유리함수 적분표

1. 개요

유리함수 적분표는 유리함수의 적분 공식을 모아 놓은 문서이다. 미분류 함수, x^m(ax + b)ⁿ 꼴 함수, x^m / (ax² + bx + c)ⁿ 꼴 함수, x^m (a + bxⁿ)^p 꼴 함수, (A + Bx)(a + bx)^m(c + dx)ⁿ(e + fx)^p 꼴 함수, x^m(A + Bxⁿ)(a + bxⁿ)^p(c + dxⁿ)^q 꼴 함수, (d + ex)^m(A + Bx)(a + bx + cx²)^p 꼴 함수 등 다양한 형태의 유리함수 적분 공식을 제공하며, 점화식을 통해 지수를 줄여가며 적분할 수 있는 방법을 제시한다.

2. 미분류 함수의 적분

$\backslash int\backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{f(x)\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash ln\backslash left|\; f(x)\backslash right|\; +\; C$

$\backslash int\backslash frac\{1\}\{x^2+a^2\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\{1\}\{a\}\backslash arctan\backslash frac\{x\}\{a\}\backslash ,\backslash !\; +\; C$





$\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{x^\{2^n\}\; +\; 1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2^\{n-1\}\}\backslash sum\_\{k=1\}^\{2^\{n-1\}\}\; \backslash sin\; \backslash left(\backslash frac\{2k\; -1\}\{2^n\}\backslash pi\backslash right)\; \backslash arctan\backslash left[\backslash left(x\; -\; \backslash cos\; \backslash left(\backslash frac\{2k\; -1\}\{2^n\}\backslash pi\; \backslash right)\; \backslash right\; )\; \backslash csc\; \backslash left(\backslash frac\{2k\; -1\}\{2^n\}\backslash pi\; \backslash right)\; \backslash right]\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cos\; \backslash left(\backslash frac\{2k\; -1\}\{2^n\}\backslash pi\; \backslash right)\; \backslash ln\; \backslash left\; |\; x^2\; -\; 2\; x\; \backslash cos\; \backslash left(\backslash frac\{2k\; -1\}\{2^n\}\backslash pi\; \backslash right)\; +\; 1\; \backslash right\; |\; +\; C$

2.1. 일반적인 함수의 적분

2.2. 특수 함수를 포함하는 함수의 적분

3. ''x''^''m''(''a x'' + ''b'')^''n'' 꼴 함수의 적분

이 절에서는 $x^m(ax + b)^n$ 형태의 함수에 대한 적분 공식을 제공한다. 아래 함수들의 부정적분 중에서는 ln |ax + b| 꼴을 포함하는 경우가 존재한다. 이때 x = −b / a에서는 함수가 정의되지 않으므로 적분상수는 사실 국소상수함수이지만, 관습에 따라 이러한 표기를 따로 하지는 않았다.

: $\backslash int\backslash frac\{1\}\{ax\; +\; b\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash begin\{cases\}$
\dfrac{1}{a}\ln(-(ax + b)) + C^- & ax+b<0 \\
\dfrac{1}{a}\ln(ax + b) + C^+ & ax+b>0
\end{cases}

는 보통

: $\backslash int\backslash frac\{1\}\{ax\; +\; b\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{1\}\{a\}\backslash ln\backslash left|ax\; +\; b\backslash right|\; +\; C$

로 표기하며, 여기서 C는 x에 대한 국소상수함수이다.

