마방진

3. 특성

3. 1. 마법 상수

• 예시: 7×7

• & - & - & 1 & - & - & - \\
• & - & - & - & - & - & - \\
• & - & - & - & - & - & - \\
• & - & - & - & - & - & - \\
• & - & - & - & - & - & - \\
• & - & - & - & - & - & - \\
• & - & - & - & - & - & - \\

• & - & - & 1 & - & - & - \\
• & - & 7 & - & - & - & - \\
• & 6 & - & - & - & - & - \\

• & - & - & - & - & - & 4 \\
• & - & - & - & - & 3 & - \\
• & - & - & - & 2 & - & - \\

• & - & - & 1 & - & - & - \\
• & - & 7 & - & - & - & - \\
• & 6 & 8 & - & - & - & - \\

• & - & - & - & - & - & 4 \\
• & - & - & - & - & 3 & - \\
• & - & - & - & 2 & - & - \\

• & - & - & 1 & 10 & - & - \\
• & - & 7 & 9 & - & - & - \\
• & 6 & 8 & - & - & - & - \\

• & - & - & - & - & 3 & 12 \\
• & - & - & - & 2 & 11 & - \\

3. 2. 자명한 1차 마방진

3. 3. 불가능한 2차 마방진

''a'' + ''b'' = ''a'' + ''c'' 이므로, ''b'' = ''c'' 가 되어 두 수가 같아야 한다.

$$

\begin{bmatrix}

a & d \\

b & c \\

\end{bmatrix}



위 식에서 ''a'' + ''b'' = ''a'' + ''c'' = ''a'' + ''d'' 이므로, ''b'' = ''c'' = ''d'' 가 된다. 즉, 모든 칸의 수가 같아야 하므로 2×2 마방진은 성립하지 않는다. 따라서 3×3 마방진이 가장 작은 마방진이다.

3. 4. 개수

2024년 12월에 7차, 8차 마방진의 개수가 시뮬레이션을 통해 산출되었다.^[128] 7차 마방진의 개수는 35,488,600,000,000,000,000,000,000,000,000,000개이고, 8차 마방진의 개수는 5,202,480,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000개이다.

4. 분류

• '''준마방진'''(semi-magic square)은 가로줄과 세로줄만의 합이 마법 상수로 같다.
• '''단순 마방진'''(simple magic square)은 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합이 마법 상수로 같다. '''일반적인 마방진'''(ordinary magic square) 또는 '''평범한 마방진'''(normal magic square)이라고도 불리고, 일반적으로 마방진은 단순 마방진을 말한다.
• '''범마방진'''(汎魔方陣, pandiagonal magic square) 또는 범대각선 마방진(汎對角線 魔方陣)은 범대각선(깨진 대각선)의 합도 마법 상수로 같은 마방진을 말한다.
• '''가장 완벽한 마방진'''(most-perfect magic square)은 두 조건을 만족하는 범마방진이다.

이러한 단순한 마방진은 일반적으로 수학적으로 흥미롭지 않으며 역사적 중요성만 지닌다. 리 샐로우즈는 수비라치스가 마방진 이론에 무지하여 불필요한 실수를 저질렀다고 지적하며, 원하는 마법 상수 33을 나타내는 몇 가지 비자명한 4×4 마방진의 예를 제시하여 이 주장을 뒷받침한다.^[53]

뒤러의 마방진과 마찬가지로 사그라다 파밀리아의 마방진도 마법 정육면체로 확장될 수 있다.^[54]

'''파커 스퀘어'''는 레크리에이션 수학자 맷 파커(Matt Parker)의 이름을 따서 명명되었으며,^[55] 오일러 이후 해결되지 않은 문제인 제곱 마방진 3×3을 만들려는 시도이다.^[56] 파커 스퀘어는 일부 숫자를 두 번 이상 사용하기 때문에 사소한 준마방진이며, 대각선 23² + 37² + 47²의 합은 4107이고, 다른 행과 열 및 다른 대각선은 3051이다. 파커 스퀘어는 수학 문화에서 인기를 얻었다. 파커 스퀘어는 "시도는 하지만 결국 실패하는 사람들의 마스코트"가 되었다.^[57]

