일반형 게임

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 표현 방법
3. 일반형 게임의 용례
- 3.1. 우월전략과 내쉬 균형
- 3.2. 예시
4. 확장형 게임과의 관계
5. 수학적 일반화
6. 균형 개념
참조

1. 개요

일반형 게임은 게임 이론에서 사용되는 게임의 한 형태이다. 이 게임은 유한한 수의 플레이어, 각 플레이어의 순수 전략, 그리고 각 플레이어의 보수 함수로 구성된다. 일반형 게임은 플레이어들이 동시에 전략을 선택하는 상황을 모델링하며, 행렬 또는 표를 사용하여 표현할 수 있다. 이 게임은 우월 전략, 내쉬 균형과 같은 개념을 분석하는 데 사용되며, 죄수의 딜레마와 같은 실제 상황을 설명하는 데 활용된다. 또한 일반형 게임은 확장형 게임을 변환하여 표현할 수 있으며, 수학적으로 정의될 수 있다. 일반형 게임에는 내쉬 균형, 부분 게임 완전 균형과 같은 다양한 균형 개념이 존재한다.

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일반형 게임
개요
유형	게임의 한 유형
분야	경제학, 정치학, 생물학, 컴퓨터 과학
표현	행렬 형태
특징
플레이어 수	2명 이상
전략 수	유한함
정보	완전 정보
상호 작용	동시적
표현 방법
전략	각 플레이어가 선택할 수 있는 행동 계획
보수	각 플레이어가 전략 조합에 따라 얻는 이익 또는 손실
행렬	플레이어의 전략과 보수를 나타내는 표

2. 정의

일반형 게임은 게임 이론에서 동시에 행동을 결정하는 상황을 나타내는 기본적인 모델이다. 이는 주로 다음 세 가지 요소로 구성된다.

'''경기자'''(Player^eng): 게임에 참여하는 의사 결정 주체들의 유한한 집합이다.
'''전략'''(Strategy^eng): 각 경기자가 선택할 수 있는 가능한 행동들의 집합이다. 각 경기자는 일반적으로 여러 개의 순수 전략을 가진다.
'''보수'''(Payoff^eng): 모든 경기자가 각자의 전략을 선택했을 때, 그 결과로 각 경기자가 얻게 되는 효용이나 가치를 나타내는 함수이다.

수학적으로 일반형 게임(표준형 게임이라고도 함)은 종종 튜플

G = \langle P, \mathbf{S}, \mathbf{F} \rangle

(또는

\Gamma = \langle I, \mathbf{S}, \mathbf{u} \rangle

) 형태로 표현된다. 여기서 ''P'' (또는 ''I'')는 경기자들의 집합,

\mathbf{S}

는 각 경기자의 순수 전략 집합들의 모음, 그리고

\mathbf{F}

(또는

\mathbf{u}

)는 각 경기자의 보수 함수들의 모음을 의미한다.^[1]^[2]

2. 1. 표현 방법

일반형 게임은 주로 행렬(또는 표)을 사용하여 나타낸다. 이 행렬을 통해 각 경기자가 선택할 수 있는 전략들과, 특정 전략 조합이 선택되었을 때 각 경기자가 얻게 되는 보수(payoff)를 한눈에 파악할 수 있다.

일반형 게임 예시
플레이어 1 / 플레이어 2	왼쪽	오른쪽
위	4, 3	−1, −1
아래	0, 0	3, 4

오른쪽 표는 일반형 게임의 한 예시이다. 이 게임에서 경기자들은 동시에 행동을 결정한다. 즉, 상대방이 어떤 전략을 선택할지 모르는 상태에서 자신의 전략을 정한다. 각 칸에 표시된 숫자 쌍 (a, b)는 각 전략 조합의 결과로 얻는 보수를 의미한다. 첫 번째 숫자는 행 경기자(여기서는 플레이어 1)의 보수이고, 두 번째 숫자는 열 경기자(여기서는 플레이어 2)의 보수이다. 예를 들어, 플레이어 1이 '위' 전략을 선택하고 플레이어 2가 '왼쪽' 전략을 선택하면, 플레이어 1은 4의 보수를 얻고 플레이어 2는 3의 보수를 얻는다.

