육각진

1. 개요

육각진은 마법 육각형과 마법 T-육각형으로 분류되며, 숫자를 특정 규칙에 따라 배열하여 각 행의 합이 같도록 하는 수학적 구조이다. 일반 마법 육각형은 1차와 3차만 존재하며, 비정상적인 마법 육각형은 다양한 차수와 시작 숫자, 각 행의 합을 가질 수 있다. 마법 T-육각형은 정육각형을 정삼각형으로 분할하여 구성하며, 짝수 차수에서만 가능하고, 마방진과 유사한 속성을 갖는다.

2. 일반 마법 육각형의 증명

일반 마법 육각형은 1차와 3차를 제외하고는 존재하지 않는다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다.

2.1. 증명 과정

육각형의 숫자는 연속적이며, 1부터 $3n^2-3n+1$까지 이어진다. 따라서 그 합은 삼각수이며, 다음 식과 같다.
:$s=\{1\backslash over\{2\}\}(3n^2-3n+1)(3n^2-3n+2)=\{9n^4-18n^3+18n^2-9n+2\backslash over\{2\}\}$

어떤 방향(동-서, 북동-남서 또는 북서-남동)으로든 r = 2n − 1개의 행이 있다. 이 행들의 각 합은 동일한 숫자 M이 된다. 그러므로 다음이 성립한다.

:$M=\{s\backslash over\{r\}\}=\{9n^4-18n^3+18n^2-9n+2\backslash over\{2(2n-1)\}\}$

이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
:$M\; =\; \backslash left(\backslash frac\{9n^3\}\{4\}\; -\; \backslash frac\{27n^2\}\{8\}\; +\; \backslash frac\{45n\}\{16\}\; -\; \backslash frac\{27\}\{32\}\backslash right)\; +\; \backslash frac\{5\}\{32\backslash left(2n-1\backslash right)\}$

32를 곱하면
:$32M=72n^3-108n^2+90n-27+\{5\backslash over2n-1\}$이 되고, 이것은 $\backslash frac\{5\}\{2n-1\}$이 정수여야 함을 보여준다. 따라서 2n − 1은 5의 약수여야 하며, 즉 2n − 1 = ±1 또는 2n − 1 = ±5이다. 이 조건을 충족하는 $n\; \backslash ge\; 1$은 $n=1$과 $n=3$뿐이므로, 1차와 3차를 제외하고는 일반 마법 육각형이 존재하지 않음을 증명한다.

마육각진의 크기가 1과 3뿐이라는 증명은 다음과 같이 제시할 수도 있다.

먼저, 각 열의 합을 M으로 한다. 한 변이 n인 육각형에 들어가는 숫자는 1~3n(n-1)+1이므로, 들어가는 숫자의 합계 s는 다음과 같다.
:$s=\{1\backslash over\{2\}\}(9n^4-18n^3+18n^2-9n+2)$
열의 수는 2n-1이므로 M은 다음과 같다.
:$M=\{s\backslash over\{2n-1\}\}=\{9n^4-18n^3+18n^2-9n+2\backslash over\{2(2n-1)\}\}$
이 식을 변형하면
:$32M=72n^3-108n^2+90n-27+\{5\backslash over2n-1\}$
이 식의 양변은 정수이므로, 5/(2n-1)은 정수이어야 한다. 이것이 정수가 되는 것은 2n-1이 5의 약수일 때이다. 따라서 n=1, 3이다.

3. 비정상 마법 육각형

3보다 큰 차수의 정규 마법 육각형은 없지만, 1이 아닌 다른 숫자로 시작하는 비정상적인 마법 육각형은 존재한다.

"X"는 차수 3 육각형의 자리 표시자이고, 숫자 시퀀스를 완성하는 차수 5 육각형이 존재한다. 왼쪽은 합이 38인 육각형(1에서 19까지의 숫자)을 포함하고, 오른쪽은 26개의

중 하나(숫자 −9에서 9까지)를 포함한다. 더 자세한 정보는 독일어 위키백과 기사를 참조할 수 있다.

마법 육각진은 크기 1과 3인 것만 만들 수 있지만, 넣는 숫자의 조건을 완화하여 반드시 1부터 시작하지 않는 연속된 정수를 적용하면 더 큰 것도 만들 수 있다.

