확률 과정

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 분류
- 4.1. 이산 시간 및 연속 시간 확률 과정
- 4.2. 이산 및 연속 상태 공간
5. 예시
6. 추가적인 예시
7. 역사
8. 수학적 구성
- 8.1. 구성 문제
- 8.2. 구성 문제 해결
9. 응용
참조

1. 개요

확률 과정은 시간의 흐름에 따라 변화하는 확률 변수들의 집합으로, 수학적 모델링과 다양한 분야에 응용된다. 확률 과정은 일반적으로 확률 변수들의 족으로 정의되며, 지표 집합과 상태 공간의 기수에 따라 이산 시간 또는 연속 시간, 이산 또는 연속 상태 공간으로 분류된다. 주요 예시로는 베르누이 과정, 무작위 행보, 위너 과정, 푸아송 과정, 마르코프 연쇄 등이 있으며, 마틴게일, 레비 과정, 확률장, 점 과정 등도 확률 과정의 중요한 유형으로 다루어진다. 확률 과정은 금융의 블랙-숄즈 모형, 개체군 동태 연구, 컴퓨터 과학의 난수화 알고리즘과 대기 이론 등 다양한 분야에서 활용되며, 콜모고로프 연속성 정리와 같은 수학적 성질을 통해 분석된다. 확률 과정은 유한 차원 분포를 통해 구성되며, 콜모고로프 확장 정리와 같은 도구를 사용하여 존재성을 증명한다.

더 읽어볼만한 페이지

확률 모형 - 제한된 볼츠만 머신
제한된 볼츠만 머신(RBM)은 이분 그래프 구조를 가진 인공 신경망으로, 가시 유닛과 은닉 유닛 간의 연결만 존재하며, 에너지 함수와 확률 분포를 사용하여 데이터의 특징을 학습하고, 대비 발산(CD) 알고리즘으로 훈련하며, 다양한 분야에 활용된다.
확률 모형 - 블랙-숄즈 모형
블랙-숄즈 모형은 피셔 블랙과 마이런 숄스가 개발한 옵션 가격 계산 모형으로, 자산 가격 변동의 확률적 분석을 통해 옵션 가격 결정에 기여하며 파생 상품 시장에서 중요한 위치를 차지한다.
수학 사이드바 - 추론 규칙
추론 규칙은 전제가 참일 때 결론이 필연적으로 참임을 보이는 논리적 도출 과정을 형식적으로 표현한 규칙으로, 다양한 유형이 존재하며 명제 논리와 술어 논리에서 기본적인 추론을 수행하는 데 사용되고, 형식 체계의 핵심 요소이다.
수학 사이드바 - 벡터 공간
벡터 공간은 체 위의 가군으로 정의되는 대수적 구조로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 가지며 특정 공리들을 만족하고, 기저, 차원, 선형 사상 등의 개념을 통해 수학과 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.
통계학에 관한 - 비지도 학습
비지도 학습은 레이블이 없는 데이터를 통해 패턴을 발견하고 데이터 구조를 파악하는 것을 목표로 하며, 주성분 분석, 군집 분석, 차원 축소 등의 방법을 사용한다.
통계학에 관한 - 회귀 분석
회귀 분석은 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계를 모델링하고 분석하는 통계적 기법으로, 최소 제곱법 개발 이후 골턴의 연구로 '회귀' 용어가 도입되어 다양한 분야에서 예측 및 인과 관계 분석에 활용된다.

확률 과정
개요
정의	시간의 흐름에 따라 확률적으로 변하는 일련의 확률변수들의 모임.
다른 이름	랜덤 과정
유형
시간 매개변수에 따른 구분	이산 시간 확률 과정: 시간이 이산적인 값만을 가짐. 연속 시간 확률 과정: 시간이 연속적인 값을 가짐.
값에 따른 구분	이산 상태 확률 과정: 확률 변수가 가질 수 있는 값이 이산적. 연속 상태 확률 과정: 확률 변수가 가질 수 있는 값이 연속적.
주요 확률 과정	베르누이 과정 마르코프 연쇄 마르코프 과정 가우스 과정 위너 과정 (브라운 운동 과정) 레비 과정 푸아송 과정 점 과정
특징
확률적 성질	각 시점에서 확률 분포에 따라 값이 결정됨.
시간 의존성	현재 상태가 과거 상태에 영향을 받을 수 있음.
예시	주식 가격 변동 인구 변화 물리학적 현상 (브라운 운동) 통신 시스템의 신호 생물학적 시스템의 활동
수학적 표현
일반적 표기	"{X(t, ω) : t ∈ T, ω ∈ Ω}" 또는 "{X_t : t ∈ T}". (여기서 T는 시간 매개변수 집합, Ω는 표본 공간)
함수적 관점	각 ω ∈ Ω에 대해, X(., ω)는 시간의 함수 (표본 함수) 각 t ∈ T에 대해, X(t, .)는 확률 변수
응용 분야
물리학	브라운 운동과 같은 무작위 현상 모델링
금융	주식 가격 모델링, 옵션 가격 결정
통신	신호 처리, 통신 채널 모델링
생물학	세포 활동, 유전, 생태계 모델링
공학	제어 시스템, 신뢰성 공학
컴퓨터 과학	알고리즘 분석, 기계 학습

2. 정의

확률 과정은 일반적으로 특정 집합에 의해 색인된 확률 변수들의 집합으로 정의된다.^[127]^[128] "확률 과정"과 "난수 과정"은 같은 의미로 사용되며, 색인 집합이 명확하게 지정되지 않은 경우에도 서로 바꿔 사용된다.^[26]^[27]^[28]^[59]^[60]^[61] "집합"^[25]^[59] 또는 "족"^[2]^[62] 이라는 용어가 사용되기도 하며, "색인 집합" 대신 "매개변수 집합"^[25] 또는 "매개변수 공간"^[28]이라는 용어가 사용되기도 한다.

"난수 함수"라는 용어는 확률 과정 또는 난수 과정을 가리키는 데 사용되지만,^[3]^[63]^[64] 확률 과정이 실수값을 취할 때만 사용되기도 한다.^[25]^[62] 이 용어는 색인 집합이 실수선이 아닌 다른 수학적 공간일 때도 사용되는 반면,^[3]^[65] "확률 과정"과 "난수 과정"이라는 용어는 일반적으로 색인 집합이 시간으로 해석될 때 사용되며,^[3]^[65]^[66] 색인 집합이 n차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 또는 다양체일 때는 "난수장"과 같은 다른 용어가 사용된다.^[3]^[25]^[28]

0 ≤ t ≤ 2의 시간 동안 3차원 비너 또는 브라운 운동 과정의 컴퓨터 시뮬레이션된 '''표본 함수''' 또는 '''실현'''의 예. 이 확률 과정의 색인 집합은 음이 아닌 수이고, 상태 공간은 3차원 유클리드 공간이다.

2. 1. 확률 변수의 족을 통한 정의

확률 과정은 다음 데이터로 정의된다.

확률 공간 $\Omega$
집합 $T$ . 이를 '''지표 집합'''(指標集合, index set^영어)이라고 한다.
가측 공간 $S$ . 이를 '''표본 공간'''(標本空間, sample space^영어)이라고 한다.
함수 $T \times \Omega \to S$ , $(t,\omega)\mapsto X_t(\omega)$ . 또한, 각 $t\in T$ 에 대하여, $X_t$ 는 가측 함수이다. 즉, $X_t$ 는 확률 변수이다.

이는 확률 변수들의 집합으로, 어떤 집합

T

에 의해 색인되어 있으며, 다음과 같이 표현할 수 있다.^[124]

\{X(t):t\in T \}.

역사적으로, 많은 문제에서

t\in T

는 시간의 의미를 가지므로,

X(t)

는 시간

t

에 관찰된 값을 나타내는 확률 변수이다.^[125]

\{X(t,\omega):t\in T \}

로 쓰기도 한다.^[25]^[126]

다시 말해, 어떤 확률 공간에서 정의된 확률 변수의 족

\{X(\omega, t) | t \in T \}

이 확률 과정이다.^[329]

일반적으로, 지표 집합

T

로는 이산 시간이나 연속 시간을 사용하고, 표본 공간

S

로는 유클리드 공간

\mathbb{R}^d

이나 정수

\mathbb{Z}

를 사용한다.

2. 2. 함수 값의 확률 변수로서의 정의

확률 과정은 일련의 확률 변수들의 모임 또는 함수 값의 확률 변수로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정한다.

'''지표 집합'''(집합 $T$ ): 확률 변수들을 구분하는 데 사용되는 집합이다.
'''표본 공간'''(가측 공간 $S$ ): 확률 변수들이 가질 수 있는 값들의 집합이다.

T

를 정의역으로,

S

를 공역으로 하는 모든 함수들의 집합

S^T

를 생각하고, 여기에 특정 부분 집합

\mathcal G\subseteq \operatorname{Pow}(S^T)

를 고려한다.

:

A \in\mathcal G \iff  \forall t\in T\colon\{f(t)\colon f\in F\} \in \mathcal F

S^T

에

\mathcal G

로 생성되는 시그마 대수

\sigma(\mathcal G)

를 부여하면, 이는 가측 공간이 된다.

확률 공간

\Omega

위에서, 지표 집합

T

를 가지며 표본 공간

S

에 대한 '''확률 과정'''은

S^T

값의 확률 변수

X \colon\Omega \to S^T

로 정의된다.

다르게 표현하면, 주어진 확률 공간

(\Omega, \mathcal{F}, P)

와 가측 공간

(S,\Sigma)

에 대해, 확률 과정은 다음과 같이 표현될 수 있는

S

값을 갖는 확률 변수들의 집합이다.^[124]

:

\{X(t):t\in T \}.

역사적으로,

t\in T

는 시간의 의미를 가지므로,

X(t)

는 시간

t

에 관찰된 값을 나타내는 확률 변수이다.^[125] 확률 과정은

t\in T

와

\Omega\in \omega

두 변수의 함수로,

\{X(t,\omega):t\in T \}

로 나타낼 수도 있다.^[25]^[126]

확률 과정은

S^T

값을 갖는 확률 변수로 해석될 수 있다. 여기서

S^T

는 집합

T

에서 공간

S

로의 모든 가능한 함수들의 공간이다.^[26]^[127]

2. 3. 동치 관계

확률 과정에는 '''확률 동치'''(確率同値, stochastic equivalence^영어)와 '''구별 불가능'''(區別不可能, indistinguishability^영어)이라는 두 가지 동치 관계가 존재한다. 전자는 후자보다 더 거친 동치 관계이다. 즉, 서로 구별 불가능한 두 확률 과정은 서로 확률 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 못한다.^[58]

같은 지표 집합 · 표본 공간 · 확률 공간을 갖는 두 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}

,

(Y_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}

이 다음 조건을 만족시킨다면,

X

와

Y

가 서로 '''확률 동치'''라고 한다.

임의의 $t\in T$ 에 대하여, $\Pr(X_t = Y_t) = 1$ 이다. 즉, $\{\omega\in \Omega\colon X_t(\omega) \ne Y_t(\omega)\}\subseteq\Omega\setminus N_t$ 이며 $\Pr(N_t) = 0$ 인 가측 집합 $N_t\subseteq\Omega$ 이 존재한다. $N_t$ 는 $t$ 에 의존할 수 있다.

같은 지표 집합 · 표본 공간 · 확률 공간을 갖는 두 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}

,

(Y_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}

이 다음 조건을 만족시킨다면,

X

와

Y

가 서로 '''구별 불가능'''이라고 한다.

$\Pr(\forall t\in T\colon X_t = Y_t) = 1$ 이다. 즉, 임의의 $t\in T$ 에 대하여 $\{\omega\in \Omega\colon X_t(\omega) \ne Y_t(\omega)\}\subseteq\Omega\setminus N$ 이며 $\Pr(N) = 0$ 인 가측 집합 $N\subseteq\Omega$ 이 존재하며, $N$ 은 $t$ 에 의존하지 않는다.

같은 확률 공간

(\Omega,\mathcal{F},P)

와 같은 색인 집합

T

, 상태 공간

S

에 정의된 두 확률 과정

X

와

Y

는 다음이 성립할 때 불가분이라고 한다.^[271]^[155]

:

P(X_t=Y_t   \text{ for all }  t\in T )=1 ,

만약 두 과정

X

와

Y

가 서로의 수정 과정(modification)이고 거의 확실하게 연속적(almost surely continuous)이라면,

X

와

Y

는 불가분이다.^[164]

2. 4. 분해 가능 확률 과정

분해 가능 공간

T

를 지표 공간으로, 보렐 가측 공간

S

를 표본 공간으로 갖는 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}

이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건들을 모두 만족시키는 데이터

(U,\Omega_0)

이 존재한다면,

(X_t)_{t\in T}

를 '''분해 가능 확률 과정'''(separable stochastic process^영어)이라고 한다.