죄수의 딜레마, 사슴 사냥, 치킨 게임과 같은 게임을 포함하는 2인, 2전략 게임의 부분적인 위상

대칭 게임(어떤 경기자가 특정 전략을 선택하는지에 따라 보수가 달라지지 않는 게임)의 경우에는 표현을 더 간단하게 하기도 한다. 이때는 보통 행 경기자의 보수만 표시한다. 아래의 두 보수 행렬은 동일한 사슴 사냥 게임을 나타내는데, 왼쪽은 두 경기자의 보수를 모두 표시한 것이고, 오른쪽은 행 경기자의 보수만 표시한 것이다.

{| style="margin:0 auto;text-align:center;"

|

''두 경기자 보수 모두 표시''
플레이어 1 / 플레이어 2	사슴	토끼
사슴	3, 3	0, 2
토끼	2, 0	2, 2

| style="padding-left:2em;" |

''행 경기자 보수만 표시''
플레이어 1 / 플레이어 2	사슴	토끼
사슴	3	0
토끼	2	2

|}

수학적으로 일반형 게임(표준형 게임이라고도 함)은 세 가지 요소의 묶음 ''G'' = (''N'', ''S'', ''u'')로 정의된다. 여기서 ''N''은 경기자들의 집합, $S = \prod_{i \in N} S_i$ 는 가능한 모든 전략 조합의 집합인 '''전략 공간''', 그리고 $u = (u_i)_{i \in N}$ 는 각 경기자의 '''보수 함수''' 집합이다. 보수 함수 ''u_i''는 특정 전략 조합이 주어졌을 때 경기자 ''i''가 얻는 보수를 결정한다. 경기자 수와 각 경기자가 선택할 수 있는 전략의 수가 유한할 경우, 이를 '''유한 게임'''이라고 한다.

경기자 ''i''가 선택할 수 있는 개별 전략 하나하나를 '''순수 전략'''(pure strategy)이라고 한다. 만약 경기자가 여러 순수 전략 중 하나를 특정 확률에 따라 무작위로 선택한다면, 이를 '''혼합 전략'''(mixed strategy)이라고 한다. 혼합 전략은 각 순수 전략에 할당된 확률의 분포로 표현되며, 모든 확률의 합은 1이 된다.

특히 경기자가 두 명인 게임은 '''쌍행렬 게임'''(bimatrix game)^[1]으로 표현하는 경우가 많다. 아래 표는 경기자가 A와 B 두 명이고, 각 경기자의 전략과 그에 따른 보수 함수 ''u_A''와 ''u_B''를 명시적으로 보여주는 일반적인 표현 방식이다.^[2]

플레이어 A / 플레이어 B	전략 b₁	⋯	전략 b_{m_B}
전략 a₁	u_A(a₁, b₁), u_B(a₁, b₁)	⋯	u_A(a₁, b_{m_B}), u_B(a₁, b_{m_B})
⋮	⋮	⋱	⋮
전략 a_{m_A}	u_A(a_{m_A}, b₁), u_B(a_{m_A}, b₁)	⋯	u_A(a_{m_A}, b_{m_B}), u_B(a_{m_A}, b_{m_B})

3. 일반형 게임의 용례

일반형 게임(Normal-form game^eng) 또는 전략형 게임(Strategic form game^eng)은 게임 이론에서 사용되는 기본적인 게임 표현 방식 중 하나이다. 이는 게임에 참여하는 각 플레이어, 플레이어가 선택할 수 있는 전략들, 그리고 각 플레이어가 특정 전략 조합을 선택했을 때 얻게 되는 보수를 명확하게 명시한다.

일반형 게임은 주로 보수 행렬(payoff matrix^eng)을 사용하여 표현된다. 이 행렬은 각 플레이어가 동시에 또는 상대방의 선택을 알지 못한 채 자신의 전략을 결정하는 상황을 분석하는 데 유용하다. 행렬의 각 칸은 가능한 모든 전략 조합에 대한 각 플레이어의 보수를 나타낸다.