3.1. 비정상 마법 육각형의 예시

3보다 큰 차수의 정규 마법 육각형은 없지만, 1이 아닌 다른 숫자로 시퀀스를 시작하는 비정상적인 마법 육각형은 존재한다.

아르센 자레이(Arsen Zahray)는 차수 4와 5의 육각형을 발견했다.

차수 4 육각형은 3으로 시작하여 39로 끝나며, 각 행의 합은 111이다. 차수 5 육각형은 6으로 시작하여 66으로 끝나며 합은 244이다.

15로 시작하여 75로 끝나고 합이 305인 차수 5 육각형도 존재한다.

차수 5 육각형에서 305보다 높은 합은 불가능하다.

2004년 10월 11일 루이스 호엘블링(Louis Hoelbling)은 차수 6 육각형을 만들었다.

이것은 21로 시작하여 111로 끝나며, 합은 546이다.

2006년 3월 22일 아르센 자레이는 시뮬레이션 어닐링을 사용하여 차수 7 마법 육각형을 발견했다.

이것은 2로 시작하여 128로 끝나며 합은 635이다.

2006년 2월 5일 루이스 K. 호엘블링(Louis K. Hoelbling)은 차수 8 마법 육각형을 생성했다.

이것은 −84로 시작하여 84로 끝나며, 합은 0이다.

2024년 9월 10일 클라우스 메퍼트(Klaus Meffert)는 AI의 도움을 받아 차수 9 마법 육각형을 발견했다.

이것은 -108로 시작하여 108로 끝나며 합은 0이다. 이 솔루션은 파이썬 프로그램으로 발견되었으며, 코드의 중요한 부분에 AI를 활용했다.

자라에 아르센(Zahray Arsen)은 1부터 시작하지 않는 연속된 정수를 적용하여 크기 4 이상의 육각진을 만들었다.

크기 4인 것은 3부터 39까지의 수를 사용하여 합을 111로 한다. 크기 5인 것은 6부터 66까지의 수를 사용하여 합을 244로 한다.

2006년 3월에 아르센은 크기 7인 육각형을 발표했다. 이 그림은 2부터 128까지의 수를 사용하여 각 열의 합을 635로 한다.

4. Magic T-hexagon

마법 T-육각형(Magic T-hexagon)은 정육각형을 여러 개의 정삼각형으로 나누어, 각 행의 숫자의 합이 같도록 만든 것이다. T-육각형은 일반적인 육각형보다 훨씬 많은 속성을 가지고 있다.

4.1. Magic T-hexagon의 특징

정육각형을 제곱수의 6배의 정삼각형으로 분할한 뒤 세 방향으로 합이 같도록 한 것으로 짝수 차수일 때 가능하다. 육각형은 다음 다이어그램에서 볼 수 있듯이 삼각형으로도 구성할 수 있다.

이러한 유형의 구성은 T-육각형이라고 할 수 있으며, 육각형보다 훨씬 많은 속성을 가지고 있다.

위와 마찬가지로 삼각형의 행은 세 방향으로 이어지며, 2차 T-육각형에는 24개의 삼각형이 있다. 일반적으로 n차 T-육각형에는 6n²개의 삼각형이 있다. 이러한 모든 숫자의 합은 다음과 같다.

: S = 3n²(6n² + 1)

변 n의 마법 T-육각형을 구성하려는 경우, 짝수가 되도록 n을 선택해야 한다. 왜냐하면 r = 2n개의 행이 있어서 각 행의 합은 다음과 같아야 하기 때문이다.

: M = S/R = (3n²(6n²+1))/2n

이것이 정수가 되려면 n이 짝수여야 한다. 현재까지 2, 4, 6 및 8차 마법 T-육각형이 발견되었다. 처음 발견된 것은 2003년 9월 13일 존 베이커(John Baker)가 발견한 2차 마법 T-육각형이었다. 그 이후로 존은 2차의 59,674,527개의 합동이 아닌 마법 T-육각형이 있다는 것을 발견한 데이비드 킹(David King)과 협력해 왔다.