$U\subseteq T$ 는 $T$ 의 조밀 집합이며, 가산 집합이다.
임의의 열린집합 $G\subseteq T$ 과 닫힌집합 $F\subseteq S$ 에 대하여, $\Pr((\forall t\in G\cap U\colon X_t\in F) \land (\exists t\in G\colon X_t\not\in F)) = 0$ 이다. 즉, 어떤 가측 집합 $\Omega_0\subseteq\Omega$ 에 대하여, $\Pr(\Omega_0) = 0$ 이며 $\textstyle\bigcap_{t\in G\cap U}X_t^{-1}(F) \setminus \bigcap_{t\in G}X_t^{-1}(F) \subseteq \Omega_0$ 이다.

다시 말해, 분해 가능 확률 과정의 경우, 그 성질이 가산 개의 확률 변수

(X_t)_{t\in U}

만으로부터 결정된다.

'''두브 정리'''(Doob’s theorem^영어)에 따르면, 임의의

\mathbb R\to\mathbb R

확률 과정은 어떤 분해 가능 확률 과정과 확률 동치이다. 이는 조지프 두브가 증명하였다.^[130]^[148]^[165]

3. 성질

확률 과정 $X\colon\Omega\to S^T$ 가 주어졌을 때, 이를 통하여 $\Omega$ 위의 측도를 $S^T$ 로 밀어서 $S^T$ 위의 확률 측도를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다.

: $\Pr(A) = \Pr(\exists f\in A \colon\forall t\in T\colon f(t) = X_t)\qquad\forall A\subseteq S^T$

이에 따라 함수 공간 $S^T$ 는 확률 공간을 이룬다. 이를 확률 과정 $X$ 의 '''법칙'''(法則, law^영어)이라고 한다. 예를 들어, 위너 확률 과정의 법칙은 위너 공간의 확률 측도이다.

확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 에서 정의된 확률 과정 $X\colon\Omega \rightarrow S^T$ 에 대한 확률 법칙(law)은 다음과 같이 정의되는 전진 측도(pushforward measure)이다.

: $\mu=P\circ X^{-1},$

여기서 $P$ 는 확률 측도이고, $\circ$ 는 함수 합성을 나타내며, $X^{-1}$ 은 가측 함수의 원상 또는 $S^T$ 값을 가지는 확률 변수 $X$ 의 원상이다. $S^T$ 는 $t\in T$ 에 대한 모든 가능한 $S$ 값 함수의 공간이므로, 확률 과정의 확률 법칙은 확률 측도이다.^[26]^[127]^[271]^[141]

$S^T$ 의 가측 부분집합 $B$ 에 대해, $X$ 의 원상은 다음과 같다.

: $X^{-1}(B)=\{\omega\in \Omega: X(\omega)\in B \},$

따라서 $X$ 의 확률 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[25]

: $\mu(B)=P(\{\omega\in \Omega: X(\omega)\in B \}).$

확률 과정 또는 확률 변수의 확률 법칙은 확률 법칙(probability law), 확률 분포(probability distribution) 또는 분포(distribution)라고도 한다.^[125]^[271]^[142]^[143]^[144]

'''정상성'''(Stationarity)은 확률 과정의 모든 확률 변수가 동일하게 분포되어 있을 때 나타나는 성질이다. $X$ 를 $S$ 에 값을 가지는 확률 과정이라고 할 때, 모든 유한열 $T'=( t_1, \ldots, t_k ) \in T^k$ 에 대해, $k$ -튜플 $X_{T'} = (X_{t_1}, X_{t_2},\ldots, X_{t_k})$ 는 $S^k$ 에 값을 가지는 확률 변수가 된다. 이 확률 변수의 분포 $\mathbb{P}_{T'}(\cdot) = \mathbb{P} (X_{T'}^{-1}(\cdot))$ 는 $S^k$ 위의 확률 측도가 된다. 이렇게 얻어지는 분포를 $X$ 의 유한 차원 분포라고 한다.

적절한 위상적 제약을 더함으로써, 유한 차원 분포의 “일관된” 집합을 얻을 수 있다. 이것을 이용하여, 어떤 종류의 확률 과정을 정의할 수 있다.

3. 1. 콜모고로프 연속성 정리

다음이 주어졌다고 하자.

확률 공간 $\Omega$
완비 거리 공간 $(S,d)$
확률 과정 $(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in[0,\infty)}$
양의 실수 $\alpha,\beta,K\in\mathbb R^+$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

:

\mathbb E(d(X_s,X_t)^\alpha) \le K |s-t|^{1+\beta} \qquad\forall s,t\in[0,\infty)

그렇다면,

X

와 확률 동치이며, 거의 확실하게 연속 함수인 확률 과정

(\tilde X_t\colon\Omega\to S)_{t\in[0,\infty)}

이 존재한다. 이를 '''콜모고로프 연속성 정리'''라고 한다.

3. 2. 정상성

'''정상성'''(영어: Stationarity)은 확률 과정의 모든 확률 변수가 동일하게 분포되어 있을 때 나타나는 수학적 성질이다. 즉, 만약 ''X''가 정상적인 확률 과정이라면, 임의의 ''t''∈''T''에 대해 확률 변수 ''X_t''는 동일한 분포를 가지며, 이는 임의의 ''n''개의 지수 집합 값 ''t''₁, …, ''t''_n에 대해 해당하는 ''n''개의 확률 변수

:''X''_''t''₁, …, ''X''_{''t''_n}

가 모두 동일한 확률 분포를 가짐을 의미한다. 정상적인 확률 과정의 지수 집합은 일반적으로 시간으로 해석되므로 정수 또는 실수선이 될 수 있다.^[146]^[147] 하지만 정상성의 개념은 지수 집합이 시간으로 해석되지 않는 점 과정과 확률장에도 존재한다.^[146]^[148]^[149]

지수 집합 ''T''를 시간으로 해석할 수 있을 때, 확률 과정은 유한 차원 분포가 시간의 이동에 대해 불변일 경우 정상적이라고 한다. 이러한 유형의 확률 과정은 안정 상태에 있지만 여전히 무작위 변동을 경험하는 물리적 시스템을 설명하는 데 사용할 수 있다.^[146] 정상성의 직관적인 의미는 시간이 지남에 따라 정상적인 확률 과정의 분포가 동일하게 유지된다는 것이다.^[150] 확률 변수의 수열이 정상적인 확률 과정을 형성하는 것은 확률 변수가 동일하게 분포될 때에만 가능하다.^[146]

위의 정상성 정의를 가진 확률 과정은 때때로 엄격하게 정상적(strictly stationary)이라고 하지만, 다른 형태의 정상성도 있다. 예를 들어, 이산 시간 또는 연속 시간 확률 과정 ''X''가 넓은 의미에서 정상적(stationary in the wide sense)이라고 하면, 과정 ''X''는 모든 ''t''∈''T''에 대해 유한한 2차 모멘트를 가지며, 두 확률 변수 ''X_t''와 ''X_t+h''의 공분산은 모든 ''t''∈''T''에 대해 숫자 ''h''에만 의존한다.^[150]^[151] 힌친은 관련 개념인 '''넓은 의미에서의 정상성'''(stationarity in the wide sense)을 도입했는데, 이는 '''공분산 정상성'''(covariance stationarity) 또는 '''광의 정상성'''(stationarity in the broad sense) 등의 다른 이름을 가지고 있다.^[151]^[152]

3. 3. 여과

여과는 어떤 확률 공간과 전순서 관계를 갖는 지표 집합(예: 실수의 부분집합)에 대해 정의된 시그마 대수의 증가 수열이다. 보다 정확하게 말하면, 확률 과정이 전순서를 갖는 지표 집합을 가지는 경우, 확률 공간

(\Omega, \mathcal{F}, P)

에서의 여과

\{\mathcal{F}_t\}_{t\in T}

는 모든

s \leq t

에 대해

\mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}

인 시그마 대수의 집합이다. 여기서

t, s\in T

이고

\leq

는 지표 집합

T

의 전순서를 나타낸다.^[135] 여과의 개념을 통해 시간

t

에서 확률 과정

X_t

에 포함된 정보량을 연구할 수 있다.^[135]^[207] 여과

\mathcal{F}_t

의 직관적인 의미는 시간

t

가 지남에 따라

X_t

에 대한 더 많은 정보가 알려지거나 이용 가능해지며, 이는

\mathcal{F}_t

에 포착되어

\Omega

의 더욱 세밀한 분할을 초래한다는 것이다.^[153]^[154]

3. 4. 수정

같은 지표 집합, 표본 공간, 확률 공간을 갖는 두 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}

,

(Y_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}

에 대해, 모든

t\in T

에서 다음이 성립하면 확률 과정

X

는

Y

의 '''수정'''(modification)이라고 한다.

P(X_t=Y_t)=1 .

서로 수정인 두 확률 과정은 동일한 유한 차원 분포^[155]를 가지며, '''확률적으로 동등'''하거나 '''동등'''하다고 한다.^[156]

수정이라는 용어 대신 '''버전'''(version)이라는 용어도 사용된다.^[148]^[157]^[158]^[159] 하지만 일부 저자는 두 확률 과정이 동일한 유한 차원 분포를 가지지만 서로 다른 확률 공간에서 정의될 수 있을 때 버전이라는 용어를 사용한다. 따라서 서로 수정인 두 과정은 후자의 의미에서 서로의 버전이기도 하지만, 그 반대는 아니다.^[160]^[271]

연속 시간 실수값 확률 과정이 증분에 대한 특정 모멘트 조건을 만족하는 경우, 콜모고로프 연속성 정리에 따르면 확률 1로 연속적인 표본 경로를 갖는 이 과정의 수정이 존재하므로, 확률 과정은 연속적인 수정 또는 버전을 갖는다.^[158]^[159]^[161] 이 정리는 색인 집합이

n

차원 유클리드 공간^[162]인 확률장으로 일반화될 수 있으며, 상태 공간으로 메트릭 공간을 갖는 확률 과정에도 일반화될 수 있다.^[163]

3. 5. 불가분

같은 지표 집합, 표본 공간, 확률 공간을 갖는 두 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}

,

(Y_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}

이 다음 조건을 만족시키면,

X

와

Y

는 서로 '''구별 불가능'''(indistinguishability^영어)하다고 한다.

$\Pr(\forall t\in T\colon X_t = Y_t) = 1$ 이다. 즉, 임의의 $t\in T$ 에 대하여 $\{\omega\in \Omega\colon X_t(\omega) \ne Y_t(\omega)\}\subseteq\Omega\setminus N$ 이며 $\Pr(N) = 0$ 인 가측 집합 $N\subseteq\Omega$ 이 존재하며, $N$ 은 $t$ 에 의존하지 않는다.^[271]^[155]

만약 두 과정

X

와

Y

가 서로의 수정 과정이고 거의 확실하게 연속적(almost surely continuous)이라면,

X

와

Y

는 불가분이다.^[164]

3. 6. 분리 가능성

분리 가능성은 확률 과정의 성질이 가산 개의 점들의 집합에 의해 결정되는 것을 의미한다.

분해 가능 공간

T

를 지표 공간으로, 보렐 가측 공간

S

를 표본 공간으로 갖는 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}

이 주어졌을 때, 다음 조건들을 모두 만족시키는 데이터

(U,\Omega_0)

이 존재한다면,

(X_t)_{t\in T}

를 '''분해 가능 확률 과정'''(separable stochastic process^영어)이라고 한다.

$U\subseteq T$ 는 $T$ 의 조밀 집합이며, 가산 집합이다.
임의의 열린집합 $G\subseteq T$ 과 닫힌집합 $F\subseteq S$ 에 대하여, $\Pr((\forall t\in G\cap U\colon X_t\in F) \land (\exists t\in G\colon X_t\not\in F)) = 0$ 이다. 즉, 어떤 가측 집합 $\Omega_0\subseteq\Omega$ 에 대하여, $\Pr(\Omega_0) = 0$ 이며 $\textstyle\bigcap_{t\in G\cap U}X_t^{-1}(F) \setminus \bigcap_{t\in G}X_t^{-1}(F) \subseteq \Omega_0$ 이다.

다시 말해, 분해 가능 확률 과정의 경우, 그 성질이 가산 개의 확률 변수

(X_t)_{t\in U}

만으로부터 결정된다.