'''가드너 사각형'''은 레크리에이션 수학자 마틴 가드너의 이름을 따서 명명되었으며, 파커 사각형과 유사하게 a, b, c, d를 결정하는 문제로 제시된다.

a = 74, b = 113, c = 94, d = 97에 대한 이 해는 준마방진을 제공한다. 대각선 127² + b² + d²의 합은 38307이고, 다른 행과 열 및 다른 대각선과 같이 21609가 아니다.^[58][59][60]

5. 마방진 만들기

인도 카주라호에 있는 카주라호 파르스바나트 사원 벽에는 12세기에 만들어진 4×4 정규 마방진이 새겨져 있다.^[18][16][49]

이 마방진은 마법의 합이 34이므로 ''차우티사 얀트라''(Yantra, 문자 그대로 "장치")로 알려져 있다. 이 마방진은 세 개의 4×4 판대각 마방진 중 하나이며, 최고 완전 마방진의 예이기도 하다.

수천 년 동안 마방진을 구성하는 많은 방법이 발견되었다. 이러한 방법은 일반적인 방법과 특수한 방법으로 분류할 수 있는데, 일반적인 방법은 주어진 차수의 여러 마방진을 구성할 수 있는 반면, 특수한 방법은 주어진 차수의 단일 마방진만 구성할 수 있다는 의미이다.

마방진은 2차를 제외한 모든 차수에 대해 존재한다고 여겨진다. 마방진은 차수에 따라 홀수, 이중 짝수 (''n''이 4로 나누어 떨어짐), 단일 짝수 (''n''이 짝수이지만 4로 나누어 떨어지지 않음)로 분류할 수 있다. 홀수와 이중 짝수 마방진은 생성하기 쉽고, 단일 짝수 마방진의 구성은 더 어렵지만, 존 호턴 콘웨이의 마방진을 위한 LUX 방법과 스트라치 마방진 방법을 포함한 여러 방법이 존재한다.

5. 1. 홀수 차수 마방진

맨 윗 줄에 가운데 칸이 아닌 칸에서 시작해도 가능하지만, 가로줄과 세로줄은 마법 상수로 나오고 대각선의 합은 다르다. 따라서 준마방진(semimagic square)이 만들어지고, 진짜 마방진은 나올 수 없다. 또 대각선 오른쪽 위 방향이 아닌 방향으로 자연수를 계속 써도 마방진이 나올 수 있다.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"

|+ 여러가지 홀수 마방진

|-

! 3차 !! 5차 !! 9차

|-

|

||

||

|}

5. 2. 4차 마방진

이렇게 만들어진 4차 마방진은 모든 행, 열, 대각선의 합이 34로 같다.

인도 카주라호에 있는 카주라호 파르스바나트 사원 벽에는 12세기에 만들어진 4×4 정규 마방진이 새겨져 있다.^[18][16][49]

이 마방진은 마법의 합이 34이므로 '차우티사 얀트라'(यन्त्र|얀트라^hi, 문자 그대로 "장치")로 알려져 있다. 이 마방진은 세 개의 4×4 판대각 마방진 중 하나이며, 최고 완전 마방진의 예이기도 하다.

알브레히트 뒤러가 1514년 판화 ''멜렌콜리아 I''에 불멸화한 4차 정규 마방진은 유럽 미술에서 처음으로 등장한 것으로 여겨진다.

이 마방진에서는 모든 행, 열, 대각선 뿐만 아니라 각 사분면, 중앙의 4개 사각형, 모서리 사각형의 합도 34가 된다. 아랫줄 중간의 두 숫자는 판화의 연도인 1514년을 나타낸다.

안토니 가우디가 구상하고 조각가 호세프 수비라치스가 디자인한 바르셀로나 사그라다 파밀리아 성당의 수난의 파사드에는 4차 마방진이 있다.