이러한 표현 방식은 다양한 사회적, 경제적 상호작용 상황을 모델링하고 분석하는 데 널리 사용된다. 예를 들어, 개인의 합리적 선택이 집단 전체에는 비효율적인 결과를 초래하는 죄수의 딜레마나, 협력의 중요성을 보여주는 사슴 사냥과 같은 고전적인 게임 모델들이 일반형 게임으로 표현되고 분석된다. 일반형 게임 분석을 통해 우월 전략이나 내쉬 균형과 같은 중요한 해 개념을 도출할 수 있다.

3. 1. 우월전략과 내쉬 균형

상대방이 어떤 전략을 선택하든 상관없이 자신에게 항상 더 유리한 결과를 가져다주는 전략을 우월 전략(Dominant Strategy) 또는 지배 전략이라고 한다. 모든 참여자가 현재 자신의 전략을 바꿀 유인이 없는 상태, 즉 어떤 참여자도 혼자서 전략을 변경하여 더 나은 결과를 얻을 수 없는 전략의 조합을 내쉬 균형(Nash Equilibrium)이라고 한다.

이러한 개념을 설명하는 데 자주 사용되는 예시로 죄수의 딜레마가 있다. 아래 표는 죄수의 딜레마 상황에서의 보수 행렬을 보여준다.

죄수의 딜레마 보수 행렬
플레이어 1 / 플레이어 2	협력	배신
협력	-1, -1	-5, 0
배신	0, -5	-2, -2

두 명의 죄수(플레이어 1, 플레이어 2)가 각자 '협력'(서로를 밀고하지 않음) 또는 '배신'(상대방을 밀고함)을 선택할 수 있다고 가정하자. 보수 행렬의 숫자는 각 죄수가 받게 될 형량(음수로 표현, 숫자가 클수록 좋은 결과)을 의미한다.

만약 플레이어 2가 '협력'을 선택한다면, 플레이어 1은 '협력'(-1)보다 '배신'(0)을 선택하는 것이 더 유리하다.
만약 플레이어 2가 '배신'을 선택한다면, 플레이어 1은 '협력'(-5)보다 '배신'(-2)을 선택하는 것이 더 유리하다.

즉, 플레이어 1의 입장에서는 플레이어 2가 어떤 선택을 하든 '배신'을 선택하는 것이 항상 더 나은 결과를 가져온다. 따라서 플레이어 1에게 '배신'은 우월 전략이다. 이 게임은 대칭적이므로, 플레이어 2에게도 마찬가지로 '배신'이 우월 전략이 된다. (플레이어 2의 보수인 각 칸의 두 번째 숫자를 비교해보면, 플레이어 1이 '협력'할 때 '배신'(0) > '협력'(-1)이고, 플레이어 1이 '배신'할 때 '배신'(-2) > '협력'(-5)이다.)

결과적으로 두 플레이어 모두에게 '배신'이 우월 전략이므로, 두 플레이어 모두 '배신'을 선택하는 ('배신', '배신') 조합이 이 게임의 유일한 내쉬 균형이 된다. 이 상태에서는 어떤 플레이어도 혼자서 전략을 '협력'으로 바꾸면 자신의 보수가 -2에서 -5로 감소하기 때문에, 전략을 바꿀 유인이 없다. 죄수의 딜레마는 각 개인이 자신의 이익을 추구하는 합리적인 선택을 했음에도 불구하고, 결과적으로는 둘 다 협력했을 때(-1, -1)보다 더 나쁜 결과(-2, -2)를 맞이하게 되는 상황을 보여준다.

3. 2. 예시

제공된 행렬은 플레이어들이 동시에 움직이거나 (또는 적어도 상대방의 움직임을 보기 전에 자신의 움직임을 결정하는) 행동 조합에 대해 명시된 보상을 받는 게임의 일반형 표현이다.

