거듭제곱근

3. 역사

n제곱근을 구하는 연산에 대한 고어는 '라디케이션'(radication)이다. "surd"라는 용어는 알콰리즈미(825년경)까지 거슬러 올라가며, 그는 유리수와 무리수를 각각 "가청"과 "불가청"으로 언급했다. 이것은 나중에 무리수에 대한 아랍어 أصم|아삼^ar (, "귀머거리" 또는 "벙어리"를 의미)가 라틴어 surdus|수르두스^la ("귀머거리" 또는 "벙어리"를 의미)로 번역되었다. 제라르 드 크레모나(1150년경), 피보나치 (1202) 그리고 로버트 레코드 (1551)는 모두 $\backslash sqrt[n]\{r\}$ 형식의 ''미해결 무리근''을 언급하는 데 이 용어를 사용했다.^[6]

4. 성질

거듭제곱근의 차수를 $x^\{1/n\}$과 같이 지수 형태로 표현하면 거듭제곱과 근을 쉽게 조작할 수 있다. $a$가 음이 아닌 실수라면, 다음과 같이 표현할 수 있다.^[6]

:$$\backslash sqrt[n]\{a^m\}\; =\; (a^m)^\{1/n\}\; =\; a^\{m/n\}\; =\; (a^\{1/n\})^m\; =\; (\backslash sqrt[n]a)^m.$$

모든 음이 아닌 수는 정확히 하나의 음이 아닌 실수 $n$제곱근을 가지므로, 음이 아닌 피제곱근 $a$와 $b$를 포함하는 무리수 연산 규칙은 실수 범위 내에서 간단하다.^[6]

:$$\backslash begin\{align\}$$

\sqrt[n]{ab} &= \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \\

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

\end{align}

음수 또는 복소수의 $n$제곱근을 구할 때는 다음과 같은 미묘한 문제가 발생할 수 있다.^[6] 예를 들어,

:$$\backslash sqrt\{-1\}\backslash times\backslash sqrt\{-1\}\; \backslash neq\; \backslash sqrt\{-1\; \backslash times\; -1\}\; =\; 1$$

이지만,

:$$\backslash quad\backslash sqrt\{-1\}\backslash times\backslash sqrt\{-1\}\; =\; i\; \backslash times\; i\; =\; i^2\; =\; -1$$

이다.

$\backslash sqrt[n]\{a\}\; \backslash times\; \backslash sqrt[n]\{b\}\; =\; \backslash sqrt[n]\{ab\}$ 규칙은 음이 아닌 실수 피제곱근에만 엄격하게 적용되므로, 이 규칙을 적용하면 위의 첫 번째 단계에서 부등식이 발생한다.^[6]

5. 단순화된 근호 표현

중첩되지 않은 근호 표현은 근호 안의 인수가 지수보다 크거나 같은 거듭제곱으로 표현될 수 없고, 근호 안에 분수가 없으며, 분모에 근호가 없는 경우 '''단순화된 형태'''라고 한다.^[8]

예를 들어, 근호 표현 $\backslash textstyle\; \backslash sqrt\{32/5\}$를 단순화된 형태로 쓰려면 다음과 같이 진행할 수 있다.

:1. 먼저 제곱근 기호 아래에서 완전 제곱수를 찾아 제거한다.

:$$$$

\sqrt{\frac{32}{5}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 2}{5}}

= \sqrt{16} \cdot \sqrt{\frac{2}{5}} = 4 \sqrt{\frac{2}{5}}



:2. 다음으로, 근호 기호 아래에 분수가 있으므로 다음과 같이 변경한다.

:$$4\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{5\}\}\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash sqrt\{2\}\}\{\backslash sqrt\{5\}\}$$

:3. 마지막으로, 분모에서 근호를 제거한다.

