오각형
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1. 개요
오각형은 5개의 변과 5개의 각을 가진 도형이다. 정오각형은 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 108°로 같은 오각형으로, 슐레플리 기호 {5}로 나타낸다. 정오각형은 5개의 선대칭과 회전 대칭을 가지며, 대각선은 변과 황금비를 이룬다. 별 모양 오각형 또는 오각별은 정별 오각형으로 슐레플리 기호는 {5/2}이다. 오각형에는 변의 길이에 따라 오등변오각형, 원에 내접하는 오각형, 직각오각형, 오등각오각형, 볼록 오각형과 오목 오각형 등의 종류가 있다. 정오각형은 컴퍼스와 자를 사용하여 작도가 가능하며, 다양한 작도법이 존재한다. 오각형은 펜타곤, 오각별, 불가사리 등 다양한 곳에서 활용된다.
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오각형 | |
---|---|
도형 정보 | |
이름 | 오각형 |
변의 수 | 5 |
각도 | 108° |
![]() |
2. 정오각형
'''정오각형'''은 꼭짓점과 변이 각각 5개인 정다각형이다. 정오각형의 내각은 108°이며, 외각은 72°이다.
정오각형은 5개의 선대칭을 가지며, 72°, 144°, 216°, 288°의 회전 대칭을 가진다. 볼록 정오각형의 대각선은 변과 황금비를 이룬다.
정오각형은 작도가 가능한 도형으로, 유클리드가 기원전 300년경 그의 저서 ''원론''에서 컴퍼스와 자를 사용한 작도법을 설명했다.[7][8]
정오각형은 Dih5 대칭을 가지며 차수는 10이다. 소수인 5를 차수로 가지므로, 이각 대칭을 갖는 하위 그룹(Dih1)과 2개의 순환군 대칭(Z5 및 Z1)이 존재한다. 존 콘웨이는 이러한 대칭을 문자와 그룹 차수로 표기했다.[10] 정규 형태의 전체 대칭은 '''r10'''이며, 대칭이 없는 것은 '''a1'''으로 표시된다. 이각 대칭은 꼭짓점을 통과하는지(대각선인 경우 '''d'''), 모서리를 통과하는지(수직인 경우 '''p''')에 따라 나뉘며, 반사선이 모서리와 꼭짓점 모두를 통과하는 경우 '''i'''로 표시된다. 중간 열의 순환 대칭은 중앙 회전 차수에 따라 '''g'''로 표시된다.
2. 1. 넓이와 길이
한 변의 길이가 인 정오각형의 넓이, 대각선 길이, 높이는 다음과 같다.식 | |
---|---|
넓이 | |
대각선 길이 | |
높이 |
변의 길이가 인 정오각형의 면적은 다음과 같이 구할 수도 있다.
:
정오각형의 외접원 반지름 이 주어지면, 면적은 다음과 같다.
:
외접원의 면적이 이므로 정오각형은 외접원의 약 0.7568을 채운다.
임의의 정다각형의 면적은 (여기서 ''P''는 다각형의 둘레, ''r''은 내접원 반지름)이다. 정오각형의 ''P''와 ''r'' 값을 대입하면 (변의 길이는 ''t'')를 얻는다.
정오각형의 변의 길이, 높이 , 폭 (대각선 길이 와 같음), 외접원 반지름 은 다음과 같은 관계를 가진다.
:
정오각형의 외접원 반지름 이 주어지면, 변의 길이 는 이다.
정오각형의 아포테마(내접원의 반지름) ''r''은 변의 길이 ''t''와 다음과 같은 관계를 갖는다.
:
2. 2. 작도
정오각형은 작도가 가능한 도형이다. 컴퍼스와 자를 이용해 정오각형을 작도하는 방법은 여러 가지가 있다.1. '''(초록색)''' 점 O를 중심으로 하는 원을 그린다.
2. 원 O 위의 점 A를 골라 직선 OA를 그린다.
