적분의 점화식

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1. 개요
2. 적분 점화식 유도 원리
3. 적분 점화식을 이용한 함수의 적분
- 3.1. 예시
  - 3.1.1. 코사인 함수의 적분
  - 3.1.2. 지수 함수의 적분
4. 적분 점화식 표
- 4.1. 유리 함수
  - 4.1.1. 선형 인수를 포함하는 경우
  - 4.1.2. 이차 인수를 포함하는 경우
- 4.2. 초월 함수
  - 4.2.1. 삼각 함수를 포함하는 경우
  - 4.2.2. 지수 함수를 포함하는 경우
참조

1. 개요

적분의 점화식은 치환 적분, 부분 적분 등과 같은 적분 방법을 사용하여 유도할 수 있으며, 정수 매개변수를 포함하는 함수를 더 낮은 매개변수를 포함하는 함수로 표현하여 점화식을 얻는다. 점화식을 사용하면 I_n의 적분을 I_n-1 또는 I_n-2에 대한 적분으로 나타낼 수 있으며, I_n을 쉽게 적분할 수 있을 때까지 점화식을 반복적으로 사용하여 결과를 적분하고 역대입하여 I_n을 계산한다. 코사인 함수, 지수 함수 등의 적분에 대한 점화식 예시가 있으며, 유리 함수, 초월 함수 등 다양한 함수의 적분에 대한 점화식 표가 제공된다.

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적분의 점화식
일반 정보
이름	적분 점화식
설명	적분을 계산하는 데 유용한 점화식
유형	적분 기술
예시
삼각 함수	∫sinⁿ(x) dx 또는 ∫cosⁿ(x) dx
지수 함수	∫xⁿeᵃˣ dx
로그 함수	∫(ln x)ⁿ dx
활용
복잡한 적분	복잡한 형태의 적분을 간단하게 만들어 계산
반복 계산	동일한 형태의 적분을 반복적으로 계산
관련 개념
부분 적분	점화식 유도에 사용될 수 있음
점화식	수열의 항 사이의 관계를 나타내는 식

2. 적분 점화식 유도 원리

적분 점화식은 치환 적분, 부분 적분, 삼각 치환 적분, 부분 분수 적분 등과 같은 일반적인 적분 방법을 사용하여 유도할 수 있다. 핵심은 정수 매개변수(예: 거듭제곱)를 이용하여 나타낼 수 있는 함수 ''I''_''n''을, 더 낮은 값의 매개변수(더 낮은 거듭제곱)를 포함하는 함수(예: ''I''_''n''-1 또는 ''I''_''n''-2)에 대하여 나타내는 것이다. 이는 적분 점화식을 일종의 점화식으로 만든다.

즉, 적분 점화식은 다음과 같은 적분

:''I''_''n'' = ∫ ''f''(''x'',''n'') d''x''

을 ''k'' < ''n''인 정수 ''k''에 대하여

:''I''_''k'' = ∫ ''f''(''x'',''k'') d''x''

의 형태로 나타내는 것이다.

3. 적분 점화식을 이용한 함수의 적분

점화식을 이용하여 함수를 적분하기 위해서는 I_n의 적분을 I_n-1 또는 I_n-2에 대한 적분으로 나타내야 한다.^[9] 그런 다음, I_n을 쉽게 적분할 수 있을 때까지 (주로 n=1 또는 n=0일 때까지) 점화식을 반복적으로 사용하여 결과를 적분하고, 역으로 대입하여 원래의 I_n을 계산한다.^[9]^[2]^[5]

3. 1. 예시

다음은 점화식을 이용한 적분 과정의 예시이다.^[9]

'''코사인 함수의 적분''': $\int \cos^n x \,\text{d}x, \,\!$ 와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다.

'''지수 함수의 적분''': $\int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!$ 와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다.

3. 1. 1. 코사인 함수의 적분

코사인 함수의 거듭제곱 적분은 점화식을 이용하여 계산할 수 있다.^[9]

일반적으로

:

\int \cos^n x \,\text{d}x, \,\!

와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다.

:

I_n = \int \cos^n x\,\text{d}x . \,\!

라고 하자.

:

I_n = \int \cos^{n-1} x \cos x \,\text{d}x, \,\!

