마방진

2.2. 한국

3×3 마방진(삼방진)은 대칭형을 제외하면 다음 형태밖에 존재하지 않는다. 각 열의 합은 15이다.

삼방진의 암기법은 다음과 같다.

* "미워하다(294)고 생각하면, 칠오삼(753), 육일중(618)에 벌(618)이 쏜다"
* "미워하다(294)고 생각하면, 칠오삼(753), 육일팔(618)은 모두 같다"
* "후쿠시(294)마의, 칠오삼(753)은 로열(618) 호텔에서"

구성 등에서 사용되는 "하도낙서"(낙서)의 그림은 위의 그림의 대칭형이며, 다음과 같다.

마방진은 풍수 나침반파에서 중요한 것으로 여겨진다. 고대 중국인들은 우주가 수학적 원리에 기초하여 만들어졌다고 믿었으며, 숫자와 마방진은 큰 의미를 지녔다고 한다. 기원전 2000년경 전설의 강 낙수에서 한 마리의 신성한 거북이가 나타났는데, 거북의 등껍질에는 9개의 숫자가 세로, 가로 3개씩 배열되어 있고, 팔괘도에 대응하는 형태로 배치되어 있었다고 한다. 9개의 숫자는 세로, 가로, 대각선 어느 열에서 3개씩 더해도 합계가 15가 되어, 초승달에서 보름달까지의 날짜와 일치하며, 이 숫자 배열은 『하도낙서』의 마방진으로 알려지게 되었고, 신화가 되어 후천팔괘와 결합되었다고 한다. 이사, 직업 변경 등의 택일에는 미리 계산된 "통승"(퉁슈)이라는 달력으로 판매되고 있다. 하도낙서도의 숫자는 사신과도 관련이 있게 되었다. 도교의 마술적인 의식은 현재도 하도낙서의 마방진에 기초하여 행해지고 있다.

2.3. 인도

인도에서 4차 마방진은 587년에 처음으로 나타났다. 1356년 나라야나는 모든 4차 판대각 마방진을 열거했다.

2.4. 중동 및 이슬람

3차 마방진은 기원전 190년경 중국 수학자들에게 알려졌으며, 서기 1세기에 명확하게 제시되었다. 4차 마방진의 최초 사례는 587년 인도에서 나타났다. 3차부터 9차까지의 마방진 표본은 바그다드에서 983년경에 제작된 백과사전인 순수 형제 백과사전(Rasa'il Ikhwan al-Safa)에 등장한다. 12세기 말까지 마방진을 구성하는 일반적인 방법이 잘 정립되었다. 이 무렵, 이러한 마방진 중 일부는 샴스 알마아리프와 같이 주술적인 목적으로 마법의 문자와 함께 사용되는 경우가 증가했다.

2.5. 유럽

마방진은 15세기 말 유럽으로 확산되었다. 폴란드의 크라쿠프 필사본인 피카트릭스에는 3에서 9까지의 마방진이 나타나 있다. 크라쿠프 필사본과 동일한 마방진은 파라켈수스의 저서인 Archidoxa Magica(1567)에도 등장하지만, 상당히 왜곡된 형태로 나타난다. 1514년 알브레히트 뒤러는 그의 유명한 판화인 멜렌콜리아 I에 4×4 마방진을 불멸화했다. 파라켈수스와 동시대인인 하인리히 코르넬리우스 아그리파 폰 네테스하임은 1531년 그의 유명한 3권짜리 책 De occulta philosophia를 출판했는데, 그 안에서 책 II의 22장을 아래에 제시된 행성 마방진에 할애했다. 아그리파가 제시한 마방진은 1539년 지롤라모 카르다노의 Practica Arithmetice에도 다시 등장하며, 여기서 그는 "다이아몬드 방법"을 사용하여 홀수 차수 마방진을 구성하는 방법을 설명했는데, 이는 나중에 바셰에 의해 재현되었다. 행성 마방진의 전통은 17세기에 아타나시우스 키르허의 Oedipi Aegyptici(1653)에 의해 이어졌다. 독일에서는 마방진에 관한 수학 논문이 1544년 미하엘 슈티펠의 Arithmetica Integra에 의해 작성되었는데, 그는 테두리 마방진을 재발견했으며, 아담 리제는 아그리파가 출판한 홀수 차수 마방진을 구성하는 연속 번호 매기기 방법을 재발견했다. 그러나 당시 종교적 격변으로 인해 이러한 작업들은 유럽의 나머지 지역에는 알려지지 않았다.

1624년 프랑스에서 클로드 가스파르 바셰는 그의 저서 Problèmes Plaisants에서 아그리파의 홀수 차수 마방진을 구성하는 "다이아몬드 방법"을 설명했다. 1640년경 베르나르 프레니클 드 베시와 피에르 드 페르마는 마방진과 정육면체에 대한 편지를 주고받았고, 그중 한 편지에서 페르마는 자신의 방법으로 8차 마방진 1,004,144,995,344개를 구성할 수 있다고 자랑했다. 테두리 마방진 구성에 대한 초기 설명은 앙투안 아르노의 Nouveaux éléments de géométrie(1667)에 제시되었다. 1693년, 그의 사후 20년 만에 출판된 두 편의 논문 Des quarrez ou tables magiques와 Table générale des quarrez magiques de quatre de côté에서 베르나르 프레니클 드 베시는 정확히 880개의 서로 다른 4차 마방진이 있음을 증명했다. 프레니클은 홀수 및 짝수 차수의 마방진을 구성하는 방법을 제시했으며, 짝수 차수 마방진은 테두리를 사용하여 구성되었다. 그는 또한 마방진의 행과 열을 바꾸는 것이 새로운 마방진을 생성한다는 것을 보여주었다.

1691년, 시몽 드 라 루베르는 그의 저서 Du Royaume de Siam에서 홀수 차수 마방진을 구성하는 인도식 연속 방법을 설명했는데, 이는 그가 시암 외교 임무에서 돌아오는 길에 배운 것으로, 바셰의 방법보다 더 빨랐다. 그의 작동 방식을 설명하기 위해 드 라 루베르는 소수와 근수를 사용했으며, 두 개의 예비 제곱을 더하는 방법을 재발견했다. 이 방법은 아베 포이냐르의 Traité des quarrés sublimes(1704), 필리프 드 라 이르의 왕립 학술원 Mémoires de l'Académie des Sciences(1705), 조제프 소뵈르의 Construction des quarrés magiques(1710)에 의해 더 연구되었다. 동심 테두리 마방진은 1705년 드 라 이르에 의해 연구되었고, 소뵈르는 마법 정육면체와 문자 마방진을 도입했는데, 이는 나중에 오일러가 1776년에 채택하여 고안한 것으로 종종 여겨진다. 1750년 d'Ons-le-Bray는 테두리 기법을 사용하여 이중 짝수 및 단일 짝수 마방진을 구성하는 방법을 재발견했고, 1767년 벤자민 프랭클린은 명명된 프랭클린 마방진의 속성을 가진 반마방진을 출판했다. 이 시점까지 마방진에 붙어 있던 초기 신비주의는 완전히 사라졌고, 이 주제는 오락 수학의 일부로 다루어졌다.

