튜플

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1. 개요
2. 성질
- 2.1. 동일성
3. 정의
4. n-튜플의 총수 (중복 순열)
5. 형 이론
6. 길이에 따른 튜플의 이름
참조

1. 개요

튜플은 정해진 순서를 가지며, 중복된 원소를 포함할 수 있는 유한한 개수의 원소들의 순서 있는 나열이다. 튜플은 집합과 달리 원소의 순서가 중요하며, 같은 원소가 여러 번 나타날 수 있다. 튜플은 함수, 순서쌍, 내포된 집합을 이용하여 정의할 수 있으며, 튜플의 길이에 따라 널 튜플, 싱글, 순서쌍, 트리플 등으로 불린다. 튜플은 이산수학, 조합론, 타입 이론 등 다양한 분야에서 활용되며, n개의 원소를 가진 집합에서 원소를 취한 n-튜플의 총 개수는 mⁿ이다.

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튜플
튜플 정보
유형	수학, 전산학
정의	유한한 순서가 있는 요소들의 목록
수학적 정의
요소 나열 방식	(a₁, a₂, ..., aₙ)
순서	중요 (요소의 순서가 변경되면 다른 튜플로 간주됨)
중복	허용 (동일한 요소가 여러 번 나타날 수 있음)
n	튜플의 길이 (요소의 개수)
n-튜플	길이가 n인 튜플
명칭
0-튜플	빈 튜플
2-튜플	쌍, 순서쌍
3-튜플	세쌍
4-튜플	네쌍
프로그래밍
사용	함수에서 여러 값을 반환하거나, 여러 값을 묶어서 하나의 변수로 취급할 때 사용
특징	튜플은 불변(immutable)인 경우가 많음 (내용 변경 불가)
지원 언어	파이썬 스칼라 하스켈 자바스크립트 (일부)
기타
주의	튜플은 집합과는 달리 순서가 있고, 중복된 원소를 허용함

2. 성질

튜플은 집합과 구별되는 몇 가지 중요한 성질을 가진다.

순서: 튜플의 원소는 정해진 순서를 가지며, 순서가 바뀌면 다른 튜플이 된다. 예를 들어 (1, 2, 3)과 (3, 2, 1)은 서로 다른 튜플이다.
중복: 튜플은 중복된 원소를 포함할 수 있다. 예를 들어 (1, 2, 2, 3)은 유효한 튜플이다.
유한성: 튜플은 유한한 개수의 원소를 가진다.

2. 1. 동일성

두 n-튜플 (a₁, a₂, ..., aₙ)과 (b₁, b₂, ..., bₙ)이 같을 필요충분조건은 모든 i (1 ≤ i ≤ n)에 대해 aᵢ = bᵢ 가 성립하는 것이다.

따라서 튜플은 집합과 다음과 같은 점에서 다르다.

튜플은 같은 원소를 여러 번 가질 수 있다. (1, 2, 2, 3) ≠ (1, 2, 3)이지만, 집합은 {1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}이다.
튜플은 원소의 순서가 의미가 있다. (1, 2, 3) ≠ (3, 2, 1)이지만, 집합은 {1, 2, 3} = {3, 2, 1}이다.
튜플은 원소의 개수가 유한하지만, 집합이나 중복집합은 원소의 개수가 무한할 수 있다.

3. 정의

튜플에는 그 성질을 부여하기 위한 여러 가지 정의가 있다.^[1] 튜플을 정의하는 방법으로는 함수를 이용한 정의, 내포된 순서쌍을 이용한 정의, 내포된 집합을 이용한 정의 등이 있지만, 하위 섹션에서 자세하게 다루므로 여기서는 간략하게 다룬다.

3. 1. 함수를 이용한 정의

''n''-튜플은 튜플 성분들의 첨수들의 집합을 정의역, 튜플 성분들이 이루는 집합을 공역으로 하는 함수로 정의할 수 있다. 즉, 형식적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

(a_1,a_2,\ldots,a_n)\equiv(X,Y,F)

여기서

:

X=\{1,2,\ldots,n\}

:

Y=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}

:

F=\{(1,a_1),(2,a_2),\ldots,(n,a_n)\}

이를 덜 형식적으로 표현하면 다음과 같다.