일반형 게임 예시
플레이어 1 \ 플레이어 2	왼쪽	오른쪽
위	4, 3	−1, −1
아래	0, 0	3, 4

예를 들어, 플레이어 1이 '위'를 선택하고 플레이어 2가 '왼쪽'을 선택하면, 플레이어 1은 4를 받고 플레이어 2는 3을 받는다. 각 칸에서 첫 번째 숫자는 행 플레이어(이 경우 플레이어 1)의 보상을 나타내고, 두 번째 숫자는 열 플레이어(이 경우 플레이어 2)의 보상을 나타낸다.

대칭 게임(어떤 플레이어가 각 행동을 선택하느냐에 따라 보상이 달라지지 않는 게임)은 종종 하나의 보상으로만 표현되기도 한다. 이 경우 표기된 보수는 행 플레이어의 보상이다. 예를 들어, 아래의 두 보수 행렬은 동일한 사슴 사냥 게임을 나타낸다. 왼쪽은 두 플레이어의 보수를 모두 표시한 것이고, 오른쪽은 행 플레이어의 보수만 표시한 것이다.

{| style="margin:0 auto;text-align:center;"

|

''사슴 사냥 (두 플레이어 보수)''
플레이어 1 \ 플레이어 2	사슴	토끼
사슴	3, 3	0, 2
토끼	2, 0	2, 2

| style="padding-left:2em;"|

''사슴 사냥 (행 플레이어 보수만)''
플레이어 1 \ 플레이어 2	사슴	토끼
사슴	3	0
토끼	2	2

|}

보수 행렬 형태는 지배 전략의 단계적 소거 과정을 파악하는 데 유용하다. 대표적인 예로 죄수의 딜레마가 있다.

''죄수의 딜레마''
죄수 1 \ 죄수 2	협력	배신
협력	−1, −1	−5, 0
배신	0, −5	−2, −2

이 게임에서 각 죄수는 '협력' 또는 '배신'을 선택할 수 있다. 만약 한 죄수만 '배신'하면 그는 즉시 풀려나고 다른 죄수는 장기간 감옥에 갇히게 된다(-5, 0 또는 0, -5). 그러나 둘 다 '배신'하면, 둘 다 '협력'했을 때(-1, -1)보다 더 긴 시간(-2, -2) 동안 감옥에 있게 된다.

죄수 1(행 플레이어)의 입장에서 생각해보자. 만약 죄수 2가 '협력'을 선택한다면, 죄수 1은 '협력'(-1)하는 것보다 '배신'(0)하는 것이 더 유리하다 (0 > -1). 만약 죄수 2가 '배신'을 선택한다면, 죄수 1은 '협력'(-5)하는 것보다 '배신'(-2)하는 것이 더 유리하다 (-2 > -5). 즉, 죄수 2의 선택과 관계없이 죄수 1에게는 '배신'이 항상 더 나은 결과를 가져다주는 우월 전략이다. 이 게임은 대칭적이므로, 죄수 2에게도 '배신'이 우월 전략이다.

따라서 두 죄수 모두 자신의 이익을 극대화하기 위해 '배신'을 선택하게 되며, 이 게임의 유일한 내쉬 균형은 (''배신'', ''배신'')이 된다.

관련된 보상 행렬을 가진 게임의 위상 공간을 매핑하면, 인접한 게임들이 가장 유사한 행렬 구조를 갖는다는 것을 볼 수 있다. 이는 보상의 점진적인 변화가 어떻게 게임의 성격을 변화시킬 수 있는지를 보여준다.

4. 확장형 게임과의 관계

순차 게임의 확장형 표현(게임 트리)과 일반형 표현(행렬). 부분 게임 완전 내쉬 균형은 파란색, 비완전 내쉬 균형은 빨간색으로 표시되어 있다.

확장형 게임은 시간의 흐름에 따라 플레이어들이 순차적으로 행동하는 게임을 나타내는 데 사용된다. 이는 보통 게임 트리 형태로 표현되어 각 마디(node)는 결정 시점을, 가지(branch)는 선택 가능한 행동을 보여준다. 반면, 일반형 게임은 주로 모든 플레이어가 동시에 행동하거나 상대방의 행동을 모른 채 결정하는 상황을 행렬 형태로 나타낸다.