마법 T-육각형은 마방진과 공통적인 여러 속성을 가지고 있지만, 고유한 특징도 가지고 있다. 이 중 가장 놀라운 점은 위쪽을 가리키는 삼각형의 숫자 합이 아래쪽을 가리키는 삼각형의 숫자 합과 같다는 것이다 (T-육각형의 크기에 관계없이). 위의 예에서,

: 17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7 = 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18 = 150

4.2. Magic T-hexagon의 차수와 숫자 합

정육각형을 제곱수의 6배의 정삼각형으로 분할한 뒤 세 방향으로 합이 같도록 한 것으로, 짝수 차수일 때 가능하다. 육각형은 다음 다이어그램에서 볼 수 있듯이 삼각형으로도 구성할 수 있다.

이러한 유형의 구성은 T-육각형이라고 할 수 있으며, 육각형의 육각형보다 훨씬 많은 속성을 가지고 있다.

위와 마찬가지로 삼각형의 행은 세 방향으로 이어지며, 2차 T-육각형에는 24개의 삼각형이 있다. 일반적으로 n차 T-육각형에는 6n^2영어개의 삼각형이 있다. 이러한 모든 숫자의 합은 다음과 같다.

:S=3n²(6n² + 1)^영어

변 n의 마법 T-육각형을 구성하려는 경우, 짝수가 되도록 n을 선택해야 한다. 왜냐하면 1=r = 2n^영어개의 행이 있어서 각 행의 합은 다음과 같아야 하기 때문이다.

:M=3n²(6n²+1)/2n^영어

이것이 정수가 되려면 n이 짝수여야 한다. 현재까지 2, 4, 6 및 8차 마법 T-육각형이 발견되었다. 처음 발견된 것은 2003년 9월 13일 존 베이커(John Baker)가 발견한 2차 마법 T-육각형이었다. 그 이후로 존은 2차의 59,674,527개의 합동이 아닌 마법 T-육각형이 있다는 것을 발견한 데이비드 킹(David King)과 협력해 왔다.

마법 T-육각형은 마방진과 공통적인 여러 속성을 가지고 있지만, 고유한 특징도 가지고 있다. 이 중 가장 놀라운 점은 위쪽을 가리키는 삼각형의 숫자 합이 아래쪽을 가리키는 삼각형의 숫자 합과 같다는 것이다 (T-육각형의 크기에 관계없이).

4.3. 발견된 Magic T-hexagon

정육각형을 제곱수의 6배의 정삼각형으로 분할한 뒤 세 방향으로 합이 같도록 한 것으로, 짝수 차수일 때 가능하다. 육각형은 다음 다이어그램에서 볼 수 있듯이 삼각형으로도 구성할 수 있다.

이러한 유형의 구성을 T-육각형이라고 할 수 있으며, 육각형의 육각형보다 훨씬 많은 속성을 가지고 있다.

위와 마찬가지로 삼각형의 행은 세 방향으로 이어지며, 2차 T-육각형에는 24개의 삼각형이 있다. 일반적으로 n차 T-육각형에는 $6n^2$개의 삼각형이 있다. 이러한 모든 숫자의 합은 다음과 같다.

:$S=3n^2(6n^2\; +\; 1)$

변 n의 마법 T-육각형을 구성하려는 경우, 짝수가 되도록 n을 선택해야 한다. 왜냐하면 각 행의 합은 다음과 같아야 하기 때문이다.

:$M=\backslash frac\{S\}\{R\}=\backslash frac\{3n^2(6n^2+1)\}\{2n\}$

이것이 정수가 되려면 n이 짝수여야 한다. 현재까지 2, 4, 6 및 8차 마법 T-육각형이 발견되었다. 처음 발견된 것은 2003년 9월 13일 존 베이커(John Baker)가 발견한 2차 마법 T-육각형이었다. 그 이후로 존은 2차의 59,674,527개의 합동이 아닌 마법 T-육각형이 있다는 것을 발견한 데이비드 킹(David King)과 협력해 왔다.

마법 T-육각형은 마방진과 공통적인 여러 속성을 가지고 있지만, 고유한 특징도 가지고 있다. 이 중 가장 놀라운 점은 위쪽을 가리키는 삼각형의 숫자 합이 아래쪽을 가리키는 삼각형의 숫자 합과 같다는 것이다 (T-육각형의 크기에 관계없이).