곱집합

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

곱집합은 여러 집합들의 원소들을 순서쌍으로 묶어 새로운 집합을 만드는 연산이다. 두 집합 A와 B의 곱집합 A × B는 A의 원소 a와 B의 원소 b를 짝지은 순서쌍 (a, b)의 집합이며, n개의 집합의 곱집합은 n-튜플들의 집합이다. 곱집합은 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하지 않지만, 분배 법칙은 성립한다. 곱집합은 기하학, 그래프 이론, 범주론 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 데카르트 좌표 평면이나 카드 덱과 같은 구체적인 예시를 통해 직관적으로 이해할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

선택 공리 - 초른 보조정리
초른 보조정리는 공집합이 아니고 모든 사슬이 상계를 갖는 부분 순서 집합에서 적어도 하나의 극대 원소가 존재함을 보장하는 정리이다.
선택 공리 - 티호노프 정리
티호노프 정리는 콤팩트 공간들의 곱공간이 콤팩트 공간임을 나타내는 위상수학의 정리로, 선택 공리와 동치이며, 다양한 정리 증명과 여러 분야에 응용된다.
집합론의 기본 개념 - 치역
치역은 함수에서 정의역의 모든 원소에 대한 함숫값들의 집합으로, 공역의 부분집합이며, 함수의 상을 의미하거나 공역 전체를 의미하기도 한다.
집합론의 기본 개념 - 항등 함수
항등 함수는 집합 X의 각 원소를 자기 자신에게 대응시키는 함수로서, 정의역과 공역이 같은 집합 X에서 단사 함수이자 전사 함수이며, 함수 합성에서 항등원의 역할을 수행하는 중요한 개념이다.
이항연산 - 뺄셈
뺄셈은 두 수의 관계를 나타내는 연산으로, 덧셈의 역연산이며, 피감수에서 감수를 빼는 연산으로 차를 구하고, 반교환법칙과 결합 법칙은 성립하지 않으며, 다양한 계산 방법과 함께 여러 분야에서 활용된다.
이항연산 - 나눗셈
나눗셈은 하나의 수를 다른 수로 나누어 몫과 나머지를 구하는 기본적인 산술 연산이다.

곱집합
정의
정의	두 집합의 원소들을 순서대로 짝지어 새로운 집합을 만드는 연산
표기	A × B
원소	(a, b)
일반적인 표기
일반적인 표기	A₁ × A₂ × ... × Aₙ
튜플	(a₁, a₂, ..., aₙ)
예시
예시	집합 A = {1, 2}, B = {red, white, green} A × B = {(1, red), (1, white), (1, green), (2, red), (2, white), (2, green)}
성질
교환 법칙	일반적으로 성립하지 않음 (A × B ≠ B × A)
결합 법칙	성립 (A × (B × C) = (A × B) × C)
분배 법칙	교집합, 합집합에 대한 분배 법칙 성립
공집합	A 또는 B가 공집합이면 A × B도 공집합
크기	\|A × B\| = \|A\| × \|B\| (유한 집합인 경우)
활용
활용	관계형 데이터베이스, 그래프 이론 등 다양한 분야에서 활용

2. 정의

첨수족 $\{A_i\}_{i\in I}$ 의 곱집합 $\textstyle\prod_{i\in I}A_i$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\prod_{i\in I}A_i=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A_i\}$

유한 개의 집합 $A_1,A_2,\dotsc,A_n$ 의 곱집합 $A_1\times A_2\times\cdots\times A_n$ 은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(a_1,a_2,\dotsc,a_n)|a_i\in A_i\}$

집합 $A,I$ 에 대하여, $A$ 의 $I$ 번 곱집합 $A^I$ 는 다음과 같다.

: $A^I=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A\}$

특히, 집합 $A$ 와 순서수 $\alpha$ 에 대한 $A$ 의 $\alpha$ 번 곱집합 $A^{\times\alpha}$ , 그리고 집합 $A$ 및 음이 아닌 정수 $n$ 에 대한 $A$ 의 $n$ 번 곱집합 $A^{\times n}$ 은 각각 다음과 같이 정의된다.

