보존 법칙

3. 정확한 법칙

'''정확한 법칙''' 또는 더 정확하게는, ''위반된 것으로 입증된 적이 없는'' 물리적 보존 법칙은 다음과 같다.

각 보존 법칙은 뇌터 정리에 따라 물리계의 미분 가능한 대칭과 관련이 있다. 예를 들어, 에너지 보존은 시간 변환 불변성, 각운동량 보존은 회전 불변성과 관련된다.^[4][5][6]

4. 근사적 법칙

근사적 보존 법칙은 특정 조건(느린 속도, 짧은 시간 척도, 특정 상호 작용 등)에서만 성립한다. 이러한 법칙에는 다음이 포함된다.

• 역학적 에너지 보존
• 질량 보존 (비상대론적 속도에서 거의 참)
• 중입자수 보존 (키랄 이상 및 스팔레론 참조)
• 렙톤 수 보존 (표준모형)
• 맛깔 보존 (약한 상호작용에 의해 위반됨)
• 기묘도 보존 (약한 상호작용에 의해 위반됨)
• 공간 패리티 보존 (약한 상호작용에 의해 위반됨)
• 전하 패리티 보존 (약한 상호작용에 의해 위반됨)
• 시간 패리티 보존 (약한 상호작용에 의해 위반됨)
• CP 패리티 보존 (약한 상호작용에 의해 위반됨); 표준 모델에서 이는 시간 패리티 보존과 동일하다.

5. 전역 및 국소적 보존 법칙

전역적 보존 법칙은 우주 전체에서 어떤 물리량의 총량이 변하지 않는다는 것을 의미하지만, 로런츠 불변성을 따르지 않기 때문에 실제 보존 법칙은 아니다.^[13][14] 예를 들어, 우주의 한 지점 ''A''에서 에너지가 나타나고 다른 지점 ''B''에서 동시에 같은 양의 에너지가 사라지는 경우, 우주 전체의 에너지 총량은 변하지 않지만, 이는 특수 상대성 이론에 의해 허용되지 않는다. 하나의 관성 기준틀에서 ''A''와 ''B''에서의 사건이 동시에 발생하더라도, 다른 관성 기준틀에서는 동시에 발생하지 않기 때문이다. 움직이는 기준틀에서는 ''A''에서의 에너지 출현이 ''B''에서의 에너지 소멸보다 먼저 또는 나중에 발생할 수 있으며, 이 간격 동안 에너지는 보존되지 않는다.

더 강력한 형태의 보존 법칙인 국소적 보존 법칙은 한 지점에서 보존된 양의 변화가 그 지점으로 들어오거나 나가는 양의 흐름(플럭스)에 의해서만 발생한다는 것을 요구한다.^[15][16] 예를 들어, 한 지점의 전하는 전류가 흐르지 않고는 변하지 않는다. 국소적 보존 법칙은 국소적 변화만을 포함하므로 로런츠 불변성을 가지며, 한 기준틀에서 보존되는 양은 모든 움직이는 기준틀에서 보존된다.^[13][14] 국소적 보존 법칙은 우주 전체에서 물리량의 총량이 일정하게 유지된다는 전역적 보존을 함축한다.

국소적 보존 법칙은 연속 방정식으로 수학적으로 표현된다. 연속 방정식은 어떤 양의 밀도 변화율이 그 양의 플럭스의 발산과 같다는 것을 나타낸다.

6. 미분 형식

연속체 역학에서 보존 법칙은 연속 방정식을 사용하여 표현된다.

1차원 공간에서는 다음과 같은 준선형 쌍곡선 방정식으로 나타낼 수 있다.^[17]

: $y\_t\; +\; A(y)\; y\_x\; =\; 0$

여기서 종속 변수 $y$는 보존량의 밀도이고, $A(y)$는 흐름 야코비안이다.

2 이상의 차원인 공간에서는 기울기 및 발산 연산자를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: $y\_t\; +\; \backslash mathbf\; a(y)\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; y\; =\; 0$

여기서 $y$는 보존량, $\backslash nabla$는 나블라 연산자, $a(y)$는 흐름 계수의 벡터이다.

오일러 방정식(유체 역학)은 보존 법칙의 한 예시이다.

7. 적분 형태 및 약한 형태

보존 방정식은 일반적으로 적분 형태로도 표현할 수 있다. 적분 형태의 장점은 해의 매끄러움이 덜 필요하다는 것이며, 이는 약한 형태로 이어져 허용 가능한 해의 범위를 불연속 해를 포함하도록 확장한다.^[9] 1차원 공간에서 전류 밀도 형태를 임의의 시공간 영역에서 적분하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$y\_t\; +\; j\_x\; (y)=\; 0$$

그리고 그린 정리를 사용하여 적분 형태는 다음과 같다.