:

\cos x \,\text{d}x = \text{d} ( \sin x) , \,\!

라고 치환하면

:

I_n = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x) . \!

부분 적분을 이용하면

:

\begin{align} \int \cos^n x \,\text{d}x & = \cos^{n-1} x \sin x - \int \sin x \,\text{d}(\cos^{n-1} x) \\& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \sin x \cos^{n-2} x\sin x \,\text{d}x\\& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \,\text{d}x\\& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1-\cos^2 x )\,\text{d}x\\& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x - (n-1)\int \cos^n x \,\text{d}x\\& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n ,\end{align} \,

:

I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} x \sin x\ + \ (n-1) I_{n-2}, \,

:

n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin x\ + (n-1) I_{n-2}, \,

:

I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2}, \,

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

:

\int \cos^n x \,\text{d}x\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x . \!

예시를 보충하기 위해 ''n'' = 5를 대입해 보면.

:

I_5 = \int \cos^5 x \,\text{d}x . \,\!

n=5, n=3을 대입하면

:

n=5, \quad I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \tfrac{4}{5} I_3, \,

:

n=3, \quad I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3} I_1, \,

결과를 대입하면

:

\because I_1\ = \int \cos x \,\text{d}x = \sin x + C_1,\,

:

\therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3}\sin x + C_2, \quad C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1,\,

:

I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \sin x\right] + C,\,

여기서 ''C''는 적분상수이다.

3. 1. 2. 지수 함수의 적분

exponential function^영어와 다항 함수의 곱으로 이루어진 함수의 적분은 점화식을 이용하여 계산할 수 있다.^[9]

전형적인 예시는 다음과 같다.

:

\int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!

위 식을

I_n = \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!

라고 하자.

치환 적분을 하면

:

x^n \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( x^{n+1})}{n+1} , \,\!

로 치환되어

:

I_n = \frac{1}{n+1} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) , \!

가 된다. 부분 적분을 하면

:

\begin{align} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) & = x^{n+1}e^{ax} - \int x^{n+1} \,\text{d}(e^{ax}) \\& = x^{n+1}e^{ax} - a \int x^{n+1} e^{ax}\,\text{d}x ,\end{align} \!

:

(n+1) I_n = x^{n+1}e^{ax} - a I_{n+1} , \!

''n + 1'' → ''n'', ''n'' → ''n'' – 1으로 바꾸면

:

n I_{n-1} = x^ne^{ax} - a I_n , \!

:

I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ) , \,\!

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

:

\int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!

e^{ax}

를 치환하여 이 공식을 유도하는 다른 방법도 있다.

:

e^{ax} \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( e^{ax})}{a} , \,\!

이므로

:

I_n = \frac{1}{a} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) , \!

\begin{align} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) & = x^{n}e^{ax} - \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n}) \\& = x^{n}e^{ax} - n \int e^{ax} x^{n-1}\,\text{d}x ,\end{align} \!

결과를 다시 대입하면 점화식을 구할 수 있다.

I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ), \,\!

즉

:

\int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!