:$$\backslash frac\{4\; \backslash sqrt\{2\}\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash sqrt\{2\}\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash sqrt\{10\}\}\{5\}\; =\; \backslash frac\{4\}\{5\}\backslash sqrt\{10\}$$

무리수를 포함하는 분모가 있는 경우, 표현식을 단순화하기 위해 분자와 분모 모두에 곱할 인수를 항상 찾을 수 있다.^[9][10] 예를 들어, 두 세제곱의 합의 인수분해를 사용한다.

:$$$$

\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} =

\frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\right)} =

\frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a + b} .

6. 무한 급수

근 또는 거듭제곱근은 다음의 무한 급수로 표현될 수 있다.

:$$(1+x)^\backslash frac\{s\}\{t\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash prod\_\{k=0\}^\{n-1\}\; (s-kt)\}\{n!t^n\}x^n$$

여기서 이다. 이 식은 이항 급수로부터 유도될 수 있다.

7. 계산 방법

뉴턴 방법을 사용하여 숫자 $A$의 $n$제곱근을 계산할 수 있다. 초기 추측값 $x_0$에서 시작하여 다음 점화 관계를 사용해 반복한다.^[6]

:$x_{k+1} = \frac{n-1}{n}x_k + \frac{A}{n}\frac{1}{x_k^{n-1}}$

원하는 정밀도에 도달할 때까지 반복한다.

예를 들어 34의 다섯제곱근을 구하려면 $n=5$, $A=34$, $x_0=2$ (초기 추측)을 대입한다. 처음 5번의 반복 결과는 다음과 같다 (근사치).^[6]

|$x_0$|$x_1$|$x_2$|$x_3$|$x_4$|$x_5$|

|---|---|---|---|---|---|

|2|2.025|2.024397...|2.024397458...|2.0243974584998850425108172...|2.024397458499885042510817245541937419114621701073118...|

(모든 정확한 숫자가 표시됨)

근사치 $x_4$는 소수점 25자리까지 정확하며, $x_5$는 51자리까지 정확하다.

• 왼쪽에서 시작하여 아직 사용하지 않은 가장 유효한(가장 왼쪽) 자릿수 그룹을 가져와서 이전 단계의 나머지 오른쪽에 쓴다(첫 번째 단계에서는 나머지가 없다). 즉, 나머지에 $10^n$을 곱하고 다음 그룹의 숫자를 더한다. 이것이 '''현재 값 $c$'''가 된다.
• 다음과 같이 $p$와 $x$를 찾는다.
• $p$를 소수점을 무시하고 '''지금까지 찾은 근의 일부'''로 둔다. (첫 번째 단계에서는 $p = 0$이고 $0^0 = 1$이다.)
• $y \le c$가 되도록 가장 큰 자릿수 $x$를 결정한다.
• 자릿수 $x$를 근의 다음 자릿수로, 즉 방금 가져온 자릿수 그룹 위에 놓는다. 따라서 다음 $p$는 이전 $p$에 10을 곱한 값에 $x$를 더한 값이 된다.
• 새 나머지를 형성하기 위해 $y$를 $c$에서 뺀다.
• 나머지가 0이고 더 가져올 숫자가 없으면 알고리즘이 종료된 것이다. 그렇지 않으면 다른 반복을 위해 1단계로 돌아간다.

8. 복소수 멱근

0이 아닌 모든 복소수는 서로 다른 n개의 n제곱근을 갖는다.^[6] 복소수의 두 제곱근은 항상 서로 반대 부호를 가진다.^[6] 예를 들어, 의 제곱근은 와 이며, ''i''|i^영어의 제곱근은 다음과 같다.^[6]

$$\backslash tfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}(1\; +\; i)\; \backslash quad\backslash text\{및\}\backslash quad\; -\backslash tfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}(1\; +\; i).$$

