이십이각형

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1. 개요

정이십이각형은 22개의 변과 꼭짓점을 갖는 다각형이다. 정이십이각형의 내각은 약 163.636°이며, 중심각과 외각은 약 16.363°이다. 한 변의 길이가 a인 정이십이각형의 면적 S는 $S = \frac{22}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{22} \simeq 38.25334 a^2$ 로 계산할 수 있다. 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도하는 것은 불가능하며, 종이접기로도 작도할 수 없다. 뉴시스 작도를 통해서는 작도가 가능하다.

이십이각형

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1. 개요
2. 정이십이각형의 성질
3. 정이십이각형의 작도
- 3.1. 작도 불가능성
- 3.2. 뉴시스 작도

2. 정이십이각형의 성질

정이십이각형의 중심각과 외각은 16.363…°이며, 내각은 163.636…°이다. 한 변의 길이가 a인 정이십이각형의 면적 S는 다음과 같다.

: $S = \frac{22}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{22} \simeq 38.25334 a^2$

$\cos (2\pi/22)$ 의 값은 거듭제곱근을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. 정11각형도 참조.

: $\begin{align}\cos \frac{2\pi}{22} =& \cos \frac{\pi}{11} = \cos\left(\pi- \frac{10\pi}{11} \right) = -\cos \frac{10\pi}{11} \\=& \frac{1}{10}\\&-\frac{-1-\sqrt{5}+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}+\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace } + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}-\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\&-\frac{-1-\sqrt{5}-i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}-\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace } + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}+\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\=& 0.959492...\end{align}$

2.1. 각

정이십이각형의 중심각과 외각은 약 16.363°이며, 내각은 약 163.636°이다. cos(2π/22)의 값은 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 정11각형을 참고하라.

2.2. 면적

한 변의 길이가 a인 정이십이각형의 면적 S는 다음과 같다.

: $S = \frac{22}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{22} \simeq 38.25334 a^2$

: $\cos (2\pi/22)$ 의 값은 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 정11각형을 참고하라.

2.3. 삼각함수 값

정이십이각형의 중심각과 외각은 16.363…°이며, 내각은 163.636…°이다. 한 변의 길이가 a인 정22각형의 면적 S는 다음과 같다.

: $S = \frac{22}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{22} \simeq 38.25334 a^2$

$\cos (2\pi/22)$ 의 값은 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다. 자세한 내용은 정11각형을 참조하라.

\begin{align}\cos \frac{2\pi}{22} =& \cos \frac{\pi}{11} = \cos\left(\pi- \frac{10\pi}{11} \right) = -\cos \frac{10\pi}{11} \\=& \frac{1}{10}\\&-\frac{-1-\sqrt{5}+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}+\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace }  + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}-\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\&-\frac{-1-\sqrt{5}-i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}-\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace }  + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}+\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\=& 0.959492...\end{align}

3. 정이십이각형의 작도

정이십이각형은 자와 컴퍼스를 사용한 작도가 불가능한 도형이다.

정이십이각형은 종이접기로는 작도가 불가능한 도형이다.

정이십이각형은 뉴시스 작도(Neusis)를 사용하여 작도가 가능하다.

3.1. 작도 불가능성

정22각형은 자와 컴퍼스를 사용한 작도가 불가능한 도형이다. 종이접기로도 작도가 불가능하다. 정22각형은 뉴시스 작도(Neusis)를 사용하여 작도가 가능하다.

3.2. 뉴시스 작도

정이십이각형은 뉴시스 작도를 사용하여 작도할 수 있다.