육각형

2. 정육각형

정다각형인 육각형은 슐래플리 기호 {6}을 가지며, 두 종류의 변을 교대로 갖는 절단된 정삼각형, t{3}으로 구성될 수 있다.^[2]

정육각형은 정변이고 정각인 육각형으로 정의된다. 이는 이중심으로, 원내접 (외접원이 있음)이자 접선 (내접원이 있음)임을 의미한다.

변의 공통 길이는 외접원 또는 외접원의 반지름과 같으며, 이는 아포테마 (내접원의 반지름)의 $\backslash tfrac\{2\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$ 배와 같다. 모든 내각은 120 도이다. 정육각형은 6개의 회전 대칭 (''6차 회전 대칭'')과 6개의 반사 대칭 (''6개의 대칭선'')을 가지며, 이는 이변수 군 D₆을 구성한다. 정육각형의 가장 긴 대각선은, 마주보는 꼭짓점을 연결하며, 한 변의 길이의 두 배이다. 이를 통해 정육각형의 중심에 꼭짓점을 두고 정육각형과 한 변을 공유하는 삼각형이 정삼각형이고, 정육각형이 여섯 개의 정삼각형으로 분할될 수 있음을 알 수 있다.

정사각형 및 정삼각형과 마찬가지로, 정육각형은 빈틈 없이 서로 맞물려 ''평면을 타일링''할 수 있으며 (각 꼭짓점에서 세 개의 육각형이 만남), 따라서 테셀레이션을 구성하는 데 유용하다. 벌집 벌집의 벌집 세포가 육각형인 이유는 이 모양이 공간과 건축 자재를 효율적으로 사용하기 때문이다. 정삼각형 격자의 보로노이 다이어그램은 육각형의 벌집 테셀레이션이다.

최대 지름 (육각형의 긴 대각선에 해당)인 ''D''는 최대 반지름 또는 외접원 반지름인 ''R''의 두 배이며, 이는 변의 길이인 ''t''와 같다. 최소 지름 또는 내접원의 지름(평행한 변의 간격, 평평한 면에서 평평한 면까지의 거리, 짧은 대각선 또는 평평한 바닥에 놓일 때의 높이)인 ''d''는 최소 반지름 또는 내접원 반지름인 ''r''의 두 배이다. 최대값과 최소값은 동일한 계수로 관련된다.

:$\backslash frac\{1\}\{2\}d\; =\; r\; =\; \backslash cos(30^\backslash circ)\; R\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; R\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; t$ 그리고 유사하게, $d\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; D.$

정육각형의 면적

:$\backslash begin\{align\}$

A &= \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 = 3Rr = 2\sqrt{3} r^2 \\[3pt]

&= \frac{3\sqrt{3}}{8}D^2 = \frac{3}{4}Dd = \frac{\sqrt{3}}{2} d^2 \\[3pt]

&\approx 2.598 R^2 \approx 3.464 r^2\\

&\approx 0.6495 D^2 \approx 0.866 d^2.

\end{align}

모든 정다각형의 경우, 면적은 아포템 ''a''와 둘레 ''p''로 표현될 수도 있다. 정육각형의 경우, 이 값은 ''a'' = ''r'' 및 ''p''$\{\}\; =\; 6R\; =\; 4r\backslash sqrt\{3\}$로 주어지므로,

:$\backslash begin\{align\}$

A &= \frac{ap}{2} \\

&= \frac{r \cdot 4r\sqrt{3}}{2} = 2r^2\sqrt{3} \\

&\approx 3.464 r^2.

\end{align}

정육각형은 외접원의 $\backslash tfrac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\backslash pi\}\; \backslash approx\; 0.8270$ 부분을 채운다.

'''정육각형'''(正六角形)은 정다각형의 조건을 만족하는 육각형이다. 이 때문에 정육각형은 다음과 같은 성질을 가진다.

각 변의 길이가 모두 같고, 모든 내각이 120°로 일정하다. 한 변의 길이를 a라고 하면, 둘레는 $6a\backslash ,\backslash !$이며, 외접원의 지름(대각선 길이)은 $2a\backslash ,\backslash !$이고, 내접원의 지름(대변 사이의 거리)은 $\backslash sqrt\{3\}a\backslash ,\backslash !$이며, 면적은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$A\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}a^2\; \backslash cot\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{3\; \backslash sqrt\{3\}\}\{2\}a^2\; \backslash simeq\; 2.59808\; a^2.$

한 변의 길이가 1인 정육각형은 반드시 단위 원에 내접한다. 이때 정육각형의 둘레는 6이며, 이는 단위 원의 원주보다 짧다. 단위 원의 지름은 2이므로, 원주율(=원주/지름)이 6/2 = 3보다 크다는 사실을 증명하는 간단한 방법으로 자주 사용된다. 고대부터 이 성질로 인해 원주율이 약 3보다 조금 큰 값이라는 것을 알 수 있었다.