:$$\backslash int\_\{-\; \backslash infty\}^\backslash infty\; y\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash int\_0^\backslash infty\; j\; (y)\; \backslash ,\; dt\; =\; 0$$

유사한 방식으로, 스칼라 다차원 공간의 경우, 적분 형태는 다음과 같다.

:$$\backslash oint\; \backslash left[y\; \backslash ,\; d^N\; r\; +\; j\; (y)\; \backslash ,\; dt\backslash right]\; =\; 0$$

여기서 선 적분은 영역의 경계를 따라 반시계 방향으로 수행된다.^[9]

또한, 컴팩트 지지체를 갖는 시간과 공간에서 연속적으로 미분 가능한 테스트 함수 ''φ''('''r''',''t'')를 정의함으로써, 약한 형태는 초기 조건에 따라 얻을 수 있다. 1차원 공간에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash phi\_t\; y\; +\; \backslash phi\_x\; j(y)\; \backslash ,dx\; \backslash ,dt\; =\; -\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash phi(x,0)\; y(x,0)\; \backslash ,\; dx$$

약한 형식에서 밀도 및 전류 밀도의 모든 편미분은 테스트 함수로 이전되었으며, 전제 조건에 따라 테스트 함수는 이러한 미분을 허용할 만큼 충분히 매끄럽다.^[9]

8. 여러 가지 보존 법칙과 대칭성 (일본어 문서 기반)

뇌터 정리에 따르면, 각 보존 법칙과 물리계의 미분 가능한 대칭 사이에는 일대일 대응 관계가 있다.^[4][5][6] 예를 들어 에너지 보존 법칙은 시간의 평행 이동 대칭성, 운동량 보존 법칙은 공간의 평행 이동 대칭성, 각운동량 보존 법칙은 공간의 회전 대칭성, 전하 보존 법칙은 게이지 변환 대칭성과 관련이 있다. 특히, 시간 역전과 관련된 보존 법칙은 없지만, 시간 역전과 다른 대칭을 결합한 더 복잡한 보존 법칙은 알려져 있다.

참조

_[1] 서적 CRC HANDBOOK OF LIE GROUP ANALYSIS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS VOLUME 1 -SYMMETRIES EXACT SOLUTIONS AND CONSERVATION LAWS CRC Press 2023
_[2] 서적 The Philosophy and Physics of Noether’s Theorems: A Centenary Volume Cambridge University Press 2022
_[3] 논문 Noether Theorem and Nilpotency Property of the (Anti-)BRST Charges in the BRST Formalism: A Brief Review https://doi.org/10.3[...] 2022
_[4] 서적 CRC HANDBOOK OF LIE GROUP ANALYSIS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS VOLUME 1 -SYMMETRIES EXACT SOLUTIONS AND CONSERVATION LAWS CRC Press 2023
_[5] 서적 The Philosophy and Physics of Noether’s Theorems: A Centenary Volume Cambridge University Press 2022
_[6] 논문 Noether Theorem and Nilpotency Property of the (Anti-)BRST Charges in the BRST Formalism: A Brief Review https://doi.org/10.3[...] 2022
_[7] 서적 Gauge Theories in Particle Physics: A Practical Introduction: From Relativistic Quantum Mechanics to QED, Fourth Edition, Vol. 1 https://books.google[...] CRC Press 2012
_[8] 서적 Theory and Experiment in Gravitational Physics https://books.google[...] Cambridge Univ. Press 1993
_[9] 서적 Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics Springer-Verlag 1999
_[10] 문서 "Conserveation"과 "Preservation"의 의미 차이 설명
_[11] 간행물 保存則 ブリタニカ国際大百科事典
_[12] 웹사이트 Paul Dirac https://en.wikiquote[...]
_[13] 서적 Gauge Theories in Particle Physics: A Practical Introduction: From Relativistic Quantum Mechanics to QED, Fourth Edition, Vol. 1 https://books.google[...] CRC Press 2012
_[14] 서적 Theory and Experiment in Gravitational Physics https://books.google[...] Cambridge Univ. Press 1993
_[15] 서적 Gauge Theories in Particle Physics: A Practical Introduction: From Relativistic Quantum Mechanics to QED, Fourth Edition, Vol. 1 https://books.google[...] CRC Press 2012
_[16] 서적 Theory and Experiment in Gravitational Physics https://books.google[...] Cambridge Univ. Press 1993
_[17] 서적 Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics Springer-Verlag 1999
_[18] 서적 Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics Springer-Verlag 1999
_[19] 서적 Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics Springer-Verlag 1999
_[20] 서적 Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics Springer-Verlag 1999
_[21] 서적 Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics Springer-Verlag 1999
_[22] 서적 Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics Springer-Verlag 1999