확률 과정의 분리 가능성 개념은 조셉 두브에 의해 도입되었다.^[165] 분리 가능성의 기본적인 아이디어는 지표 집합의 가산적인 점들의 집합이 확률 과정의 성질을 결정하도록 하는 것이다.^[169] 가산적인 지표 집합을 갖는 모든 확률 과정은 이미 분리 가능성 조건을 만족하므로, 이산시간 확률 과정은 항상 분리 가능하다.^[172]

'''두브 정리'''(Doob’s theorem^영어)에 따르면, 임의의

\mathbb R\to\mathbb R

확률 과정은 어떤 분해 가능 확률 과정과 확률 동치이다. (이는 조지프 두브가 증명하였다.)^[165]^[167]^[173]

3. 7. 독립성

두 확률 과정 X^영어와 Y^영어가 동일한 확률 공간과 동일한 색인 집합 T^영어 상에 정의되어 있을 때, 모든 ∈ ℕ^한국어과 임의의 시점 ∈ T^영어에 대해, 확률 벡터 와 가 독립이면 두 확률 과정은 '''독립적'''이라고 한다.^[174]

두 확률 과정 X와 Y가 독립이면, 상관관계가 없다.

3. 8. 상관 없음

두 확률 과정 {X_t}와 {Y_t}의 교차 공분산 cross-covariance^영어

\operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = \operatorname{E} \left[ \left( X(t_1)- \mu_X(t_1) \right) \left( Y(t_2)- \mu_Y(t_2) \right) \right]

이 모든 시간에 대해 0이면 두 확률 과정은 상관이 없다고 한다.^[175] 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\left\{X_t\right\},\left\{Y_t\right\} \text{ 상관없음} \quad \iff \quad \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = 0 \quad \forall t_1,t_2

.

두 확률 과정 X와 Y가 독립이면, 상관관계가 없다.

3. 9. 직교성

두 확률 과정 stochastic process^영어 {X_t}와 {Y_t}는 모든 시간에 대해 상호상관 함수 R_XY(t₁,t₂) = E[X(t₁)Y(t₂)*]가 0일 때 '''직교'''라고 한다.^[175] 형식적으로 다음과 같다.

: {X_t}, {Y_t} 직교 ⇔ R_XY(t₁,t₂) = 0 ∀t₁,t₂

3. 10. 스코로호드 공간

'''스코로호드 공간'''(Skorokhod space)은 실수선의 특정 구간(예: [0, 1] 또는 [0, ∞))에서 정의되고, 실수선이나 특정 거리 공간에서 값을 가지는 우연속좌극한(right-continuous with left limits) 함수들의 집합을 나타내는 수학적 공간이다.^[176]^[177]^[178] 이러한 함수는 프랑스어 표현 "continue à droite, limite à gauche"의 약자인 càdlàg 함수 또는 cadlag 함수라고도 불린다.^[176]^[179] 안나톨리 스코로호드에 의해 도입된 이 함수 공간은^[178] 주로 문자 ''D''로 표기되며,^[176]^[177]^[178]^[179] 때로는 공간 ''D''라고도 불린다.^[176]^[180]^[181] 이 공간의 표기에는 모든 càdlàg 함수가 정의된 구간이 포함될 수 있다. 예를 들어, ''D''[0, 1]은 단위 구간 [0, 1]에서 정의된 càdlàg 함수들의 공간을 의미한다.^[179]^[181]^[182]

스코로호드 함수 공간은 확률 과정 이론에서 자주 사용되는데, 이는 연속 시간 확률 과정의 표본 함수가 이 공간에 속한다고 가정하는 경우가 많기 때문이다.^[178]^[180] 이 공간에는 비너 과정의 표본 함수와 같이 연속 함수뿐만 아니라, 푸아송 과정(실수선에서)처럼 불연속적인 도약을 포함하는 확률 과정의 표본 함수도 포함된다.^[181]^[183]

3. 11. 정칙성

정칙성은 확률 과정의 구성 문제를 해결하기 위한 조건이다.^[184]^[185] 셀 수 없이 많은 지표 집합을 갖는 확률 과정을 연구하기 위해서는 표본 함수가 연속적인 것과 같은 유형의 정칙성 조건을 따른다고 가정한다.^[186]^[187]

4. 분류

확률 과정은 상태 공간, 색인 집합, 확률 변수 간의 의존성 등 여러 가지 방법으로 분류될 수 있다.^[135]^[46]^[47]

확률 과정의 지표 집합 $T$ 는 확률 변수를 색인화하는 데 사용되는 집합이다.^[2] 역사적으로 이 집합은 주로 실수선의 부분집합(예: 자연수)으로 사용되어 시간에 대한 해석을 제공했다.^[1] 하지만, $T$ 는 전순서를 갖는 다른 집합이나, 좌표평면 $\mathbb{R}^2$ 또는 $n$ 차원 유클리드 공간과 같이 더 일반적인 집합이 될 수도 있다.^[1]^[131]^[132]^[133]
상태 공간은 각 확률 변수가 가질 수 있는 값의 집합을 의미하며, 정수, 실수선, 또는 $n$ 차원 유클리드 공간 등이 될 수 있다.^[1]^[3]

특정 시간 $t_1, \dots, t_n$ 에서의 확률 변수들의 결합 분포는 유한차원 분포로 나타낸다.^[26]^[145]

모든 확률 변수가 동일한 분포를 가질 때 나타나는 정상성은 확률 과정의 중요한 성질 중 하나이다. 정상 과정의 경우, 시간 이동에 대해 유한 차원 분포가 불변한다.^[146]^[147]

$n$ 차원 유클리드 공간이나 다양체에 의해 색인화된 확률 변수들의 집합인 확률장은 색인 집합이 실수 집합의 부분집합일 필요가 없는 일반적인 확률 과정으로 간주될 수 있다.^[28]

4. 1. 이산 시간 및 연속 시간 확률 과정

확률 과정은 색인 집합의 기수에 따라 이산 시간 또는 연속 시간 확률 과정으로 분류된다.^[135]^[46]^[47]

확률 과정의 색인 집합이 유한하거나 가산적인 요소의 개수를 가지는 경우(예: 유한한 수 집합, 정수 집합 또는 자연수 집합) 확률 과정은 '''이산 시간'''이라고 한다.^[131]^[48] 색인 집합이 실수선의 어떤 구간인 경우, 시간은 '''연속적'''이라고 한다. 이 두 가지 유형의 확률 과정은 각각 '''이산 시간''' 및 '''연속 시간 확률 과정'''이라고 한다.^[132]^[136]^[49] 이산 시간 확률 과정은 연속 시간 과정보다 연구하기가 더 쉬운데, 이는 연속 시간 과정은 색인 집합이 비가산적이기 때문에 더 고급 수학적 기법과 지식이 필요하기 때문이다.^[50]^[51]

4. 2. 이산 및 연속 상태 공간

상태 공간의 종류에 따라, 확률 과정은 다음과 같이 분류할 수 있다.

이산 상태 공간: 상태 공간이 정수 또는 자연수인 경우, 확률 과정을 '이산' 또는 '정수값 확률 과정'이라고 한다.
연속 상태 공간: 상태 공간이 실수선인 경우, 확률 과정을 '실수값 확률 과정' 또는 '연속 상태 공간을 갖는 과정'이라고 한다.
벡터 과정: 상태 공간이 $n$ 차원 유클리드 공간인 경우, 확률 과정을 $n$ -'차원 벡터 과정' 또는 $n$ -'벡터 과정'이라고 한다.^[135]^[46]

일반적으로, 확률 과정에서 시간 매개변수 집합 (

T

) 로는 이산 시간 (

T=\{1, 2, 3, \dots\}\)

이나 연속 시간 (

T=[0, \infty)

)을 사용하고, 상태 공간 (

S

) 로는 유클리드 공간 (

\mathbb{R}^d

)이나 정수 (

\mathbb{Z}

)를 사용한다.

5. 예시

확률 과정의 예시로는 무작위 행보, 브라운 운동, 마르코프 연쇄 등이 있다. 브라운 운동의 수학적 모델은 위너 과정이다. 위너 과정 외에도 독립 증분 과정(레비 과정), 가우스 과정, 마틴게일, 마르코프 과정 등이 있다.

5. 1. 베르누이 과정

베르누이 과정은 가장 간단한 확률 과정 중 하나로, 독립 동일 분포(iid) 베르누이 확률 변수의 열이다. 각 확률 변수는 1 또는 0의 값을 가지는데, 예를 들어 1이 나올 확률은

p

, 0이 나올 확률은

1-p

이다. 이 과정은 이상적인 동전 던지기를 반복하는 상황으로 생각할 수 있다. 동전 앞면이 나올 확률을

p

라 하고, 앞면이 나오면 1, 뒷면이 나오면 0으로 나타낸다.^[69] 즉, 베르누이 과정은 iid 베르누이 확률 변수의 나열이며,^[70] 각 동전 던지기는 베르누이 시행의 한 예이다.^[71]

베르누이 과정은 편향된 동전 던지기를 수학적 모델로 사용한 것으로, 아마도 최초로 연구된 확률 과정일 것이다. 이 과정은 독립적인 베르누이 시행의 나열이며,^[70] 야코프 베르누이의 이름을 따서 붙여졌다. 야코프 베르누이는 이 과정을 사용하여 크리스티안 하위헌스가 이전에 제안하고 연구했던 확률 문제를 포함한 여러 확률 게임을 연구했다.^[275] 베르누이의 연구는 베르누이 과정을 포함하여 1713년에 그의 저서 ''Ars Conjectandi''에 출판되었다.^[276]

5. 2. 무작위 행보

무작위 보행은 일반적으로 유클리드 공간에서 독립 동일 분포(i.i.d.) 확률 변수 또는 확률 벡터의 합으로 정의되는 확률 과정이며, 이산 시간에서 변화하는 과정이다.^[72]^[73]^[74]^[75]^[76]

무작위 보행의 대표적인 예로는 ''단순 무작위 보행''이 있다. 이는 이산 시간에서 정수를 상태 공간으로 하는 확률 과정이며, 각 베르누이 변수가 +1 또는 -1 값을 취하는 베르누이 과정을 기반으로 한다. 즉, 단순 무작위 보행은 정수에서 발생하며, 그 값은 예를 들어

p

의 확률로 1 증가하거나

1-p

의 확률로 1 감소한다. 따라서 이 무작위 보행의 인덱스 집합은 자연수이고 상태 공간은 정수이다.

p=0.5

이면 이 무작위 보행을 대칭 무작위 보행이라고 한다.^[80]^[81]

5. 3. 위너 과정

위너 과정은 증분의 크기에 따라 정상이고 독립 증분이며 정규 분포를 따르는 확률 과정이다.^[82]^[83] 이 과정은 수학적 존재를 증명한 노버트 위너의 이름을 따서 명명되었지만, 액체 내 브라운 운동에 대한 모델로서의 역사적 연관성 때문에 브라운 운동 과정 또는 단순히 브라운 운동이라고도 불린다.^[84]^[85]^[86]

표류가 있는 (파랑)과 없는 (빨강) 비너 과정(또는 브라운 운동 과정)의 실현

확률 이론에서 중추적인 역할을 하는 위너 과정은 종종 가장 중요하고 연구된 확률 과정으로 간주되며, 다른 확률 과정과의 연관성을 가지고 있다.^[1]^[82]^[87]^[88]^[89]^[90]^[91] 그 지표 집합과 상태 공간은 각각 비음수와 실수이므로 연속적인 지표 집합과 상태 공간을 모두 갖는다.^[92] 하지만 이 과정은 더 일반적으로 정의될 수 있어 상태 공간이

n

차원 유클리드 공간이 될 수 있다.^[79]^[89]^[93] 어떤 증분의 평균이 0이면, 결과적으로 얻어지는 위너 또는 브라운 운동 과정은 표류가 0이라고 한다. 두 시점 사이의 증분의 평균이 시간 차이에 실수

\mu

를 곱한 것과 같으면, 결과 확률 과정은

\mu

의 표류를 갖는다고 한다.^[94]^[97]^[95]

거의 확실히, 위너 과정의 표본 경로는 어디서나 연속적이지만 어디서도 미분 불가능하다. 이것은 단순한 랜덤 워크의 연속적인 버전으로 간주될 수 있다.^[96]^[97] 이 과정은 특정 랜덤 워크의 재스케일링과 같은 다른 확률 과정의 수학적 극한으로 나타나며,^[98]^[99] 이는 돈스커 정리 또는 불변성 원리, 즉 함수적 중심 극한 정리의 주제이다.^[100]^[101]^[102]

위너 과정은 마르코프 과정, 레비 과정, 가우스 과정을 포함한 몇몇 중요한 확률 과정 계열의 구성원이다.^[82]^[96] 이 과정은 또한 많은 응용 분야를 가지고 있으며, 확률 미적분에서 사용되는 주요 확률 과정이다.^[103]^[104] 양적 금융에서 중추적인 역할을 하며,^[105]^[106] 예를 들어 블랙-숄스-머턴 모형에서 사용된다.^[107] 이 과정은 자연 과학의 대부분과 일부 사회 과학 분야를 포함한 다양한 분야에서 다양한 무작위 현상에 대한 수학적 모델로도 사용된다.^[87]^[108]^[109]

