 또는 반송파 주파수 f_0로부터의 편차 측면에서 주파수 변동을 정의하는 분수 주파수 안정성 PSD, \operatorname{S}_{y}(f) \left[ \frac{1}{Hz} \right] 로 나타낼 수 있다.

: \operatorname{S}_{\Delta \nu}(f) = f^2\operatorname{S}_{\phi}(f)

: \operatorname{S}_{y}(f) = \frac{\operatorname{S}_{\Delta \nu}(f)}{f_0^2} = \frac{f^2\operatorname{S}_{\phi}(f)}{f_0^2}

위상 잡음은 또한 반송파 전력을 기준으로 반송파 주파수 f_0로부터의 주파수 오프셋 f에서 1Hz 대역폭의 단일 측파대 전력인 스펙트럼 순도, \mathcal{L}\left(f\right) \left[ \frac{dBc}{Hz} \right]로 제공될 수 있다.

: \mathcal{L}\left(f\right) = 10\log_{10} \left( \frac{\operatorname{S}_{\phi}(f)}{2} \right)

2. 2. 수학적 정의

이상적인 발진기는 순수한 정현파를 생성한다. 주파수 영역에서 이는 발진기 주파수에서 단일 쌍의 디랙 델타 함수(양수 및 음수 켤레)로 표현될 것이다. 즉, 모든 신호의 전력은 단일 주파수에 있다. 모든 실제 발진기는 위상 변조된 잡음 성분을 갖는다. 위상 잡음 성분은 신호의 전력을 인접 주파수로 분산시켜 잡음 측파대를 발생시킨다.[6]

잡음 없는 신호는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:x(t)= A\cos(2 \pi f_0 t)

위상 잡음은 다음과 같이 신호에 \phi(t)로 표현되는 확률 과정을 추가하여 나타낼 수 있다.

:x(t)= A\cos(2 \pi f_0 t + \phi (t))

다양한 위상 잡음 과정, \phi(t)는 서로 다른 전력 스펙트럼 밀도 (PSD)를 갖는다. 예를 들어, 백색 잡음 PSD는 f^0 추세를 따르고, 분홍색 잡음 PSD는 f^{-1} 추세를 따르며, 갈색 잡음 PSD는 f^{-2} 추세를 따른다.

\operatorname{S}_{\phi}(f) 는 위상 잡음의 자기상관의 푸리에 변환에 의해 주어진 단일 측파대(f>0) '''위상 잡음 PSD''' \left[ \frac{rad^2}{Hz} \right] 이다. [1]

: \operatorname{S}_{\phi}(f) = \mathcal{F}\left[ \operatorname{E} \left[ \phi(t)\overline{\phi(t+\tau)} \right]\right]

잡음은 또한 단일 측파대(f>0) '''주파수 잡음 PSD''', \operatorname{S}_{\Delta \nu}(f) \left[ \frac{Hz^2}{Hz} \right] , 또는 반송파 주파수 f_0로부터의 편차 측면에서 주파수 변동을 정의하는 '''분수 주파수 안정성 PSD''', \operatorname{S}_{y}(f) \left[ \frac{1}{Hz} \right] 로 나타낼 수 있다.

: \operatorname{S}_{\Delta \nu}(f) = f^2\operatorname{S}_{\phi}(f)

: \operatorname{S}_{y}(f) = \frac{\operatorname{S}_{\Delta \nu}(f)}{f_0^2} = \frac{f^2\operatorname{S}_{\phi}(f)}{f_0^2}

위상 잡음은 또한 반송파 전력을 기준으로 반송파 주파수 f_0로부터의 주파수 오프셋 f에서 1Hz 대역폭의 단일 측파대 전력인 '''스펙트럼 순도''', \mathcal{L}\left(f\right) \left[ \frac{dBc}{Hz} \right]로 제공될 수 있다.[7]

: \mathcal{L}\left(f\right) = 10\log_{10} \left( \frac{\operatorname{S}_{\phi}(f)}{2} \right)

3. 지터 변환 (Jitter Conversions)

위상 잡음은 때때로 특정 범위의 오프셋 주파수에 걸쳐 ℒ(''f'')를 적분하여 얻은 전력으로 측정되고 표현되기도 한다. 예를 들어, 위상 잡음은 1 kHz에서 100 kHz 범위에서 -40 dBc로 적분될 수 있다. 이 적분된 위상 잡음(도 단위로 표현)은 다음 공식을 사용하여 지터(초 단위로 표현)로 변환할 수 있다.