:

(a_1,a_2,\ldots,a_n):=(F(1),F(2),\ldots,F(n))

0-튜플은 공집합 함수로 식별될 수 있다.

n \geq 1

에 대해, ''n''-튜플

\left(a_1, \ldots, a_n\right)

은 전사 함수로 식별될 수 있다.

:

F ~:~ \left\{ 1, \ldots, n \right\} ~\to~ \left\{ a_1, \ldots, a_n \right\}

정의역

:

\operatorname{domain} F = \left\{ 1, \ldots, n \right\} = \left\{ i \in \N : 1 \leq i \leq n\right\}

및 공역

:

\operatorname{codomain} F = \left\{ a_1, \ldots, a_n \right\},

즉,

i \in \operatorname{domain} F = \left\{ 1, \ldots, n \right\}

에서 다음과 같이 정의된다.

:

F(i) := a_i.

즉,

F

는 다음과 같이 정의되는 함수이다.

:

\begin{alignat}{3}1  \;&\mapsto&&\;  a_1 \\\;&\;\;\vdots&&\;      \\n  \;&\mapsto&&\;  a_n \\\end{alignat}

이 경우, 등식

:

\left(a_1, a_2, \dots, a_n\right) = \left(F(1), F(2), \dots, F(n)\right)

이 반드시 성립한다.

함수는 일반적으로 그래프로 식별되며, 이는 특정 순서쌍의 집합이다. 실제로 많은 저자들이 함수의 정의로 그래프를 사용한다. "함수"의 이러한 정의를 사용하여, 위의 함수

F

는 다음과 같이 정의될 수 있다.

:

F ~:=~ \left\{ \left(1, a_1\right), \ldots, \left(n, a_n\right) \right\}.

집합을 다룰 수 있는 문맥에서, ''n''-튜플은 다음과 같은 사상으로 간주할 수 있다. 즉, 그 정의역은 튜플의 각 요소를 가리키는 내포적인 첨자 집합(첨자 집합)이며, 공역은 요소의 순서쌍 전체를 이루는 집합이다. 집합론의 언어로는

:

(a_1, a_2, \dots, a_n) \stackrel{\text{def}} (X,Y,F)

여기서

:

\begin{align}X & = \{1, 2, \dots, n\}                       \\Y & = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}                \\F & = \{(1, a_1), (2, a_2), \ldots, (n, a_n)\}. \\\end{align}

더 직관적인 표기법을 사용하면,

:

(a_1, a_2, \dots, a_n) \stackrel{\text{def}} (F(1), F(2), \dots, F(n))

로 정의된다.

3. 2. 내포된 순서쌍을 이용한 정의

집합론에서 튜플은 내포된(nested) 순서쌍으로 정의할 수 있다. 순서쌍은 미리 정의되어야 한다.

0-튜플, 즉 비어있는 튜플은 공집합 ∅^la로 정의한다.
양의 정수 n에 대해, n-튜플은 n-튜플의 첫 성분을 첫 성분으로 하고, 나머지 성분들로 이루어진 (n-1)-튜플을 둘째 성분으로 하는 순서쌍이다.
: $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, a_3, \ldots, a_n))$

이 정의를 조금 큰 n에 대해 펼쳐보면 다음과 같다.

:

(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, (a_3, (\ldots, (a_{n-2}, (a_{n-1}, (a_n, ∅

^la)))\ldots))))

예를 들면 다음과 같다.

:

(1, 2, 3, 4) = (1, (2, 3, 4)) = (1, (2, (3, 4))) = (1, (2, (3, (4, ∅

^la))))

위 정의에서 방향만 바뀐 경우인 다음의 정의법도 있다.

0-튜플은 공집합이다.
n > 0에 대해, n-튜플은 다음과 같은 순서쌍이다.
: $(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n) = ((a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}), a_n)$

이 정의를 재귀적으로 적용하면 다음과 같다.

:

(a_1, a_2, \ldots, a_n) = ((\ldots(((∅

^la, a_1), a_2), \ldots), a_n)

예를 들면 다음과 같다.

