유한체적법

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1. 개요
2. 상세
3. 예제
- 3.1. 1차원 이류 문제
4. 일반적인 보존 법칙
- 4.1. 보존 방정식
- 4.2. 유한 체적 이산화
참조

1. 개요

유한 체적법은 유한 요소법과 유사하게 해석 영역을 셀로 분할하고 가중 잔차법을 적용하는 수치 해석 기법이다. 보존 방정식을 컨트롤 볼륨으로 적분하여 물리량의 보존 법칙을 만족시키고, 비구조 격자를 포함한 다양한 계산 격자에 적용 가능하다는 장점이 있다. 하지만 고차 정밀도 구현이 어렵다는 단점이 있다. 유한 체적법은 1차원 이류 문제, 일반적인 보존 법칙 문제 등 다양한 문제에 적용될 수 있으며, 셀 평균의 보간 또는 외삽을 통해 가장자리 플럭스를 재구성하는 방식으로 이산화된다.

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유한체적법
개요
분야	수치해석
적용 분야	전산 유체 역학 열전달 질량 전달 반응 흐름 플라즈마 물리학 고체 역학
방법 유형	이산화 방법
관련된 항목	유한 요소법 유한 차분법 스펙트럴 요소법
상세 내용
설명	유한 체적법(FVM)은 미분 방정식을 풀기 위한 수치적 방법으로, 특히 편미분 방정식을 해결하는 데 사용된다.
특징	공간을 이산적인 체적으로 나누어 각 체적에서의 보존 법칙을 적용한다. 각 체적의 경계면에서 물리량의 흐름을 계산하여 체적 내부의 변화를 예측한다.
장점	보존성이 뛰어나 물리적 현상을 정확하게 모사할 수 있다. 다양한 형상에 적용하기 용이하다.
단점	계산 비용이 많이 들 수 있다. 경계 조건 처리가 복잡할 수 있다.

2. 상세

유한 체적법은 유한 요소법과 유사하게, 해석 영역을 셀(cell)이라고 불리는 소영역으로 분할하고, 각 셀의 격자점을 중심으로 하는 컨트롤 볼륨(검사 영역) ''D_e''를 정의한다.^[8]^[9] 가중 잔차법^[10]을 적용하지만, 유한 체적법에서는 컨트롤 볼륨 ''D_e''마다 가중 함수를 1로 하여 가중 잔차식을 이산화한다.

: $\int_{D_{e}} u^{*} f(u)d\Omega =\int_{D_{e}} f(u)d\Omega = 0$

유한 체적 방식은 셀 평균이 가장자리 플럭스를 통해 변경되므로 보존적이다. 즉, ''한 셀의 손실은 항상 다른 셀의 이득''이라는 특징을 갖는다.

이 방법은 2D 상황에도 적용될 수 있는데, 노드를 둘러싼 동서 면과 함께 북남 면을 고려하면 된다. MUSCL 재구성은 해에 충격파 또는 불연속성이 존재하는 고해상도 방식에서 자주 사용된다.

2. 1. 기본 원리

유한 체적법(Finite Volume Method, FVM)은 보존 법칙을 기반으로 방정식을 구성하는 방법이다. 해석 대상을 유한한 체적(셀)으로 나누고, 각 체적에 대해 질량, 운동량, 에너지 등의 물리량이 보존된다고 가정한다.

간단한 1차원 이류 문제를 예로 들어 설명하면 다음과 같다.

:

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}=0,\quad t\ge0.

여기서

\rho=\rho \left( x,t \right)

는 상태 변수,

f=f \left( \rho \left( x,t \right) \right)

는

\rho

의 플럭스를 나타낸다. 공간 영역

x

를 셀 중심이

i

로 인덱싱된 유한 체적(셀)로 나눈다. 각 셀

i

에 대해 시간

{t=t_1}

에서

{\rho }_i \left( t \right) = \rho \left( x, t \right)

의 체적 평균 값은 다음과 같이 정의된다.