* $\backslash int\; (ax\; +\; b)^n\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{(ax\; +\; b)^\{n+1\}\}\{a(n\; +\; 1)\}\; +\; C\; \backslash qquad\backslash text\{(\}\; n\backslash neq\; -1\backslash mbox\{)\}$ (카발리에리의 구적 공식)
* $\backslash int\backslash frac\{x\}\{ax\; +\; b\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; -\; \backslash frac\{b\}\{a^2\}\backslash ln\backslash left|ax\; +\; b\backslash right|\; +\; C$
* $\backslash int\backslash frac\{mx\; +\; n\}\{ax\; +\; b\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{m\}\{a\}\; x\; +\; \backslash frac\{an\; -\; bm\}\{a^2\}\backslash ln\backslash left|ax\; +\; b\backslash right|\; +\; C$
* $\backslash int\backslash frac\{x\}\{(ax\; +\; b)^2\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{b\}\{a^2(ax\; +\; b)\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{a^2\}\backslash ln\backslash left|ax\; +\; b\backslash right|\; +\; C$
* $\backslash int\backslash frac\{x\}\{(ax\; +\; b)^n\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{a(1\; -\; n)x\; -\; b\}\{a^2(n\; -\; 1)(n\; -\; 2)(ax\; +\; b)^\{n-1\}\}\; +\; C\; \backslash qquad\backslash text\{(\}\; n\backslash not\backslash in\; \backslash \{1,\; 2\backslash \}\backslash mbox\{)\}$
* $\backslash int\; x(ax\; +\; b)^n\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{a(n\; +\; 1)x\; -\; b\}\{a^2(n\; +\; 1)(n\; +\; 2)\}\; (ax\; +\; b)^\{n+1\}\; +\; C\; \backslash qquad\backslash text\{(\}n\; \backslash not\backslash in\; \backslash \{-1,\; -2\backslash \}\backslash mbox\{)\}$
* $\backslash int\backslash frac\{x^2\}\{ax\; +\; b\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{b^2\backslash ln(\backslash left|ax\; +\; b\backslash right|)\}\{a^3\}+\backslash frac\{ax^2\; -\; 2bx\}\{2a^2\}\; +\; C$
* $\backslash int\backslash frac\{x^2\}\{(ax\; +\; b)^2\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{1\}\{a^3\}\backslash left(ax\; -\; 2b\backslash ln\backslash left|ax\; +\; b\backslash right|\; -\; \backslash frac\{b^2\}\{ax\; +\; b\}\backslash right)\; +\; C$
* $\backslash int\backslash frac\{x^2\}\{(ax\; +\; b)^3\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{1\}\{a^3\}\backslash left(\backslash ln\backslash left|ax\; +\; b\backslash right|\; +\; \backslash frac\{2b\}\{ax\; +\; b\}\; -\; \backslash frac\{b^2\}\{2(ax\; +\; b)^2\}\backslash right)\; +\; C$
* $\backslash int\backslash frac\{x^2\}\{(ax\; +\; b)^n\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{1\}\{a^3\}\backslash left(-\backslash frac\{(ax\; +\; b)^\{3-n\}\}\{(n-3)\}\; +\; \backslash frac\{2b\; (ax\; +\; b)^\{2-n\}\}\{(n-2)\}\; -\; \backslash frac\{b^2\; (ax\; +\; b)^\{1-n\}\}\{(n\; -\; 1)\}\backslash right)\; +\; C\; \backslash qquad\backslash text\{(\}\; n\backslash not\backslash in\; \backslash \{1,\; 2,\; 3\backslash \}\backslash mbox\{)\}$
* $\backslash int\backslash frac\{1\}\{x(ax\; +\; b)\}\; \backslash ,\; dx\; =\; -\backslash frac\{1\}\{b\}\backslash ln\backslash left|\backslash frac\{ax+b\}\{x\}\backslash right|\; +\; C$
* $\backslash int\backslash frac\{1\}\{x^2(ax+b)\}\; \backslash ,\; dx\; =\; -\backslash frac\{1\}\{bx\}\; +\; \backslash frac\{a\}\{b^2\}\backslash ln\backslash left|\backslash frac\{ax+b\}\{x\}\backslash right|\; +\; C$
* $\backslash int\backslash frac\{1\}\{x^2(ax+b)^2\}\; \backslash ,\; dx\; =\; -a\backslash left(\backslash frac\{1\}\{b^2(ax+b)\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{ab^2x\}\; -\; \backslash frac\{2\}\{b^3\}\backslash ln\backslash left|\backslash frac\{ax+b\}\{x\}\backslash right|\backslash right)\; +\; C$

4. ''x''^''m'' / (''a x''² + ''b x'' + ''c'')^''n'' 꼴 함수의 적분

$a\backslash neq\; 0$일 때, 다음 적분 공식들이 성립한다.