서양 수비학의 사투르누스 마방진(토성 마방진)은 다음 그림과 같다.

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📌 열 고정 해제

사투르누스 마방진

6	1	8
7	5	3
2	9	4

3. 특성

기수 차수 마방진을 만드는 일반적인 방법은 여러 가지가 존재하지만, 어떤 방법을 사용하든 3×3 마방진은 동일한 배열이 된다.

3.1. 마법 상수

마방진에서 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합은 같은데, 그 값을 마법 상수라고 한다. 1부터 n²까지의 수가 한 개씩 들어가는 '일반적인'(normal) 마방진에서 모든 수의 합은 1부터 n²까지의 자연수 합으로 삼각수 $\backslash frac\{n^2(n^2+1)\}\{2\}$이다. n개의 가로·세로줄이 있으니 마법 상수는 이를 n으로 나눈 것과 같다.

:$M(n)\; =\; \backslash frac\{n^2(n^2+1)\}\{2\}\backslash div\; n\; =\; \backslash frac\{n(n^2+1)\}\{2\}$

기원전 650년경으로 거슬러 올라가는 전설은 낙서 (洛書) 또는 "낙수의 두루마리"에 대한 이야기를 전한다. 전설에 따르면, 한때 고대 중국에 거대한 홍수가 있었다. 대왕 우가 물길을 바다로 돌리려고 노력하는 동안, 거북이가 껍질에 흥미로운 패턴을 가진 채 나타났다. 3×3 격자 안에는 숫자 점이 배열되어 각 행, 열 및 대각선의 숫자의 합이 15로 같았다. 그 후 사람들은 이 패턴을 사용하여 강을 제어하고 홍수로부터 자신을 보호할 수 있었다고 한다. 거북이 등껍질에 있는 마방진인 낙서도는 1이 아래에 있고 2가 오른쪽 위에 있는 유일한 3차 정규 마방진이다. 모든 3차 정규 마방진은 낙서를 회전 또는 반사하여 얻는다.

홀수 차수 마방진을 만드는 일반적인 방법은 여러 가지가 존재하지만, 어떤 방법을 사용하든 3×3 마방진은 동일한 배열이 된다. 방법은 다음과 같다.

# 상단의 중앙을 1로 한다.
# 오른쪽 위에 다음 숫자를 놓는다(최상단의 위는 최하단이 된다).
# 오른쪽 위가 채워져 있으면 하나 아래에 다음 숫자를 놓는다.
# 다시 오른쪽 위로 숫자를 채워나간다.
# 나머지는 3, 4의 반복으로 완성한다.

* 예시: 7×7

$$
\begin{bmatrix}
- & - & - & 1 & - & - & - \\
- & - & - & - & - & - & - \\
- & - & - & - & - & - & - \\
- & - & - & - & - & - & - \\
- & - & - & - & - & - & - \\
- & - & - & - & - & - & - \\
- & - & - & - & - & - & - \\
\end{bmatrix}

$$
\begin{bmatrix}
- & - & - & 1 & - & - & - \\
- & - & 7 & - & - & - & - \\
- & 6 & - & - & - & - & - \\
5 & - & - & - & - & - & - \\
- & - & - & - & - & - & 4 \\
- & - & - & - & - & 3 & - \\
- & - & - & - & 2 & - & - \\
\end{bmatrix}

$$
\begin{bmatrix}
- & - & - & 1 & - & - & - \\
- & - & 7 & - & - & - & - \\
- & 6 & 8 & - & - & - & - \\
5 & - & - & - & - & - & - \\
- & - & - & - & - & - & 4 \\
- & - & - & - & - & 3 & - \\
- & - & - & - & 2 & - & - \\
\end{bmatrix}

$$
\begin{bmatrix}
- & - & - & 1 & 10 & - & - \\
- & - & 7 & 9 & - & - & - \\
- & 6 & 8 & - & - & - & - \\
5 & 14 & - & - & - & - & - \\
13 & - & - & - & - & - & 4 \\
- & - & - & - & - & 3 & 12 \\
- & - & - & - & 2 & 11 & - \\
\end{bmatrix}

$$
\begin{bmatrix}
30 & 39 & 48 & 1 & 10 & 19 & 28 \\
38 & 47 & 7 & 9 & 18 & 27 & 29 \\
46 & 6 & 8 & 17 & 26 & 35 & 37 \\
5 & 14 & 16 & 25 & 34 & 36 & 45 \\
13 & 15 & 24 & 33 & 42 & 44 & 4 \\
21 & 23 & 32 & 41 & 43 & 3 & 12 \\
22 & 31 & 40 & 49 & 2 & 11 & 20 \\
\end{bmatrix}


하단 중앙을 1로 하거나 왼쪽 대각선으로 진행하는 방법도 있지만, 이것들은 대칭형이므로 모두 같은 방법이다.

3.2. 자명한 1차 마방진

1×1 마방진은 수가 '1' 하나뿐이므로 자명하다.

3.3. 불가능한 2차 마방진

일반적으로 2차 마방진을 제외한 모든 마방진은 만들 수 있다.

2차 마방진은 다음과 같이 표현할 수 있다.

a + b = a + c 이므로, b = c 가 되어 두 수가 같아야 한다.

$$
\begin{bmatrix}
a & d \\
b & c \\
\end{bmatrix}


위 식에서 a + b = a + c = a + d 이므로, b = c = d 가 된다. 즉, 모든 칸의 수가 같아야 하므로 2×2 마방진은 성립하지 않는다. 따라서 3×3 마방진이 가장 작은 마방진이다.

3.4. 개수

2024년에 6차 마방진의 개수에 대한 검증이 끝나 6차까지 개수가 알려져 있다. 1차부터 6차까지 마방진의 개수는 다음과 같다.