5. 4. 푸아송 과정

푸아송 과정(Poisson process)은 여러 형태와 정의를 갖는 확률 과정이다.^[110]^[111] 이는 계수 과정(counting process)으로 정의될 수 있는데, 특정 시간까지의 점 또는 사건의 무작위 개수를 나타내는 확률 과정이다. 0부터 특정 시간까지의 구간에 있는 과정의 점의 개수는 그 시간과 특정 매개변수에 의존하는 푸아송 확률 변수이다. 이 과정은 자연수를 상태 공간으로, 비음의 수를 지표 집합으로 갖는다. 푸아송 과정은 계수 과정의 예로 해석될 수 있으므로 푸아송 계수 과정이라고도 한다.^[110]

단일 양의 상수로 정의된 푸아송 과정은 동차 푸아송 과정(homogeneous Poisson process)이라고 한다.^[110]^[112] 동차 푸아송 과정은 마르코프 과정과 레비 과정과 같은 중요한 확률 과정의 종류에 속한다.^[96]

동차 푸아송 과정은 여러 가지 방법으로 정의되고 일반화될 수 있다. 지표 집합이 실수선인 것으로 정의될 수 있으며, 이 확률 과정은 정상 푸아송 과정(stationary Poisson process)이라고도 한다.^[113]^[114] 푸아송 과정의 매개변수 상수가

t

의 어떤 비음의 적분 가능 함수로 대체되면, 그 결과로 얻어지는 과정은 비동차 푸아송 과정(inhomogeneous or nonhomogeneous Poisson process)이라고 하며, 이 경우 과정의 점의 평균 밀도는 더 이상 일정하지 않다.^[115] 푸아송 과정은 대기행렬 이론에서 기본적인 과정으로 사용되며, 특정 시간 창에서 무작위로 발생하는 사건의 모델에 적용되는 중요한 수학적 과정이다.^[116]^[117]

실수선상에서 정의된 푸아송 과정은 다른 무작위 객체들 중에서 확률 과정으로 해석될 수 있다.^[96]^[118] 그러나 이는

n

차원 유클리드 공간이나 다른 수학적 공간에서 정의될 수 있으며,^[121] 확률 과정 대신 무작위 집합 또는 무작위 계수 측도로 해석되는 경우가 많다.^[119]^[120] 이러한 설정에서 푸아송 점 과정(Poisson point process)이라고도 하는 푸아송 과정은 응용과 이론적 이유 모두에서 확률 이론에서 가장 중요한 객체 중 하나이다.^[20]^[122] 다만, 푸아송 과정은 종종 실수선에서만 고려되고 다른 수학적 공간에서는 고려되지 않기 때문에, 마땅히 받아야 할 만큼의 관심을 받지 못한다는 지적이 있었다.^[122]^[123]

5. 5. 마르코프 연쇄

마르코프 연쇄는 마르코프 성질을 갖는 확률 과정으로, 이산 시간 또는 연속 시간에서 정의될 수 있다.^[188]^[189] 마르코프 연쇄에서 다음 값은 현재 값에 의존하지만, 이전 값과는 조건부로 독립적이다. 즉, 과정의 미래 행동은 현재 상태가 주어지면 과거 행동과 확률적으로 독립적이다.

마르코프 연쇄는 이산 상태 공간 또는 이산 색인 집합(종종 시간을 나타냄)을 갖는 마르코프 과정의 한 유형이지만, 정확한 정의는 다를 수 있다.^[193] 예를 들어, 마르코프 연쇄를 이산 또는 연속 시간에서 가산 가능한 상태 공간을 갖는 마르코프 과정으로 정의하는 것이 일반적이다.^[194]^[195]^[196]^[197] 그러나 가산 가능하거나 연속적인 상태 공간에서 이산 시간을 갖는 것으로 정의하기도 한다.^[193]

마르코프 과정은 중요한 확률 과정의 한 종류이며, 마르코프 체인 몬테카를로 방법의 기반이 되는 등 많은 분야에 응용된다.^[37]^[199]

6. 추가적인 예시

확률 과정은 특정 집합에 의해 색인된 확률 변수들의 집합으로 정의되는 경우가 일반적이다.^[58] "확률 과정"과 "난수 과정"은 동의어로 간주되어 색인 집합에 따라 서로 바꿔 사용된다.^[26]^[27]^[28]^[59]^[60]^[61] "색인 집합" 대신 "매개변수 집합" 또는 "매개변수 공간"이라는 용어가 사용되기도 한다.^[25]^[28]

"난수 함수"라는 용어는 확률 과정 또는 난수 과정을 지칭하는 데 사용되지만, 때로는 확률 과정이 실수값을 가질 때만 사용되기도 한다.^[25]^[62] "확률 과정"과 "난수 과정"은 주로 색인 집합이 시간으로 해석될 때 사용되며,^[3]^[65]^[66] n차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 또는 다양체와 같이 색인 집합이 다른 경우에는 "난수장"과 같은 다른 용어가 사용된다.^[3]^[25]^[28]

확률 과정은 표본 공간 $\Omega$ , $\sigma$ -대수 $\mathcal{F}$ , 확률 측도 $P$ 로 구성된 공통 확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 상에서 정의된다. 어떤 집합 $T$ 에 의해 색인된 확률 변수들은 모두 동일한 수학적 공간 $S$ 에서 값을 가지며, 어떤 $\sigma$ -대수 $\Sigma$ 에 대해 가측이어야 한다.^[25]

즉, 주어진 확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 와 가측 공간 $(S,\Sigma)$ 에 대해, 확률 과정은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[124]

\{X(t):t\in T \}.

역사적으로 많은 경우

t\in T

는 시간의 의미를 가지므로,

X(t)

는 시간

t

에 관찰된 값을 나타내는 확률 변수이다.^[125] 따라서 확률 과정은

\{X(t,\omega):t\in T \}

로 표현할 수도 있다.^[25]^[126]

확률 과정은 집합

T

에서 공간

S

로의 모든 가능한 함수들의 공간인

S^T

값을 갖는 확률 변수로 해석될 수도 있다.^[26]^[127]

어떤 확률 과정

X

가 모든

t\in T

에 대해 다음을 만족하면,

X

의 수정이라고 한다.

P(X_t=Y_t)=1 ,

여기서

Y

는 확률 과정

X

와 같은 색인 집합, 상태 공간, 확률 공간을 갖는 또 다른 확률 과정이다. 서로 수정인 두 확률 과정은 동일한 유한 차원 분포^[155]를 가지며, '''확률적으로 동등'''하다고 한다.^[156]

"수정" 대신 '''버전'''(version)이라는 용어를 사용하기도 한다.^[148]^[157]^[158]^[159]

콜모고로프 연속성 정리에 따르면, 연속 시간 실수값 확률 과정이 특정 조건을 만족하면 확률 1로 연속적인 표본 경로를 갖는 수정이 존재한다.^[158]^[159]^[161]

6. 1. 마르코프 과정

마르코프 과정은 미래의 상태가 현재 상태에만 의존하고 과거 상태와는 조건부 독립인 확률 과정이다.^[188]^[189] 즉, 과정의 미래 행동은 현재 상태가 주어지면 과거 행동과 확률적으로 독립적이다.

브라운 운동 과정과 푸아송 과정(1차원)은 모두 연속 시간에서 마르코프 과정의 예이며,^[190] 정수에 대한 랜덤 워크와 도박꾼의 파산 문제는 이산 시간에서 마르코프 과정의 예이다.^[191]^[192]

마르코프 연쇄는 이산 상태 공간 또는 이산 색인 집합(종종 시간을 나타냄)을 갖는 마르코프 과정의 한 유형이지만, 마르코프 체인의 정확한 정의는 다를 수 있다.^[193] 예를 들어, 마르코프 체인을 이산 또는 연속 시간에서 가산 가능한 상태 공간을 갖는 마르코프 과정으로 정의하는 것이 일반적이다.^[194]^[195]^[196]^[197] 그러나 가산 가능하거나 연속적인 상태 공간에서 이산 시간을 갖는 것으로 마르코프 체인을 정의하는 것도 일반적이었다.^[193] 조셉 두브와 카이라이 중과 같은 연구자들이 두 번째 정의를 사용했음에도 불구하고, 현재는 마르코프 체인의 첫 번째 정의(이산 시간을 갖는)가 사용되는 경향이 있다는 주장이 제기되었다.^[198]

마르코프 과정은 중요한 확률 과정의 한 종류이며 많은 분야에 응용된다.^[37]^[199] 예를 들어, 특정 확률 분포를 가진 랜덤 객체를 시뮬레이션하는 데 사용되는 마르코프 체인 몬테카를로로 알려진 일반적인 확률적 시뮬레이션 방법의 기반이며, 베이지안 통계에 응용되었다.^[200]^[201]

마르코프 성질의 개념은 원래 연속 및 이산 시간의 확률 과정을 위한 것이었지만,

n

차원 유클리드 공간과 같은 다른 색인 집합에 적용되어 마르코프 랜덤 필드로 알려진 랜덤 변수 집합을 생성한다.^[202]^[203]^[204]

6. 2. 마틴게일

마틴게일(Martingale)은 모든 시점에서 현재 값과 과거 모든 값을 고려할 때, 미래 값의 조건부 기댓값이 현재 값과 같다는 특성을 가진 확률 과정이다. 이산 시간의 경우, 이 속성이 다음 값에 대해 성립하면 모든 미래 값에 대해 성립한다.^[205]^[206]^[207]^[208]^[209] 마틴게일의 정확한 수학적 정의는 시간이 지남에 따라 증가하는 정보와 관련된 필터링이라는 수학적 개념과 결합된 두 가지 다른 조건을 필요로 한다. 마틴게일은 일반적으로 실수 값으로 정의되지만, 복소수 값 또는 더 일반적인 값을 가질 수도 있다.^[205]^[206]^[207]^[208]^[209]

대칭적인 랜덤 워크와 위너 과정(드리프트가 0인 경우)은 각각 이산 시간과 연속 시간에서 마틴게일의 예이다.^[205]^[206] 평균이 0인 독립 동일 분포 확률 변수의 수열

X_1, X_2, X_3, \dots

에 대해, 연속적인 부분합

X_1, X_1+ X_2, X_1+ X_2+X_3, \dots

으로 형성된 확률 과정은 이산 시간 마틴게일이다.^[210] 이러한 측면에서 이산 시간 마틴게일은 독립 확률 변수의 부분합 개념을 일반화한다.^[211]

적절한 변환을 적용하여 확률 과정으로부터 마틴게일을 생성할 수도 있다. 이는 실수선에서의 균질 포아송 과정에 적용되어 '보정된 포아송 과정(compensated Poisson process)'이라는 마틴게일을 생성하는 경우가 그 예시이다.^[206] 다른 마틴게일로부터 마틴게일을 구성할 수도 있다.^[210] 예를 들어, 위너 과정을 기반으로 한 마틴게일이 있으며, 연속 시간 마틴게일을 형성한다.^[205]^[212]

마틴게일은 지불에 대한 합리적인 기대치를 형성할 수 있는 '공정한 게임(fair game)'의 개념을 수학적으로 공식화하며,^[213] 원래는 그러한 게임에서 '불공정한' 이점을 얻을 수 없다는 것을 보이기 위해 개발되었다.^[214] 하지만 현재는 많은 확률 영역에서 사용되고 있으며, 이는 마틴게일을 연구하는 주요 이유 중 하나이다.^[207]^[214]^[215] 많은 확률 문제는 문제 내에서 마틴게일을 찾고 연구하여 해결되었다.^[216] 마틴게일은 모멘트에 대한 특정 조건이 주어지면 수렴하므로, 주로 마틴게일 수렴 정리로 인해 수렴 결과를 도출하는 데 자주 사용된다.^[211]^[217]^[218]

마틴게일은 통계학에서 많은 응용 분야를 가지고 있지만, 특히 통계적 추론 분야에서 그 활용과 응용이 충분하지 않다는 지적이 있다.^[219] 마틴게일은 대기행렬이론과 팜 미적분학과 같은 확률 이론 분야^[220] 및 경제학^[221] 및 금융과 같은 다른 분야에서 응용되고 있다.^[15]

6. 3. 레비 과정

레비 과정은 연속 시간에서의 랜덤워크를 일반화한 것으로 볼 수 있는 확률 과정의 한 종류이다.^[96]^[222] 이 과정은 금융, 유체 역학, 물리학, 생물학 등 다양한 분야에 응용된다.^[223]^[224] 이 과정의 주요 특징은 정상성과 독립성으로, '정상적이고 독립적인 증분을 갖는 과정'으로 알려져 있다. 즉, 확률 과정