* $\backslash int\backslash frac\{1\}\{ax^2+bx+c\}\; dx\; =$
\begin{cases}
\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} + C & \mbox{(}4ac-b^2>0\text{ 일 때 )} \\[12pt]
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| + C =
\begin{cases}
\displaystyle -\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\,\operatorname{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} + C &\mbox{(}|2ax+b|<\sqrt{b^2-4ac}\text{ 일 때 )} \\[6pt]
\displaystyle -\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\,\operatorname{arcoth}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} + C &\text{(나머지 경우일 때)}
\end{cases}
& \mbox{(}4ac-b^2<0\text{ 일 때 )} \\[12pt]
\displaystyle -\frac{2}{2ax+b} + C & \mbox{(}4ac-b^2=0\text{ 일 때 )}
\end{cases}

* $\backslash int\backslash frac\{x\}\{ax^2+bx+c\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\{1\}\{2a\}\backslash ln\backslash left|ax^2+bx+c\backslash right|-\backslash frac\{b\}\{2a\}\backslash int\backslash frac\{dx\}\{ax^2+bx+c\}\; +\; C$

* $\backslash int\backslash frac\{mx+n\}\{ax^2+bx+c\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash begin\{cases\}$
\displaystyle \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} + C &\mbox{(}4ac-b^2>0\text{ 일 때 )} \\[12pt] \displaystyle \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|+\frac{2an-bm}{2a\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| + C =
\begin{cases}
\displaystyle \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a\sqrt{b^2-4ac}}\,\operatorname{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} + C &\mbox{(}|2ax+b|<\sqrt{b^2-4ac}\text{ 일 때 )} \\[6pt]
\displaystyle \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a\sqrt{b^2-4ac}}\,\operatorname{arcoth}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} + C &\text{(나머지 경우일 때)}
\end{cases}
& \mbox{(}4ac-b^2<0\text{ 일 때 )} \\[12pt]
\displaystyle \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a(2ax+b)} + C = \frac{m}{a}\ln\left|x+\frac{b}{2a}\right|-\frac{2an-bm}{a(2ax+b)} + C &\mbox{(}4ac-b^2=0\text{ 일 때 )}\end{cases}

* $\backslash int\backslash frac\{1\}\{(ax^2+bx+c)^n\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{2ax+b\}\{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^\{n-1\}\}+\backslash frac\{(2n-3)2a\}\{(n-1)(4ac-b^2)\}\backslash int\backslash frac\{1\}\{(ax^2+bx+c)^\{n-1\}\}\; \backslash ,\; dx\; +\; C$

* $\backslash int\backslash frac\{x\}\{(ax^2+bx+c)^n\}\; \backslash ,\; dx=\; -\backslash frac\{bx+2c\}\{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^\{n-1\}\}-\backslash frac\{b(2n-3)\}\{(n-1)(4ac-b^2)\}\backslash int\backslash frac\{1\}\{(ax^2+bx+c)^\{n-1\}\}\; \backslash ,\; dx\; +\; C$

* $\backslash int\backslash frac\{1\}\{x(ax^2+bx+c)\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash frac\{1\}\{2c\}\backslash ln\backslash left|\backslash frac\{x^2\}\{ax^2+bx+c\}\backslash right|-\backslash frac\{b\}\{2c\}\backslash int\backslash frac\{1\}\{ax^2+bx+c\}\; \backslash ,\; dx\; +\; C$

5. ''x''^''m'' (''a'' + ''b x''^''n'')^''p'' 꼴 함수의 적분

아래의 적분 공식들은 점화식의 형태이므로, m과 p가 0이 될 때까지 반복해서 공식을 적용할 수 있다. m, n, p는 유리수이다.

:$\backslash int\; x^m\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^p\; dx\; =\; \backslash frac\{x^\{m+1\}\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^p\}\{m+n\backslash ,p+1\}\backslash ,+\backslash ,\; \backslash frac\{a\backslash ,n\backslash ,p\}\{m+n\backslash ,p+1\}\backslash int\; x^m\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^\{p-1\}dx$

:$\backslash int\; x^m\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^p\; dx\; =\; -\backslash frac\{x^\{m+1\}\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^\{p+1\}\}\{a\backslash ,n\; (p+1)\}\backslash ,+\backslash ,\; \backslash frac\{m+n\; (p+1)+1\}\{a\backslash ,n\; (p+1)\}\backslash int\; x^m\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^\{p+1\}dx$