: $A^{\times\alpha}=\{(a_\beta)_{\beta<\alpha}|a_\beta\in A\}$

: $A^{\times n}=\{(a_1,a_2,\dotsc,a_n)|a_i\in A\}$

곱집합은 집합-구성 표기법을 사용하여 엄밀하게 정의할 수 있다. 집합 $A$ 와 $B$ 의 곱집합을 정의하기 위해, 순서쌍 $(a,b)$ 에 대한 쿠라토프스키 정의 $\{\{a\},\{a,b\}\}$ 를 사용하면, $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B))$ 집합 ( $\mathcal{P}$ 는 멱집합)을 영역으로 사용한다. 따라서 집합 $A$ 와 $B$ 의 곱집합은 다음과 같이 정의된다.^[6]

: $A\times B=\{x\in\mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B))\mid\exists a\in A\ \exists b\in B:x=(a,b)\}.$

집합론적 원리에서 데카르트 곱의 형식적 정의는 순서쌍의 정의로부터 유도된다. 순서쌍의 쿠라토프스키 정의는 $(x, y) = \{\{x\},\{x, y\}\}$ 이다. 이 정의에 따르면, $(x, y)$ 는 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))$ 의 원소이며, $X\times Y$ 는 그 집합의 부분 집합이다. ( $\mathcal{P}$ 는 멱집합 연산자) 따라서, ZFC에서 임의의 두 집합의 데카르트 곱이 존재한다는 것은 짝 공리, 합집합 공리, 멱집합 공리, 분리 공리로부터 유도된다. 함수는 관계의 특수한 경우로 정의되고, 관계는 보통 데카르트 곱의 부분 집합으로 정의되기 때문에, 두 집합의 데카르트 곱의 정의는 다른 대부분의 정의보다 우선한다.

2. 1. 유한 곱집합

n

개의 집합

A_1, A_2, \dots, A_n

의 곱집합은 다음과 같이 정의된다.

:

\prod^{n}_{i=1} A_i = A_1\times A_2\times\dotsb\times A_n := \{(a_1,\dots,a_n) \mid a_1 \in A_1 \wedge \ldots \wedge a_n \in A_n \}

여기서

(a_1, \dots, a_n)

는

a_1, \dots, a_n

의 순서가 정해진 ''n''-튜플이다.

2. 2. 무한 곱집합

첨수족^[11]이 임의의 인덱스 집합이고

\{X_i\}_{i\in I}

가 I에 의해 인덱스된 집합족이라면,

\{X_i\}_{i\in I}

의 집합들의 데카르트 곱은 다음과 같이 정의된다.

:

\prod_{i \in I} X_i = \left\{\left. f: I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ \right|\ \forall i\in I.\ f(i) \in X_i\right\}

즉, 특정 인덱스에서의 함수의 값이 ''X_i''의 원소인, 인덱스 집합에서 정의된 모든 함수의 집합이다. 모든 ''X_i''가 공집합이 아니더라도, 모든 그러한 곱이 공집합이 아니라는 명제와 동치인 선택 공리가 가정되지 않으면 데카르트 곱은 공집합일 수 있다.^[11] 다시 말해, 무한 개의 집합에 대한 곱집합은 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하는 함수들의 집합으로 정의되며, 이 정의에는 선택 공리가 필요하다.

I의 각 j에 대해, 함수

:

\pi_{j}: \prod_{i \in I} X_i \to X_{j},

:

\pi_{j}(f) = f(j)

로 정의된 함수는 '''j-번째 사영 맵'''이라고 한다.

반드시 유한하지 않은 집합 Λ로 첨자화된 집합족

\{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}

가 주어졌을 때, 이들의 곱집합은 사상의 집합

:

\{a\colon\Lambda \to \mathbf{A} \mid a(\lambda) \in A_\lambda,\,\forall\lambda\in\Lambda\} \subset \operatorname{Map}(\Lambda,\mathbf{A})\quad(\mathbf{A} := \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda)

와 같이 정의된다. 이는 또한

a_\lambda := a(\lambda)

로 놓으면, 원소의 족의 집합으로

:

\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda = \{(a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \mid a_\lambda \in A_\lambda,\, \forall\lambda \in \Lambda \}

로 쓸 수도 있다. Λ가 유한 집합이면 이는 앞에서 말한 유한 곱집합과 일치한다.

곱집합

\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda

에 대해, 각

A_\lambda

를 이 곱집합의 '''곱집합 인자'''라고 부른다. 각 곱집합 인자

A_\mu

(μ ∈ Λ)에 대해, 표준적으로 정해지는 전사

:

\pi_\mu\colon \prod_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \to A_\mu;\;(a_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} \mapsto a_\mu

를 제 μ 성분으로의 사영 또는 간단히 제 μ 사영이라고 부른다.