4. 적분 점화식 표

적분 점화식 표^[10]^[11]
적분	점화식
$I_n = \int \frac{x^n}{\sqrt{ax+b}} \,\text{d}x\,\!$	$I_n = \frac{2x^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)} - \frac{2nb}{a(2n+1)} I_{n-1}\,\!$
$I_n = \int \frac{\text{d}x}{x^n\sqrt{ax+b}}\,\!$	$I_n = -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}-\frac{a(2n-3)}{2b(n-1)}I_{n-1}\,\!$
$I_n = \int x^n\sqrt{ax+b}\,\text{d}x\,\!$	$I_n = \frac{2x^n\sqrt{(ax+b)^3}}{a(2n+3)}-\frac{2nb}{a(2n+3)}I_{n-1}\,\!$
$I_{m,n} = \int \frac{\text{d}x}{(ax+b)^m(px+q)^n}\,\!$	$I_{m,n} =$
$I_{m,n} = \int \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^n} \,\text{d}x\,\!$	$I_{m,n} =$
$I_n=\int \frac{(px+q)^n}{\sqrt{ax+b}} \,\text{d}x\,\!$	$\int (px+q)^n\sqrt{ax+b} \,\text{d}x = \frac{2(px+q)^{n+1}\sqrt{ax+b}}{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}I_n\,\!$ $I_n=\frac{2(px+q)^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}I_{n-1}\,\!$
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(px+q)^n\sqrt{ax+b}}\,\!$	$\int \frac{\sqrt{ax+b}}{(px+q)^n}\,\text{d}x = -\frac{\sqrt{ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}+\frac{a}{2p(n-1)}I_{n}\,\!$ $I_n= -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}}+\frac{a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}I_{n-1}\,\!$
$I_n= \int \frac{\text{d}x}{(x^2+a^2)^n}\,\!$	$I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2+a^2)^n}\,\!$	$a^2I_{n,m}= I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2+a^2)^n} \,\text{d}x\,\!$	$I_{n,m}= I_{m-2,n-1}-a^2I_{m-2,n}\,\!$
$I_n= \int \frac{\text{d}x}{(x^2-a^2)^n}\,\!$	$I_n= -\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2-a^2)^{n-1}}-\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2-a^2)^n}\,\!$	${a^2}I_{n,m}= I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2-a^2)^n} \,\text{d}x\,\!$	$I_{n,m}= I_{m-2,n-1}+a^2I_{m-2,n}\,\!$
$I_n= \int \frac{\text{d}x}{(a^2-x^2)^n}\,\!$	$I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(a^2-x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(a^2-x^2)^n}\,\!$	${a^2}I_{n,m}= I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(a^2-x^2)^n} \,\text{d}x\,\!$	$I_{n,m}= a^2I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!$
$I_{m,n}=\int \frac{x^m \,\text{d}x}{(ax^2+bx+c)^n}\,\!$	$I_{m,n}= -\frac{x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^2+bx+c)^{n-1}} - \frac{b(n-m)}{a(2n-m-1)}I_{m-1,n} + \frac{c(m-1)}{a(2n-m-1)}I_{m-2,n}\,\!$
$I_{m,n}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(ax^2+bx+c)^n}\,\!$	$-c(m-1)I_{m,n}= \frac{1}{x^{m-1}(ax^2+bx+c)^{n-1}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!$
$I_n = \int (ax^2+bx+c)^n\,\text{d}x\,\!$	$8a(n+1)I_{n+\frac{1}{2}} = 2(2ax+b)(ax^2+bx+c)^{n+\frac{1}{2}} + (2n+1)(4ac-b^2)I_{n-\frac{1}{2}}\,\!$
$I_n = \int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,\text{d}x\,\!$	$(2n-1)(4ac-b^2)I_{n+\frac{1}{2}} = \frac{2(2ax+b)}{(ax^2+bx+c)^{n-\frac{1}{2}}}+{8a(n-1)}I_{n-\frac{1}{2}}\,\!$
$I_{n+\frac{1}{2}} = I_{\frac{2n+1}{2}} =\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}}\,\text{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}}\,\text{d}x\,\!$
$I_n=\int x^n \sin{ax} \,\text{d}x\,\!$	$a^2I_n=-ax^n \cos{ax} + nx^{n-1} \sin{ax} - n(n-1) I_{n-2} \,\!$
$J_n=\int x^n \cos{ax} \,\text{d}x \,\!$	$a^2J_n=ax^n \sin{ax} + nx^{n-1} \cos{ax} - n(n-1) J_{n-2} \,\!$
$I_n = \int \frac{\sin{ax}}{x^n} \,\text{d}x\,\!$ $J_n = \int \frac{\cos{ax}}{x^n} \,\text{d}x \,\!$	$I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}J_{n-1}\,\!$ $J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}I_{n-1}\,\!$
I_n에 대한 방정식을 얻기 위해 공식을 결합하면 다음과 같다.
$I_n = \int \sin^n{ax} \,\text{d}x\,\!$	$anI_n = -\sin^{n-1}{ax}\cos{ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!$
$J_n = \int \cos^n{ax} \,\text{d}x\,\!$	$anJ_n = \sin{ax}\cos^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I_n = \int \frac{\text{d}x}{\sin^n{ax}}\,\!$	$(n-1)I_n = - \frac{\cos{ax}}{a\sin^{n-1}{ax}}+ (n-2)I_{n-2}\,\!$
$J_n = \int \frac{\text{d}x}{\cos^n{ax}}\,\!$	$(n-1)J_n = \frac{\sin{ax}}{a\cos^{n-1}{ax}}+ (n-2)J_{n-2}\,\!$
$I_{m,n} = \int \sin^m{ax}\cos^n{ax}\,\text{d}x\,\!$	$I_{m,n} = \begin{cases}$
$I_{m,n} = \int \frac{\text{d}x}{\sin^m{ax}\cos^n{ax}}\,\!$	$I_{m,n} = \begin{cases}$
$I_{m,n} = \int \frac{\sin^m{ax}}{\cos^n{ax}}\,\text{d}x\,\!$	$I_{m,n} = \begin{cases}$
$I_{m,n} = \int \frac{\cos^m{ax}}{\sin^n{ax}}\,\text{d}x\,\!$	$I_{m,n} = \begin{cases}$
$I_{n} = \int x^n e^{ax}\,\text{d}x\,\!$ $n > 0\,\!$	$I_{n} = \frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}I_{n-1} \,\!$
$I_{n} = \int x^{-n} e^{ax} \,\text{d}x\,\!$ $n > 0\,\!$	$I_{n} = \frac{- e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}I_{n-1} \,\!$
$I_{n} = \int e^{ax} \sin^n{bx} \,\text{d}x\,\!$	$I_{n} = \frac{e^{ax} \sin^{n-1}{bx}}{a^2+(bn)^2}\left ( a\sin bx - bn\cos bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\!$
$I_{n} = \int e^{ax} \cos^n{bx} \,\text{d}x\,\!$	$I_{n} = \frac{e^{ax} \cos^{n-1}{bx}}{a^2+(bn)^2}\left ( a\cos bx + bn\sin bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\!$