2024년 12월에 7차, 8차 마방진의 개수가 시뮬레이션을 통해 산출되었다. 7차 마방진의 개수는 35,488,600,000,000,000,000,000,000,000,000,000개이고, 8차 마방진의 개수는 5,202,480,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000개이다.

4. 분류

n×n 마방진은 어떤 수들의 합이 마법 상수로 같은지에 따라 다음과 같이 분류될 수 있다.

* 준마방진(semi-magic square)은 가로줄과 세로줄만의 합이 마법 상수로 같다.
* 단순 마방진(simple magic square)은 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합이 마법 상수로 같다. 일반적인 마방진(ordinary magic square) 또는 평범한 마방진(normal magic square)이라고도 불리고, 일반적으로 마방진은 단순 마방진을 말한다.
* 범마방진(汎魔方陣, pandiagonal magic square) 또는 범대각선 마방진(汎對角線 魔方陣)은 범대각선(깨진 대각선)의 합도 마법 상수로 같은 마방진을 말한다.
* 가장 완벽한 마방진(most-perfect magic square)은 두 조건을 만족하는 범마방진이다.

안토니 가우디가 구상하고 조각가 호세프 수비라치스가 디자인한 바르셀로나 사그라다 파밀리아 성당의 수난의 파사드에는 4차 마방진이 있다. 이 마방진의 마법 상수는 33으로, 이는 예수가 수난을 당했을 때의 나이이다. 구조적으로 이 마방진은 멜랑콜리아 마방진과 매우 유사하지만, 일부 셀의 숫자가 1씩 감소했다.

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📌 열 고정 해제

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

이러한 단순한 마방진은 일반적으로 수학적으로 흥미롭지 않으며 역사적 중요성만 지닌다. 리 샐로우즈는 수비라치스가 마방진 이론에 무지하여 불필요한 실수를 저질렀다고 지적하며, 원하는 마법 상수 33을 나타내는 몇 가지 비자명한 4×4 마방진의 예를 제시하여 이 주장을 뒷받침한다.

뒤러의 마방진과 마찬가지로 사그라다 파밀리아의 마방진도 마법 정육면체로 확장될 수 있다.

파커 스퀘어는 레크리에이션 수학자 맷 파커(Matt Parker)의 이름을 따서 명명되었으며, 오일러 이후 해결되지 않은 문제인 제곱 마방진 3×3을 만들려는 시도이다. 파커 스퀘어는 일부 숫자를 두 번 이상 사용하기 때문에 사소한 준마방진이며, 대각선 23² + 37² + 47²의 합은 4107이고, 다른 행과 열 및 다른 대각선은 3051이다. 파커 스퀘어는 수학 문화에서 인기를 얻었다. 파커 스퀘어는 "시도는 하지만 결국 실패하는 사람들의 마스코트"가 되었다.

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📌 열 고정 해제

292	12	472
412	372	12
232	412	292

가드너 사각형은 레크리에이션 수학자 마틴 가드너의 이름을 따서 명명되었으며, 파커 사각형과 유사하게 a, b, c, d를 결정하는 문제로 제시된다.

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📌 열 고정 해제

1272	462	582
22	b2	c2
a2	822	d2

a = 74, b = 113, c = 94, d = 97에 대한 이 해는 준마방진을 제공한다. 대각선 127² + b² + d²의 합은 38307이고, 다른 행과 열 및 다른 대각선과 같이 21609가 아니다.

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📌 열 고정 해제

1272	462	582	21609
22	1132	942	21609
742	822	972	21609
21609	21609	21609	38307

5. 마방진 만들기

인도 카주라호에 있는 카주라호 파르스바나트 사원 벽에는 12세기에 만들어진 4×4 정규 마방진이 새겨져 있다.

이 마방진은 마법의 합이 34이므로 차우티사 얀트라(Yantra, 문자 그대로 "장치")로 알려져 있다. 이 마방진은 세 개의 4×4 판대각 마방진 중 하나이며, 최고 완전 마방진의 예이기도 하다.

수천 년 동안 마방진을 구성하는 많은 방법이 발견되었다. 이러한 방법은 일반적인 방법과 특수한 방법으로 분류할 수 있는데, 일반적인 방법은 주어진 차수의 여러 마방진을 구성할 수 있는 반면, 특수한 방법은 주어진 차수의 단일 마방진만 구성할 수 있다는 의미이다.

마방진은 2차를 제외한 모든 차수에 대해 존재한다고 여겨진다. 마방진은 차수에 따라 홀수, 이중 짝수 (n이 4로 나누어 떨어짐), 단일 짝수 (n이 짝수이지만 4로 나누어 떨어지지 않음)로 분류할 수 있다. 홀수와 이중 짝수 마방진은 생성하기 쉽고, 단일 짝수 마방진의 구성은 더 어렵지만, 존 호턴 콘웨이의 마방진을 위한 LUX 방법과 스트라치 마방진 방법을 포함한 여러 방법이 존재한다.

5.1. 홀수 차수 마방진

홀수 차수 마방진을 만드는 방법은 프랑스 외교관 시몬 드 라 루베르(Simon de la Loubère)가 그의 저서 《시암 왕국의 역사적 관계(Du Royaume de Siam, 1693)》의 〈인도인들에 따른 마방진 문제(The problem of the magical square according to the Indians)〉에 나와 있다. 그 방법은 다음과 같다.

첫 번째 행의 가운데 칸에 1을 넣는다. 그 다음 자연수를 대각선 방향으로 오른쪽 위 칸에 넣는 것을 모든 칸이 채워질 때까지 반복한다. 이때 해당하는 칸이 마방진의 위쪽으로 벗어난 경우에는 반대로 가장 아래쪽의 칸으로, 마방진의 오른쪽으로 벗어나는 경우는 가장 왼쪽의 칸으로 각자 한번 더 이동한다. 또 이때 칸을 채울 자리에 이미 숫자가 있다면 아래에 수를 넣는다.

맨 윗 줄에 가운데 칸이 아닌 칸에서 시작해도 가능하지만, 가로줄과 세로줄은 마법 상수로 나오고 대각선의 합은 다르다. 따라서 준마방진(semimagic square)이 만들어지고, 진짜 마방진은 나올 수 없다. 또 대각선 오른쪽 위 방향이 아닌 방향으로 자연수를 계속 써도 마방진이 나올 수 있다.

5.2. 4차 마방진

4차 마방진은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.

1. 4x4 격자를 그리고, 4칸씩 나누어 흑색 칸과 백색 칸으로 칠한다.
2. 백색 칸의 숫자들을 180도 뒤집어 옮긴다.

이렇게 만들어진 4차 마방진은 모든 행, 열, 대각선의 합이 34로 같다.