이 마방진의 마법 상수는 33으로, 이는 예수가 수난을 당했을 때의 나이이다.^[52] 구조적으로 이 마방진은 멜랑콜리아 마방진과 매우 유사하지만, 일부 셀의 숫자가 1씩 감소했다.

4x4 마방진은 다음과 같은 방법으로도 만들 수 있다.

1. 왼쪽 위에서 오른쪽으로, 1부터 차례로 숫자를 세어 올리며, 대각선에 해당하는 곳에만 숫자를 넣는다.

2. 오른쪽 아래에서 왼쪽으로, 1부터 차례로 숫자를 세어 올리며, 대각선에 해당하지 않는 곳에만 숫자를 넣는다.

5. 3. 짝수 차수 마방진

'''8차 및 12차에 대한 위 예시의 확장'''

먼저 패턴 테이블을 생성한다. 여기서 '1'은 숫자가 1에서 n²까지(왼쪽에서 오른쪽, 위에서 아래로) 순서대로 기록된 사각형에서 선택됨을 나타내고, '0'은 숫자가 역순으로 기록된 사각형에서 선택됨을 나타낸다. ''n''²에서 1까지. ''M'' = 4의 경우 패턴 테이블은 아래와 같다. 변경되지 않은 셀(숫자 '1'이 있는 셀)을 음영 처리하면 가로세로 패턴이 나타난다.

패턴은 a) 각 행과 열에 '1'과 '0'의 수가 동일, b) 각 행과 각 열은 "회문", c) 왼쪽 절반과 오른쪽 절반은 거울 이미지, d) 위쪽 절반과 아래쪽 절반은 거울 이미지(c와 d는 b를 의미)라는 특징을 갖는다. 패턴 테이블은 16진수로 (9, 6, 6, 9)로 간단히 표시할 수 있다(행당 1니블, 4행). 고차 이중 짝수 사각형에 필요한 패턴을 생성하는 가장 간단한 방법은 4차 사각형의 일반 패턴을 각 4x4 하위 사각형에 복사하는 것이다.

M = 8의 경우, 패턴에 대한 가능한 선택은 (99, 66, 66, 99, 99, 66, 66, 99), (3C, 3C, C3, C3, C3, C3, 3C, 3C), (A5, 5A, A5, 5A, 5A, A5, 5A, A5)이다(행당 2니블, 8행).

M = 12의 경우, 패턴 테이블(E07, E07, E07, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, E07, E07, E07)은 마방진을 생성한다(행당 3니블, 12행).

4의 배수 차수 마방진은 다음과 같이 만들 수 있다.

1. 4×4 블록으로 나누고 대각선을 표시한다.

2. 왼쪽 위에서 오른쪽으로 1부터 차례로 숫자를 세면서, 대각선에 해당하는 곳에만 숫자를 넣는다.

3. 오른쪽 아래에서 왼쪽으로 1부터 차례로 숫자를 세면서, 대각선에 해당하지 않는 곳에만 숫자를 넣는다.

• 예시: 8×8

• 예시: 4×4

알브레히트 뒤러의 동판화 『멜랑콜리아 I』에는 4×4 마방진이 그려져 있는데, 아래 두 칸에 제작 연도인 1514가 새겨져 있다.^[112]

5. 4. 중첩 방법

위 표의 각 숫자는 αa와 같이 그리스 문자와 라틴 문자의 쌍으로 나타낼 수 있으며, 이 쌍은 서로 더해져야 한다. 즉, αa = α + a이다. 여기서 (α, β, γ) = (0, 3, 6)이고 (a, b, c) = (1, 2, 3)이다. 숫자 0, 3, 6은 "루트 숫자", 1, 2, 3은 "기본 숫자"라고 한다. 여기서 중요한 제약 조건은 *그리스 문자는 라틴 문자와 한 번만 짝을 이룬다*는 것이다.

따라서 원래 사각형은 다음과 같이 두 개의 더 간단한 사각형으로 나눌 수 있다.