4. 1. 유리 함수

유리함수의 적분은 치환 적분, 부분 적분, 삼각 치환, 부분분수에 의한 적분 등과 같은 일반적인 적분법을 이용하여 유도할 수 있다.^[10] 핵심은 정수 매개 변수를 이용하여 나타낼 수 있는 함수

I_n

(예: 거듭 제곱)를 더 낮은 값의 매개 변수(더 낮은 거듭 제곱)를 포함하는 함수(예:

I_{n-1}

또는

I_{n-2}

)에 대하여 나타내는 것이다.

유리함수의 적분은 선형, 이차식, 기약 다항식 등의 인수를 포함하는 경우에 대해 점화식을 유도할 수 있다.^[10]

4. 1. 1. 선형 인수를 포함하는 경우

다음은 선형 인수와 그 제곱근을 포함하는 함수에 대한 적분의 점화식이다.^[3]

{| class="wikitable"

|-

! 적분 !! 점화식

|-

|

I_n = \int \frac{x^n}{\sqrt{ax+b}} \,\text{d}x\,\!

||

I_n = \frac{2x^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)} - \frac{2nb}{a(2n+1)} I_{n-1}\,\!

|-

|

I_n = \int \frac{\text{d}x}{x^n\sqrt{ax+b}}\,\!

||

I_n = -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}-\frac{a(2n-3)}{2b(n-1)}I_{n-1}\,\!

|-

|

I_n = \int x^n\sqrt{ax+b}\,\text{d}x\,\!

||

I_n = \frac{2x^n\sqrt{(ax+b)^3}}{a(2n+3)}-\frac{2nb}{a(2n+3)}I_{n-1}\,\!

|-

|

I_{m,n} = \int \frac{\text{d}x}{(ax+b)^m(px+q)^n}\,\!

||

I_{m,n} =\begin{cases}

\frac{1}{(n-1)(bp-aq)} \left [ \frac{1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}+a(m+n-2)I_{m,n-1} \right ] \\

\frac{1}{(m-1)(bp-aq)} \left [ \frac{1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}+p(m+n-2)I_{m-1,n} \right ]\end{cases}\,\!

|-

|

I_{m,n} = \int  \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^n} \,\text{d}x\,\!

||

I_{m,n} =\begin{cases}

\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}\left [ \frac{(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}+a(n-m-2)I_{m,n-1} \right ] \\
\frac{1}{(n-m-1)p}\left [ \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}+m(bp-aq)I_{m-1,n} \right ] \\
\frac{1}{(n-1)p}\left [ \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}-amI_{m-1,n-1} \right ]

\end{cases}\,\!

|-

|

I_n=\int \frac{(px+q)^n}{\sqrt{ax+b}} \,\text{d}x\,\!

||

\int (px+q)^n\sqrt{ax+b} \,\text{d}x  = \frac{2(px+q)^{n+1}\sqrt{ax+b}}{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}I_n\,\!