3. 점 O를 지나면서 직선 OA와 수직인 직선을 그린다. 이 직선이 원 O와 만나는 두 점 중 한 점을 점 B라고 한다.
4. 선분 OB의 중점을 C라고 한다.
5. '''(빨간색)''' 점 C를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 C가 직선 OB와 만나는 두 점 중 원 O 안에 있는 점을 점 D라고 한다.
6. '''(파란색)''' 점 A를 중심으로 하면서 점 D를 지나가는 원을 그린다. 원 A가 원 O와 만나는 두 점을 각각 점 E와 점 F라고 한다.
7. 점 E를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 E가 원 O와 만나는 곳을 점 G라고 한다.
8. 점 F를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 F가 원 O와 만나는 곳을 점 H라고 한다.
9. '''(검은색)''' 오각형 AEGHF를 그린다.
리치몬드(Richmond) 방법
주어진 원에 내접하는 정오각형을 작도하는 방법 중 하나는 리치몬드가 제시한 방법이다.[3]
1. 원의 중심 ''C''에서 반지름의 중간 지점에 ''M''을 표시한다.
2. ''M''과 원의 중심 위 수직선상의 점 ''D''를 연결한다.
3. 각 ''CMD''를 이등분하여 수직 축과 점 ''Q''에서 만나게 한다.
4. ''Q''를 지나는 수평선과 원의 교점 ''P''를 찾으면, 선분 ''PD''가 내접하는 오각형의 한 변이 된다.
이 변의 길이는 피타고라스 정리와 반각 공식을 사용하여 구할 수 있다.
칼라일 원(Carlyle circles)을 이용한 방법

칼라일 원은 이차 방정식의 근을 기하학적으로 구하는 방법으로, 이를 이용하여 정오각형을 작도할 수 있다.[5]
1. 원을 그리고 중심점 ''O''를 표시한다.
2. 수평선을 긋고, 원과의 왼쪽 교차점을 ''B''로 한다.
3. 수직선을 긋고, 원과의 교차점을 ''A''로 한다.
4. ''O''와 ''B''의 중점 ''M''을 작도한다.
5. ''M''을 중심으로 하고 점 ''A''를 지나는 원을 그려, 수평선과의 교점 ''W''(원 안쪽)와 ''V''(원 바깥쪽)를 찾는다.
6. 반지름 ''OA''를 가지고 ''W''와 ''V''를 중심으로 하는 원을 그려 원래 원과의 교점을 찾는다. 이 교점들이 오각형의 꼭짓점 중 네 개가 된다.
7. 다섯 번째 꼭짓점은 수평선과 원래 원의 가장 오른쪽 교차점이다.
유클리드의 원론에 소개된 방법정오각형은 작도가 가능한 다각형이며, 컴퍼스와 자를 사용하여 작도할 수 있다. 이 과정은 기원전 300년경 유클리드가 그의 저서 ''원론''에서 설명했다.[7][8]
고전적인 작도 방법 중 하나는 다음과 같다.
(1) | (2) | (3) | (4) |
---|---|---|---|
-- | -- | -- | -- |
1. 직선상의 한 점 O를 중심으로 원을 그리고, 직선과 교차하는 두 점을 A, B로 한다. AB의 수직 이등분선, 그리고 OA의 수직 이등분선을 작도한다.
2. OA와 그 수직 이등분선이 교차하는 점을 C, 원 O와 AB의 수직 이등분선이 교차하는 점 중 하나를 D로 한다. CD를 반지름으로 하여, C를 중심으로 D에서 AB까지 호를 그린다. 호와 AB가 교차하는 점을 E로 한다.
3. DE를 반지름으로 하여, D를 중심으로 호를 그린다. 호가 원 O와 교차하는 두 점을 F, G로 한다.
4. 같은 반지름으로 F, G를 중심으로 호를 그린다. 이 호들이 원 O와 교차하는 다섯 점 D, F, G, I, H를 잇는 도형이 정오각형이다.