인도 카주라호에 있는 카주라호 파르스바나트 사원 벽에는 12세기에 만들어진 4×4 정규 마방진이 새겨져 있다.

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📌 열 고정 해제

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

이 마방진은 마법의 합이 34이므로 '차우티사 얀트라'(यन्त्र^힌디어, 문자 그대로 "장치")로 알려져 있다. 이 마방진은 세 개의 4×4 판대각 마방진 중 하나이며, 최고 완전 마방진의 예이기도 하다.

알브레히트 뒤러가 1514년 판화 멜렌콜리아 I에 불멸화한 4차 정규 마방진은 유럽 미술에서 처음으로 등장한 것으로 여겨진다.

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📌 열 고정 해제

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

이 마방진에서는 모든 행, 열, 대각선 뿐만 아니라 각 사분면, 중앙의 4개 사각형, 모서리 사각형의 합도 34가 된다. 아랫줄 중간의 두 숫자는 판화의 연도인 1514년을 나타낸다.

안토니 가우디가 구상하고 조각가 호세프 수비라치스가 디자인한 바르셀로나 사그라다 파밀리아 성당의 수난의 파사드에는 4차 마방진이 있다.

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📌 열 고정 해제

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

이 마방진의 마법 상수는 33으로, 이는 예수가 수난을 당했을 때의 나이이다. 구조적으로 이 마방진은 멜랑콜리아 마방진과 매우 유사하지만, 일부 셀의 숫자가 1씩 감소했다.

4x4 마방진은 다음과 같은 방법으로도 만들 수 있다.

1. 왼쪽 위에서 오른쪽으로, 1부터 차례로 숫자를 세어 올리며, 대각선에 해당하는 곳에만 숫자를 넣는다.
2. 오른쪽 아래에서 왼쪽으로, 1부터 차례로 숫자를 세어 올리며, 대각선에 해당하지 않는 곳에만 숫자를 넣는다.

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📌 열 고정 해제

1			4
	6	7
	10	11
13			16

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📌 열 고정 해제

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

5.3. 짝수 차수 마방진

Doubly even^영어은 n이 짝수 정수의 짝수 배수임을 의미하며, 4p(예: 4, 8, 12)로 표현된다. 여기서 p는 정수이다.

일반적인 패턴

모든 숫자는 왼쪽에서 오른쪽으로 각 행을 차례로 따라 왼쪽 위 모서리에서 시작하여 순서대로 기록된다. 그런 다음 숫자는 동일한 위치에 유지되거나 특정 규칙적인 패턴으로 대각선 반대편의 숫자와 교환된다. 4차 마방진에서 4개의 중앙 사각형과 각 모서리의 사각형 1개에 있는 숫자는 동일한 위치에 유지되고, 나머지는 대각선 반대편의 숫자와 교환된다.

4차 마방진 구성

왼쪽 위에서 시작하여 사각형의 각 행을 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하면서 각 셀을 1에서 16까지 세고 해당 숫자로 대각선을 채운다. 오른쪽 아래 셀에 도달하면 테이블의 오른쪽 아래에서 시작하여 각 행을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하여 계속하고, 비대각선 셀을 1에서 16까지 세어 해당 숫자로 채운다.

8차 및 12차에 대한 위 예시의 확장

먼저 패턴 테이블을 생성한다. 여기서 '1'은 숫자가 1에서 n²까지(왼쪽에서 오른쪽, 위에서 아래로) 순서대로 기록된 사각형에서 선택됨을 나타내고, '0'은 숫자가 역순으로 기록된 사각형에서 선택됨을 나타낸다. n²에서 1까지. M = 4의 경우 패턴 테이블은 아래와 같다. 변경되지 않은 셀(숫자 '1'이 있는 셀)을 음영 처리하면 가로세로 패턴이 나타난다.






패턴은 a) 각 행과 열에 '1'과 '0'의 수가 동일, b) 각 행과 각 열은 "회문", c) 왼쪽 절반과 오른쪽 절반은 거울 이미지, d) 위쪽 절반과 아래쪽 절반은 거울 이미지(c와 d는 b를 의미)라는 특징을 갖는다. 패턴 테이블은 16진수로 (9, 6, 6, 9)로 간단히 표시할 수 있다(행당 1니블, 4행). 고차 이중 짝수 사각형에 필요한 패턴을 생성하는 가장 간단한 방법은 4차 사각형의 일반 패턴을 각 4x4 하위 사각형에 복사하는 것이다.

M = 8의 경우, 패턴에 대한 가능한 선택은 (99, 66, 66, 99, 99, 66, 66, 99), (3C, 3C, C3, C3, C3, C3, 3C, 3C), (A5, 5A, A5, 5A, 5A, A5, 5A, A5)이다(행당 2니블, 8행).





M = 12의 경우, 패턴 테이블(E07, E07, E07, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, E07, E07, E07)은 마방진을 생성한다(행당 3니블, 12행).

4의 배수 차수 마방진은 다음과 같이 만들 수 있다.

1. 4×4 블록으로 나누고 대각선을 표시한다.
2. 왼쪽 위에서 오른쪽으로 1부터 차례로 숫자를 세면서, 대각선에 해당하는 곳에만 숫자를 넣는다.
3. 오른쪽 아래에서 왼쪽으로 1부터 차례로 숫자를 세면서, 대각선에 해당하지 않는 곳에만 숫자를 넣는다.

*예시: 8×8



*예시: 4×4



알브레히트 뒤러의 동판화 『멜랑콜리아 I』에는 4×4 마방진이 그려져 있는데, 아래 두 칸에 제작 연도인 1514가 새겨져 있다.

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📌 열 고정 해제

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

5.4. 중첩 방법

14세기에 인도의 수학자 나라야나가 중첩법을 처음 발견했다. 같은 방법이 18세기 초 유럽에서 드 라 루베르, 포니야르, 드 라 이르, 소뵈르에 의해 재발견되어 연구되었으며, 보통 드 라 이르의 방법으로 불린다. 오일러의 마방진 연구는 독창적이지 않았지만, 짝수와 홀수 차수의 상호 직교 그리스-라틴 방진을 구성하는 것이 불가능하다고 추측했다. 이 추측은 20세기 중반에 반증되었다.

이 방법은 마방진을 만들기 위해 두 개의 예비 사각형을 구성하고, 이 두 사각형을 더하면 마방진이 된다. 3×3 마방진을 예로 들면, 3×3 자연수 사각형의 각 숫자는 다음과 같이 두 숫자의 쌍으로 표기할 수 있다.