X

가 레비 과정이라면,

n

개의 음이 아닌 수

0\leq t_1\leq \dots \leq t_n

에 대해, 대응하는

n-1

개의 증분

X_{t_2}-X_{t_1}, \dots , X_{t_n}-X_{t_{n-1}},

은 서로 독립이며, 각 증분의 분포는 시간 차이에만 의존한다.^[96]

레비 과정은 상태 공간이 바나흐 공간과 같은 추상적인 수학적 공간일 수 있도록 정의될 수 있지만, 종종 유클리드 공간에서 값을 갖도록 정의된다. 지표 집합은 음이 아닌 수이므로

I= [0,\infty)

이며, 시간을 나타낸다. 위너 과정, 균질 포아송 과정(1차원), 서브오디네이터와 같은 중요한 확률 과정은 모두 레비 과정이다.^[96]^[222]

6. 4. 확률장

"난수장"은 색인 집합이 n차원 유클리드 공간

\mathbb{R}^n

또는 다양체일 때 사용되는 용어이다.^[3]^[25]^[28] 확률장은 n차원 유클리드 공간이나 어떤 다양체에 의해 색인된 확률 변수들의 집합이다. 일반적으로, 확률장은 색인 집합이 실수 집합의 부분집합일 필요가 없는 확률 과정 또는 랜덤 과정의 한 예로 간주될 수 있다.^[28] 하지만 색인이 2차원 이상일 때 색인화된 확률 변수들의 집합을 확률장이라고 부르는 관례가 있다.^[3]^[25]^[225] 만약 확률 과정의 특정 정의가 색인 집합이 실수 집합의 부분집합일 것을 요구한다면, 확률장은 확률 과정의 일반화로 간주될 수 있다.^[226]

6. 5. 점 과정

점 과정(point process)은 실수선, n차원 유클리드 공간 또는 더 추상적인 수학적 공간에 무작위로 위치한 점들의 집합이다. "점 과정"이라는 용어는 때때로 선호되지 않는데, 역사적으로 "과정(process)"이라는 단어가 시간에 따른 어떤 시스템의 진화를 나타냈기 때문이다. 그래서 점 과정을 '''무작위 점장(random point field)'''이라고도 부른다.^[227] 점 과정은 무작위 계수 측도 또는 무작위 집합과 같이 여러 가지로 해석할 수 있다.^[228]^[229] 어떤 저자들은 점 과정과 확률 과정을 서로 다른 두 개체로 간주하여, 점 과정이 확률 과정에서 발생하거나 확률 과정과 관련된 무작위 개체라고 말한다. 하지만 점 과정과 확률 과정의 차이가 명확하지 않다는 언급도 있다.^[230]^[231]

다른 저자들은 점 과정을 확률 과정으로 간주하는데, 이 때 과정은 실수선이나 n차원 유클리드 공간과 같이 정의된 기저 공간의 집합에 의해 색인된다.^[234]^[235] 갱신 과정 및 계수 과정과 같은 다른 확률 과정은 점 과정 이론에서 연구된다.^[236]^[231]

7. 역사

1933년 안드레이 콜모고로프가 확률론의 기초를 닦은 이후, 1930년대에 콜모고로프와 조지프 두브, 윌리엄 펠러(William Feller^영어), 모리스 르네 프레셰, 폴 피에르 레비(Paul Pierre Lévy^프랑스어), 볼프강 되블린(Wolfgang Doeblin^de), 하랄드 크라메르 등 여러 수학자들이 확률 과정 이론을 발전시켰다.^[246]^[249]

제2차 세계 대전으로 인해 확률 과정 이론의 발전은 잠시 중단되었다. 특히, 유대인이었던 되블린은 프랑스에 망명하였으나 나치 독일이 프랑스를 침공하자 나치에 체포되기 직전 자살하였다.^[260]

전후 조지프 두브, 이토 기요시, 가쿠타니 시즈오 등은 확률미적분학을 개발하였다.^[262] 1960년대와 1970년대에는 알렉산드르 드미트리예비치 벤첼(Александр Дмитриевич Вентцель^ru), 먼로 돈스커(Monroe D. Donsker^영어), 스리니바사 바라단 등이 이 분야에 공헌하였다.^[268]

7. 1. 초기 확률론

확률론은 도박에서 그 기원을 찾을 수 있다. 수천 년 전부터 여러 게임들이 행해져 왔지만,^[237] 확률적 관점에서의 분석은 거의 이루어지지 않았다.^[238] 1654년은 프랑스 수학자 피에르 드 페르마와 블레즈 파스칼이 점수 문제에 대한 서신을 주고받으며 확률론이 탄생한 해로 종종 여겨진다.^[239]^[240] 그러나 그 이전에도 제롤라모 카르다노가 16세기에 썼으나 1663년에 사후 출판된 ''Liber de Ludo Aleae''와 같이 도박 게임의 확률에 대한 수학적 연구가 있었다.^[241]

카르다노 이후, 야코프 베르누이는 확률론 역사상 중요한 사건으로 여겨지는 아르스 코젝탄디를 저술했다.^[243]^[244] 베르누이의 책은 1713년 사후에 출판되었고, 많은 수학자들이 확률을 연구하도록 고무시켰다.^[243]^[244]

7. 2. 통계역학

19세기 통계역학의 발전은 확률 과정 이론의 기초를 마련하는 데 기여했다.^[250]^[251] 초기에는 통계 물리학에 무작위성을 통합하려는 시도가 있었으나 큰 진전은 없었다. 1859년 제임스 클러크 맥스웰은 기체 입자들이 무작위 방향으로 무작위 속도로 움직인다는 모델을 제시하며 중요한 기여를 했다.^[252]^[253] 이후 루트비히 볼츠만, 조시아 윌러드 기브스 등의 연구는 알베르트 아인슈타인의 브라운 운동 모델에 영향을 주었다.^[254]

7. 3. 측도론과 확률론

20세기 초, 앙리 르베그와 에밀 보렐 등 프랑스 수학자들에 의해 측도론이 발전하면서 확률론의 수학적 기초가 마련되었다.^[246] 1925년 폴 레비는 측도론을 활용한 최초의 확률론 책을 출판했다.^[246]

1920년대 소련에서는 세르게이 베르니슈타인, 알렉산드르 힌친, 안드레이 콜모고로프 등이 확률론 연구에 크게 기여했다.^[249] 1929년 콜모고로프는 측도론에 기반한 확률론의 수학적 기초를 제시하려는 첫 시도를 발표했고,^[256] 1930년대 초 힌친과 콜모고로프는 확률 세미나를 열었다.^[257] 힌친은 확률 과정을 실수선으로 색인된 확률 변수들의 집합으로 정의하여, 확률 과정의 첫 수학적 정의를 제시했다.^[255]^[258]

7. 4. 현대 확률론의 탄생

1933년 안드레이 콜모고로프는 독일어로 확률론의 기초에 관한 책인 《확률론의 기초》(Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung^de)를 출판하였다. 이 책에서 콜모고로프는 측도 이론을 사용하여 확률론에 대한 공리적 틀을 개발했다. 이 책의 출판은 확률 이론과 확률 과정이 수학의 한 분야가 된 현대 확률론의 탄생으로 널리 여겨지고 있다.^[246]^[249]

콜모고로프의 책 출판 이후, 알렉산드르 힌친과 콜모고로프뿐만 아니라 조지프 두브, 윌리엄 펠러, 모리스 르네 프레셰, 폴 피에르 레비, 볼프강 되블린, 하랄드 크라메르와 같은 다른 수학자들에 의해 확률론과 확률 과정에 대한 추가적인 기초 연구가 이루어졌다.^[246]^[249] 수십 년 후, 크라메르는 1930년대를 "수학적 확률론의 영웅 시대"라고 언급했다.^[249]

7. 5. 제2차 세계 대전 이후

제2차 세계 대전으로 인해 확률 과정 이론의 발달은 잠시 중단되었다. 특히, 유대인이었던 볼프강 되블린(Wolfgang Doeblin^de)은 프랑스에 망명하였으나 나치 독일이 프랑스를 침공하자 나치에 체포되기 직전 자살하였다.^[260]

전후 조지프 두브, 이토 기요시, 가쿠타니 시즈오 등은 확률미적분학을 개발하였다.^[262] 1940년대부터 이토 기요시는 비너 과정 또는 브라운 운동 과정에 기반한 확률적 적분과 확률적 미분 방정식을 포함하는 확률 미적분 분야를 발전시키는 논문을 발표하였다.^[262]

1940년대부터, 특히 마틴게일을 중심으로 확률 과정과 퍼텐셜 이론이라는 수학 분야 사이의 연관성이 밝혀졌는데, 가쿠타니 시즈오의 초기 아이디어와 조셉 둡의 후속 연구가 그 기반이 되었다.^[261] 길버트 헌트(Gilbert Hunt)는 1950년대에 마르코프 과정과 퍼텐셜 이론을 연결하는 선구적인 연구를 수행하여 레비 과정 이론에 상당한 영향을 미쳤고, 이토가 개발한 방법을 이용한 마르코프 과정 연구에 대한 관심이 높아지게 되었다.^[19]^[263]^[264]

1953년, 둡은 그의 저서 "확률 과정(Stochastic processes)"을 출판하였는데, 이 책은 확률 과정 이론에 큰 영향을 미쳤고 확률에서 측도론의 중요성을 강조하였다.^[261]^[265] 둡은 또한 마틴게일 이론을 주로 발전시켰으며, 이후 폴-앙드레 마이어(Paul-André Meyer)가 상당한 공헌을 하였다. 이전에는 세르게이 베르니슈타인(Sergei Bernstein), 폴 레비, 그리고 장 빌(Jean Ville)가 연구를 수행하였는데, 장 빌이 이 확률 과정에 '마틴게일'이라는 용어를 사용하였다.^[266]^[267]

1960년대와 1970년대에는 알렉산드르 드미트리예비치 벤첼(Александр Дмитриевич Вентцель^ru), 먼로 돈스커(Monroe D. Donsker^영어), 스리니바사 바라단 등이 이 분야에 공헌하였다.^[268]

7. 6. 특정 확률 과정의 발견

야코프 베르누이의 저서 《확률론(Ars Conjectandi)》(1713년)에서 베르누이 과정이 처음 연구되었다.^[243]^[244] 이산 시간에서 정수를 상태 공간으로 하는 확률 과정인 단순 무작위 행보는 베르누이 과정을 기반으로 하며, 각 베르누이 변수가 양의 1 또는 음의 1 값을 취하여 각 단계마다 값이 1씩 증가하거나 감소한다. 만약 확률

p=0.5

이면 이 무작위 행보를 대칭 무작위 행보라고 한다.^[80]^[81]

노버트 위너가 수학적 존재를 증명하여 그의 이름을 따서 명명된 위너 과정은 액체 내 브라운 운동에 대한 모델로 사용된다.^[84]^[85]^[86] 위너 과정은 정규 분포를 따르는 독립 증분을 가지며, 돈스커 정리에 따르면 특정 랜덤 워크의 극한으로 나타난다.^[98]^[99]^[100]^[101]^[102]

시메옹 드니 푸아송의 이름을 따서 명명된 푸아송 과정은 특정 시간까지의 점 또는 사건의 무작위 개수를 나타내는 계수 과정이지만, 푸아송 이전에도 여러 다른 환경에서 발견되었다.^[22] 단일 양의 상수로 정의된 동차 푸아송 과정은 마르코프 과정과 레비 과정에 속한다.^[96]^[110]^[112]

안드레이 마르코프의 이름을 따서 명명된 마르코프 과정은 현재 값에만 의존하고 과거 값과는 조건부로 독립적인 확률 과정이다. 브라운 운동 과정과 푸아송 과정(1차원)은 연속 시간에서, 정수에 대한 랜덤 워크와 도박꾼의 파산 문제는 이산 시간에서 마르코프 과정의 예이다.^[190]^[191]^[192]

폴 피에르 레비의 이름을 따서 명명된 레비 과정은 독립적이고 정상적인 증분을 갖는 확률 과정이다. 위너 과정과 푸아송 과정은 레비 과정의 예이다.

8. 수학적 구성

확률 과정은 일반적으로 어떤 집합에 의해 색인된 확률 변수들의 집합으로 정의되지만,^[58] "확률 과정"과 "난수 과정"은 같은 의미로 사용된다.^[26]^[27]^[28]^[59]^[60]^[61] 때로는 "매개변수 집합" 또는 "매개변수 공간"이라는 용어가 사용되기도 한다.^[25]^[28]

확률 과정은 공통 확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 상에서 정의되는데, 여기서 $\Omega$ 는 표본 공간, $\mathcal{F}$ 는 σ-대수, $P$ 는 확률 측도이다. 어떤 집합 $T$ 에 의해 색인된 확률 변수들은 모두 동일한 수학적 공간 $S$ 에서 값을 가지며, 어떤 $\sigma$ -대수 $\Sigma$ 에 대해 가측이어야 한다.^[25]

주어진 확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 와 가측 공간 $(S,\Sigma)$ 에 대해, 확률 과정은 다음 집합과 같이 쓸 수 있다.^[124]

\{X(t):t\in T \}.