3. 성질

기수 (수학)|기수^한국어의 곱의 정의에 따라 $|A\times B|=|A||B|$ 이다.
기수 (수학)|기수^한국어의 거듭제곱의 정의에 따라 |A^B|=|A|^
이다.
$\varnothing\times A=A\times\varnothing=\varnothing$ 이다.
분배 법칙은 다음과 같이 성립한다.
* $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$
* $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$
* $A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus(A\times C)$
일반적인 경우 다음이 성립한다.
* $\prod_{i\in I}\bigcup_{j\in J}A_{ij}\supseteq\bigcup_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}$
* $\prod_{i\in I}\bigcap_{j\in J}A_{ij}=\bigcap_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}$
다음 두 조건은 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
* $\prod_{i\in I}A_i\subseteq\prod_{i\in I}B_i$
* $A_i=\varnothing$ 인 $i\in I$ 가 존재하거나, 임의의 $i\in I$ 에 대하여 $A_i\subseteq B_i$ 이다.
다음 두 조건은 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
* $\prod_{i\in I}A_i=\varnothing$
* $A_i=\varnothing$ 인 $i\in I$ 가 존재한다.

3. 1. 교환 법칙 및 결합 법칙
데카르트 곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다.^[4]

:A \times B \neq B \times A

순서쌍이 뒤바뀌기 때문에, 다음 조건 중 적어도 하나가 만족되지 않는 한 성립하지 않는다.^[8]
- A와 B가 같거나,
- A 또는 B가 공집합이다.
예를 들어:
- A = {1, 2}, B = {3, 4}
:* A × B = {1, 2} × {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

:* B × A = {3, 4} × {1, 2} = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}
- A = B = {1, 2}
:* A × B = B × A = {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
- A = {1, 2}; B = ∅
:* A × B = {1, 2} × ∅ = ∅

:* B × A = ∅ × {1, 2} = ∅

엄밀히 말하면, 데카르트 곱은 결합 법칙이 성립하지 않는다(관련된 집합 중 하나가 공집합인 경우는 제외).

:(A\times B)\times C \neq A \times (B \times C)

예를 들어 A = {1}이면, (A × A) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × (A × A)이다.

그러나 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 ((a,b),c)\mapsto(a,(b,c))가 존재한다.

순서쌍 (a, b)는, 만약 a, b (a ≠ b)가 모두 A에도 B에도 속해 있더라도, 일반적으로 (a, b) ≠ (b, a)이다. 그러므로 집합으로도, A = B 또는 적어도 어느 한쪽이 공집합이 아닌 한

:A\times B \ne B\times A

이다. 즉, 데카르트 곱은 이항 연산으로서 교환적이지 않다.

또한 엄밀히 말하면, 데카르트 곱은 결합적이지도 않다. 즉, A, B, C를 집합이라고 할 때,

:(A\times B)\times C,\quad A\times(B\times C),\quad A\times B\times C

는 모두 집합으로서 다르다. 그러나 오해의 소지가 없다면, 종종 이들 사이의 자연스러운 전단사

:((a,b),c) \gets\!\mapsto (a,(b,c)) \gets\!\mapsto (a,b,c)

에 의해 모두 동일시(성분의 배열을 바꾸지 않고 괄호만 뺌)된다.
3. 2. 분배 법칙
- 분배 법칙 $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$
- 분배 법칙 $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$
- 분배 법칙 $A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus(A\times C)$
- $\prod_{i\in I}\bigcup_{j\in J}A_{ij}\supseteq\bigcup_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}$
- $\prod_{i\in I}\bigcap_{j\in J}A_{ij}=\bigcap_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}$
교집합과 관련하여 데카르트 곱은 다음 속성을 만족한다.

: (A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D)^[13]

대부분의 경우, 교집합을 합집합으로 바꾸면 위의 명제가 참이 아니다.

: (A \cup B) \times (C \cup D) \neq (A \times C) \cup (B \times D)

실제로, 다음이 성립한다.

: (A \times C) \cup (B \times D) = [(A \setminus B) \times C] \cup [(A \cap B) \times (C \cup D)] \cup [(B \setminus A) \times D]

차집합에 대해서는 다음 등식이 성립한다.