위와 같이 그리스 문자 또는 라틴 문자로만 채워진 사각형을 각각 "그리스 사각형" 또는 "라틴 사각형"이라고 한다. 그리스 사각형과 라틴 사각형이 모두 마방진이 되도록 하면, 이 둘을 합쳐 마방진을 만들 수 있다.

3×3 마방진을 구성할 때는 세 개의 고유한 항만 있는 그리스 사각형과 라틴 사각형을 다루는 것이 더 쉽다. 그리스 사각형의 행과 열의 합이 모두 같으려면, 즉 α + β + γ가 되려면 다음 조건을 만족해야 한다.

• 각 문자는 주어진 열 또는 행에 정확히 한 번 나타난다.
• 모든 문자가 두 대각선 모두에 정확히 한 번 나타나야 한다. (홀수 차수 사각형의 경우 대각선 중 하나는 가운데 항으로만 구성될 수 있다.)

위와 같이 그리스 사각형과 라틴 사각형을 만들고, 각 칸의 값을 더하면 3×3 마방진이 된다.

홀수 차수 사각형의 경우, 이 방법은 시암식 방법이 작동하는 이유를 설명한다.

• 홀수 차수 사각형의 경우, 그리스 사각형을 구성하려면 가운데 항을 기본 대각선에 놓고 나머지 항을 기울어진 대각선에 놓는다. 나머지 빈 셀은 대각선 이동으로 채운다. 라틴 사각형은 그리스 사각형을 회전하거나 대칭 이동하고 해당 문자를 대체하여 구성한다.

5. 5. 테두리 방법

이때, 마법의 합이 0이 되도록 뼈 숫자와 그 보수를 서로 반대편에 배치해야 한다.

모서리 셀 ''u''와 ''v''가 짝수와 홀수를 가질 수 없음을 증명할 수 있다. 그 이유는 이 경우 합 ''u'' + ''v''와 ''v'' + ''u*''가 홀수가 되고, 0은 짝수이므로 합 ''a'' + ''b'' + ''c''와 ''d'' + ''e'' + ''f''도 홀수여야 하기 때문이다.

실행 예로, ''u''와 ''v''가 모두 짝수인 경우를 고려해 보자. 가능한 6쌍은 (6, 8), (6, 10), (6, 12), (8, 10), (8, 12) 및 (10, 12)이다.

예를 들어, 쌍 (''u'', ''v'') = (8, 12)를 고려하면 허용되지 않는다. 또 다른 예로, 쌍 (''u'', ''v'') = (10, 12)를 고려하면 허용되며, 두 개의 해를 허용한다. (a, b, c, d, e, f) = (-7, -9, -6, -5, 11, -8)과 (a, b, c, d, e, f) = ( -5, -9, -8, -7, 11, -6)이다. 완성된 골격 사각형은 아래와 같다.

마법의 사각형은 각 셀에 13을 더하여 얻어진다.

''u, v, a, b, c, d, e, f''의 값에 대한 다음 표를 구성할 수 있다.

모서리 셀에 대한 가능한 선택은 6개뿐이며, 이는 10개의 가능한 테두리 해로 이어진다.

6. 변형

마방진에는 특정 추가 제약 조건이 부과될 수 있다.

각 숫자를 ''n''제곱했을 때 또 다른 마방진이 생성되면, 결과는 이중 마방진(''n'' = 2), 삼중 마방진(''n'' = 3) 또는 일반적으로 다중 마방진이 된다. 정사각형 내 각 숫자의 이름에 있는 글자 수가 또 다른 마방진을 생성하는 마방진은 알파 마방진이라고 한다.

소수로만 구성된 마방진도 있다. 루돌프 온드레이카는 9개의 첸 소수로 구성된 다음과 같은 3×3 마방진을 발견했다.

그린-타오 정리는 소수로 구성된 임의로 큰 마방진이 존재함을 의미한다.