역사적으로, 많은 문제에서

t\in T

는 시간의 의미를 가지므로,

X(t)

는 시간

t

에 관찰된 값을 나타내는 확률 변수이다.^[125] 따라서 확률 과정은

\{X(t,\omega):t\in T \}

로 쓰기도 한다.^[25]^[126]

확률 과정은

S^T

값을 갖는 확률 변수로 해석될 수 있는데, 여기서

S^T

는 집합

T

에서 공간

S

로의 모든 가능한 함수들의 공간이다.^[26]^[127]

확률 과정

X\colon\Omega \rightarrow S^T

에 대한 확률 법칙(law)은 다음과 같이 정의되는 전진 측도(pushforward measure)이다.

\mu=P\circ X^{-1},

여기서

P

는 확률 측도,

\circ

는 함수 합성,

X^{-1}

은 가측 함수의 원상이다.

S^T

는

t\in T

에 대한 모든 가능한

S

값 함수의 공간이므로, 확률 과정의 확률 법칙은 확률 측도이다.^[26]^[127]^[271]^[141]

S^T

의 가측 부분집합

B

에 대해,

X

의 원상은 다음과 같다.

X^{-1}(B)=\{\omega\in \Omega: X(\omega)\in B \},

따라서

X

의 확률 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[25]

\mu(B)=P(\{\omega\in \Omega: X(\omega)\in B \}).

확률 과정 또는 확률 변수의 확률 법칙은 확률 법칙(probability law), 확률 분포(probability distribution) 또는 분포(distribution)라고도 한다.^[125]^[271]^[142]^[143]^[144]

확률 과정

X

와 그 확률 법칙

\mu

에 대해,

t_1,\dots,t_n\in T

에 대한 유한차원 분포는 다음과 같이 정의된다.

\mu_{t_1,\dots,t_n} =P\circ (X({t_1}),\dots, X({t_n}))^{-1},

이 측도

\mu_{t_1,..,t_n}

는 확률 벡터

(X({t_1}),\dots, X({t_n}))

의 결합 분포이다. 이것은 확률 법칙

\mu

를

T

의 유한 부분집합으로 "투영"한 것으로 볼 수 있다.^[26]^[145]

n

중 직접곱

S^n=S\times\dots \times S

의 부분집합인 임의의 가측 집합

C

에 대해, 확률 과정

X

의 유한차원 분포는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[25]

\mu_{t_1,\dots,t_n}(C) =P \Big(\big\{\omega\in \Omega: \big( X_{t_1}(\omega), \dots, X_{t_n}(\omega) \big) \in C \big\} \Big).

확률 과정의 유한차원 분포는 일관성 조건으로 알려진 두 가지 수학적 조건을 만족한다.^[49]

X

를

S

에 값을 가지는 확률 과정이라고 할 때, 모든 유한열

T'=( t_1, \ldots, t_k ) \in T^k

에 대해,

k

-튜플

X_{T'} = (X_{t_1}, X_{t_2},\ldots, X_{t_k})

는

S^k

에 값을 가지는 확률 변수가 된다. 이 확률 변수의 분포

\mathbb{P}_{T'}(\cdot) = \mathbb{P} (X_{T'}^{-1}(\cdot))

는

S^k

위의 확률 측도가 된다. 이렇게 얻어지는 분포를

X

의 유한 차원 분포라고 한다.

적절한 위상적 제약을 더함으로써, 유한 차원 분포의 “일관된” 집합을 이용하여 확률 과정을 정의할 수 있다.

8. 1. 구성 문제

연속 시간 확률 과정은 비가산 색인 집합을 가지기 때문에 구성에 어려움이 따른다.^[130] 이러한 어려움을 해결하기 위해 분리 가능성 등의 개념이 사용된다.
분리 가능성분리 가능성은 확률 측도와 관련된 지표 집합을 기반으로 하는 확률 과정의 성질이다. 분리 가능성은 가산할 수 없는 지표 집합을 갖는 확률 과정이나 확률장의 함수들이 확률 변수를 형성할 수 있도록 해준다. 확률 과정이 분리 가능하려면, 지표 집합이 분리 가능 공간이어야 한다. 즉, 지표 집합이 밀집된 가산 부분 집합을 가져야 한다.^[148]^[165]

좀 더 구체적으로 설명하면, 확률 공간

(\Omega,{\cal F},P)

상에서 정의된 실수값 연속시간 확률 과정

X

가 분리 가능하다는 것은 다음과 같은 조건을 만족한다는 의미이다.

지표 집합 $T$ 가 밀집된 가산 부분 집합 $U\subset T$ 를 가진다.
확률이 0인 집합 $\Omega_0 \subset \Omega$ (즉, $P(\Omega_0)=0$ )이 존재한다.
모든 열린 집합 $G\subset T$ 와 모든 닫힌 집합 $F\subset \textstyle R =(-\infty,\infty)$ 에 대해, 두 사건 $\{ X_t \in F \text{ for all } t \in G\cap U\}$ 와 $\{ X_t \in F \text{ for all } t \in G\}$ 는 $\Omega_0$ 의 부분 집합을 제외하고는 서로 다르지 않다.^[166]^[167]^[168]

분리 가능성의 정의는 다른 지표 집합과 상태 공간에도 적용될 수 있다.^[171] 예를 들어, 확률장의 경우 지표 집합과 상태 공간 모두

n

차원 유클리드 공간일 수 있다.^[28]^[148]

확률 과정의 분리 가능성 개념은 조셉 두브에 의해 도입되었다.^[165] 분리 가능성의 핵심 아이디어는 지표 집합의 가산적인 점들의 집합이 확률 과정의 성질을 결정하도록 하는 것이다.^[169] 가산적인 지표 집합을 갖는 모든 확률 과정은 이미 분리 가능성 조건을 만족하므로, 이산시간 확률 과정은 항상 분리 가능하다.^[172]

두브의 정리에 따르면, 모든 실수값 연속시간 확률 과정은 분리 가능한 수정을 갖는다.^[165]^[167]^[173] 이 정리의 변형은 실수선이 아닌 다른 지표 집합과 상태 공간을 갖는 더 일반적인 확률 과정에도 존재한다.^[130]

8. 2. 구성 문제 해결

확률 과정의 구성 문제는, 주어진 유한 차원 분포를 갖는 확률 과정을 실제로 구성할 수 있는지에 대한 질문을 다룬다. 일반적으로 확률 과정은 확률 변수들의 집합으로 정의되지만, 함수 값을 갖는 확률 변수로 해석될 수도 있다.^[26]^[127] 이러한 관점에서 구성 문제는, 주어진 유한 차원 분포를 갖는 함수 공간 위의 확률 측도를 구성하는 문제로 볼 수 있다.

이 문제를 해결하기 위한 방법 중 하나는 분리 가능성 가정을 이용하는 것이다. 확률 과정의 분리 가능성은 확률 측도와 관련된 지표 집합을 기반으로 하는 성질이다.^[148] 분리 가능한 확률 과정은 지표 집합의 가산적인 점들의 집합이 확률 과정의 성질을 결정하도록 한다.^[169] 가산적인 지표 집합을 갖는 이산시간 확률 과정은 항상 분리 가능 조건을 만족한다.^[172] 조셉 두브의 정리에 따르면, 모든 실수값 연속시간 확률 과정은 분리 가능한 수정을 갖는다.^[165]^[167]^[173]

또 다른 방법은 스코로호드 공간을 이용하는 것이다. 스코로호드 공간은 우연속좌극한(càdlàg) 함수들의 공간으로, 확률 과정 이론에서 자주 사용된다.^[176]^[177]^[178] 연속 시간 확률 과정의 표본 함수가 스코로호드 공간에 속한다고 가정하는 경우가 많다.^[178]^[180] 이 공간에는 위너 과정의 표본 함수와 같이 연속 함수뿐만 아니라, 푸아송 과정과 같이 불연속 함수도 포함된다.^[181]^[183]

콜모고로프 연속성 정리에 따르면, 연속 시간 실수값 확률 과정이 증분에 대한 특정 모멘트 조건을 만족하는 경우, 확률 1로 연속적인 표본 경로를 갖는 수정이 존재한다.^[158]^[159]^[161] 이 정리는 확률장이나 메트릭 공간을 상태 공간으로 갖는 확률 과정에도 일반화될 수 있다.^[162]^[163]

이러한 방법들을 통해, 주어진 유한 차원 분포를 갖는 확률 과정을 구성하고, 그 성질을 연구할 수 있다.

9. 응용

확률론은 오랜 역사를 가진 도박에서 기원을 찾을 수 있다. 일부 게임들은 수천 년 전부터 행해져 왔지만,^[237] 확률적 관점에서의 분석은 거의 이루어지지 않았다.^[238] 1654년은 피에르 드 페르마와 블레즈 파스칼이 점수 문제에 대한 서신을 주고받으며 확률론이 탄생한 해로 종종 여겨진다.^[239]^[240] 그러나 그 이전에도 제롤라모 카르다노가 16세기에 썼으나 1663년에 사후 출판된 ''Liber de Ludo Aleae''와 같이 도박 게임의 확률에 대한 수학적 연구가 있었다.^[241]

야코프 베르누이는 확률론 역사상 중요한 사건으로 여겨지는 아르스 코젝탄디를 저술했다. 베르누이의 책은 1713년 사후에 출판되었고, 많은 수학자들이 확률을 연구하도록 고무시켰다.^[243]^[244] 피에르 시몽 라플라스, 아브라함 드무아브르, 카를 프리드리히 가우스, 시메옹 드니 푸아송, 파프누티 체비쇼프와 같은 저명한 수학자들이 확률론에 기여했음에도 불구하고,^[245]^[246] 20세기까지 대부분의 수학계는 확률론을 수학의 한 분야로 간주하지 않았다.^[245]^[247]^[248]^[249] (체비쇼프가 이끈 러시아의 상트페테르부르크 학파는 주목할 만한 예외였다.^[247])

가장 간단한 확률 과정 중 하나는 베르누이 과정^[124]이며, 이는 각 확률 변수가 1 또는 0의 값을 가지는 독립 동일 분포(iid) 확률 변수의 순열이다. 예를 들어, 확률 p로 1의 값을, 확률 1-p로 0의 값을 가진다. 이 과정은 동전을 반복해서 던지는 이상적인 상황과 연결될 수 있는데, 앞면이 나올 확률을 p로, 앞면의 값을 1로, 뒷면의 값을 0으로 간주한다.^[69] 베르누이 과정은 iid 베르누이 확률 변수의 순열이며,^[70] 각 이상적인 동전 던지기는 베르누이 시행의 예이다.^[71]

야코프 베르누이의 이름을 딴 베르누이 과정은 편향된 동전 던지기를 수학적 모델로 사용할 수 있기에 아마도 최초로 연구된 확률 과정일 것이다. 베르누이는 크리스티안 하위헌스가 이전에 제안하고 연구했던 확률 문제를 포함한 기회 게임을 연구하기 위해 베르누이 과정을 사용했으며, 그의 연구(베르누이 과정 포함)는 1713년 ''Ars Conjectandi''에 출판되었다.^[275]^[276]

9. 1. 금융

확률 과정은 금융 분야에서 옵션 가격 결정, 위험 관리, 포트폴리오 최적화 등에 활용된다.

무작위 보행은 일반적으로 유클리드 공간에서 독립 동일 분포(i.i.d.) 확률 변수 또는 확률 벡터의 합으로 정의되는 확률 과정이며, 따라서 이산 시간에 변화하는 과정이다.^[72]^[73]^[74]^[75]^[76] 그러나 연속 시간에 변화하는 과정,^[77] 특히 금융 모델에서 사용되는 위너 과정을 가리키는 데에도 이 용어를 사용하기도 한다.^[78]

9. 1. 1. 블랙-숄즈 모형

피셔 블랙, 마이런 숄즈, 로버트 머튼이 개발한 '''블랙-숄즈 모형'''은 옵션 가격 결정을 위한 대표적인 모형이다. 이 모형은 자산 가격의 변동을 설명하기 위해 '''기하 브라운 운동'''이라는 특정 유형의 확률 과정을 사용한다.^[319]^[320] 이 모형은 주식 가격이 연속 시간 확률 과정을 따른다고 가정하며, 유럽식 옵션의 가격 결정을 위한 공식을 제공한다. 블랙-숄즈 공식은 현대 옵션 거래의 기반을 형성하며 금융 시장에 큰 영향을 미쳤다.

블랙-숄즈 모형의 핵심 가정은 주식과 같은 금융 자산의 가격이 '''로그 정규 분포'''를 따르며, 연속 수익률은 정규 분포를 따른다는 것이다. 일정한 변동성 가정과 같은 한계점이 있지만, 단순성과 실질적인 관련성 때문에 널리 사용되고 있다.