또한, 합동인 정육각형을 규칙적으로 배열하면, 평면을 빈틈없이 채울 수 있는 테셀레이션 중 하나이다. 정육각형으로 평면을 채운 구조는 벌집 등에서 볼 수 있으며, 벌집 구조라고 불린다. 종이 등으로 만든 변형 가능한 여러 개의 원기둥을 내부 공간을 완전히 찌그러뜨리지 않으면서 원기둥 벽만 밀착시켜 묶으면 벌집 구조에 가까워진다는 사실도 알려져 있으며, 간단한 실험으로 확인할 수 있다. 벌집 구조는 적은 재료로 튼튼한 구조를 만들 수 있을 뿐만 아니라, 공간을 포함하기 때문에 경량화도 가능하며, 경우에 따라 방음 성능도 갖출 수 있어, 공업 제품에 사용된 사례도 볼 수 있다. 정다각형으로 분류되는 도형 중, 정육각형이 가장 많은 꼭짓점을 가지고 있다. 정팔각형 이상의 정다각형에 대해 평면 테셀레이션은 알려져 있지 않다.

2. 1. 정육각형의 성질

2. 2. 정육각형의 작도

2. 3. 대칭

• '''p6''': 세 개의 거울로 구성된 등각 육각형. 긴 변과 짧은 변이 번갈아 나타날 수 있다.
• '''d6''': 동일한 변 길이를 가지지만, 정점이 두 개의 서로 다른 내각을 번갈아 갖는 등면 육각형. '''p6'''의 쌍대 다각형이며, 정육각형 대칭 차수의 절반을 갖는다.
• '''i4''': 한 대칭 방향을 따라 평평하거나 늘어진 정육각형. 연장된 마름모로 볼 수 있다.
• '''d2'''와 '''p2''': 각각 수평 및 수직으로 늘어진 연.
• '''g2''': 반대쪽이 평행인 육각형. 평행사변형이라고도 한다.

2. 4. 분할

2D	마름모	평행사변형
	정 {6}	육각형 평행사변형
3D	정사각형 면		직사각형 면
	큐브		직육면체

2. 5. 관련 다각형 및 타일링

	80px				80px
정규 {6}	절단된 t{3} = {6}	과절단 삼각형			별 모양 별 모양 2{3}	절단된 t{6} = {12}	교대된 h{6} = {3}

교차 육각형	오목 육각형	자기 교차 육각형 (별 다각형)	확장 중심 {6} in {12}	비틀린 육각형, 정육면체 내	분할된 {6}	투영 팔면체	완전 그래프

정규 엇각 육각형은 3-3 쌍프리즘, 3-3 쌍각뿔, 5-단순체 등 고차원 정규, 균일 및 쌍대 다면체 및 다포체의 Petrie 다각형이며, 다음 엇각 직교 투영법으로 나타난다.

4차원		5차원
3-3 쌍프리즘	3-3 쌍각뿔	100px 5-단순체

3. 육각형의 종류

육각형은 내각의 크기에 따라 분류할 수 있다. 모든 내각이 180°보다 작은 육각형은 볼록 육각형, 하나 이상의 내각이 180°보다 큰 육각형은 오목 육각형이라고 한다. 변이 서로 교차하는 육각형은 자기 교차 육각형이라고 한다.

정육각형의 정점 배열을 가진 여섯 개의 자가 교차 육각형이 있다.^[11]

정점을 공유하는 자가 교차 육각형

Dih2			Dih1		Dih3

공통 변 ''a''를 갖는 임의의 볼록 등변 육각형(모든 변의 길이가 같은 육각형)에는 주 대각선 ''d''₁과 ''d''₂가 존재한다.

그 외에도 원에 내접하거나 외접하는 육각형, 르모와느 육각형등 다양한 종류의 육각형이 존재한다.^[12]

4. 자연에서 볼 수 있는 육각형

주상절리는 용암이 식으면서 부피가 줄어들어 만들어지는 육각형 기둥 형태의 지형이다.^[16][17] 제주도 주상절리대와 경주 양남 주상절리군이 대표적인 예시이다. 북아일랜드의 자이언츠 코즈웨이에서도 자연적으로 형성된 현무암 기둥을 볼 수 있다.

꿀벌의 벌집 방은 육각형 모양으로, 공간 효율성과 구조적 안정성을 높여준다. 육각형 격자는 넓은 영역을 가장 적은 수의 육각형으로 채울 때 각 선이 가장 짧아지기 때문에, 벌집은 건설에 필요한 밀랍을 절약하고 압축에 대한 강도를 높일 수 있다.

많은 곤충의 겹눈은 육각형 낱눈이 모여 이루어져 있다. 눈의 결정은 정육각형을 기본으로 다양한 패턴을 이룬다.

베나르 대류는 유체 내에서 온도 차이에 의해 발생하는 육각형 모양의 대류 패턴이다.

일부 광물은 육방정계 결정을 가지며, 육각형 모양의 기둥 형태를 띨 수 있다.^[13][14][15] 예를 들어 녹주석과 석영, 그리고 육각형 행크사이트 결정이 이에 해당한다.

토성의 북극에는 육각형 모양의 거대한 구름 패턴이 존재하는데, 이를 토성 육각형이라고 부른다.^[18] 1981년 탐사선 보이저 2호에 의해 처음 관측되었으며, 2014년 4월 2일에는 탐사선 카시니가 촬영한 사진이 공개되었다.

일부 거북의 등딱지는 육각형 모양의 각판으로 이루어져 있다.^[19]

벤젠은 6개의 탄소 원자가 정육각형 고리 모양으로 결합된 방향족 탄화수소이다.