: 지터(초) = 위상 오차 (°) / (360° × 주파수 (Hz))

3. 1. RMS 사이클 지터

위상 잡음이 -20dBc/decade 기울기를 보이는 영역(리슨 방정식)에서 1/f 잡음이 없는 경우, RMS 사이클 지터는 위상 잡음과 관련될 수 있다.[2]

:\sigma^2_c = \frac{f^2 \mathcal{L}\left(f\right)}{f_\text{osc}^3}

마찬가지로:

:\mathcal{L}\left(f\right) = \frac{f_\text{osc}^3 \sigma_c^2}{f^2}

4. 측정 (Measurement)

위상 잡음 측정 시스템은 스펙트럼 분석기의 대안이다. 이러한 시스템은 내부 및 외부 레퍼런스를 사용할 수 있으며 잔류 (가산) 및 절대 잡음 측정을 모두 허용한다. 또한 이러한 시스템은 저잡음, 반송파에 가까운 측정을 수행할 수 있다.

4. 1. 스펙트럼 분석기

위상 잡음은 피측정 장치(DUT)의 위상 잡음이 스펙트럼 분석기의 국부 발진기에 비해 클 경우 스펙트럼 분석기를 사용하여 측정할 수 있다. 관찰된 값이 측정 신호로 인한 것이고 스펙트럼 분석기 필터의 형상 계수로 인한 것이 아닌지 주의해야 한다. 스펙트럼 분석기 기반 측정은 여러 주파수 대역(예: 1Hz ~ 10MHz)에 걸쳐 위상 잡음 전력을 표시할 수 있다. 다양한 오프셋 주파수 영역에서 오프셋 주파수에 따른 기울기는 잡음의 소스에 대한 단서를 제공할 수 있다. 예를 들어, 낮은 주파수의 플리커 노이즈는 30dB/decade(= 9dB/octave)로 감소한다.[3]

4. 2. 위상 잡음 측정 시스템

위상 잡음은 피측정 장치(DUT)의 위상 잡음이 스펙트럼 분석기의 국부 발진기에 비해 클 경우 스펙트럼 분석기를 사용하여 측정할 수 있다. 관찰된 값이 측정 신호로 인한 것이고 스펙트럼 분석기 필터의 형상 계수로 인한 것이 아닌지 주의해야 한다.[3] 스펙트럼 분석기 기반 측정은 여러 주파수 대역(예: 1Hz ~ 10MHz)에 걸쳐 위상 잡음 전력을 표시할 수 있다. 다양한 오프셋 주파수 영역에서 오프셋 주파수에 따른 기울기는 잡음의 소스에 대한 단서를 제공할 수 있는데, 예를 들어 낮은 주파수의 플리커 노이즈는 30dB/decade(= 9dB/octave)로 감소한다.[3]

위상 잡음 측정 시스템은 스펙트럼 분석기의 대안이다. 이러한 시스템은 내부 및 외부 레퍼런스를 사용할 수 있으며 잔류 (가산) 및 절대 잡음 측정을 모두 허용한다. 또한, 저잡음, 반송파에 가까운 측정을 수행할 수 있다.

5. 선폭 (Linewidths)

이상적인 발진기의 정현파 출력은 정현파 주파수에 중심을 둔 전력 스펙트럼 밀도의 디랙 델타 함수이지만, 실제로는 위상 잡음으로 인해 스펙트럼 선이 확산된다. 이러한 확산은 기본 선폭과 적분 선폭으로 특징지어진다. 발진기는 장기간에 걸쳐 주파수 드리프트를 겪을 수 있으며, 이는 보이트 선 모양의 중심 주파수를 천천히 이동시킨다.

5. 1. 기본 선폭 (Intrinsic Linewidth)

이상적인 발진기의 정현파 출력은 정현파의 주파수에 중심을 둔 전력 스펙트럼 밀도에서 디랙 델타 함수이다. 이러한 완벽한 스펙트럼 순도는 실제 발진기에서는 달성할 수 없다. 위상 잡음으로 인한 스펙트럼선의 확산은 기본 선폭과 적분 선폭으로 특징지어진다.