:$\backslash int\; x^m\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^p\; dx\; =\; \backslash frac\{x^\{m+1\}\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^p\}\{m+1\}\backslash ,-\backslash ,\; \backslash frac\{b\backslash ,n\backslash ,p\}\{m+1\}\backslash int\; x^\{m+n\}\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^\{p-1\}dx$

:$\backslash int\; x^m\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^p\; dx\; =\; \backslash frac\{x^\{m-n+1\}\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^\{p+1\}\}\{b\backslash ,n\; (p+1)\}\backslash ,-\backslash ,\; \backslash frac\{m-n+1\}\{b\backslash ,n\; (p+1)\}\backslash int\; x^\{m-n\}\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^\{p+1\}dx$

:$\backslash int\; x^m\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^p\; dx\; =\; \backslash frac\{x^\{m-n+1\}\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^\{p+1\}\}\{b\; (m+n\backslash ,p+1)\}\backslash ,-\backslash ,\; \backslash frac\{a\; (m-n+1)\}\{b\; (m+n\backslash ,p+1)\}\backslash int\; x^\{m-n\}\backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^pdx$

:$\backslash int\; x^m\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^p\; dx\; =\; \backslash frac\{x^\{m+1\}\; \backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^\{p+1\}\}\{a\; (m+1)\}\backslash ,-\backslash ,\; \backslash frac\{b\; (m+n\; (p+1)+1)\}\{a\; (m+1)\}\backslash int\; x^\{m+n\}\backslash left(a+b\backslash ,x^n\backslash right)^pdx$

결과적인 피적분 함수는 원래 피적분 함수와 동일한 형태를 가지므로, 이러한 축소 공식은 지수 m과 p를 0으로 유도하기 위해 반복적으로 적용될 수 있다. 이러한 축소 공식은 정수 및/또는 분수 지수를 가진 피적분 함수에 사용할 수 있다.

6. (''A'' + ''B x'') (''a'' + ''b x'')^''m'' (''c'' + ''d x'')^''n'' (''e'' + ''f x'')^''p'' 꼴 함수의 적분

이 절에서는 $(A + Bx)(a + bx)^m(c + dx)^n(e + fx)^p$ 형태의 함수에 대한 적분 공식을 제공한다. 아래의 적분 공식들은 점화식의 형태이므로, m과 n, p가 0이 될 때까지 반복해서 공식을 적용할 수 있다. m, n, p는 유리수이다. 특수한 형태인 $(a+b\,x)^m (c+d\,x)^n (e+f\,x)^p$ 꼴 함수의 적분은 B를 0으로 놓고 구할 수 있다.

:$$
\int (A+B\,x) (a+b\,x)^m (c+d\,x)^n (e+f\,x)^p dx=
-\frac{(A\,b-a\,B)(a+b\,x)^{m+1} (c+d\,x)^n(e+f\,x)^{p+1}}{b (m+1) (a\,f-b\,e)}\,+\,
\frac{1}{b (m+1) (a\,f-b\,e)}\,\int (b\,c(m+1) (A\,f-B\,e)+(A\,b-a\,B) (n\,d\,e+c\,f(p+1))+d(b(m+1) (A\,f-B\,e)+f(n+p+1) (A\,b-a\,B))x)(a+b\,x)^{m+1} (c+d\,x)^{n-1}(e+f\,x)^p dx


:$$
\int (A+B\,x) (a+b\,x)^m (c+d\,x)^n (e+f\,x)^p dx=
\frac{B(a+b\,x)^m (c+d\,x)^{n+1}(e+f\,x)^{p+1}}{d\,f(m+n+p+2)}\,+\,
\frac{1}{d\,f(m+n+p+2)}\,\int (A\,a\,d\,f(m+n+p+2)-B (b\,c\,e\,m+a(d\,e(n+1)+c\,f(p+1)))+(A\,b\,d\,f(m+n+p+2)+B (a\,d\,f\,m-b(d\,e(m+n+1)+c\,f(m+p+1)))) x)(a+b\,x)^{m-1} (c+d\,x)^n(e+f\,x)^p dx