다음 "가역 마방진"은 거꾸로 보나 똑바로 보나 마법 상수 264를 갖는다.^[79]

6. 1. 2차원

이 마방진은 마법의 합이 34이므로 ''차우티사 얀트라''(Chautisa, 34; यन्त्र|Yantra^hi)로 알려져 있다. यन्त्र|Yantra^hi는 문자 그대로 "장치"를 뜻한다. 이 마방진은 세 개의 4×4 판대각 마방진 중 하나이며, 최고 완전 마방진의 예이기도 하다. 이 마방진에 대한 연구는 19세기 후반 유럽 수학자들의 판대각 마방진에 대한 인식을 높이는 데 기여했다. 판대각 마방진은 이전의 영어 문헌에서는 나시크 마방진 또는 자이나교 마방진으로 불렸다.

알브레히트 뒤러가 1514년 판화 ''멜렌콜리아 I''에 불멸화한 4차 정규 마방진은 유럽 미술에서 처음으로 등장한 것으로 여겨진다. 목성에 연결된 이 사각형은 우울증을 몰아내는 부적으로 사용되었다. 이 마방진은 뒤러 시대보다 약 250년 전에 중국에서 만들어진 양휘의 마방진과 매우 유사하다. 모든 4차 정규 마방진과 마찬가지로 마법의 합은 34이다. 그러나 뒤러의 마방진에서는 이 합이 각 사분면, 중앙의 4개 사각형, 모서리 사각형(4×4 및 포함된 3×3 격자)에서도 나타난다. 또한 이 합은 모서리에서 시계 방향으로 나가는 네 개의 바깥쪽 숫자(3+8+14+9), 반시계 방향으로 나가는 숫자(두 개의 퀸의 위치)의 네 숫자(2+8+9+15와 3+5+12+14), 두 개의 외부 열과 행의 중간 두 항목의 합(5+9+8+12와 3+2+15+14), 그리고 네 개의 연 모양 또는 십자 모양의 4중주(3+5+11+15, 2+10+8+14, 3+9+7+15, 2+6+12+14)에서도 찾을 수 있다. 아랫줄 중간의 두 숫자는 판화의 연도인 1514년을 나타낸다.

뒤러의 마방진은 마법의 입방체로 확장될 수도 있다.

안토니 가우디가 구상하고 조각가 호세프 수비라치스가 디자인한 바르셀로나 사그라다 파밀리아 성당의 수난의 파사드에는 4차 마방진이 있다. 이 마방진의 마법 상수는 33으로, 이는 예수가 수난을 당했을 때의 나이이다.^[52] 구조적으로 이 마방진은 멜랑콜리아 마방진과 매우 유사하지만, 일부 셀의 숫자가 1씩 감소했다.

이러한 단순한 마방진은 일반적으로 수학적으로 흥미롭지 않으며 역사적 중요성만 지닌다. 리 샐로우즈는 수비라치스가 마방진 이론에 무지하여 불필요한 실수를 저질렀다고 지적하며, 원하는 마법 상수 33을 나타내는 몇 가지 비자명한 4×4 마방진의 예를 제시하여 이 주장을 뒷받침한다.^[53]

뒤러의 마방진과 마찬가지로 사그라다 파밀리아의 마방진도 마법 정육면체로 확장될 수 있다.^[54]

'''파커 스퀘어'''는 레크리에이션 수학자 맷 파커(Matt Parker)의 이름을 따서 명명되었으며,^[55] 오일러 이후 해결되지 않은 문제인 제곱 마방진 3×3을 만들려는 시도이다.^[56] 파커 스퀘어는 일부 숫자를 두 번 이상 사용하기 때문에 사소한 준마방진이며, 대각선의 합은 4107이고, 다른 행과 열 및 다른 대각선은 3051이다. 파커 스퀘어는 수학 문화에서 인기를 얻었다. 파커 스퀘어는 "시도는 하지만 결국 실패하는 사람들의 마스코트"가 되었다.^[57]

가드너 사각형은 레크리에이션 수학자 마틴 가드너의 이름을 따서 명명되었으며, 파커 사각형과 유사하게 a, b, c, d를 결정하는 문제로 제시된다.

a = 74, b = 113, c = 94, d = 97에 대한 이 해는 준마방진을 제공한다. 대각선 127² + b² + d²의 합은 38307이고, 다른 행과 열 및 다른 대각선과 같이 21609가 아니다.^[58][59][60]

2×2 크기(즉, 차수 ''n'' = 2)를 제외한 모든 크기의 정규 마방진을 만들 수 있다.^[61]

0과 1을 같은 수만큼 요소로 하는 4×4 방진에서, 세로, 가로, 대각선의 합이 일치하는 조합은 아래의 ABCDE 5가지이다.