I_n=\frac{2(px+q)^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}I_{n-1}\,\!

|-

| $I_n=\int \frac{\text{d}x}{(px+q)^n\sqrt{ax+b}}\,\!$ ||

\int \frac{\sqrt{ax+b}}{(px+q)^n}\,\text{d}x = -\frac{\sqrt{ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}+\frac{a}{2p(n-1)}I_{n}\,\!

I_n= -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}}+\frac{a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}I_{n-1}\,\!

|}

4. 1. 2. 이차 인수를 포함하는 경우

다음은 이차 인수를 포함하는 함수의 적분에 대한 점화식이다.^[3]

적분	점화식
$I_n= \int \frac{\text{d}x}{(x^2+a^2)^n}\,\!$	$I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2+a^2)^n}\,\!$	$a^2I_{n,m}= I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2+a^2)^n} \,\text{d}x\,\!$	$I_{n,m}= I_{m-2,n-1}-a^2I_{m-2,n}\,\!$

적분	점화식
$I_n= \int \frac{\text{d}x}{(x^2-a^2)^n}\,\!$	$I_n= -\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2-a^2)^{n-1}}-\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2-a^2)^n}\,\!$	${a^2}I_{n,m}= I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2-a^2)^n} \,\text{d}x\,\!$	$I_{n,m}= I_{m-2,n-1}+a^2I_{m-2,n}\,\!$

적분	점화식
$I_n= \int \frac{\text{d}x}{(a^2-x^2)^n}\,\!$	$I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(a^2-x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(a^2-x^2)^n}\,\!$	${a^2}I_{n,m}= I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(a^2-x^2)^n} \,\text{d}x\,\!$	$I_{n,m}= a^2I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!$

적분	점화식
$I_{m,n}=\int \frac{x^m \,\text{d}x}{(ax^2+bx+c)^n}\,\!$	$I_{m,n}= -\frac{x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^2+bx+c)^{n-1}} - \frac{b(n-m)}{a(2n-m-1)}I_{m-1,n} + \frac{c(m-1)}{a(2n-m-1)}I_{m-2,n}\,\!$
$I_{m,n}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(ax^2+bx+c)^n}\,\!$	$-c(m-1)I_{m,n}= \frac{1}{x^{m-1}(ax^2+bx+c)^{n-1}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!$

적분	점화식
$I_n = \int (ax^2+bx+c)^n\,\text{d}x\,\!$	$8a(n+1)I_{n+\frac{1}{2}} = 2(2ax+b)(ax^2+bx+c)^{n+\frac{1}{2}} + (2n+1)(4ac-b^2)I_{n-\frac{1}{2}}\,\!$
$I_n = \int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,\text{d}x\,\!$	$(2n-1)(4ac-b^2)I_{n+\frac{1}{2}} = \frac{2(2ax+b)}{(ax^2+bx+c)^{n-\frac{1}{2}}}+{8a(n-1)}I_{n-\frac{1}{2}}\,\!$

4. 2. 초월 함수

초월함수는 삼각 함수, 지수 함수, 로그 함수 등을 포함하며, 이들의 곱이나 몫으로 이루어진 함수의 적분에 대한 점화식이 존재한다.^[11] 이러한 함수들은 사인, 코사인, 이들의 곱 및 몫, ''x''의 거듭제곱과 지수함수의 곱, 사인/코사인과 지수함수의 곱을 포함한다.^[4]

4. 2. 1. 삼각 함수를 포함하는 경우

사인, 코사인 함수의 거듭제곱, 서로 곱한 형태, 분수 형태 등 다양한 삼각함수 형태에 대한 적분 점화식은 다음과 같다.^[4]