'''기본 선폭'''은 백색 잡음 제한 선폭 또는 고유 선폭이라고도 하며, 백색 잡음원만 존재하는 경우(PSD가 f^0 추세를 따르는 잡음, 즉 모든 주파수에서 동일한 잡음) 발진기 PSD의 선폭이다. 기본 선폭은 로렌츠 스펙트럼 선 모양을 갖는다. 백색 잡음은 작은 평균 시간에서 1/\sqrt{\tau} 알란 편차 플롯을 제공한다.

5. 2. 적분 선폭 (Integrated Linewidth)

이상적인 발진기의 정현파 출력은 정현파의 주파수에 중심을 둔 전력 스펙트럼 밀도에서 디랙 델타 함수이다. 이러한 완벽한 스펙트럼 순도는 실제 발진기에서는 달성할 수 없다. 위상 잡음으로 인한 스펙트럼선의 확산은 기본 선폭과 적분 선폭으로 특징지어진다.

'''기본 선폭'''은 백색 잡음 제한 선폭 또는 고유 선폭이라고도 하며, 백색 잡음원만 존재하는 경우(PSD가 f^0 추세를 따르는 잡음, 즉 모든 주파수에서 동일한 잡음) 발진기 PSD의 선폭이다. 기본 선폭은 로렌츠 스펙트럼 선 모양을 갖는다. 백색 잡음은 작은 평균 시간에서 1/\sqrt{\tau} 알란 편차 플롯을 제공한다.

'''적분 선폭'''은 유효 선폭 또는 총 선폭이라고도 하며, 백색 잡음원(PSD가 f^0 추세를 따르는 잡음)과 분홍색 잡음원(PSD가 f^{-1} 추세를 따르는 잡음)이 모두 존재하는 경우 발진기 PSD의 선폭이다. 분홍색 잡음은 때때로 플리커 잡음 또는 단순히 1/f 잡음이라고도 한다. 적분 선폭은 백색 잡음으로 유도된 로렌츠 선 모양과 분홍색 잡음으로 유도된 가우스 선 모양의 컨볼루션인 보이트 선 모양을 갖는다. 분홍색 잡음은 중간 평균 시간에서 \tau^{0} 알란 편차 플롯을 제공한다. 알란 편차 플롯의 이 평평한 선은 플리커 플로어라고도 한다.

또한, 발진기는 장기간에 걸쳐 주파수 드리프트를 경험하여 보이트 선 모양의 중심 주파수를 천천히 이동시킬 수 있다. 이 드리프트는 갈색 잡음원(PSD가 f^{-2} 추세를 따르는 잡음)이며, 큰 평균 시간에서 \sqrt{\tau} 알란 편차 플롯을 제공한다.

6. 시스템 성능 제한 (Limiting System Performance)

레이저는 잡음으로 특징지어지는 흔한 발진기이며, 따라서 레이저 선폭으로 특징지어진다. 레이저 잡음은 레이더 및 통신 시스템의 감도 손실, 이미징 시스템의 선명도 부족, 디지털 시스템의 높은 비트 오류율 등 레이저가 사용되는 시스템의 근본적인 한계를 초래한다.

근적외선 중심 파장을 가진 레이저는 원자와 상호 작용하는 광자를 제공하기 위해 많은 원자, 분자 및 광학 물리학 실험에 사용된다. 큐비트 작동에 사용되는 레이저(예: 클럭 전이 레이저 및 상태 준비 레이저)의 특정 주파수 오프셋에서의 스펙트럼 순도에 대한 요구 사항은 큐비트의 결맞음 시간이 레이저의 선폭과 직접 관련되어 있기 때문에 매우 엄격하다.

참조

[1] 서적 Phase Noise and Frequency Stability in Oscillators Cambridge University Press
[2] 간행물 An Overview of Phase Noise and Jitter http://literature.cd[...] Keysight Technologies 2001-05-17
[3] 간행물 Impact of ultralow phase noise oscillators on system performance http://rfdesign.com/[...] 2006-07
[4] 학위논문 Stabilized Sources in Visible for Atomic, Molecular and Quantum Applications. https://escholarship[...] UC Santa Barbara 2024
[5] 학위논문 Stabilized Sources in Visible for Atomic, Molecular and Quantum Applications. https://escholarship[...] UC Santa Barbara 2024
[6] 논문 Characterization of frequency stability in precision frequency sources http://www.umbc.edu/[...] 1991-06
[7] 논문 Phase noise in oscillators: a unifying theory and numerical methods for characterization http://potol.eecs.be[...] 2019-12-20


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