2. 3. 성질
정오각형은 5개의 선대칭을 가지며, 차수 5의 회전 대칭 (72°, 144°, 216° 및 288°)을 가진다. 볼록 정오각형의 대각선은 변과 황금비를 이룬다. 정오각형의 한 변과 대각선의 비율은 황금비와 같고, 정오각형의 교차하는 대각선은 서로를 황금비로 나눈다. 대각선의 길이가 서로 모두 같은 정다각형은 정오각형과 정사각형뿐이다. ''n''각형의 대각선의 개수를 ''m''개라고 할 때, ''n = m''이 성립하는 것은 ''n'' = 5, 즉 오각형뿐이다.[10]변의 길이가 일 때, 높이 , 폭 (대각선 길이 와 같음), 외접원 반지름 은 다음과 같다.
:
변의 길이가 인 볼록 정오각형의 면적은 다음과 같다.
:
정오각형의 외접원 반지름 이 주어지면, 변의 길이 는 다음 식으로 구할 수 있다.
:
그리고 면적은 다음과 같다.
:
외접원의 면적이 이므로 정오각형은 외접원의 약 0.7568을 채운다.
정오각형은 Dih5 대칭을 가지며 차수는 10이다. 5는 소수이므로 이각 대칭을 갖는 하나의 하위 그룹(Dih1)과 2개의 순환군 대칭(Z5 및 Z1)이 있다.
이 4개의 대칭은 오각형에서 4개의 고유한 대칭으로 볼 수 있다. 존 컨웨이는 이를 문자와 그룹 차수로 표시한다.[10] 정규 형태의 전체 대칭은 '''r10'''이며, 대칭이 없는 것은 '''a1'''으로 표시된다. 이각 대칭은 꼭짓점을 통과하는지(대각선인 경우 '''d''') 또는 모서리를 통과하는지(수직인 경우 '''p''')에 따라 나뉘며, 반사선이 모서리와 꼭짓점 모두를 통과하는 경우 '''i'''로 표시된다. 중간 열의 순환 대칭은 중앙 회전 차수에 따라 '''g'''로 표시된다.
각 하위 그룹 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용한다. '''g5''' 하위 그룹만이 자유도가 없지만 방향 모서리로 볼 수 있다.
3. 종류
오각형은 여러 종류로 나눌 수 있다.
- 오등변오각형: 5개의 변의 길이가 모두 같은 오각형이다. 내각은 다양한 값을 가질 수 있어 여러 형태가 가능하다.[1] 정오각형도 오등변오각형의 한 종류이다.
- 원에 내접하는 오각형 (Cyclic pentagons): 외접원이 다섯 꼭짓점을 모두 지나는 오각형으로, 원내 오각형이라고도 한다. 정오각형이 그 예시이다. 면적은 변의 길이에 대한 7차 방정식의 근으로 표현할 수 있다.[11][12][13] 변과 면적이 모두 유리수인 경우 로빈스 오각형이라 하며, 대각선에 대한 추측이 있다.[14]
- 직각오각형: 직각을 1개, 2개 또는 3개 가질 수 있다. 쌍곡기하학에서는 모든 내각이 직각인 오각형도 가능하다. 정오각형은 직각오각형이 아니다.
- 오등각오각형: 5개의 각 크기가 모두 같은 오각형으로, 각 하나의 크기는 108°이다.[23][24]
- 볼록 오각형과 오목 오각형: 모든 내각이 180°보다 작으면 볼록 오각형, 180°보다 큰 내각이 하나라도 있으면 오목 오각형이다.[26][27] 볼록 오각형에서는 대각선 제곱의 합과 변 제곱의 합 사이에 특정 부등식이 성립한다.[15]
3. 1. 오등변오각형
오등변오각형은 5개의 변의 길이가 같은 오각형이다. 그러나 오각형의 5개의 내각은 다양한 값을 가질 수 있기 때문에, 여러 오각형의 집합을 형성하는 것이 가능하다.[1] 또한, 정오각형도 5개의 변이 모두 같으므로 오등변오각형이라고 할 수 있다.