일반형 게임의 행렬 표현은 기본적으로 움직임이 동시적이거나 정보가 불완전한 게임을 나타내는 데 적합하다. 예를 들어, 아래 제시된 행렬은 플레이어 1이 먼저 행동하고 플레이어 2가 이를 관찰한 후 행동하는 순차 게임을 직접적으로 나타내지는 못한다. 순차 게임을 일반형으로 표현하려면, 특정 상황이 실제 게임 과정에서 발생하지 않더라도 플레이어 2가 가능한 모든 상황에서 어떤 행동을 할지를 명시하는 전략을 정의해야 한다.

아래는 순차 게임의 예시를 일반형 게임 행렬로 나타낸 것이다.

align="bottom"|''순차 게임의 일반형 표현''
플레이어 1 \ 플레이어 2	왼쪽, 왼쪽	왼쪽, 오른쪽	오른쪽, 왼쪽	오른쪽, 오른쪽
위	4, 3	4, 3	−1, −1	−1, −1
아래	0, 0	3, 4	0, 0	3, 4

이 순차 게임에서 플레이어 2는 플레이어 1의 첫 행동('위' 또는 '아래')을 관찰한 후 자신의 행동('왼쪽' 또는 '오른쪽')을 결정한다. 따라서 플레이어 2의 전략은 플레이어 1의 행동에 따라 달라지는 네 가지 경우가 가능하다.

플레이어 1이 '위'를 선택하면 '왼쪽', '아래'를 선택해도 '왼쪽'을 선택한다. (표에서 ''왼쪽, 왼쪽'')
플레이어 1이 '위'를 선택하면 '왼쪽', '아래'를 선택하면 '오른쪽'을 선택한다. (표에서 ''왼쪽, 오른쪽'')
플레이어 1이 '위'를 선택하면 '오른쪽', '아래'를 선택하면 '왼쪽'을 선택한다. (표에서 ''오른쪽, 왼쪽'')
플레이어 1이 '위'를 선택하면 '오른쪽', '아래'를 선택해도 '오른쪽'을 선택한다. (표에서 ''오른쪽, 오른쪽'')

이처럼 확장형 게임은 정보 집합(Information set)이라고 불리는 특정 의사 결정 시점 ''h''에서 어떤 행동 ''a''를 선택할 것인지의 문제로 구성된다. 플레이어 ''i''가 행동하는 정보 집합들의 모음을 ''H_i''라 하고, 각 정보 집합 ''h_i''에서 선택 가능한 행동의 집합을 ''A''(''h_i'')라고 할 때, 플레이어 ''i''의 순수 전략은 각 정보 집합 ''h_i''에서 어떤 행동

s_i (h_i) \in A (h_i)

를 선택할지 명시하는 완전한 계획, 즉 사상

s_i: H_i \to \bigcup_{h_i\in H_i} A (h_i)

이다. 혼합 전략은 이러한 순수 전략들에 확률을 부여하는 것이며, 행동 전략은 각 정보 집합에서 가능한 행동들에 직접 확률을 부여하는 방식이다. 게임의 플레이어 수, 정보 집합 수, 행동 수가 유한할 경우, 행동 전략은 혼합 전략과 동일한 결과를 나타낸다(쿤의 정리).

확장형 게임에서 보수(payoff)는 게임 트리의 최종 결과(종점)에 도달했을 때 각 플레이어가 얻는 값으로 정의된다. 어떤 순수 전략의 조합

s = (s_i)_{i \in N}

가 주어지면 게임의 결과는 하나의 종점으로 유일하게 결정된다. 이를 통해, 확장형 게임의 각 전략 조합 ''s''에 대해 실수 값을 부여하는 새로운 보수 함수

u_i (s)

를 정의하여 일반형 게임의 보수 함수로 사용할 수 있다.