:$$
\int (A+B\,x) (a+b\,x)^m (c+d\,x)^n (e+f\,x)^p dx=
\frac{(A\,b-a\,B)(a+b\,x)^{m+1} (c+d\,x)^{n+1}(e+f\,x)^{p+1}}{(m+1)(a\,d-b\,c)(a\,f-b\,e)}\,+\,
\frac{1}{(m+1)(a\,d-b\,c)(a\,f-b\,e)}\,\int ((m+1) (A (a\,d\,f-b(c\,f+d\,e))+B\,b\,c\,e)-(A\,b-a\,B) (d\,e(n+1)+c\,f(p+1))-d\,f(m+n+p+3) (A\,b-a\,B)x)(a+b\,x)^{m+1} (c+d\,x)^n(e+f\,x)^p dx


결과적인 피적분 함수는 원래 피적분 함수와 동일한 형태이므로, 이러한 축소 공식들을 반복적으로 적용하여 지수 m, n 및 p를 0으로 유도할 수 있다. 이러한 축소 공식은 정수 및/또는 분수 지수를 갖는 피적분 함수에 사용할 수 있다.

7. ''x''^''m'' (''A'' + ''B x''^''n'') (''a'' + ''b x''^''n'')^''p'' (''c'' + ''d x''^''n'')^''q'' 꼴 함수의 적분

이 절에서는 $x^m(A + Bx^n)(a + bx^n)^p(c + dx^n)^q$ 형태의 함수에 대한 적분 공식을 제공한다. 아래의 적분 공식들은 점화식의 형태이므로, m과 p, q가 0이 될 때까지 반복해서 공식을 적용할 수 있다. m, n, p, q는 유리수이다.

특수한 형태인 $(a+b\,x^n)^p(c+d\,x^n)^q$ 과 $x^m(a+b\,x^n)^p(c+d\,x^n)^q$ 꼴 함수의 적분은 각각 m 또는 B를 0으로 놓고 구할 수 있다.

:$$
\int x^m\left(A+B\,x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^qdx=
-\frac{(A\,b-a\,B) x^{m+1} \left(a+b\,x^n\right)^{p+1} \left(c+d\,x^n\right)^q}{a\,b\,n (p+1)}\,+\,
\frac{1}{a\,b\,n (p+1)}\,\int x^m\left(c (A\,b\,n (p+1)+(A\,b-a\,B) (m+1))+d (A\,b\,n (p+1)+(A\,b-a\,B) (m+n\,q+1)) x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^{p+1}\left(c+d\,x^n\right)^{q-1}dx


:$$
\int x^m\left(A+B\,x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^qdx=
\frac{B\,x^{m+1} \left(a+b\,x^n\right)^{p+1} \left(c+d\,x^n\right)^q}{b (m+n (p+q+1)+1)}\,+\,
\frac{1}{b (m+n (p+q+1)+1)}\,\int x^m\left(c ((A\,b-a\,B) (1+m)+A\,b\,n (1+p+q))+(d(A\,b-a\,B) (1+m)+B\,n\,q(b\,c-a\,d)+A\,b\,d\,n (1+p+q))\,x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^{q-1}dx


:$$
\int x^m\left(A+B\,x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^qdx=
-\frac{(A\,b-a\,B) x^{m+1} \left(a+b\,x^n\right)^{p+1} \left(c+d\,x^n\right)^{q+1}}{a\,n (b\,c-a\,d) (p+1)}\,+\,
\frac{1}{a\,n(b\,c-a\,d)(p+1)}\,\int x^m\left(c(A\,b-a\,B)(m+1)+A\,n (b\,c-a\,d)(p+1)+d(A\,b-a\,B) (m+n (p+q+2)+1) x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^{p+1}\left(c+d\,x^n\right)^qdx


:$$
\int x^m\left(A+B\,x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^qdx=
\frac{B\,x^{m-n+1} \left(a+b\,x^n\right)^{p+1} \left(c+d\,x^n\right)^{q+1}}{b\,d (m+n (p+q+1)+1)}\,-\,
\frac{1}{b\,d (m+n (p+q+1)+1)}\,\int x^{m-n}\left(a\,B\,c (m-n+1)+(a\,B\,d (m+n\,q+1)-b (-B\,c (m+n\,p+1)+A\,d (m+n (p+q+1)+1))) x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^qdx