위 표의 각 숫자는 αa와 같이 그리스 문자와 라틴 문자의 쌍으로 나타낼 수 있으며, 이 쌍은 서로 더해져야 한다. 즉, αa = α + a이다. 여기서 (α, β, γ) = (0, 3, 6)이고 (a, b, c) = (1, 2, 3)이다. 숫자 0, 3, 6은 "루트 숫자", 1, 2, 3은 "기본 숫자"라고 한다. 여기서 중요한 제약 조건은 *그리스 문자는 라틴 문자와 한 번만 짝을 이룬다*는 것이다.

따라서 원래 사각형은 다음과 같이 두 개의 더 간단한 사각형으로 나눌 수 있다.





위와 같이 그리스 문자 또는 라틴 문자로만 채워진 사각형을 각각 "그리스 사각형" 또는 "라틴 사각형"이라고 한다. 그리스 사각형과 라틴 사각형이 모두 마방진이 되도록 하면, 이 둘을 합쳐 마방진을 만들 수 있다.

3×3 마방진을 구성할 때는 세 개의 고유한 항만 있는 그리스 사각형과 라틴 사각형을 다루는 것이 더 쉽다. 그리스 사각형의 행과 열의 합이 모두 같으려면, 즉 α + β + γ가 되려면 다음 조건을 만족해야 한다.

* 각 문자는 주어진 열 또는 행에 정확히 한 번 나타난다.
* 모든 문자가 두 대각선 모두에 정확히 한 번 나타나야 한다. (홀수 차수 사각형의 경우 대각선 중 하나는 가운데 항으로만 구성될 수 있다.)

홀수 사각형: 3×3 홀수 사각형의 경우, α, β, γ가 등차수열이므로 그 합은 3β이다. 따라서 기본 대각선에 β를 놓고, 기울어진 대각선에 α, β, γ를 배치하면 대각선 합은 같게 된다. 라틴 사각형도 마찬가지로 만든다.









위와 같이 그리스 사각형과 라틴 사각형을 만들고, 각 칸의 값을 더하면 3×3 마방진이 된다.

홀수 차수 사각형의 경우, 이 방법은 시암식 방법이 작동하는 이유를 설명한다.

* 홀수 차수 사각형의 경우, 그리스 사각형을 구성하려면 가운데 항을 기본 대각선에 놓고 나머지 항을 기울어진 대각선에 놓는다. 나머지 빈 셀은 대각선 이동으로 채운다. 라틴 사각형은 그리스 사각형을 회전하거나 대칭 이동하고 해당 문자를 대체하여 구성한다.

짝수 사각형: 짝수 차수 사각형도 이 방식으로 구성할 수 있다. 짝수 차수 사각형에는 가운데 항이 없으므로, 대각선 합이 마법 상수를 만들기 위해서는 알파벳의 모든 문자가 기본 대각선과 기울어진 대각선에 나타나야 한다.

4×4 사각형의 예는 다음과 같다.

5.5. 테두리 방법

3×3 마방진은 1이 아래에 있고 2가 오른쪽 위에 있는 유일한 형태이다. 모든 3차 정규 마방진은 낙서도를 회전 또는 반사하여 얻을 수 있다. 5차 정사각 행렬의 경우, 3×3 마법 핵심을 가지고 있으며, 그 주위에 마법 테두리를 두른다.

마법 테두리를 설명하기 위해 숫자 u, v, a, b, c, d, e, f를 결정하는 것으로 충분하다.

이때, 마법의 합이 0이 되도록 뼈 숫자와 그 보수를 서로 반대편에 배치해야 한다.

모서리 셀 u와 v가 짝수와 홀수를 가질 수 없음을 증명할 수 있다. 그 이유는 이 경우 합 u + v와 v + u*가 홀수가 되고, 0은 짝수이므로 합 a + b + c와 d + e + f도 홀수여야 하기 때문이다.

실행 예로, u와 v가 모두 짝수인 경우를 고려해 보자. 가능한 6쌍은 (6, 8), (6, 10), (6, 12), (8, 10), (8, 12) 및 (10, 12)이다.

예를 들어, 쌍 (u, v) = (8, 12)를 고려하면 허용되지 않는다. 또 다른 예로, 쌍 (u, v) = (10, 12)를 고려하면 허용되며, 두 개의 해를 허용한다. (a, b, c, d, e, f) = (-7, -9, -6, -5, 11, -8)과 (a, b, c, d, e, f) = ( -5, -9, -8, -7, 11, -6)이다. 완성된 골격 사각형은 아래와 같다.









마법의 사각형은 각 셀에 13을 더하여 얻어진다.

u, v, a, b, c, d, e, f의 값에 대한 다음 표를 구성할 수 있다.



모서리 셀에 대한 가능한 선택은 6개뿐이며, 이는 10개의 가능한 테두리 해로 이어진다.

6. 변형

마방진에는 특정 추가 제약 조건이 부과될 수 있다.

각 숫자를 n제곱했을 때 또 다른 마방진이 생성되면, 결과는 이중 마방진(n = 2), 삼중 마방진(n = 3) 또는 일반적으로 다중 마방진이 된다. 정사각형 내 각 숫자의 이름에 있는 글자 수가 또 다른 마방진을 생성하는 마방진은 알파 마방진이라고 한다.

소수로만 구성된 마방진도 있다. 루돌프 온드레이카는 9개의 첸 소수로 구성된 다음과 같은 3×3 마방진을 발견했다.

그린-타오 정리는 소수로 구성된 임의로 큰 마방진이 존재함을 의미한다.

다음 "가역 마방진"은 거꾸로 보나 똑바로 보나 마법 상수 264를 갖는다.

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📌 열 고정 해제

96	11	89	68
88	69	91	16
61	86	18	99
19	98	66	81

스리니바사 라마누잔은 자신의 생년월일을 이용하여 생일 마방진을 만들었다. 맨 윗줄에 D-M-C-Y 형식으로 자신의 생년월일을 입력하고, 사각형의 숫자 덧셈과 뺄셈을 통해 행, 열, 대각선, 네 모서리, 네 개의 중간 사각형, 첫 행과 마지막 행의 두 중간 숫자, 첫 열과 마지막 열의 두 중간 숫자의 합이 모두 139가 되는 마방진을 만들었다.

0과 1을 같은 수만큼 요소로 하는 4×4 방진에서, 세로, 가로, 대각선의 합이 일치하는 조합은 아래의 A, B, C, D, E 5가지이다. 이들을 조합하여 2진수 4자리의 각 자리에 할당하면 0부터 15까지의 수로 이루어진 4방진을 만들 수 있다. 전체에 1씩 더하면 1부터 16까지의 수로 이루어진 마방진을 얻을 수 있다.