이들을 아래와 같이 조합하여 2진수 4자리의 각 자리에 할당하면 0부터 15까지의 수로 이루어진 4방진을 만들 수 있다. 게다가 전체에 1씩 더함으로써, 일반적인 1부터 16까지의 수로 이루어진 마방진을 얻을 수 있다.

A=

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

\end{bmatrix}



,B=

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 \\

1 & 0 & 1 & 0 \\

\end{bmatrix}



,C=

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}



,D=

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 0 & 0 \\

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

\end{bmatrix}



,E=

$$

\begin{bmatrix}

0 & 1 & 0 & 1 \\

1 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

1 & 0 & 1 & 0 \\

\end{bmatrix}



All1＝

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1 \\

\end{bmatrix}



Sample: 8*A + 4*B + 2*A' + B' + All1

$$

\begin{bmatrix}

8 & 8 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 8 & 8 \\

8 & 8 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 8 & 8 \\

\end{bmatrix}

　+　$$

\begin{bmatrix}

4 & 0 & 4 & 0 \\

0 & 4 & 0 & 4 \\

0 & 4 & 0 & 4 \\

4 & 0 & 4 & 0 \\

\end{bmatrix}

　+　$$

\begin{bmatrix}

2 & 0 & 2 & 0 \\

2 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 2 & 0 & 2 \\

0 & 2 & 0 & 2 \\

\end{bmatrix}

　+　$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 0 \\

\end{bmatrix}

　+　$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1 \\

\end{bmatrix}



$$

\begin{bmatrix}

8+4+2+1+1 & 8+0+0+0+1 & 0+4+2+0+1 & 0+0+0+1+1 \\

0+0+2+0+1 & 0+4+0+1+1 & 8+0+2+1+1 & 8+4+0+0+1 \\

8+0+0+1+1 & 8+4+2+0+1 & 0+0+0+0+1 & 0+4+2+1+1 \\

0+4+0+0+1 & 0+0+2+1+1 & 8+4+0+1+1 & 8+0+2+0+1 \\

\end{bmatrix}



$$

\begin{bmatrix}

16 & 9 & 7 & 2 \\

3 & 6 & 12 & 13 \\

10 & 15 & 1 & 8 \\

5 & 4 & 14 & 11 \\

\end{bmatrix}



4x4 마방진은 880가지가 있는 것으로 알려져 있으며, 위의 방법으로 그 6할에 해당하는 528가지를 만들 수 있다.

특히, A와 B만 방향을 바꿔 4가지 조합을 통해 범대각선 방향의 수의 합도 일치하는 완전 마방진 48종류를 만들 수 있다.

모든 수를 제곱해도 가로, 세로의 합이 일정한 것을 '''다중 마방진'''(multimagic square)이라고 부른다.

예:

$$

\begin{bmatrix}

16 & 41 & 36 & 5 & 27 & 62 & 55 & 18 \\

26 & 63 & 54 & 19 & 13 & 44 & 33 & 8 \\

1 & 40 & 45 & 12 & 22 & 51 & 58 & 31 \\

23 & 50 & 59 & 30 & 4 & 37 & 48 & 9 \\

38 & 3 & 10 & 47 & 49 & 24 & 29 & 60 \\

52 & 21 & 32 & 57 & 39 & 2 & 11 & 46 \\

43 & 14 & 7 & 34 & 64 & 25 & 20 & 53 \\

61 & 28 & 17 & 56 & 42 & 15 & 6 & 35

\end{bmatrix}



그림은 8×8 마방진이다. 각 열의 숫자의 합은 260이 되고, 이 각 숫자를 제곱하면 가로, 세로 각 열의 합은 11180이 된다.

