유니타리 약수

1. 개요

유니타리 약수는 어떤 수 n의 약수 d에 대해 d와 n/d가 서로소일 때의 d를 의미한다. 정수 60의 경우, 5는 60의 유니타리 약수이지만 6은 그렇지 않다. 유니타리 약수의 개수는 2^k개이며, 여기서 k는 n의 서로 다른 소인수의 개수이다. 유니타리 약수의 합을 나타내는 함수 σ*(n)과 홀수 유니타리 약수의 k제곱의 합을 나타내는 함수 σ^(o)*_k(n)이 존재한다. 또한, 이중 유니타리 약수, k중 유니타리 약수, 무한중 유니타리 약수 등의 개념이 확장되어 정의된다. 유니타리 약수 관련 함수들은 OEIS 수열로도 나타내어진다.

2. 유니타리 약수의 정의와 예시

어떤 수 n의 약수 d가 다음 조건을 만족하면 유니타리 약수(단약수)라고 한다.

* d와 n/d는 서로소 관계이다. (즉, d와 n/d의 최대공약수는 1이다.)

2.1. 예시

5는 60의 유니타리 약수인데, 5와 60/5 = 12는 서로소이기 때문이다.

반대로, 6은 60의 약수이지만 유니타리 약수는 아니다. 6과 60/6 = 10은 서로소 관계가 아니다. (공약수 2를 가짐)

3. 유니타리 약수의 성질

1은 모든 자연수의 유니타리 약수이다.

어떤 수 n의 유니타리 약수의 개수는 2^k개이며, 여기서 k는 n의 서로 다른 소인수의 개수이다. 이는 1보다 큰 모든 정수 N이 서로 다른 소수 p의 양의 거듭제곱 p^r_p의 곱이기 때문이다. 따라서 N의 모든 유니타리 약수는 N의 소수 약수 {p}의 주어진 부분 집합 S에 대해, p ∈ S인 소수의 거듭제곱 p^r_p의 곱이다. 소인수가 k개 있다면 정확히 2^k개의 부분 집합 S가 존재하며, 이에 따라 명제가 성립한다.

n이 2의 거듭제곱(1 포함)이면 n의 유니타리 약수의 합은 홀수이고, 그렇지 않으면 짝수이다.

n의 유니타리 약수의 개수와 합은 모두 n의 곱셈적 함수이며, 완전 곱셈적 함수는 아니다. 디리클레 생성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash zeta(s)\backslash zeta(s-k)\}\{\backslash zeta(2s-k)\}\; =\; \backslash sum\_\{n\backslash ge\; 1\}\backslash frac\{\backslash sigma\_k^*(n)\}\{n^s\}.$

n의 모든 약수가 유니타리 약수인 것은 n이 제곱 없는 정수일 때와 동일하다.

n의 모든 유니타리 약수의 집합은 최대 공약수를 교집합으로, 최소 공배수를 합집합으로 하는 부울 대수를 형성한다.

4. 유니타리 약수 함수

유니타리 약수의 합 함수는 σ*(n)으로 표기하며, 유니타리 약수의 k 제곱의 합은 σ*_k(n)으로 표기하고 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash sigma\_k^*(n)\; =\; \backslash sum\_\{d\; \backslash ,\backslash mid\backslash ,\; n\; \backslash atop\; \backslash gcd(d,\backslash ,n/d)=1\}\; \backslash !\backslash !\; d^k.$

이 함수는 곱셈적 함수이다. 주어진 수의 진약수 중 유니타리 약수의 합이 그 수와 같으면, 그 수를 유니타리 완전수라고 한다.

5. 홀수 유니타리 약수

홀수 유니타리 약수의 k제곱의 합은 σ^(o)*_k(n)으로 표기하며 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash sigma\_k^\{(o)*\}(n)\; =\; \backslash sum\_\{\{d\; \backslash ,\backslash mid\backslash ,\; n\; \backslash atop\; d\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 2\}\; \backslash atop\; \backslash gcd(d,n/d)=1\}\; \backslash !\backslash !\; d^k.$

이 함수 역시 곱셈적 함수이며, 디리클레 생성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash zeta(s)\backslash zeta(s-k)(1-2^\{k-s\})\}\{\backslash zeta(2s-k)(1-2^\{k-2s\})\}\; =\; \backslash sum\_\{n\backslash ge\; 1\}\backslash frac\{\backslash sigma\_k^\{(o)*\}(n)\}\{n^s\}.$

6. 이중 유니타리 약수

n의 약수 d가 d와 n/d의 최대 유니타리 약수가 1이면 이중 유니타리 약수이다. 이 개념은 D. 수리야나라야나(D. Suryanarayana)가 1972년에 처음 소개했다.

n의 이중 유니타리 약수의 개수를 구하는 함수는 평균 차수가 $A\; \backslash log\; x$인 곱셈 함수이다. 여기서 A는 다음과 같다.

:$A\; =\; \backslash prod\_p\backslash left(\{1\; -\; \backslash frac\{p-1\}\{p^2(p+1)\}\; \}\backslash right)\; \backslash \; .$

7. k중 유니타리 약수와 무한중 유니타리 약수

n의 약수 d가 이중 단약수란, d와 n/d의 최대 단약수가 1인 경우를 말한다. 이 개념은 D. Suryanarayana (1972)에서 처음 소개되었다.

약수(영중 단약수), 단약수(일중 단약수), 이중 단약수의 개념을 일반화하여, k중 단약수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

n의 약수 d가 k중 단약수란, d와 n/d의 최대 (k-1)단약수가 1인 경우를 말한다.

무한중 단약수도 정의할 수 있다.

n의 약수 d가 무한중 단약수란, d, n을 다음과 같이 소인수분해했을 때, 임의의 i에 대해 $\{p\_i\}^\{x\_i\}$가 $\{p\_i\}^\{y\_i\}$의 y-1중 단약수인 경우를 말한다(여기서 소수 p에 대해 $\{p\}^\{x\}$가 $\{p\}^\{y\}$의 y-1중 단약수인 것과 임의의 k (≧y-1≧0)에 대해 $\{p\}^\{x\}$가 $\{p\}^\{y\}$의 k중 단약수인 것은 동치이다).

$d=\backslash prod\_\{i=1\}^k\{p\_i\}^\{x\_i\},$
n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{y_i}

8. OEIS 수열

* A034444: σ^*₀(n) (유니타리 약수의 개수), $2^\backslash omega(n)$
* A034448: σ^*₁(n) (유니타리 약수의 합)
* A034676 ~ A034682: σ^*₂(n) ~ σ^*₈(n)
* A068068: σ^(o)*₀(n) (홀수 유니타리 약수의 개수)
* A192066: σ^(o)*₁(n) (홀수 유니타리 약수의 합)
* A064609: $\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash sigma\_\{1\}(i)$
* A306071: $A$ (이중 유니타리 약수 개수 관련 상수)