8. 1. 1의 거듭제곱근

9. 다항식의 해

한때 모든 다항 방정식은 대수적으로 해결될 수 있다는 추측이 있었다. 즉, 다항식의 모든 근은 유한 개의 근호와 기본 연산으로 표현될 수 있다는 뜻이다. 그러나 이는 3차 다항식(3차 함수)과 4차 다항식(4차 함수)에 대해서는 사실이지만, 아벨-루피니 정리(1824)는 차수가 5 이상일 때는 일반적으로 성립하지 않음을 보여준다. 예를 들어,

:$$x^5\; =\; x\; +\; 1$$

방정식의 해는 근호로 표현될 수 없다. (''참고'' 5차 방정식)

10. 유한체

유한체에 관하여, 그 위수는 소수 ''p''의 거듭제곱 ''q = p^f''이다. 이 때, 유한체 ''F''의 영원 0 이외의 원은 단위 원 1의 ''q-1''제곱근으로서 얻어진다. 즉,

:$F\; \backslash smallsetminus\; \backslash \{0\backslash \}\; =\; \backslash \{x\; \backslash in\; \backslash overline\{\backslash mathbb\{F\}\_p\}\; \backslash mid\; x^\{q-1\}\; -\; 1\; =\; 0\backslash \}$

가 성립한다. 여기서 $\backslash overline\{\backslash mathbb\{F\}\_p\}$는 위수 ''p''의 유한체 $\backslash mathbb\{F\}\_p$의 대수적 폐포이다. 또는

:$F\; =\; \backslash \{x\; \backslash in\; \backslash overline\{\backslash mathbb\{F\}\_p\}\; \backslash mid\; x^q\; -\; x\; =\; 0\backslash \}$

라고 적어도 마찬가지이다.

11. 멱근 확대

체 ''K''에 ''a''의 멱근 ''α''를 첨가하는 확대 ''K''(''α'')/''K''를 ''K''의 '''멱근 확대'''라고 한다.

만약 ''K''가 1의 원시 ''n'' 제곱근을 포함한다면 확대체 ''K''(''α'')는 이항 다항식 ''x''^''n'' - ''a''의 최소 분해체가 되며, 이 이항 다항식은 중근을 가지지 않으므로 확장은 갈루아 확대가 된다. 이를 '''쿠머 확대'''라고 부른다. 쿠머 확대는 순환 확대이며 그 확대 차수는 ''n''의 약수이다. 반대로 ''n''의 약수 ''d''에 대해, 확대 차수가 ''d''인 순환 확대 ''L''/''K''는, ''K''가 1의 원시 ''n'' 제곱근을 포함한다는 가정 하에 쿠머 확대이다. 이로부터 어떤 방정식이 계수에 대해 사칙 연산과 멱근을 첨가하는 조작을 유한 번 반복함으로써 풀릴 수 있다면(대수적으로 가해) 갈루아 군은 순환군만으로 구성된 조성열을 가져야 한다는 것을 알 수 있다. 이 성질은 추상군에 대해 가해군의 개념으로 정식화된다.

참조

_[1] 웹사이트 Lesson Explainer: nth Roots: Integers https://www.nagwa.co[...] 2023-07-22
_[2] 서적 New Approach to CBSE Mathematics IX https://books.google[...] Laxmi Publications
_[3] 서적 Algebra and trigonometry https://archive.org/[...] Prentice-Hall
_[4] 웹사이트 Definition of RADICATION https://www.merriam-[...]
_[5] 웹사이트 radication – Definition of radication in English by Oxford Dictionaries https://en.oxforddic[...]
_[6] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics http://jeff560.tripo[...] 2008-11-30
_[7] 서적 A Course of Pure Mathematics https://archive.org/[...] Cambridge
_[8] 서적 Elementary algebra https://books.google[...] Cengage Learning
_[9] 간행물 Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation
_[10] 논문 Simplification of Expressions Involving Radicals
_[11] 간행물 Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas http://visualiseur.b[...]
_[12] 문서 "「冪」の字の代わりに[[略字]]の「巾」を用いることがある。"
_[13] 문서 "{{math|exp(·)}} は[[自然指数関数]]、{{math|ln(·)}} は[[自然対数]]。"