:

\bar{\rho}_i \left( t_1 \right) = \frac{1}{ x_{i+1/2} - x_{i-1/2}} \int_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}} \rho \left(x,t_1 \right)\, dx ,

시간

t = t_2

에서는,

:

\bar{\rho}_i \left( t_2 \right) = \frac{1}{x_{i+1/2} - x_{i-1/2}} \int_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}} \rho \left(x,t_2 \right)\, dx ,

여기서

x_{i-1/2}

와

x_{i+1/2}

는 각각

i^\text{th}

셀의 경계면 위치를 나타낸다.

시간에 대해 방정식을 적분하고, 발산 정리를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\bar{\rho}_i \left( t_2 \right) = \bar{\rho}_i \left( t_1 \right) - \frac{1}{\Delta x_{i}} \left( \int_{t_1}^{t_2} f_{i + 1/2} dt - \int_{t_1}^{t_2} f_{i - 1/2} dt \right) .

여기서

f_{i \pm 1/2} =f \left( x_{i \pm 1/2}, t \right)

는 각 셀 경계면에서의 플럭스이다.

이를 통해 다음과 같은 반 이산 수치 기법을 도출할 수 있다.

:

\frac{d \bar{\rho}_i}{d t} + \frac{1}{\Delta x_i} \left[ f_{i + 1/2} - f_{i - 1/2}  \right] =0 ,

이 방정식은 체적 평균에 대해 정확하며, 근사 과정이 포함되지 않았다. 각 셀의 경계면을 통해 들어오고 나가는 물리량(플럭스)을 계산하여 셀 내부의 물리량 변화를 추적한다.

일반적인 보존 법칙 문제는 다음과 같은 PDE로 나타낼 수 있다.

:

\frac{\partial \mathbf u}{\partial t} + \nabla  \cdot {\mathbf f}\left( {\mathbf u } \right) = {\mathbf 0} .

여기서

\mathbf u

는 상태 벡터,

\mathbf f

는 해당 플럭스 텐서이다. 공간 영역을 유한 체적으로 나누고, 각 셀에 대해 부피 적분을 수행하면 다음과 같다.

:

\int _{v_{i}}  \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}\, dv + \int _{v_{i}}  \nabla  \cdot {\mathbf f}\left( {\mathbf u } \right)\, dv = {\mathbf 0} .

첫 번째 항을 적분하여 체적 평균을 구하고, 두 번째 항에 발산 정리를 적용하면 다음과 같은 식을 얻는다.

:

v_{i} {{d {\mathbf {\bar u} }_{i} } \over dt} + \oint _{S_{i} } {\mathbf f} \left( {\mathbf u } \right) \cdot {\mathbf n }\  dS  = {\mathbf 0}

장점

보존 방정식을 컨트롤 볼륨으로 적분하므로, 이 적분 영역 내의 물리량 보존이 만족된다.
비구조 격자 등, 어떠한 타입의 계산 격자에도 적용할 수 있어, 임의 형상에 대한 적합성이 좋다.^[5]
이산화가 간편하고 유한 요소법에 비해 계산 시간 면에서 유리하다.^[11]

단점

고차 정밀도화가 어렵다.^[5]^[6]^[7] 3차원에서 2차 정밀도보다 높은 정밀도의 방법을 실현하기 어렵다.^[5]^[6]^[7]

2. 2. 이산화

연속적인 물리 방정식을 유한 개의 셀에 대한 대수 방정식으로 변환하는 과정을 이산화라고 한다. 유한체적법에서는 가중 잔차법^[10]을 사용하여 이산화를 수행한다. 이 방법은 각 셀(

D_e

)에 대해 가중 함수를 1로 설정한다.

:

\int_{D_{e}} u^{*} f(u)d\Omega =\int_{D_{e}} f(u)d\Omega = 0

여기서

D_e

는 검사 영역 또는 컨트롤 볼륨을 나타낸다.

미분 근사에는 일반적으로 중점 공식(또는 중점 차분 근사^[11])이 사용된다.