:

(1, 2, 3, 4) = ((((∅

^la, 1), 2), 3), 4)

3. 3. 내포된 집합을 이용한 정의

쿠라토프스키의 정의를 사용하면 튜플은 집합만으로 정의될 수 있다.^[1]

# 0-튜플은 공집합 ∅이다.

#

n

-튜플

x = (a_1, a_2, \ldots, a_n)

에

b

를 추가한 튜플

(a_1, a_2, \ldots, a_n, b)

는 다음과 같은 집합이다.

#:

x \rightarrow b \equiv \{\{x\}, \{x, b\}\}

예를 들면 다음과 같다.

:

\begin{array}{lclcl}()      & &                     &=& \emptyset                                    \\& &                     & &                                              \\(1)     &=& ()    \rightarrow 1 &=& \{\{()\},\{(),1\}\}                          \\& &                     &=& \{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}            \\& &                     & &                                              \\(1,2)   &=& (1)   \rightarrow 2 &=& \{\{(1)\},\{(1),2\}\}                        \\& &                     &=& \{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\},     \\& &                     & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\}    \\& &                     & &                                              \\(1,2,3) &=& (1,2) \rightarrow 3 &=& \{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}                    \\& &                     &=& \{\{\{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\}, \\& &                     & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\}\}, \\& &                     & & \{\{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\},   \\& &                     & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\},3\}\}                                       \\\end{array}

4. n-튜플의 총수 (중복 순열)

개의 원소를 가진 집합에서 원소를 취한 -튜플은 중복순열이라고 부른다. 이러한 튜플의 수는 이다(곱 규칙에 의해).^[18] 다른 관점에서, 집합 의 크기가 이라면, 곱집합 의 크기는 이다.

5. 형 이론

타입 이론에서, 프로그래밍 언어에서 사용되는 튜플은 곱 형식을 갖는다. 이는 길이뿐만 아니라 각 구성 요소의 기본 타입도 고정한다. 형식적으로 다음과 같다.

: $(x_1, x_2, \ldots, x_n) : \mathsf{T}_1 \times \mathsf{T}_2 \times \ldots \times \mathsf{T}_n$

그리고 사영은 항 생성자이다.

: $\pi_1(x) : \mathsf{T}_1,~\pi_2(x) : \mathsf{T}_2,~\ldots,~\pi_n(x) : \mathsf{T}_n$

관계형 모델에서 사용되는 레이블이 지정된 요소를 가진 튜플은 레코드 타입을 갖는다. 이 두 타입 모두 단순 타입 람다 계산법의 간단한 확장으로 정의할 수 있다.^[9]

타입 이론에서의 튜플 개념과 집합론에서의 튜플 개념은 다음과 같은 방식으로 관련되어 있다. 타입 이론의 자연스러운 모델을 고려하고, 스콧 괄호를 사용하여 의미론적 해석을 나타내는 경우, 모델은 다음과 같은 집합 $S_1, S_2, \ldots, S_n$ 으로 구성된다(여기에서 이탤릭체를 사용하여 타입을 집합과 구분함).

: $[\![\mathsf{T}_1]\!] = S_1,~[\![\mathsf{T}_2]\!] = S_2,~\ldots,~[\![\mathsf{T}_n]\!] = S_n$

그리고 기본 항의 해석은 다음과 같다.

: $[\![x_1]\!] \in [\![\mathsf{T}_1]\!],~[\![x_2]\!] \in [\![\mathsf{T}_2]\!],~\ldots,~[\![x_n]\!] \in [\![\mathsf{T}_n]\!]$ .

타입 이론의 $n$ -튜플은 집합론의 $n$ -튜플로 자연스럽게 해석된다.^[10]

: $[\![(x_1, x_2, \ldots, x_n)]\!] = (\,[\![x_1]\!], [\![x_2]\!], \ldots, [\![x_n]\!]\,)$

단위 타입은 0-튜플로 의미론적으로 해석된다.

6. 길이에 따른 튜플의 이름

튜플의 길이에 따라 다른 이름으로 불린다. 다음은 튜플의 길이에 따른 이름과 다른 이름을 나타낸 표이다.