:$$
\int x^m\left(A+B\,x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^qdx=
\frac{A\,x^{m+1} \left(a+b\,x^n\right)^{p+1} \left(c+d\,x^n\right)^{q+1}}{a\,c (m+1)}\,+\,
\frac{1}{a\,c (m+1)}\,\int x^{m+n}\left(a\,B\,c (m+1)-A (b\,c+a\,d) (m+n+1)-A\,n (b\,c\,p+a\,d\,q)-A\,b\,d (m+n (p+q+2)+1) x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^qdx


:$$
\int x^m\left(A+B\,x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^qdx=
\frac{A\,x^{m+1} \left(a+b\,x^n\right)^{p+1} \left(c+d\,x^n\right)^q}{a (m+1)}\,-\,
\frac{1}{a (m+1)}\,\int x^{m+n}\left(c(A\,b-a\,B)(m+1)+A\,n (b\,c (p+1)+a\,d\,q)+d ((A\,b-a\,B) (m+1)+A\,b\,n (p+q+1)) x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^{q-1}dx


:$$
\int x^m\left(A+B\,x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^qdx=
\frac{(A\,b-a\,B) x^{m-n+1} \left(a+b\,x^n\right)^{p+1} \left(c+d\,x^n\right)^{q+1}}{b\,n (b\,c-a\,d) (p+1)}\,-\,
\frac{1}{b\,n(b\,c-a\,d)(p+1)}\,\int x^{m-n}\left(c(A\,b-a\,B)(m-n+1)+(d(A\,b-a\,B)(m+n\,q+1)-b\,n(B\,c-A\,d)(p+1)) x^n\right)\left(a+b\,x^n\right)^{p+1}\left(c+d\,x^n\right)^qdx


결과적인 피적분 함수는 원래 피적분 함수와 동일한 형태를 가지므로, 이 환원 공식들을 반복적으로 적용하여 지수 m, p 및 q를 0으로 수렴시킬 수 있다. 이러한 환원 공식들은 정수 및/또는 분수 지수를 갖는 피적분 함수에 사용할 수 있다. 이러한 환원 공식의 특수한 경우는 m 및/또는 B를 0으로 설정하여 $\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^q$ 및 $x^m\left(a+b\,x^n\right)^p\left(c+d\,x^n\right)^q$ 형태의 피적분 함수에 사용할 수 있다.

8. (''d'' + ''e x'')^''m'' (''A'' + ''B x'') (''a'' + ''b x'' + ''c x''²)^''p'' 꼴 함수의 적분

이 절에서는 $(d + ex)^m(A + Bx)(a + bx + cx^2)^p$ 형태의 함수에 대한 적분 공식을 제공한다. 아래의 적분 공식들은 점화식의 형태이므로, m과 p가 0이 될 때까지 반복해서 공식을 적용할 수 있다. m, p는 유리수이다.

$$
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \left(a+b\,x+c\,x^2\right)^pdx=
\frac{(d+e\,x)^{m+1} (A\,e (m+2 p+2)-B\,d (2 p+1)+e\,B (m+1) x) \left(a+b\,x+c\,x^2\right)^p}{e^2(m+1) (m+2 p+2)}\,+\,
\frac{1}{e^2(m+1) (m+2 p+2)}p\,\int (d+e\,x)^{m+1} (B (b\,d+2 a\,e+2 a\,e\,m+2 b\,d\,p)-A\,b\,e (m+2 p+2)+(B (2 c\,d+b\,e+b\,e m+4 c\,d\,p)-2 A\,c\,e (m+2 p+2))x)\left(a+b\,x+c\,x^2\right)^{p-1}dx


$$
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \left(a+b\,x+c\,x^2\right)^pdx=
\frac{(d+e\,x)^m (A\,b-2 a\,B-(b\,B-2 A\,c) x)\left(a+b\,x+c\,x^2\right)^{p+1}}{(p+1)\left(b^2-4 a\,c\right) }\,+\,
\frac{1}{(p+1)\left(b^2-4 a\,c\right) }\,\int (d+e\,x)^{m-1}(B (2 a\,e\,m+b\,d (2 p+3))-A (b\,e\,m+2 c\,d (2 p+3))+e(b\,B-2 A\,c) (m+2 p+3) x)\left(a+b\,x+c\,x^2\right)^{p+1}dx