:

\frac{df}{dx}\simeq\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\quad (h<<1)

이러한 접근 방식은 이산화를 간편하게 하고, 유한 요소법에 비해 계산 시간 면에서 유리하다.^[11] 구조 격자를 사용하는 경우, 이산화된 대수 방정식은 유한 차분법을 적용하여 유도된 방정식과 일치하는 경우가 있다.^[8]

2. 3. 장점

컨트롤 볼륨으로 보존 방정식을 적분하기 때문에, 이 적분 영역 내에서 물리량의 보존이 만족된다. 컨트롤 볼륨이 겹치지 않는 한, 전체 영역에서도 보존성이 만족된다.
비구조 격자 등, 어떤 타입의 계산 격자에도 적용할 수 있어, 임의 형상에 대한 적합성이 좋다.^[5]
미분 근사에는 중점 공식(또는 중점 차분 근사^[11])

:

\frac{df}{dx}\simeq\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\quad (h<<1)

:가 일반적으로 사용되므로, 이산화가 간편하고 유한 요소법에 비해 계산 시간이 적게 드는 경향이 있다.^[11] 또한, 미분 근사 표현에 중점 공식 등을 사용하기 때문에, 구조 격자를 사용했을 때 이산화된 대수 방정식은 유한 차분법을 적용하여 유도된 것과 일치하는 경우가 있다.^[8]

2. 4. 단점

고차 정밀도화가 번거롭거나 곤란하다.^[5]^[6]^[7] 유한 체적법은 보간, 미분, 적분 3단계의 근사를 필요로 하기 때문에, 3차원에서 2차 정밀도보다 높은 정밀도의 방법을 실현하는 것이 어렵다.^[5]^[6]^[7]

3. 예제

유한체적법(Finite Volume Method, FVM)의 적용 과정을 이해하기 위해 간단한 1차원 이류(Advection) 문제를 예로 들어 설명한다. 유한체적법의 기본 개념과 수치적 접근 방식을 단계별로 살펴본다. 유도 과정은 하위 섹션에서 이미 상세하게 다루고 있으므로, 여기서는 그 과정을 간략하게 요약하고, 최종적으로 도출되는 수치 기법과 그 정확성에 대해 언급한다.

1차원 이류 문제에 대한 수치해석 방법을 제시하고, 이를 통해 유한체적법의 기본 원리를 설명한다. 이 방법은 2차원 문제에도 적용 가능하다.

3. 1. 1차원 이류 문제

간단한 1차원 이류 문제를 생각해 보자.

:

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}=0,\quad t\ge0.

^[1]

여기서

\rho=\rho \left( x,t \right)

는 상태 변수이고,

f=f \left( \rho \left( x,t \right) \right)

는

\rho

의 플럭스이다. 양의

f

는 오른쪽으로, 음의

f

는 왼쪽으로의 흐름을 나타낸다. 방정식 (^[1])이 일정한 면적의 흐르는 매체를 나타낸다고 가정하고, 공간 영역

x

를 셀 중심이

i

로 인덱싱된 ''유한 체적'' 또는 ''셀''로 나눌 수 있다. 특정 셀

i

에 대해 시간

{t=t_1}

및

{ x \in \left[ x_{i-1/2} , x_{i+1/2} \right] }

에서

{\rho }_i \left( t \right) = \rho \left( x, t \right)

의 ''체적 평균'' 값은 다음과 같이 정의된다.

:

\bar{\rho}_i \left( t_1 \right) = \frac{1}{ x_{i+1/2} - x_{i-1/2}} \int_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}} \rho \left(x,t_1 \right)\, dx ,

^[2]

시간

t = t_2

에서는,

:

\bar{\rho}_i \left( t_2 \right) = \frac{1}{x_{i+1/2} - x_{i-1/2}} \int_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}} \rho \left(x,t_2 \right)\, dx ,

^[3]

여기서

x_{i-1/2}

와

x_{i+1/2}

는 각각

i

번째 셀의 상류 및 하류 면 또는 가장자리의 위치를 나타낸다.

시간에 대해 방정식 (^[1])을 적분하면 다음과 같다.

:

\rho \left( x, t_2 \right) = \rho \left( x, t_1 \right) - \int_{t_1}^{t_2} f_x \left( x,t \right)\, dt,

^[4]

여기서

f_x=\frac{\partial f}{\partial x}

이다.