결론적으로, 모든 확장형 게임은 위와 같은 과정을 통해 일반형 게임 (''N'', ''S'', ''u'')으로 변환하여 나타낼 수 있다. 여기서 ''N''은 플레이어 집합, ''S''는 각 플레이어의 전략 집합의 곱, ''u''는 보수 함수를 의미한다.

5. 수학적 일반화

일반형 게임은 수학적으로 '''표준형 게임'''(normal-form game)으로 표현할 수 있다. 표준형 게임은 세 가지 요소의 묶음 ''G'' = (''N'', ''S'', ''u'')로 정의되며, 각 요소는 다음과 같다.

'''플레이어 집합 (N):''' 게임에 참여하는 플레이어들의 집합이다.
'''전략 공간 (S):''' 각 플레이어가 선택할 수 있는 모든 순수 전략들의 조합으로 이루어진 공간이다. 수학적으로는 각 플레이어 ''i''의 순수 전략 집합 ''S_i''들의 곱집합 $S = \prod_{i \in N} S_i$ 로 표현된다.
'''보수 함수 (u):''' 각 플레이어가 특정 전략 조합(전략 프로필)을 선택했을 때 얻는 보수(payoff)를 나타내는 함수들의 튜플이다. 즉, $u = (u_i)_{i \in N}$ 이며, 각 ''u_i''는 전략 공간 ''S''에서 실수 집합 $\mathbb R$ 로 가는 함수 $(u_i: S \to \mathbb R)$ 이다.

플레이어 집합 ''N''과 전략 공간 ''S''가 유한 집합일 경우, 이 게임을 '''유한 게임'''(finite game)이라고 부른다.

플레이어 ''i''의 '''순수 전략'''(pure strategy)은 해당 플레이어의 전략 집합 ''S_i''에 속하는 하나의 특정 전략을 의미한다.

만약 전략 집합 ''S_i''가 유한 집합이라면, 플레이어 ''i''의 '''혼합 전략'''(mixed strategy)은 각 순수 전략에 확률을 할당하는 방식으로 정의된다. 즉, 각 순수 전략 ''s_i'' ∈ ''S_i''에 대해 확률

\sigma_i (s_i)

를 부여하며, 이 확률들의 합은 1이 되어야 한다 (

\sum_{s_i \in S_i} \sigma_i (s_i) = 1

). ''S_i''가 유한 집합이 아닌 경우에는, ''S_i'' 위에 적절한 σ-대수를 정의하고 그 위의 확률 척도를 혼합 전략으로 간주하기도 한다.

특히 플레이어가 두 명인 2인 게임의 경우, '''쌍행렬 게임'''(bimatrix game)^[1]이라는 행렬 형태로 표현하는 것이 일반적이다. 아래 표는 플레이어 A와 플레이어 B가 각각 여러 전략({a₁, ..., a_{m_A}}, {b₁, ..., b_{m_B}})을 가질 때, 각 전략 조합에 따른 두 플레이어의 보수(''u_A'', ''u_B'')를 나타낸 예시이다.^[2]

플레이어 A \ 플레이어 B	전략 b₁	⋯	전략 b_{m_B}
전략 a₁	u_A(a₁, b₁), u_B(a₁, b₁)	⋯	u_A(a₁, b_{m_B}), u_B(a₁, b_{m_B})
⋮	⋮	⋱	⋮
전략 a_{m_A}	u_A(a_{m_A}, b₁), u_B(a_{m_A}, b₁)	⋯	u_A(a_{m_A}, b_{m_B}), u_B(a_{m_A}, b_{m_B})

6. 균형 개념

일반형 게임에서 사용되는 대표적인 균형 개념 및 이에 준하는 개념은 다음과 같다.

내시 균형
부분 게임 완전 균형
베이지안 내시 균형
순차 균형
섭동 완전 균형
합리화 가능성
진화적으로 안정적인 전략

참조

_[1] 웹사이트 双行列ゲームとは何？ Weblio辞書 https://www.weblio.j[...] 2021-01-24
_[2] 서적 ゼミナールゲーム理論入門日本経済新聞出版 2008-04-07

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