A=
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}

,B=
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}

,C=
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}

,D=
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}

,E=
$$
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}


All1＝
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}


예시: 8*A + 4*B + 2*A' + B' + All1

$$
\begin{bmatrix}
8 & 8 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 8 & 8 \\
8 & 8 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 8 & 8 \\
\end{bmatrix}
　+　$$
\begin{bmatrix}
4 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 4 & 0 & 4 \\
0 & 4 & 0 & 4 \\
4 & 0 & 4 & 0 \\
\end{bmatrix}
　+　$$
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 2 \\
\end{bmatrix}
　+　$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
　+　$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}


$$
\begin{bmatrix}
16 & 9 & 7 & 2 \\
3 & 6 & 12 & 13 \\
10 & 15 & 1 & 8 \\
5 & 4 & 14 & 11 \\
\end{bmatrix}


4x4 마방진은 880가지가 있는 것으로 알려져 있으며, 위의 방법으로 그 6할에 해당하는 528가지를 만들 수 있다. 특히, A와 B만 방향을 바꿔 4가지 조합을 통해 범대각선 방향의 수의 합도 일치하는 완전 마방진 48종류를 만들 수 있다.

모든 수를 제곱해도 가로, 세로의 합이 일정한 것을 다중 마방진이라고 부른다. 다음은 8×8 다중 마방진의 예시이다. 각 열의 숫자의 합은 260이고, 각 숫자를 제곱하면 가로, 세로 각 열의 합은 11180이 된다.

$$
\begin{bmatrix}
16 & 41 & 36 & 5 & 27 & 62 & 55 & 18 \\
26 & 63 & 54 & 19 & 13 & 44 & 33 & 8 \\
1 & 40 & 45 & 12 & 22 & 51 & 58 & 31 \\
23 & 50 & 59 & 30 & 4 & 37 & 48 & 9 \\
38 & 3 & 10 & 47 & 49 & 24 & 29 & 60 \\
52 & 21 & 32 & 57 & 39 & 2 & 11 & 46 \\
43 & 14 & 7 & 34 & 64 & 25 & 20 & 53 \\
61 & 28 & 17 & 56 & 42 & 15 & 6 & 35
\end{bmatrix}

6.1. 2차원

인도 카주라호에 있는 카주라호 파르스바나트 사원 벽에는 12세기에 만들어진 4×4 정규 마방진이 새겨져 있다.

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📌 열 고정 해제

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

이 마방진은 마법의 합이 34이므로 차우티사 얀트라(Chautisa, 34; यन्त्र^힌디어)로 알려져 있다. यन्त्र^힌디어는 문자 그대로 "장치"를 뜻한다. 이 마방진은 세 개의 4×4 판대각 마방진 중 하나이며, 최고 완전 마방진의 예이기도 하다. 이 마방진에 대한 연구는 19세기 후반 유럽 수학자들의 판대각 마방진에 대한 인식을 높이는 데 기여했다. 판대각 마방진은 이전의 영어 문헌에서는 나시크 마방진 또는 자이나교 마방진으로 불렸다.
--
알브레히트 뒤러가 1514년 판화 멜렌콜리아 I에 불멸화한 4차 정규 마방진은 유럽 미술에서 처음으로 등장한 것으로 여겨진다. 목성에 연결된 이 사각형은 우울증을 몰아내는 부적으로 사용되었다. 이 마방진은 뒤러 시대보다 약 250년 전에 중국에서 만들어진 양휘의 마방진과 매우 유사하다. 모든 4차 정규 마방진과 마찬가지로 마법의 합은 34이다. 그러나 뒤러의 마방진에서는 이 합이 각 사분면, 중앙의 4개 사각형, 모서리 사각형(4×4 및 포함된 3×3 격자)에서도 나타난다. 또한 이 합은 모서리에서 시계 방향으로 나가는 네 개의 바깥쪽 숫자(3+8+14+9), 반시계 방향으로 나가는 숫자(두 개의 퀸의 위치)의 네 숫자(2+8+9+15와 3+5+12+14), 두 개의 외부 열과 행의 중간 두 항목의 합(5+9+8+12와 3+2+15+14), 그리고 네 개의 연 모양 또는 십자 모양의 4중주(3+5+11+15, 2+10+8+14, 3+9+7+15, 2+6+12+14)에서도 찾을 수 있다. 아랫줄 중간의 두 숫자는 판화의 연도인 1514년을 나타낸다.

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📌 열 고정 해제

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

뒤러의 마방진은 마법의 입방체로 확장될 수도 있다.

안토니 가우디가 구상하고 조각가 호세프 수비라치스가 디자인한 바르셀로나 사그라다 파밀리아 성당의 수난의 파사드에는 4차 마방진이 있다. 이 마방진의 마법 상수는 33으로, 이는 예수가 수난을 당했을 때의 나이이다. 구조적으로 이 마방진은 멜랑콜리아 마방진과 매우 유사하지만, 일부 셀의 숫자가 1씩 감소했다.

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📌 열 고정 해제

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

이러한 단순한 마방진은 일반적으로 수학적으로 흥미롭지 않으며 역사적 중요성만 지닌다. 리 샐로우즈는 수비라치스가 마방진 이론에 무지하여 불필요한 실수를 저질렀다고 지적하며, 원하는 마법 상수 33을 나타내는 몇 가지 비자명한 4×4 마방진의 예를 제시하여 이 주장을 뒷받침한다.

뒤러의 마방진과 마찬가지로 사그라다 파밀리아의 마방진도 마법 정육면체로 확장될 수 있다.
파커 스퀘어는 레크리에이션 수학자 맷 파커(Matt Parker)의 이름을 따서 명명되었으며, 오일러 이후 해결되지 않은 문제인 제곱 마방진 3×3을 만들려는 시도이다. 파커 스퀘어는 일부 숫자를 두 번 이상 사용하기 때문에 사소한 준마방진이며, 대각선의 합은 4107이고, 다른 행과 열 및 다른 대각선은 3051이다. 파커 스퀘어는 수학 문화에서 인기를 얻었다. 파커 스퀘어는 "시도는 하지만 결국 실패하는 사람들의 마스코트"가 되었다.

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📌 열 고정 해제

292	12	472
412	372	12
232	412	292

가드너 사각형은 레크리에이션 수학자 마틴 가드너의 이름을 따서 명명되었으며, 파커 사각형과 유사하게 a, b, c, d를 결정하는 문제로 제시된다.