$$
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \left(a+b\,x+c\,x^2\right)^pdx=
\frac{(d+e\,x)^{m+1} (A\,c\,e (m+2 p+2)-B (c\,d+2 c\,d\,p-b\,e\,p)+B\,c\,e(m+2 p+1) x)\left(a+b\,x+c\,x^2\right)^p}{c\,e^2(m+2 p+1) (m+2 p+2)}\,-\,
\frac{p}{c\,e^2(m+2 p+1) (m+2 p+2)}\,\int (d+e\,x)^m (A\,c\,e (b\,d-2 a\,e) (m+2 p+2)+B (a\,e (b\,e-2 c\,d\,m+b\,e\,m)+b\,d (b\,e\,p-c\,d-2 c\,d\,p))+\left(A\,c\,e (2 c\,d-b\,e) (m+2 p+2)-B \left(-b^2 e^2 (m+p+1)+2 c^2 d^2 (1+2 p)+c\,e (b\,d (m-2 p)+2 a\,e (m+2 p+1))\right)\right) x)\left(a+b\,x+c\,x^2\right)^{p-1}dx


$$
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \left(a+b\,x+c\,x^2\right)^pdx=
\frac{(d+e\,x)^{m+1} \left(A \left(b\,c\,d-b^2 e+2 a\,c\,e\right)-a\,B (2 c\,d-b\,e)+c (A (2 c\,d-b\,e)-B (b\,d-2 a\,e)) x\right)\left(a+b\,x+c\,x^2\right)^{p+1}}{(p+1)\left(b^2-4 a\,c\right) \left(c\,d^2-b\,d\,e+a\,e^2\right)}\,+\frac{1}{(p+1)\left(b^2-4 a\,c\right) \left(c\,d^2-b\,d\,e+a\,e^2\right)}\,\int (d+e\,x)^m (A \left(b\,c\,d\,e (2 p-m+2)+b^2 e^2 (m+p+2)-2 c^2 d^2 (3+2 p)-2 a\,c\,e^2 (m+2 p+3)\right)-B (a\,e (b\,e-2 c\,d m+b\,e\,m)+b\,d (-3 c\,d+b\,e-2 c\,d\,p+b\,e\,p))+c\,e(B (b\,d-2 a\,e)-A (2 c\,d-b\,e)) (m+2 p+4) x)\left(a+b\,x+c\,x^2\right)^{p+1}dx


$$
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \left(a+b\,x+c\,x^2\right)^pdx=
\frac{B(d+e\,x)^m\left(a+b\,x+c\,x^2\right)^{p+1}}{c(m+2 p+2)}\,+\,
\frac{1}{c(m+2 p+2)}\,\int (d+e\,x)^{m-1} (m(A\,c\,d-a\,B\,e)-d(b\,B-2 A\,c)(p+1) +((B\,c\,d-b\,B\,e+A\,c\,e) m-e(b\,B-2 A\,c)(p+1))x) \left(a+b\,x+c\,x^2\right)^pdx


$$
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \left(a+b\,x+c\,x^2\right)^pdx=
-\frac{(B\,d-A\,e) (d+e\,x)^{m+1} \left(a+b\,x+c\,x^2\right)^{p+1}}{(m+1)\left(c\,d^2-b\,d\,e+a\,e^2\right)}\,+\,
\frac{1}{(m+1)\left(c\,d^2-b\,d\,e+a\,e^2\right)}\,\int (d+e\,x)^{m+1} ((A\,c\,d-A\,b\,e+a\,B\,e) (m+1)+b (B\,d-A\,e) (p+1)+c (B\,d-A\,e) (m+2 p+3) x)\left(a+b\,x+c\,x^2\right)^pdx


특수한 형태인 $\backslash left(a+b\backslash ,x+c\backslash ,x^2\backslash right)^p$ 과 $(d+e\backslash ,x)^m\; \backslash left(a+b\backslash ,x+c\backslash ,x^2\backslash right)^p$ 꼴 함수의 적분은 각각 m 또는 B를 0으로 놓고 구할 수 있다.