6. 2. 다차원

• 행과 열의 합이 마법 상수가 될 때, ''반마방진''.
• 행, 열 및 두 대각선의 합이 마법 상수가 되고 더 이상은 아닐 때, ''단순 마방진''. ''일반 마방진'' 또는 ''정규 마방진''이라고도 한다.
• 보완될 때(각 숫자가 ''n''² + 1에서 빼졌을 때) 원본 마방진의 회전 또는 반사된 버전을 제공하는 마방진일 때, ''자가 보완 마방진''.
• 중심에서 직선으로 같은 거리에 있는 숫자에 모든 숫자를 더하면 ''n''² + 1이 되는 추가적인 속성을 가진 마방진일 때, ''결합 마방진''. ''대칭 마방진''이라고도 한다. 결합 마방진은 홀수 배수 차수의 정사각형에는 존재하지 않는다. 모든 결합 마방진은 자가 보완 마방진이기도 하다.
• 깨진 대각선의 합이 마법 상수가 되는 추가적인 속성을 가진 마방진일 때, ''판대각 마방진''. ''범마법진'', ''완전 마방진'', ''악마 마방진'', ''자이안 마방진'', 또는 ''나식 마방진''이라고도 한다. 판대각 마방진은 홀수 배수 차수에는 존재하지 않는다. 그러나 홀수 배수 비정규 마방진은 판대각일 수 있다.
• 결합 마방진이자 판대각 마방진일 때, ''초마방진''. 초마방진은 ''n'' ≥ 5 차수에만 존재한다.
• 바깥쪽 가장자리의 행과 열을 제거했을 때에도 마법이 유지되는 마방진일 때, ''테두리 마방진''. 정사각형의 테두리를 제거하면 연속적으로 다른 작은 테두리 마방진이 생기면 ''동심원 테두리 마방진''이라고 한다. 테두리 마방진은 4차수에는 존재하지 않는다.
• 더 작은 마방진을 "곱하여"(어떤 의미에서) 생성된 마방진일 때, 합성 마방진의 차수가 더 작은 정사각형의 차수의 배수가 되도록 한다. 이러한 정사각형은 일반적으로 작은 겹치지 않는 마법 부속 정사각형으로 분할될 수 있다.
• 마법 부속 정사각형이 내장된 마방진일 때, ''내장 마방진''은 구성 기법에 관계없이 내장된다. 내장된 마법 부속 정사각형은 자체적으로 ''내장''이라고 한다.
• 두 가지 추가 속성을 가진 판대각 마방진일 때, ''최상 완벽 마방진'' (i) 각 2×2 부속 정사각형은 ''n'' = 4''k''일 때 마법 상수의 1/''k''를 합하고, (ii) 모든 대각선(주요 또는 깨진)을 따라 ''n''/2 떨어진 모든 정수 쌍은 보완적이다(즉, 그들은 ''n''² + 1을 합한다). 첫 번째 속성은 ''컴팩트성''이라고 하며, 두 번째 속성은 ''완전성''이라고 한다. 최상 완벽 마방진은 짝수 배수 차수의 정사각형에만 존재한다. 4차수의 모든 판대각 정사각형은 또한 가장 완벽하다.
• 세 가지 추가 속성을 가진 짝수 배수 마방진일 때, ''프랭클린 마방진'' (i) 모든 굽은 대각선은 마법 상수를 더하고, (ii) 바깥쪽 가장자리에서 시작하는 모든 절반 행과 절반 열은 마법 상수의 절반을 더하고, (iii) 정사각형은 ''컴팩트''하다.
• 1 ≤ ''k'' ≤ ''P''에 대해 모든 숫자가 ''k'' 거듭제곱으로 대체되어도 마법이 유지되는 마방진일 때, ''다중 마방진''. ''P-다중 마방진'' 또는 ''사탄 마방진''이라고도 한다. ''2중 마방진'', ''3중 마방진'', ''4중 마방진'', 및 ''5중 마방진''이라고도 하며, ''P''의 값은 각각 2, 3, 4, 및 5이다.
• 모든 수를 제곱해도 가로, 세로의 합이 일정한 것을 '''다중 마방진'''(multimagic square)이라고 부른다.^[115]

6. 3. 곱셈 마방진

다음은 곱셈 마방진의 다른 예시들이다.