: (A \times C) \smallsetminus (B \times D) = [A \times (C \smallsetminus D)] \cup [(A \smallsetminus B) \times C]

다음은 다른 연산자와의 분배성을 보여주는 몇 가지 규칙이다^[14]:
- $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
- $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$
- $A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)$
- $\complement(A \times B) = (\complement A \times \complement B) \cup (\complement A \times B) \cup (A \times \complement B)$ ^[13] (여기서 $\complement A$ 는 $A$ 의 여집합이다.)
일반적으로
- $(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda)\cap(\prod_{\mu\in\Lambda}B_\mu) = \prod_{\lambda\in\Lambda}(A_\lambda\cap B_\lambda)$
- $(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda)\times(\bigcup_{\mu\in\Mu}B_\mu) = \bigcup_{(\lambda,\mu)\in\Lambda\times\Mu}(A_\lambda\times B_\mu)$
- $(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda)\times(\bigcap_{\mu\in\Mu}B_\mu) = \bigcap_{(\lambda,\mu)\in\Lambda\times\Mu}(A_\lambda\times B_\mu)$
- $(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda)\cap(\bigcup_{\mu\in\Mu}B_\mu) = \bigcup_{(\lambda,\mu)\in\Lambda\times\Mu}(A_\lambda\cap B_\mu)$
- $(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda)\cup(\bigcap_{\mu\in\Mu}B_\mu) = \bigcap_{(\lambda,\mu)\in\Lambda\times\Mu}(A_\lambda\cup B_\mu)$
등이 성립한다.
3. 3. 사영 함수
곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.

:\pi_i\colon\prod_{i\in I}A_i\to A_i

:\pi_i\colon(a_i)_{i\in I}\mapsto a_i

보편 성질에 따르면, 임의의 첨수된 함수족 \{f_i\colon B\to A_i\}_{i\in I}에 대하여, f_i=\pi_i\circ f (i\in I)를 만족시키는 유일한 함수 f\colon B\to\prod_{i\in I}A_i가 존재한다.^[1]
3. 4. 기수(Cardinality)
- ((기수의 곱의 정의)) $|A\times B|=|A||B|$
- ((기수의 거듭제곱의 정의)) $|A^B|=|A|^$
집합의 기수는 집합의 원소의 개수이다. 예를 들어, 두 집합 및 에서, 집합 ''A''와 집합 ''B''는 각각 두 개의 원소로 구성된다. 두 집합의 데카르트 곱은 로 표기하며, 와 같이 새로운 집합이 된다.

의 각 원소는 의 각 원소와 짝을 이루며, 각 짝은 출력 집합의 한 원소를 구성한다. 결과 집합의 각 원소에 있는 값의 수는 데카르트 곱을 계산하는 집합의 수와 같으며, 이 경우 2이다. 출력 집합의 기수는 모든 입력 집합의 기수의 곱과 같다. 즉, 이다.^[4] 이 경우, 이다.

마찬가지로, 등과 같다.

집합 는 또는 가 무한 집합이고 다른 집합이 공집합이 아닌 경우 무한 집합이 된다.^[10] 유한 집합 의 곱집합 의 농도는 로 주어진다. 이것은 곱의 법칙에서 유도할 수 있다.

A × B
A＼B 1 3
0 (0,1) (0,3)
1 (1,1) (1,3)
2 (2,1) (2,3)
3 (3,1) (3,3)
예를 들어,

: (3 이하의 자연수의 집합)

: (3 이하의 홀수의 집합)

이 때, 이고, 이며, 실제로 임을 확인할 수 있다.

마찬가지로
- 농도의 곱의 의미로 가 성립한다. 특히 데카르트 거듭제곱에 관하여,
- 임의의 자연수 에 대하여 가 성립하며, 일반적으로
: 가 농도의 거듭제곱의 의미로 성립한다.

3. 5. 선택 공리
A = ∅ 인 λ ∈ Λ^영어가 적어도 하나 존재하면, \prod_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda = \varnothing임을 즉시 알 수 있지만, 그 역에 해당하는 명제는 선택 공리와 동치이다.^[1]

4. 예

4. 1. 카드 덱

표준 52장 카드 한 벌을 예로 들 수 있다. 표준 카드의 숫자 {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}는 13개의 원소를 갖는 집합이고, 카드의 무늬 ♠, ♥, ♦, ♣|스페이드, 하트, 다이아몬드, 클로버^영어는 4개의 원소를 갖는 집합이다. 이 두 집합의 곱집합은 52개의 순서쌍으로 구성된 집합을 반환하며, 이는 가능한 모든 52장의 카드에 해당한다.^[1]