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📌 열 고정 해제

1272	462	582
22	b2	c2
a2	822	d2

a = 74, b = 113, c = 94, d = 97에 대한 이 해는 준마방진을 제공한다. 대각선 127² + b² + d²의 합은 38307이고, 다른 행과 열 및 다른 대각선과 같이 21609가 아니다.

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📌 열 고정 해제

1272	462	582	21609
22	1132	942	21609
742	822	972	21609
21609	21609	21609	38307

2×2 크기(즉, 차수 n = 2)를 제외한 모든 크기의 정규 마방진을 만들 수 있다.
0과 1을 같은 수만큼 요소로 하는 4×4 방진에서, 세로, 가로, 대각선의 합이 일치하는 조합은 아래의 ABCDE 5가지이다.

이들을 아래와 같이 조합하여 2진수 4자리의 각 자리에 할당하면 0부터 15까지의 수로 이루어진 4방진을 만들 수 있다. 게다가 전체에 1씩 더함으로써, 일반적인 1부터 16까지의 수로 이루어진 마방진을 얻을 수 있다.

A=
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}

,B=
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}

,C=
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}

,D=
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}

,E=
$$
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}


All1＝
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}


Sample: 8*A + 4*B + 2*A' + B' + All1

$$
\begin{bmatrix}
8 & 8 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 8 & 8 \\
8 & 8 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 8 & 8 \\
\end{bmatrix}
　+　$$
\begin{bmatrix}
4 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 4 & 0 & 4 \\
0 & 4 & 0 & 4 \\
4 & 0 & 4 & 0 \\
\end{bmatrix}
　+　$$
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 2 \\
\end{bmatrix}
　+　$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
　+　$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}


$$
\begin{bmatrix}
8+4+2+1+1 & 8+0+0+0+1 & 0+4+2+0+1 & 0+0+0+1+1 \\
0+0+2+0+1 & 0+4+0+1+1 & 8+0+2+1+1 & 8+4+0+0+1 \\
8+0+0+1+1 & 8+4+2+0+1 & 0+0+0+0+1 & 0+4+2+1+1 \\
0+4+0+0+1 & 0+0+2+1+1 & 8+4+0+1+1 & 8+0+2+0+1 \\
\end{bmatrix}


$$
\begin{bmatrix}
16 & 9 & 7 & 2 \\
3 & 6 & 12 & 13 \\
10 & 15 & 1 & 8 \\
5 & 4 & 14 & 11 \\
\end{bmatrix}


4x4 마방진은 880가지가 있는 것으로 알려져 있으며, 위의 방법으로 그 6할에 해당하는 528가지를 만들 수 있다.

특히, A와 B만 방향을 바꿔 4가지 조합을 통해 범대각선 방향의 수의 합도 일치하는 완전 마방진 48종류를 만들 수 있다.
모든 수를 제곱해도 가로, 세로의 합이 일정한 것을 다중 마방진(multimagic square)이라고 부른다.

예:
$$
\begin{bmatrix}
16 & 41 & 36 & 5 & 27 & 62 & 55 & 18 \\
26 & 63 & 54 & 19 & 13 & 44 & 33 & 8 \\
1 & 40 & 45 & 12 & 22 & 51 & 58 & 31 \\
23 & 50 & 59 & 30 & 4 & 37 & 48 & 9 \\
38 & 3 & 10 & 47 & 49 & 24 & 29 & 60 \\
52 & 21 & 32 & 57 & 39 & 2 & 11 & 46 \\
43 & 14 & 7 & 34 & 64 & 25 & 20 & 53 \\
61 & 28 & 17 & 56 & 42 & 15 & 6 & 35
\end{bmatrix}


그림은 8×8 마방진이다. 각 열의 숫자의 합은 260이 되고, 이 각 숫자를 제곱하면 가로, 세로 각 열의 합은 11180이 된다.

6.2. 다차원

--

마방진은 여러 가지 방법으로 분류할 수 있지만, 몇 가지 유용한 범주는 다음과 같다. 1, 2, ..., n²의 정수로 이루어진 n×n 정사각형 배열은 다음과 같이 불린다.

* 행과 열의 합이 마법 상수가 될 때, 반마방진.
* 행, 열 및 두 대각선의 합이 마법 상수가 되고 더 이상은 아닐 때, 단순 마방진. 일반 마방진 또는 정규 마방진이라고도 한다.
* 보완될 때(각 숫자가 n² + 1에서 빼졌을 때) 원본 마방진의 회전 또는 반사된 버전을 제공하는 마방진일 때, 자가 보완 마방진.
* 중심에서 직선으로 같은 거리에 있는 숫자에 모든 숫자를 더하면 n² + 1이 되는 추가적인 속성을 가진 마방진일 때, 결합 마방진. 대칭 마방진이라고도 한다. 결합 마방진은 홀수 배수 차수의 정사각형에는 존재하지 않는다. 모든 결합 마방진은 자가 보완 마방진이기도 하다.
* 깨진 대각선의 합이 마법 상수가 되는 추가적인 속성을 가진 마방진일 때, 판대각 마방진. 범마법진, 완전 마방진, 악마 마방진, 자이안 마방진, 또는 나식 마방진이라고도 한다. 판대각 마방진은 홀수 배수 차수에는 존재하지 않는다. 그러나 홀수 배수 비정규 마방진은 판대각일 수 있다.
* 결합 마방진이자 판대각 마방진일 때, 초마방진. 초마방진은 n ≥ 5 차수에만 존재한다.
* 바깥쪽 가장자리의 행과 열을 제거했을 때에도 마법이 유지되는 마방진일 때, 테두리 마방진. 정사각형의 테두리를 제거하면 연속적으로 다른 작은 테두리 마방진이 생기면 동심원 테두리 마방진이라고 한다. 테두리 마방진은 4차수에는 존재하지 않는다.
* 더 작은 마방진을 "곱하여"(어떤 의미에서) 생성된 마방진일 때, 합성 마방진의 차수가 더 작은 정사각형의 차수의 배수가 되도록 한다. 이러한 정사각형은 일반적으로 작은 겹치지 않는 마법 부속 정사각형으로 분할될 수 있다.
* 마법 부속 정사각형이 내장된 마방진일 때, 내장 마방진은 구성 기법에 관계없이 내장된다. 내장된 마법 부속 정사각형은 자체적으로 내장이라고 한다.
* 두 가지 추가 속성을 가진 판대각 마방진일 때, 최상 완벽 마방진 (i) 각 2×2 부속 정사각형은 n = 4k일 때 마법 상수의 1/k를 합하고, (ii) 모든 대각선(주요 또는 깨진)을 따라 n/2 떨어진 모든 정수 쌍은 보완적이다(즉, 그들은 n² + 1을 합한다). 첫 번째 속성은 컴팩트성이라고 하며, 두 번째 속성은 완전성이라고 한다. 최상 완벽 마방진은 짝수 배수 차수의 정사각형에만 존재한다. 4차수의 모든 판대각 정사각형은 또한 가장 완벽하다.
* 세 가지 추가 속성을 가진 짝수 배수 마방진일 때, 프랭클린 마방진 (i) 모든 굽은 대각선은 마법 상수를 더하고, (ii) 바깥쪽 가장자리에서 시작하는 모든 절반 행과 절반 열은 마법 상수의 절반을 더하고, (iii) 정사각형은 컴팩트하다.
* 1 ≤ k ≤ P에 대해 모든 숫자가 k 거듭제곱으로 대체되어도 마법이 유지되는 마방진일 때, 다중 마방진. P-다중 마방진 또는 사탄 마방진이라고도 한다. 2중 마방진, 3중 마방진, 4중 마방진, 및 5중 마방진이라고도 하며, P의 값은 각각 2, 3, 4, 및 5이다.
* 모든 수를 제곱해도 가로, 세로의 합이 일정한 것을 다중 마방진(multimagic square)이라고 부른다.