시간

t=t_{2}

에서

\rho\left(x,t\right)

의 체적 평균을 구하기 위해,

\rho\left(x,t_2 \right)

를 셀 체적

\left[ x_{i-1/2} , x_{i+1/2} \right]

에 대해 적분하고 결과를

\Delta x_i = x_{i+1/2}-x_{i-1/2}

로 나누면 다음과 같다.

:

\bar{\rho}_{i}\left( t_{2}\right) =\frac{1}{\Delta x_i}\int_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\left\{ \rho\left( x,t_{1}\right) - \int_{t_{1}}^{t_2} f_x \left( x,t \right) dt \right\} dx.

^[5]

f \

가 잘 동작하고 적분 순서를 바꿀 수 있다고 가정한다. 흐름이 셀의 단위 면적에 수직임을 고려하고, 1차원에서

f_x \triangleq \nabla \cdot f

이므로 발산 정리를 적용할 수 있다. 즉,

\oint_{v}\nabla\cdot fdv=\oint_{S}f\, dS

이고, 발산의 체적 적분을 유한 체적의 셀 표면(가장자리

x_{i-1/2}

및

x_{i+1/2}

)에서 평가된

f(x)

의 값으로 대체하면 다음과 같다.

:

\bar{\rho}_i \left( t_2 \right) = \bar{\rho}_i \left( t_1 \right) - \frac{1}{\Delta x_{i}} \left( \int_{t_1}^{t_2} f_{i + 1/2} dt - \int_{t_1}^{t_2} f_{i - 1/2} dt \right) .

^[6]

여기서

f_{i \pm 1/2} =f \left( x_{i \pm 1/2}, t \right)

이다.

위 문제에 대해 셀 중심이

i

로 인덱싱되고 셀 가장자리 플럭스가

i\pm1/2

로 인덱싱된 ''반 이산'' 수치 기법을 도출할 수 있다. 시간

t

에 대해 (^[6])을 미분하면 다음과 같다.

:

\frac{d \bar{\rho}_i}{d t} + \frac{1}{\Delta x_i} \left[ f_{i + 1/2} - f_{i - 1/2}  \right] =0 ,

^[7]

여기서 가장자리 플럭스

f_{i \pm 1/2}

의 값은 셀 평균의 보간법 또는 외삽법으로 재구성할 수 있다. 방정식 (^[7])은 체적 평균에 대해 ''정확''하다. 즉, 도출 과정에서 근사가 이루어지지 않았다.

이 방법은 노드를 둘러싼 동서 면과 함께 북남 면을 고려하여 2D 상황에도 적용할 수 있다.

4. 일반적인 보존 법칙

일반적인 보존 법칙 형태의 편미분 방정식을 유한체적법으로 해석하는 방법을 설명한다. 유한 체적 방식은 셀 평균이 가장자리 플럭스를 통해 변경되므로 보존적이다. 즉, 한 셀의 손실은 항상 다른 셀의 이득이다.^[11]

4. 1. 보존 방정식

일반적인 보존 법칙 문제는 다음과 같은 PDE로 나타낼 수 있다.

:

\frac{\partial \mathbf u}{\partial t} + \nabla  \cdot {\mathbf f}\left( {\mathbf u } \right) = {\mathbf 0} .

^[8]

여기서

\mathbf u

는 상태 벡터를 나타내고,

\mathbf f

는 해당 플럭스 텐서를 나타낸다. 공간 영역을 유한 체적 또는 셀로 세분화할 수 있다. 특정 셀

i

에 대해 셀의 총 부피

v _{i}

에 대한 부피 적분을 수행하면 다음과 같다.

:

\int _{v_{i}}  \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}\, dv+ \int _{v_{i}}  \nabla  \cdot {\mathbf f}\left( {\mathbf u } \right)\, dv = {\mathbf 0} .

^[9]

첫 번째 항을 적분하여 ''체적 평균''을 구하고 두 번째 항에 ''발산 정리''를 적용하면 다음과 같다.

:

v_{i} {{d {\mathbf {\bar u} }_{i} } \over dt} + \oint _{S_{i} }{\mathbf f} \left( {\mathbf u } \right) \cdot {\mathbf n }\  dS  = {\mathbf 0},

^[10]

여기서

S_{i}

는 셀의 총 표면적을 나타내고

{\mathbf n}

은 표면에 수직이며 바깥쪽을 향하는 단위 벡터이다. 따라서 다음과 같은 일반적인 결과를 제시할 수 있다.

