유니타리 약수

3. 유니타리 약수의 성질

1은 모든 자연수의 유니타리 약수이다.^[2]

어떤 수 ''n''의 유니타리 약수의 개수는 2^''k''개이며, 여기서 ''k''는 ''n''의 서로 다른 소인수의 개수이다.^[2] 이는 1보다 큰 모든 정수 ''N''이 서로 다른 소수 ''p''의 양의 거듭제곱 ''p''^''r''_''p''의 곱이기 때문이다. 따라서 ''N''의 모든 유니타리 약수는 ''N''의 소수 약수 {''p''}의 주어진 부분 집합 ''S''에 대해, ''p'' ∈ ''S''인 소수의 거듭제곱 ''p''^''r''_''p''의 곱이다. 소인수가 ''k''개 있다면 정확히 2^''k''개의 부분 집합 ''S''가 존재하며, 이에 따라 명제가 성립한다.^[2]

''n''이 2의 거듭제곱(1 포함)이면 ''n''의 유니타리 약수의 합은 홀수이고, 그렇지 않으면 짝수이다.^[2]

''n''의 유니타리 약수의 개수와 합은 모두 ''n''의 곱셈적 함수이며, 완전 곱셈적 함수는 아니다. 디리클레 생성 함수는 다음과 같다.^[2]

:$\backslash frac\{\backslash zeta(s)\backslash zeta(s-k)\}\{\backslash zeta(2s-k)\}\; =\; \backslash sum\_\{n\backslash ge\; 1\}\backslash frac\{\backslash sigma\_k^*(n)\}\{n^s\}.$

''n''의 모든 약수가 유니타리 약수인 것은 ''n''이 제곱 없는 정수일 때와 동일하다.^[2]

''n''의 모든 유니타리 약수의 집합은 최대 공약수를 교집합으로, 최소 공배수를 합집합으로 하는 부울 대수를 형성한다.^[2]

4. 유니타리 약수 함수

유니타리 약수의 합 함수는 σ*(n)으로 표기하며, 유니타리 약수의 k 제곱의 합은 σ*_k(n)으로 표기하고 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash sigma\_k^*(n)\; =\; \backslash sum\_\{d\; \backslash ,\backslash mid\backslash ,\; n\; \backslash atop\; \backslash gcd(d,\backslash ,n/d)=1\}\; \backslash !\backslash !\; d^k.$

이 함수는 곱셈적 함수이다. 주어진 수의 진약수 중 유니타리 약수의 합이 그 수와 같으면, 그 수를 유니타리 완전수라고 한다.

5. 홀수 유니타리 약수

홀수 유니타리 약수의 k제곱의 합은 σ^(o)*_k(n)으로 표기하며 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash sigma\_k^\{(o)*\}(n)\; =\; \backslash sum\_\{\{d\; \backslash ,\backslash mid\backslash ,\; n\; \backslash atop\; d\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 2\}\; \backslash atop\; \backslash gcd(d,n/d)=1\}\; \backslash !\backslash !\; d^k.$

이 함수 역시 곱셈적 함수이며, 디리클레 생성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash zeta(s)\backslash zeta(s-k)(1-2^\{k-s\})\}\{\backslash zeta(2s-k)(1-2^\{k-2s\})\}\; =\; \backslash sum\_\{n\backslash ge\; 1\}\backslash frac\{\backslash sigma\_k^\{(o)*\}(n)\}\{n^s\}.$

6. 이중 유니타리 약수

''n''의 약수 ''d''가 ''d''와 ''n''/''d''의 최대 유니타리 약수가 1이면 '''이중 유니타리 약수'''이다. 이 개념은 D. 수리야나라야나(D. Suryanarayana)가 1972년에 처음 소개했다.^[3]

''n''의 이중 유니타리 약수의 개수를 구하는 함수는 평균 차수가 $A\; \backslash log\; x$인 곱셈 함수이다.^[6] 여기서 ''A''는 다음과 같다.

:$A\; =\; \backslash prod\_p\backslash left(\{1\; -\; \backslash frac\{p-1\}\{p^2(p+1)\}\; \}\backslash right)\; \backslash \; .$

7. k중 유니타리 약수와 무한중 유니타리 약수

''n''의 약수 ''d''가 '''이중 단약수'''란, ''d''와 ''n''/''d''의 최대 단약수가 1인 경우를 말한다. 이 개념은 D. Suryanarayana (1972)에서 처음 소개되었다.^[6]

약수(영중 단약수), 단약수(일중 단약수), 이중 단약수의 개념을 일반화하여, ''k''중 단약수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

''n''의 약수 ''d''가 '''''k''중 단약수'''란, ''d''와 ''n''/''d''의 최대 ''(k-1)''단약수가 1인 경우를 말한다.^[7][8]

무한중 단약수도 정의할 수 있다.

''n''의 약수 ''d''가 '''무한중 단약수'''란, d, n을 다음과 같이 소인수분해했을 때, 임의의 i에 대해 $\{p\_i\}^\{x\_i\}$가 $\{p\_i\}^\{y\_i\}$의 y-1중 단약수인 경우를 말한다(여기서 소수 ''p''에 대해 $\{p\}^\{x\}$가 $\{p\}^\{y\}$의 y-1중 단약수인 것과 임의의 ''k'' (≧y-1≧0)에 대해 $\{p\}^\{x\}$가 $\{p\}^\{y\}$의 k중 단약수인 것은 동치이다).^[8]

$d=\backslash prod\_\{i=1\}^k\{p\_i\}^\{x\_i\},$

n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{y_i}

8. OEIS 수열

• A034444: σ^*₀(''n'') (유니타리 약수의 개수), $2^\backslash omega(n)$
• A034448: σ^*₁(''n'') (유니타리 약수의 합)
• A034676 ~ A034682: σ^*₂(''n'') ~ σ^*₈(''n'')
• A068068: σ^(o)*₀(''n'') (홀수 유니타리 약수의 개수)
• A192066: σ^(o)*₁(''n'') (홀수 유니타리 약수의 합)
• A064609: $\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash sigma\_\{1\}(i)$
• A306071: $A$ (이중 유니타리 약수 개수 관련 상수)

참조

_[1] 논문 The theory of multiplicative arithmetic functions
_[2] 논문 Monstrous Moonshine https://doi.org/10.1[...]
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 논문 The theory of multiplicative arithmetic functions
_[6] 서적
_[7] 웹사이트 k-ary Divisor https://mathworld.wo[...] 2024-03-15
_[8] 논문 ON AN INTEGER'S INFINITARYDIVISORS https://www.ams.org/[...] 1990-01