6.3. 곱셈 마방진

곱셈 마방진은 각 행, 열, 대각선의 숫자를 곱했을 때 그 결과가 모두 같은 마방진이다. 곱셈 마방진은 각 요소의 거듭제곱에 2(또는 다른 정수)를 취함으로써 가산 마방진에서 파생될 수 있는데, 이는 두 숫자의 곱의 로그가 각 로그의 합이기 때문이다. 예를 들어, 원래의 낙서 마방진은 다음과 같이 곱셈 마방진으로 변환될 수 있다.

다음은 곱셈 마방진의 다른 예시들이다.







알리 스칼리(Ali Skalli)의 방법을 사용하면, 복소수로 된 곱셈 마방진을 만들 수도 있다. 아래는 그 예시이다.

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📌 열 고정 해제

스칼리 복소수 7×7 곱셈 마방진

21

+14i

−70

+30i

−93

−9i

−105

−217i

16

+50i

4

−14i

14

−8i

63

−35i

28

+114i

−14i

2

+6i

3

−11i

211

+357i

−123

−87i

31

−15i

13

−13i

−103

+69i

−261

−213i

49

−49i

−46

+2i

−6

+2i

102

−84i

−28

−14i

43

+247i

−10

−2i

5

+9i

31

−27i

−77

+91i

−22

−6i

7

+7i

8

+14i

50

+20i

−525

−492i

−28

−42i

−73

+17i

54

+68i

138

−165i

−56

−98i

−63

+35i

4

−8i

2

−4i

70

−53i

24

+22i

−46

−16i

6

−4i

17

+20i

110

+160i

84

−189i

42

−14i

곱셈 마방진은 2의 거듭제곱{1, 2, 4}과 3의 거듭제곱{1, 3, 9}을 곱하거나, 홀수{1, 3, 5, 7}와 2의 거듭제곱{1, 2, 4, 8}을 곱하는 방식으로 만들 수도 있다.

예시 1: 2의 거듭제곱과 3의 거듭제곱을 곱한 경우

$$
\begin{bmatrix}
2 & 9 & 12 \\
36 & 6 & 1 \\
3 & 4 & 18
\end{bmatrix}


이 마방진은 다음과 같이 분해할 수 있다.

👆

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📌 열 고정 해제

2의 거듭제곱의 요소	3의 거듭제곱의 요소

예시 2: 홀수와 2의 거듭제곱을 곱한 경우

$$
\begin{bmatrix}
1 & 24 & 10 & 28 \\
14 & 20 & 3 & 8 \\
12 & 2 & 56 & 5 \\
40 & 7 & 4 & 6
\end{bmatrix}


이 마방진은 다음과 같이 분해할 수 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

홀수의 요소	2의 거듭제곱의 요소

7. 현대적 응용 및 기타

* 요한 볼프강 폰 괴테의 파우스트에서 마녀의 주문인 Hexen-Einmal-Eins^독일어는 마방진의 구성으로 해석되어 왔다.
* 영국의 작곡가 피터 맥스웰 데이비스는 그의 많은 작품을 구성하는데 마방진을 사용했다. 예를 들어 1975년 작품 Ave Maris Stella^영어는 달의 9x9 마방진을, 1977년 작품 A Mirror of Whitening Light^영어는 수성의 8x8 마방진을 사용했다. 등대(1979), 부활(1987), 스트래스클라이드 협주곡 3번 호른과 트럼펫(1989) 등 그의 많은 교향곡에서도 마방진이 활용되었다.
* 벤자민 프랭클린의 마방진을 포함한 마방진은 캐서린 네빌의 소설 The Eight와 The Fire에서 미스터리의 단서로 등장한다.
* 마방진은 스티브 마틴의 2003년 소설 The Pleasure of My Company^영어에서 중요한 역할을 한다.
* 댄 브라운의 2009년 소설 The Lost Symbol에서 뒤러의 마방진과 그의 멜랑콜리아 I가 큰 역할을 했다.
* 2011년 한국 드라마 뿌리깊은 나무에서 세종대왕이 33x33 마방진을 만들려고 시도하는 장면이 묘사된다.
* 2014년 10월 9일, 중화인민공화국 마카오 우체국은 마방진을 기반으로 한 우표 시리즈를 발행했다.
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* X파일 에피소드 생물 발생에서 금속 유물이 마방진이라고 주장된다.
* 수학자 맷 파커는 YouTube 채널 넘버파일에서 제곱수로 3x3 마방진을 만들려고 시도했다. 그의 실패한 시도는 파커 사각형으로 알려져 있다.
* 스타게이트 아틀란티스 시즌 1 에피소드 "형제애"는 마방진을 완성하는 내용을 담고 있다.
* 마방진은 2019년 스페인 영화 Vivir dos veces^스페인어(두 번 살고, 한 번 사랑하기)에도 등장한다.
* 각 행, 열, 대각선의 합이 모두 다른 것을 헤테로진(異質陣), 그 합이 모두 연속적인 수를 이루는 것을 안티진(反陣)이라고 부르는 경우가 있다.