알리 스칼리(Ali Skalli)의 방법을 사용하면, 복소수^[81]로 된 곱셈 마방진을 만들 수도 있다. 아래는 그 예시이다.

곱셈 마방진은 2의 거듭제곱{1, 2, 4}과 3의 거듭제곱{1, 3, 9}을 곱하거나, 홀수{1, 3, 5, 7}와 2의 거듭제곱{1, 2, 4, 8}을 곱하는 방식으로 만들 수도 있다.

예시 1: 2의 거듭제곱과 3의 거듭제곱을 곱한 경우

$$

\begin{bmatrix}

2 & 9 & 12 \\

36 & 6 & 1 \\

3 & 4 & 18

\end{bmatrix}



이 마방진은 다음과 같이 분해할 수 있다.

예시 2: 홀수와 2의 거듭제곱을 곱한 경우

$$

\begin{bmatrix}

1 & 24 & 10 & 28 \\

14 & 20 & 3 & 8 \\

12 & 2 & 56 & 5 \\

40 & 7 & 4 & 6

\end{bmatrix}



이 마방진은 다음과 같이 분해할 수 있다.

7. 현대적 응용 및 기타

• 요한 볼프강 폰 괴테의 파우스트에서 마녀의 주문인 Hexen-Einmal-Eins^de는 마방진의 구성으로 해석되어 왔다.^[95][96]
• 영국의 작곡가 피터 맥스웰 데이비스는 그의 많은 작품을 구성하는데 마방진을 사용했다. 예를 들어 1975년 작품 Ave Maris Stella|아베 마리스 스텔라^영어는 달의 9x9 마방진을, 1977년 작품 A Mirror of Whitening Light|어 미러 오브 화이트닝 라이트^영어는 수성의 8x8 마방진을 사용했다. 등대(1979), 부활(1987), 스트래스클라이드 협주곡 3번 호른과 트럼펫(1989) 등 그의 많은 교향곡에서도 마방진이 활용되었다.^[97][98]
• 벤자민 프랭클린의 마방진을 포함한 마방진은 캐서린 네빌의 소설 The Eight와 The Fire에서 미스터리의 단서로 등장한다.
• 마방진은 스티브 마틴의 2003년 소설 The Pleasure of My Company|더 플레저 오브 마이 컴퍼니^영어에서 중요한 역할을 한다.
• 댄 브라운의 2009년 소설 The Lost Symbol에서 뒤러의 마방진과 그의 멜랑콜리아 I가 큰 역할을 했다.
• 2011년 한국 드라마 뿌리깊은 나무에서 세종대왕이 33x33 마방진을 만들려고 시도하는 장면이 묘사된다.
• 2014년 10월 9일, 중화인민공화국 마카오 우체국은 마방진을 기반으로 한 우표 시리즈를 발행했다.^[99]
• X파일 에피소드 생물 발생에서 금속 유물이 마방진이라고 주장된다.^[101][102]
• 수학자 맷 파커는 YouTube 채널 넘버파일에서 제곱수로 3x3 마방진을 만들려고 시도했다. 그의 실패한 시도는 파커 사각형으로 알려져 있다.
• 스타게이트 아틀란티스 시즌 1 에피소드 "형제애"는 마방진을 완성하는 내용을 담고 있다.
• 마방진은 2019년 스페인 영화 Vivir dos veces|비비르 도스 베세스^es(두 번 살고, 한 번 사랑하기)에도 등장한다.
• 각 행, 열, 대각선의 합이 모두 다른 것을 헤테로진(異質陣), 그 합이 모두 연속적인 수를 이루는 것을 안티진(反陣)이라고 부르는 경우가 있다.^[119]

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