:

+  } \oint _{S_{i} }{\mathbf f} \left( {\mathbf u } \right)\cdot {\mathbf n }\ dS  = {\mathbf 0} .

^[11]

가장자리 플럭스에 대한 값은 셀 평균의 보간 또는 외삽을 통해 재구성할 수 있다. 실제 수치적 방식은 문제의 기하학적 구조와 메시 구성에 따라 달라진다. MUSCL 재구성은 해에 충격파 또는 불연속성이 존재하는 고해상도 방식에서 자주 사용된다.

유한 체적 방식은 셀 평균이 가장자리 플럭스를 통해 변경되므로 보존적이다. 즉, ''한 셀의 손실은 항상 다른 셀의 이득''이다.

4. 2. 유한 체적 이산화

일반적인 보존 법칙을 따르는 문제는 다음과 같은 PDE로 나타낼 수 있다.^[1]

:

\frac{\partial \mathbf u}{\partial t} + \nabla  \cdot {\mathbf f}\left( {\mathbf u } \right) = {\mathbf 0} .

여기서

\mathbf u

는 상태 벡터를,

\mathbf f

는 해당 플럭스 텐서를 나타낸다. 공간 영역을 유한 체적(셀)으로 나누고, 특정 셀

i

의 총 부피

v _{i}

에 대해 부피 적분을 수행하면 다음과 같다.^[1]

:

\int _{v_{i}}  \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}\, dv+ \int _{v_{i}}  \nabla  \cdot {\mathbf f}\left( {\mathbf u } \right)\, dv = {\mathbf 0} .

첫 번째 항을 적분하여 ''체적 평균''을 구하고, 두 번째 항에 ''발산 정리''를 적용하면 다음과 같다.^[1]

:

v_{i} {{d {\mathbf {\bar u} }_{i} } \over dt} + \oint _{S_{i} }{\mathbf f} \left( {\mathbf u } \right) \cdot {\mathbf n }\  dS  = {\mathbf 0},

여기서

S_{i}

는 셀의 총 표면적,

{\mathbf n}

은 표면에 수직이며 바깥쪽을 향하는 단위 벡터이다. 이를 통해 다음과 같은 일반적인 결과를 얻을 수 있다.^[1]

:

+  } \oint _{S_{i} }{\mathbf f} \left( {\mathbf u } \right)\cdot {\mathbf n }\ dS  = {\mathbf 0} .

가장자리 플럭스 값은 셀 평균의 보간 또는 외삽을 통해 재구성할 수 있다. 실제 수치적 방식은 문제의 기하학적 구조와 메시 구성에 따라 달라진다. 해에 충격파 또는 불연속성이 존재하는 경우, 고해상도 방식에서 MUSCL 재구성이 자주 사용된다.^[1]

유한 체적 방식은 셀 평균이 가장자리 플럭스를 통해 변경되므로 보존적이다. 즉, 한 셀의 손실은 항상 다른 셀의 이득이다.^[1]

참조

_[1] 서적 Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems https://www.cambridg[...] 2002
_[2] 간행물 A Finite Volume Method using a Quadtree Non-Uniform Structured Mesh for Modeling in Electrical Capacitance Tomography 2021-10
_[3] 간행물 Comparison of finite element and finite volume methods application in geometrically nonlinear stress analysis 2000-06-01
_[4] 서적 Compact heat exchangers : analysis, design and optimization using FEM and CFD approach 2018-02-02
_[5] 서적 コンピュータによる流体力学シュプリンガー・フェアラーク東京
_[6] 문서 An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method Pearson education 2007
_[7] 문서 The finite volume method in computational fluid dynamics Springer 2016
_[8] 서적 いまさら聞けない計算力学の常識丸善
_[9] 문서 Finite volumes and finite elements: two ‘good friends’ 1994
_[10] 문서 The method of weighted residuals—a review 1966
_[11] 문서 数値解析入門サイエンス社 2003-06

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