튜플의 길이, $n$	이름	다른 이름
0		널 튜플 / 빈 시퀀스 / 유닛 / 0튜플
1	모뉴플	싱글 / 싱글톤 / 모나드 / 1튜플
2	커플	더블 / 순서쌍 / 투플 / 트윈 / 듀얼 / 듀드 / 다이애드 / 투섬 / 2튜플
3	트리플	트레블 / 트리플렛 / 트라이어드 / 순서트리플 / 쓰리섬
4	쿼드러플	쿼드 / 테트라드 / 쿼텟 / 쿼드러플렛
5	퀸튜플	펜튜플 / 퀸트 / 펜타드
6	섹스튜플	헥스튜플 / 헥사드
7	셉튜플	헵튜플 / 헵타드
8	옥튜플	옥타 / 옥텟 / 옥타드 / 옥튜플렛
9	노뉴플	노나드 / 에니아드
10	데큐플	데카드 / 데케이드 (구식)
11	언데큐플	헨데큐플 / 헨데카드
12	듀오데큐플	더즌 / 듀오데카드
13	트레데큐플	[베이커스 더즌]
14	쿼터데큐플	더블 셉튜플
15	퀸데큐플	트리플 퀸튜플
16	섹스데큐플	쿼드러플 쿼드러플
17	셉텐데큐플
18	옥토데큐플
19	노벰데큐플
20	비긴튜플
21	언비긴튜플
22	듀오비긴튜플
23	트레비긴튜플
24	쿼터비긴튜플
25	퀸비긴튜플
26	섹스비긴튜플
27	셉텐비긴튜플
28	옥토비긴튜플
29	노벰비긴튜플
30	트리긴튜플
31	언트리긴튜플
32	듀오트리긴튜플
40	쿼드라긴튜플
41	언쿼드라긴튜플
50	퀸콰가긴튜플
60	섹사가긴튜플
70	셉투아긴튜플
80	옥토가긴튜플
90	농겐튜플
100	센튜플
1,000	밀루플	킬리아드

"튜플"이라는 용어는 싱글, 커플/더블, 트리플, 쿼드러플, 퀸튜플, 섹스튜플, 셉튜플, 옥튜플 등과 같이 라틴어 숫자 이름에서 가져온 접두어를 사용하여 만들어졌다. 0-튜플은 "널 튜플" 또는 "빈 튜플", 1-튜플은 "싱글", 2-튜플은 "순서쌍" 또는 "커플", 3-튜플은 "트리플"이라고 한다. $n$ 은 음이 아닌 정수가 될 수 있다. 예를 들어, 복소수는 실수 2-튜플, 쿼터니언은 4-튜플, 옥토니언은 8-튜플, 세데니언은 16-튜플로 표현할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Algebraic data type - HaskellWiki https://wiki.haskell[...]
_[2] 웹사이트 Destructuring assignment https://developer.mo[...] 2023-04-18
_[3] 웹사이트 Does JavaScript Guarantee Object Property Order? https://stackoverflo[...]
_[4] 백과사전 N-tuple http://www.oxfordref[...] Oxford University Press 2015-05-01
_[5] 서적 The Oxford Dictionary of Philosophy https://books.google[...] Oxford University Press 2017-06-30
_[6] 문서 OED, s.v. "triple", "quadruple", "quintuple", "decuple"
_[7] 논문
_[8] 논문
_[9] 서적 Types and Programming Languages https://archive.org/[...] MIT Press
_[10] 간행물 From sets, to types, to categories, to sets http://www.andrew.cm[...]
_[11] 웹사이트 N‐tuple - Oxford Reference http://www.oxfordref[...] 2015-05-01
_[12] 웹사이트 Ordered n-tuple - Oxford Reference http://www.oxfordref[...] 2015-05-01
_[13] 서적 Types and Programming Languages MIT Press
_[14] 간행물 From sets, to types, to categories, to sets http://www.andrew.cm[...]
_[15] 웹인용 N‐tuple - Oxford Reference http://www.oxfordref[...] 2015-05-01
_[16] 웹인용 Ordered n-tuple - Oxford Reference http://www.oxfordref[...] 2015-05-01
_[17] 논문
_[18] 논문

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