9. 1. 2. 확률적 변동성 모형

확률적 변동성 모형은 시장 변동성의 시간에 따른 변화를 포착하는 것을 목표로 한다.^[321] 헤스턴 모형은 인기 있는 예시이며, 자산 가격의 변동성이 자체 확률 과정을 따르도록 허용한다.^[321] 일정한 변동성을 가정하는 블랙-숄즈 모형과 달리, 확률적 변동성 모형은 특히 불확실성이 높거나 시장 압력이 큰 시기에 시장 역학을 모델링하기 위한 더욱 유연한 프레임워크를 제공한다.

9. 2. 생물학

확률 과정은 생물학에서 개체군 동태, 유전자 변이, 전염병 확산 등을 모델링하는 데 사용된다. 특히 마르코프 체인은 생물학적 현상을 설명하는 데 유용한 도구로 사용된다. 1907년 파울 에렌페스트(Paul Ehrenfest)와 타티아나 에렌페스트(Tatyana Ehrenfest)가 도입한 확산 모델과 1873년 프랜시스 골턴(Francis Galton)과 헨리 윌리엄 왓슨(Henry William Watson)이 도입한 분기 과정은 마르코프 체인의 초기 사용 사례이다.^[295]^[296]

9. 2. 1. 개체군 동태

출생-사망 과정^[322]은 무작위적인 출생과 사망으로 개체군이 시간에 따라 어떻게 변동하는지를 설명하는 간단한 확률적 모형이다. 이러한 모형은 멸종 위기에 처한 종이나 작은 미생물 개체군과 같이 무작위 사건이 큰 영향을 미칠 수 있는 소규모 개체군을 다룰 때 특히 중요하다.

9. 2. 2. 분기 과정

콜모고로프 존재 정리를 사용하여 확률 과정이 존재함을 증명할 수 있다.^[49]^[306] 이 정리는 무한 곱 공간에서의 측도에 대한 존재 정리이며,^[310] 유한 차원 분포가 '일관성 조건'으로 알려진 두 가지 조건을 만족하면 해당 유한 차원 분포를 갖는 확률 과정이 존재한다고 말한다.^[49]

9. 3. 컴퓨터 과학

확률 과정은 난수화 알고리즘, 대기 이론, 네트워크 모델링 등 컴퓨터 과학 분야에서 활용된다.

9. 3. 1. 난수화 알고리즘

주어진 원본 소스에는 "난수화 알고리즘"에 대한 내용이 전혀 포함되어 있지 않으므로, 주어진 `title`, `section-title`, `summary`, `source` 정보로는 해당 섹션을 작성할 수 없다. (이 내용은 이전 출력과 동일하며, 수정할 부분이 없다.)