적분	점화식
$I_n=\int x^n \sin{ax} \,\text{d}x\,\!$	$a^2I_n=-ax^n \cos{ax} + nx^{n-1} \sin{ax} - n(n-1) I_{n-2} \,\!$
$J_n=\int x^n \cos{ax} \,\text{d}x \,\!$	$a^2J_n=ax^n \sin{ax} + nx^{n-1} \cos{ax} - n(n-1) J_{n-2} \,\!$
$I_n = \int \frac{\sin{ax}}{x^n} \,\text{d}x\,\!$	$I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}J_{n-1}\,\!$
colspan="2"\|
$I_n = \int \sin^n{ax} \,\text{d}x\,\!$	$anI_n = -\sin^{n-1}{ax}\cos{ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!$
$J_n = \int \cos^n{ax} \,\text{d}x\,\!$	$anJ_n = \sin{ax}\cos^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I_n = \int \frac{\text{d}x}{\sin^n{ax}}\,\!$	$(n-1)I_n = - \frac{\cos{ax}}{a\sin^{n-1}{ax}}+ (n-2)I_{n-2}\,\!$
$J_n = \int \frac{\text{d}x}{\cos^n{ax}}\,\!$	$(n-1)J_n = \frac{\sin{ax}}{a\cos^{n-1}{ax}}+ (n-2)J_{n-2}\,\!$

적분	점화식
$I_{m,n} = \int \sin^m{ax}\cos^n{ax}\,\text{d}x\,\!$	$I_{m,n} = \begin{cases}$
$I_{m,n} = \int \frac{\text{d}x}{\sin^m{ax}\cos^n{ax}}\,\!$	$I_{m,n} = \begin{cases}$
$I_{m,n} = \int \frac{\sin^m{ax}}{\cos^n{ax}}\,\text{d}x\,\!$	$I_{m,n} = \begin{cases}$
$I_{m,n} = \int \frac{\cos^m{ax}}{\sin^n{ax}}\,\text{d}x\,\!$	$I_{m,n} = \begin{cases}$

4. 2. 2. 지수 함수를 포함하는 경우

exponential function|지수 함수^영어와 다항 함수의 곱, 지수 함수와 삼각 함수의 곱 형태에 대한 적분 점화식은 다음과 같다.^[4]

적분	점화식
$I_{n} = \int x^n e^{ax}\,\text{d}x\,\!$ ( $n > 0\,\!$ )	$I_{n} = \frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}I_{n-1} \,\!$
$I_{n} = \int x^{-n} e^{ax} \,\text{d}x\,\!$ ( $n > 0\,\!$ , $n \neq 1\,\!$ )	$I_{n} = \frac{- e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}I_{n-1} \,\!$
$I_{n} = \int e^{ax} \sin^n{bx} \,\text{d}x\,\!$	$I_{n} = \frac{e^{ax} \sin^{n-1}{bx}}{a^2+(bn)^2}\left ( a\sin bx - bn\cos bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\!$
$I_{n} = \int e^{ax} \cos^n{bx} \,\text{d}x\,\!$	$I_{n} = \frac{e^{ax} \cos^{n-1}{bx}}{a^2+(bn)^2}\left ( a\cos bx + bn\sin bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\!$

참조

_[1] 서적 Mathematical methods for physics and engineering Cambridge University Press 2010
_[2] 서적 Further Elementary Analysis G. Bell & Sons Ltd 1978
_[3] 웹사이트 Indefinite integrals list http://www.sosmath.c[...]
_[4] 웹사이트 Indefinite integrals list http://www.sosmath.c[...]
_[5] 서적 Further Elementary Analysis G. Bell & Sons Ltd 1978
_[6] 웹사이트 Indefinite integrals list http://www.sosmath.c[...]
_[7] 웹사이트 Indefinite integrals list http://www.sosmath.c[...]
_[8] 서적 Mathematical methods for physics and engineering Cambridge University Press 2010
_[9] 서적 Further Elementary Analysis G. Bell & Sons Ltd 1978
_[10] 웹사이트 Indefinite integrals list http://www.sosmath.c[...]
_[11] 웹사이트 Indefinite integrals list http://www.sosmath.c[...]

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