3. 2. 원에 내접하는 오각형 (Cyclic pentagons)
외접원이 다섯 개의 꼭짓점을 모두 지나는 오각형을 원내 오각형이라고 한다. 정오각형은 원내 오각형의 한 예시이다. 원내 오각형의 면적은, 정오각형이든 아니든, 오각형 변의 길이에 대한 계수를 갖는 7차 방정식의 근 중 하나의 제곱근의 4분의 1로 표현할 수 있다.[11][12][13]변과 면적이 모두 유리수인 원내 오각형을 로빈스 오각형이라고 부른다. 로빈스 오각형의 대각선은 모두 유리수이거나 모두 무리수여야 하며, 모든 대각선이 유리수여야 한다는 추측이 있다.[14]
3. 3. 직각오각형
직각오각형은 직각을 가진 오각형이다. 오각형은 1개, 2개 또는 3개의 직각을 가질 수 있으며, 일반적으로 4개나 5개의 직각은 가질 수 없다. 그러나 쌍곡기하학에서는 모든 내각이 직각인 오각형을 그릴 수 있다. 오각형의 2개의 직각과 3개의 직각에는 두 종류가 있으며, 직각은 연속되는 경우와 연속되지 않는 경우가 있다. 정오각형에는 직각이 없으므로 직각오각형이 아니다.3. 4. 오등각오각형
5개의 각의 크기가 모두 같은 오각형을 오등각오각형이라고 한다. 오등각오각형의 한 각의 크기는 108°이다.[23][24]3. 5. 볼록 오각형과 오목 오각형
오각형은 모든 내각이 180°보다 작으면 볼록 오각형, 180°보다 큰 내각이 하나라도 있으면 오목 오각형이다.[26][27]모든 볼록 오각형에서 대각선 제곱의 합은 변 제곱의 합의 3배보다 작다.[25] 예를 들어 변의 길이가 이고 대각선의 길이가 인 볼록 오각형에서는 다음 부등식이 성립한다.[15]
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4. 그 외 오각형 관련 사항
- 정오각형은 종이 띠 하나만으로 만들 수 있는데, 띠에 오버핸드 매듭을 묶고 종이 띠의 끝을 당겨 매듭을 조심스럽게 납작하게 만들면 된다. 오각형 위로 끝 중 하나를 다시 접으면 뒷면에서 오각별이 나타난다.[9]
- 오각형의 대각선을 연결한 별 모양을 '''오각별'''(펜타그램)이라고 한다. 나가사키시의 시 문장 등이 펜타그램이다.
- 미국 국방부를 속칭 '''펜타곤'''이라고 하는데, 이것은 버지니아주에 있는 본청사 건물이 오각형인 데서 유래한다.
- 하코다테시의 고료카쿠는 외곽에 튀어나온 삼각형을 조합한 오각형의 "릉보식(菱堡式)"을 채용한 별 모양 요새이다.
- 시타델 (퀘벡)도 별 모양 요새이다.
- 이이다즈카 이가나나가 만든 이바라키현쓰쿠바시야타베에 있는 오각당은 오각형 모양을 한 건축물이다.[28]
- 불가사리나 성게 등, 극피동물의 체제는 5방사 대칭을 기본으로 한다.
- 식물의 세계에서는 장미과나 가지과 등과 같이 5장의 꽃잎으로 구성된 오판화가 많다.
- 원석조류의 일종인 Braarudosphaera bigelowii|비게로이영어는 탄산 칼슘으로 이루어진 정오각형의 비늘 조각 (코콜리스)으로 덮여 있다.
- 야구에서 사용되는 홈베이스는 오각형 모양을 하고 있다. 홈베이스는 정오각형이 아닌, 정사각형을 바탕으로 만들어진 오각형이다.
- 쇼기의 말도 뾰족한 모양의 독특한 오각형을 하고 있다.
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