참조

_[1] 서적 Stochastic processes https://books.google[...] Wiley
_[2] 서적 Stochastic Processes https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[3] 서적 Introduction to the Theory of Random Processes https://books.google[...] Courier Corporation
_[4] 서적 Stochastic Processes in Cell Biology https://books.google[...] Springer
_[5] 서적 Stochastic Processes in Physics and Chemistry https://books.google[...] Elsevier
_[6] 서적 Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation https://books.google[...] Oxford University Press
_[7] 서적 Stochastic Methods in Neuroscience https://books.google[...] Oxford University Press
_[8] 서적 Stochastic Processes: From Physics to Finance https://books.google[...] Springer Science+Business Media
_[9] 서적 Random processes for image and signal processing https://books.google[...] SPIE Optical Engineering Press
_[10] 서적 Stochastic Optimal Control: The Discrete-Time Case https://athenasc.com[...] Athena Scientific
_[11] 서적 Elements of Information Theory https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[12] 서적 Probability and Statistics for Computer Scientists https://books.google[...] CRC Press
_[13] 서적 Stochastic Geometry and Wireless Networks https://books.google[...] Now Publishers Inc.
_[14] 서적 Stochastic Calculus and Financial Applications https://books.google[...] Springer Science+Business Media
_[15] 서적 Martingale Methods in Financial Modelling https://books.google[...] Springer Science+Business Media
_[16] 서적 Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models https://books.google[...] Springer Science+Business Media
_[17] 서적 Introduction to the Theory of Random Processes https://books.google[...] Courier Corporation
_[18] 서적 Random Processes https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[19] 서적 A Festschrift for Herman Rubin
_[20] 학술지 Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary
_[21] 서적 Random Point Processes in Time and Space https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[22] 학술지 What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes
_[23] 서적 Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[24] 서적 Basic Principles and Applications of Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[25] 서적 Stochastic processes: a survey of the mathematical theory https://books.google[...] Springer-Verlag
_[26] 서적 Foundations of Modern Probability https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[27] 서적 Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning https://books.google[...] Cambridge University Press
_[28] 서적 Random Fields and Geometry https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[29] 서적 Random Walk: A Modern Introduction https://books.google[...] Cambridge University Press
_[30] 서적 Probability with Martingales https://books.google[...] Cambridge University Press
_[31] 서적 Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations https://books.google[...] Cambridge University Press
_[32] 서적 Lévy Processes and Stochastic Calculus https://books.google[...] Cambridge University Press
_[33] 서적 Lectures on Gaussian Processes https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[34] 서적 The Geometry of Random Fields https://books.google[...] SIAM
_[35] 서적 A First Course in Stochastic Processes https://books.google[...] Academic Press
_[36] 서적 Random Processes for Engineers https://books.google[...] Cambridge University Press
_[37] 서적 Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling https://books.google[...] SIAM
_[38] 서적 An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[39] 서적 Probability and Measure https://books.google[...] Wiley India Pvt. Limited
_[40] 서적 Fourier Analysis and Stochastic Processes https://books.google[...] Springer
_[41] 서적 Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction https://books.google[...] Cambridge University Press
_[42] 학술지 Lévy processes: From probability to finance and quantum groups
_[43] 서적 Surveys in Stochastic Processes https://books.google[...] European Mathematical Society
_[44] 서적 Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[45] 서적 Stochastic Processes in Cell Biology https://books.google[...] Springer
_[46] 서적 A First Course in Stochastic Processes https://books.google[...] Academic Press
_[47] 서적 Random Point Processes in Time and Space https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[48] 서적 Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[49] 서적 A First Look at Rigorous Probability Theory https://books.google[...] World Scientific Publishing Co Inc
_[50] 서적 Numerical Solution of Stochastic Differential Equations https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[51] 서적 Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[52] OED Stochastic
_[53] 서적 Theory of probability and statistics as exemplified in short dictums https://books.google[...] NG Verlag
_[54] 서적 Alexandr A. Chuprov: Life, Work, Correspondence https://books.google[...] V&R unipress GmbH
_[55] 학술지 Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse
_[56] 학술지 Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
_[57] OED Random
_[58] 서적 A Modern Approach to Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[59] 서적 Stochastic Processes and Models https://books.google[...] Oxford University Press
_[60] 서적 Random Processes https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[61] 서적 Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers https://books.google[...] Cambridge University Press
_[62] 서적 Essentials of Stochastic Processes https://books.google[...] American Mathematical Soc.
_[63] 서적 Probability Theory II https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[64] 서적 Fourier Analysis and Stochastic Processes https://books.google[...] Springer
_[65] harvtxt
_[66] 서적 Stochastic Processes https://books.google[...] Cambridge University Press
_[67] 서적 Stochastic processes: a survey of the mathematical theory https://books.google[...] Springer-Verlag
_[68] 서적 Introduction to Stochastic Calculus with Applications https://books.google[...] Imperial College Press
_[69] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[70] 서적 Introduction to Probability https://books.google[...] Athena Scientific
_[71] 서적 Elements of Random Walk and Diffusion Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[72] 서적 Probability Theory: A Comprehensive Course https://books.google[...] Springer
_[73] 서적 Random Walk: A Modern Introduction https://books.google[...] Cambridge University Press
_[74] 서적 Foundations of Modern Probability https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2002
_[75] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[76] 서적 Probability: Theory and Examples https://books.google[...] Cambridge University Press
_[77] 서적 Encyclopedia of Statistical Sciences
_[78] 서적 Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data https://books.google[...] Cambridge University Press
_[79] 서적 Introduction to Stochastic Calculus with Applications https://books.google[...] Imperial College Press
_[80] 서적 Probability: A Graduate Course https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[81] 서적 Probability and Random Processes https://books.google[...] OUP Oxford
_[82] 서적 Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations https://books.google[...] Cambridge University Press
_[83] 서적 Introduction to Stochastic Calculus with Applications https://books.google[...] Imperial College Press
_[84] 학술지 A history of random processes
_[85] 학술지 Lévy processes: From probability to finance and quantum groups
_[86] 서적 Introduction to the Theory of Random Processes https://books.google[...] Courier Corporation
_[87] 서적 Stochastic Calculus and Financial Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[88] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[89] 서적 A First Course in Stochastic Processes https://books.google[...] Academic Press
_[90] 서적 Brownian Motion and Stochastic Calculus https://books.google[...] Springer
_[91] 서적 Continuous Martingales and Brownian Motion https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[92] 서적 A First Look at Rigorous Probability Theory https://books.google[...] World Scientific Publishing Co Inc
_[93] 서적 Random Point Processes in Time and Space https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[94] 서적 Stochastic Calculus and Financial Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[95] 서적 Brownian Motion and Stochastic Calculus https://books.google[...] Springer
_[96] 학술지 Lévy processes: From probability to finance and quantum groups
_[97] 서적 Brownian Motion https://books.google[...] Cambridge University Press
_[98] 서적 Brownian Motion and Stochastic Calculus https://books.google[...] Springer
_[99] 서적 Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[100] 서적 Foundations of Modern Probability https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[101] 서적 Brownian Motion and Stochastic Calculus https://books.google[...] Springer
_[102] 서적 Brownian Motion https://books.google[...] Cambridge University Press
_[103] 서적 Introduction to Stochastic Calculus with Applications https://books.google[...] Imperial College Press
_[104] 서적 Brownian Motion and Stochastic Calculus https://books.google[...] Springer
_[105] 학술지 Lévy processes: From probability to finance and quantum groups
_[106] 서적 A First Course in Stochastic Processes https://books.google[...] Academic Press
_[107] 서적 Introduction to Stochastic Calculus with Applications https://books.google[...] Imperial College Press
_[108] 서적 Brownian Motion and Stochastic Calculus https://books.google[...] Springer
_[109] 서적 Brownian Motion Calculus https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[110] 서적 A First Course in Stochastic Models https://books.google[...] Wiley
_[111] 서적 An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[112] 서적 An Introduction to Stochastic Modeling https://books.google[...] Academic Press
_[113] 서적 Poisson Processes https://books.google[...] Clarendon Press
_[114] 서적 An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[115] 서적 Poisson Processes https://books.google[...] Clarendon Press
_[116] 서적 A First Course in Stochastic Processes https://books.google[...] Academic Press
_[117] 서적 Queueing Systems: Theory https://archive.org/[...] Wiley
_[118] 서적 Random Processes https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[119] 서적 Stochastic Geometry for Wireless Networks https://books.google[...] Cambridge University Press
_[120] 서적 Stochastic Geometry and Its Applications https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[121] 서적 Poisson Processes https://books.google[...] Clarendon Press
_[122] 서적 Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[123] 서적 Poisson Processes https://books.google[...] Clarendon Press
_[124] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[125] 서적 Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[126] 서적 Stationary Stochastic Processes for Scientists and Engineers https://books.google[...] CRC Press
_[127] 서적 Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations https://books.google[...] Cambridge University Press
_[128] 서적 Applied Probability and Queues https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[129] 학술지 Borel structures for function spaces 1961-12
_[130] 서적 Basic Principles and Applications of Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[131] 서적 Probability and Measure https://books.google[...] Wiley India Pvt. Limited
_[132] 서적 A First Course in Stochastic Processes https://books.google[...] Academic Press
_[133] 서적 Random Point Processes in Time and Space https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[134] 서적 Basic Principles and Applications of Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[135] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[136] 서적 Fourier Analysis and Stochastic Processes https://books.google[...] Springer
_[137] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[138] 서적 Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations https://books.google[...] Cambridge University Press
_[139] 서적 Probability and Measure https://books.google[...] Wiley India Pvt. Limited
_[140] 서적 Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[141] 서적 Adventures in Stochastic Processes https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[142] 서적 Stochastic-Process Limits: An Introduction to Stochastic-Process Limits and Their Application to Queues https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[143] 서적 Lévy Processes and Stochastic Calculus https://books.google[...] Cambridge University Press
_[144] 서적 Continuous Martingales and Brownian Motion https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[145] 서적 Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations https://books.google[...] Cambridge University Press
_[146] 서적 Stochastic processes: a survey of the mathematical theory https://books.google[...] Springer-Verlag
_[147] 서적 Introduction to the Theory of Random Processes https://books.google[...] Courier Corporation
_[148] 서적 The Geometry of Random Fields https://books.google[...] SIAM
_[149] 서적 Stochastic Geometry and Its Applications https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[150] 서적 Stochastic processes https://books.google[...] Wiley
_[151] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[152] 서적 Introduction to the Theory of Random Processes https://books.google[...] Courier Corporation
_[153] 서적 Introduction to Stochastic Calculus with Applications https://books.google[...] Imperial College Press
_[154] 서적 Brownian Motion https://books.google[...] Cambridge University Press
_[155] 서적 Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations https://books.google[...] Cambridge University Press
_[156] 서적 Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[157] 서적 Introduction to Stochastic Calculus with Applications https://books.google[...] Imperial College Press
_[158] 서적 Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[159] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[160] 서적 Continuous Martingales and Brownian Motion https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[161] 서적 Lévy Processes and Stochastic Calculus https://books.google[...] Cambridge University Press
_[162] 서적 Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations https://books.google[...] Cambridge University Press
_[163] 서적 Foundations of Modern Probability https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[164] 서적 Mathematical Methods for Financial Markets https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[165] 서적 Essentials of Stochastic Processes https://books.google[...] American Mathematical Soc.
_[166] 서적 Introduction to the Theory of Random Processes https://books.google[...] Courier Corporation
_[167] 서적 An Introduction to Stochastic Processes and Their Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[168] 서적 Theory of Random Sets https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[169] 서적 Probability and Measure https://books.google[...] Wiley India Pvt. Limited
_[170] 서적 Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[171] 서적 (정보 부족)
_[172] 서적 Stochastic processes https://books.google[...] Wiley
_[173] 서적 Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[174] 서적 A Foundation in Digital Communication Cambridge University Press
_[175] 서적 Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications Springer
_[176] 서적 Stochastic-Process Limits: An Introduction to Stochastic-Process Limits and Their Application to Queues https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[177] harvtxt
_[178] 서적 Measure Theory (Volume 2) https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[179] 서적 Introduction to Stochastic Calculus with Applications https://books.google[...] Imperial College Press
_[180] 서적 Applied Probability and Queues https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[181] 서적 Convergence of Probability Measures https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[182] 서적 Stochastic Processes https://books.google[...] Cambridge University Press
_[183] 서적 Risk-Neutral Valuation: Pricing and Hedging of Financial Derivatives https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[184] 서적 Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[185] 서적 Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[186] 서적 An Introduction to Stochastic Processes and Their Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[187] 서적 Stochastic-Process Limits: An Introduction to Stochastic-Process Limits and Their Application to Queues https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[188] 서적 Basics of Applied Stochastic Processes https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[189] 서적 Markov Random Fields https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[190] 서적 Stochastic processes https://books.google[...] Wiley
_[191] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[192] 서적 A First Course in Stochastic Processes https://books.google[...] Academic Press
_[193] 서적 Applied Probability and Queues https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[194] 서적 Stochastic Processes https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[195] 서적 A First Course in Stochastic Processes https://books.google[...] Academic Press
_[196] 서적 Stochastic processes: a survey of the mathematical theory https://books.google[...] Springer-Verlag
_[197] 서적 Stochastic processes https://books.google[...] Wiley
_[198] 서적 Markov Chains and Stochastic Stability https://books.google[...] Cambridge University Press
_[199] 서적 A First Course in Stochastic Processes https://books.google[...] Academic Press
_[200] 서적 Simulation and the Monte Carlo Method https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[201] 서적 Markov Chain Monte Carlo: Stochastic Simulation for Bayesian Inference, Second Edition https://books.google[...] CRC Press
_[202] 서적 Markov Random Fields https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[203] 서적 Random Point Processes in Time and Space https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[204] 서적 Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[205] 서적 Introduction to Stochastic Calculus with Applications https://books.google[...] Imperial College Press
_[206] 서적 Brownian Motion and Stochastic Calculus https://books.google[...] Springer
_[207] 서적 Probability with Martingales https://books.google[...] Cambridge University Press
_[208] 서적 Stochastic processes https://books.google[...] Wiley
_[209] 서적 Martingales in Banach Spaces https://books.google[...] Cambridge University Press
_[210] 서적 Stochastic Calculus and Financial Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[211] 서적 Martingale Limit Theory and Its Application https://books.google[...] Elsevier Science
_[212] 서적 Stochastic Calculus and Financial Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[213] 서적 Stochastic processes https://books.google[...] Wiley
_[214] 서적 Stochastic Calculus and Financial Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[215] 서적 Foundations of Modern Probability https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[216] 서적 Stochastic Calculus and Financial Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[217] 서적 Stochastic Calculus and Financial Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[218] 서적 Probability and Random Processes https://books.google[...] OUP Oxford
_[219] 학술지 A Conversation with Chris Heyde
_[220] 서적 Elements of Queueing Theory: Palm Martingale Calculus and Stochastic Recurrences https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[221] 서적 Martingale Limit Theory and Its Application https://books.google[...] Elsevier Science
_[222] 서적 Lévy Processes https://books.google[...] Cambridge University Press
_[223] 학술지 Lévy processes: From probability to finance and quantum groups
_[224] 서적 Lévy Processes and Stochastic Calculus https://books.google[...] Cambridge University Press
_[225] 서적 Theory of Probability and Random Processes https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[226] 서적 Lévy Processes and Stochastic Calculus https://books.google[...] Cambridge University Press
_[227] 서적 Stochastic Geometry and Its Applications https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[228] 서적 Stochastic Geometry and Its Applications https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[229] 서적 Stochastic Geometry for Wireless Networks https://books.google[...] Cambridge University Press
_[230] 서적 An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[231] 서적 Point Processes https://books.google[...] CRC Press
_[232] 서적 Poisson Processes https://books.google[...] Clarendon Press
_[233] 서적 Statistical Inference and Simulation for Spatial Point Processes https://books.google[...] CRC Press
_[234] 서적 A First Course in Stochastic Processes https://books.google[...] Academic Press
_[235] 서적 Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields: Models and Algorithms https://books.google[...] Springer 2014
_[236] 서적 An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[237] 학술지 Studies in the History of Probability and Statistics I. Dicing and Gaming (A Note on the History of Probability)
_[238] 서적 Probability Theory: A Historical Sketch https://books.google[...] Elsevier Science
_[239] 서적 Encyclopedia of Statistical Sciences
_[240] 서적 Probability and Statistics: The Science of Uncertainty https://books.google[...] Infobase Publishing
_[241] 학술지 Decoding Cardano's Liber de Ludo Aleae
_[242] 서적 A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750 https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[243] 서적 Probability Theory: A Historical Sketch https://books.google[...] Elsevier Science
_[244] 서적 Probability and Statistics: The Science of Uncertainty https://books.google[...] Infobase Publishing
_[245] 학술지 Probability and Doob
_[246] 논문 Studies in the history of probability and statistics XLVI. Measure into probability: from Lebesgue to Kolmogorov
_[247] 논문 Francesco Paolo Cantelli. b. 20 December 1875 d. 21 July 1966
_[248] 논문 The Development of Rigor in Mathematical Probability (1900-1950)
_[249] 논문 Half a Century with Probability Theory: Some Personal Recollections
_[250] 논문 Early kinetic theories of gases
_[251] 논문 Foundations of statistical mechanics 1845?1915
_[252] 논문 Early kinetic theories of gases
_[253] 논문 The development of the kinetic theory of gases IV. Maxwell
_[254] 논문 A history of random processes
_[255] 논문 Stochastic Processes and Statistics
_[256] 논문 Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987)
_[257] 서적 Encyclopedia of Statistical Sciences
_[258] 서적 Encyclopedia of Statistical Sciences
_[259] 논문 Obituary: Joseph Leonard Doob
_[260] 논문 W. Doeblin, 1915-1940
_[261] 논문 Stochastic Processes from 1950 to the Present
_[262] 논문 Kiyosi Itô receives Kyoto Prize
_[263] 서적 Lévy Processes https://books.google[...] Cambridge University Press
_[264] 서적 Stochastic Calculus and Financial Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[265] 논문 Doob: a half-century on
_[266] 서적 Martingale Limit Theory and Its Application https://books.google[...] Elsevier Science
_[267] 논문 Kolmogorov and the Theory of Markov Processes
_[268] 논문 An overview of the theory of large deviations and applications to statistical mechanics
_[269] 논문 Interview with Srinivasa Varadhan
_[270] 서적 Conformal Invariance: an Introduction to Loops, Interfaces and Stochastic Loewner Evolution https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[271] 서적 Multidimensional Stochastic Processes as Rough Paths: Theory and Applications https://books.google[...] Cambridge University Press
_[272] 논문 2006 Fields Medals Awarded
_[273] 논문 The Work of the 2014 Fields Medalists
_[274] 서적 An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[275] 서적 A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750 https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[276] 서적 Nonequilibrium phenomena II: from stochastics to hydrodynamics https://books.google[...] North-Holland Pub.
_[277] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[278] 서적 Elements of Random Walk and Diffusion Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[279] 서적 A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750 https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[280] 서적 A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750 https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[281] 서적 Probability and Stochastic Processes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[282] 서적 Random Walks and Random Environments: Random walks https://books.google[...] Clarendon Press
_[283] 학술지 Om Anvendelse af mindste Kvadraterbs Methode i nogle Tilfælde, hvoren Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejleneen "systematisk" Karakter https://biodiversity[...]
_[284] 학술지 T. N. Thiele's Contributions to Statistics
_[285] 학술지 Time Series Analysis in 1880: A Discussion of Contributions Made by T.N. Thiele
_[286] 학술지 Théorie de la spéculation http://archive.numda[...]
_[287] 학술지 The Theory of Speculation https://drive.google[...]
_[288] 학술지 Louis Bachelier on the Centenary of Theorie de la Speculation https://halshs.archi[...]
_[289] 학술지 Bachelier: Not the forgotten forerunner he has been depicted as. An analysis of the dissemination of Louis Bachelier's work in economics http://r-libre.teluq[...]
_[290] 학술지 A history of random processes
_[291] 학술지 A history of random processes
_[292] 서적 An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[293] 서적 Stochastic Processes: Theory and Methods
_[294] 학술지 Historical review of Filip Lundberg's works on risk theory
_[295] 서적 Introduction to Probability https://archive.org/[...] American Mathematical Soc.
_[296] 서적 Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[297] 학술지 First links in the Markov chain
_[298] 학술지 I.J. Bienaymé [1796-1878]: Criticality, Inequality, and Internationalization
_[299] 서적 Statisticians of the Centuries
_[300] 서적 Paul Lévy and Maurice Fréchet: 50 Years of Correspondence in 107 Letters https://books.google[...] Springer London 2016
_[301] 서적 Basic Principles and Applications of Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[302] 학술지 Bachelier
_[303] 서적 Continuous-Time Markov Chains: An Applications-Oriented Approach https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[304] 학술지 Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987)
_[305] 서적 Lévy Processes and Stochastic Calculus https://books.google[...] Cambridge University Press
_[306] 서적 The Geometry of Random Fields https://books.google[...] SIAM
_[307] 서적 Measure Theory and Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[308] 서적 Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[309] 서적 Probability with Martingales https://books.google[...] Cambridge University Press
_[310] 서적 Probability: Theory and Examples https://books.google[...] Cambridge University Press
_[311] 서적 Probability and Measure https://books.google[...] Wiley India Pvt. Limited
_[312] 서적 Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[313] 서적 Measure Theory and Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[314] 서적 Random Fields and Geometry https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[315] 서적 Measure Theory and Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[316] 논문 J. L. Doob: Foundations of stochastic processes and probabilistic potential theory
_[317] 서적 Probability Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[318] 서적 Extremes in Random Fields: A Theory and Its Applications https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[319] 논문 The Pricing of Options and Corporate Liabilities https://www.jstor.or[...] 1973
_[320] 간행물 Theory of rational option pricing http://www.worldscie[...] WORLD SCIENTIFIC 2024-09-30
_[321] 논문 A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options https://www.jstor.or[...] 1993
_[322] 서적 Introduction to probability models Elsevier 2010
_[323] 서적 Randomized algorithms Cambridge University Press 1995
_[324] 서적 Fundamentals of queueing theory John Wiley & Sons 2017
_[325] 서적 Fundamentals of queueing theory John Wiley & Sons 2018
_[326] 서적 システム同定の基礎 https://iss.ndl.go.j[...] 東京電機大学出版局
_[327] 논문 確率微分方程式の基礎(応用数理サマーセミナー2006「確率微分方程式」講演) https://doi.org/10.1[...] 日本応用数理学会
_[328] 서적 6-1 確率過程の一般的性質電子情報通信学会
_[329] 웹사이트 6 章確率過程 http://www.ieice-hbk[...] 電子情報通信学会

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com