''숫자'' × ''무늬''^영어는 {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)} 형태의 집합을 반환한다.^[1]

''무늬'' × ''숫자''^영어는 {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)} 형태의 집합을 반환한다.^[1]

이 두 집합은 서로 다르며 심지어 상호 배타적이지만, (3, ♣)가 (♣, 3)에 대응되는 등 자연스러운 전단사 관계가 있다.^[1]

4. 2. 데카르트 좌표 평면

실수 집합의 곱집합

\mathbb R^2

는 2차원 데카르트 좌표 평면을 나타낸다.^[7] 해석기하학에서 르네 데카르트는 평면의 각 점에 실수 쌍을 할당했는데, 이를 해당 점의 좌표라고 불렀다. 이 좌표는 도형을 수치적으로 표현하고, 그 표현에서 수치 정보를 추출하는 데 사용된다. 일반적으로 이러한 쌍의 첫 번째와 두 번째 요소는 각각 ''x'' 및 ''y'' 좌표라고 한다. 따라서 이러한 모든 쌍의 집합, 즉 실수 집합

\mathbb R

의 곱집합

\mathbb R \times \mathbb R

은 평면의 모든 점의 집합에 할당된다.

5. 역사

곱집합의 개념은 해석기하학의 데카르트 좌표계에서 찾을 수 있다. 르네 데카르트는 기하학적 도형을 수치적으로 표현하고, 도형의 수치적 표현에서 수치 정보를 추출하기 위해 평면의 각 점에 실수 쌍을 할당하고, 이를 해당 점의 좌표라고 불렀다. 일반적으로 이러한 쌍의 첫 번째와 두 번째 요소는 각각 ''x'' 및 ''y'' 좌표라고 불린다.(그림 참조)^[7]

따라서, 실수의 모든 집합, 즉 ℝ×ℝ (ℝ는 실수)라는 곱집합은 평면상의 모든 점의 집합에 대응한다.

6. n-항 곱집합 및 데카르트 거듭제곱

첨수족 $\{A_i\}_{i\in I}$의 곱집합 $\textstyle\prod_{i\in I}A_i$는 다음과 같이 정의된다.

:$\prod_{i\in I}A_i=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A_i\}$

특히, 유한 개의 집합 $A_1, A_2, \dotsc, A_n$의 곱집합 $A_1\times A_2\times\cdots\times A_n$은 다음과 같다.

:$A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(a_1,a_2,\dotsc,a_n)|a_i\in A_i\}$

이것은 n-튜플들의 집합이며, 튜플이 중첩된 순서쌍으로 정의되면, $(A_1 \times \cdots \times A_{n-1}) \times A_n$과 동일시될 수 있다.

데카르트 곱은 집합 $X_1, \dots, X_n$에 대한 '''n-ary 데카르트 곱'''으로 일반화될 수 있으며, 다음과 같다.

:$X_1\times\cdots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) \mid x_i \in X_i \ \text{for every} \ i \in \{1, \ldots, n\} \}$

집합 $A, I$에 대하여, $A$의 $I$번 곱집합 $A^I$는 다음과 같다.

:$A^I=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A\}$

특히, 집합 $A$와 순서수 $\alpha$에 대하여, $A$의 $\alpha$번 곱집합 $A^{\times\alpha}$는 다음과 같다.

:$A^{\times\alpha}=\{(a_\beta)_{\beta<\alpha}|a_\beta\in A\}$

특히, 집합 $A$ 및 음이 아닌 정수 $n$에 대하여, $A$의 $n$번 곱집합 $A^{\times n}$은 다음과 같다.

:$A^{\times n}=\{(a_1,a_2,\dotsc,a_n)|a_i\in A\}$

집합 $X$의 '''데카르트 제곱'''은 데카르트 곱 $X^2 = X \times X$이다. 예를 들어 $R$이 실수의 집합일 때, 2차원 평면 $R^2 = R \times R$이 있다.^[1] $R^2$는 $x$와 $y$가 실수인 모든 점 $(x,y)$의 집합이다. (데카르트 좌표계 참조).

집합 $X$의 '''n-ary 데카르트 거듭제곱'''은 $X^n$로 표기하며, 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$ X^n = \underbrace{ X \times X \times \cdots \times X}_{n}= \{ (x_1,\ldots,x_n) \ | \ x_i \in X \ \text{for every} \ i \in \{1, \ldots, n\} \}$

예로, $R$이 실수 집합일 때 $R^3 = R \times R \times R$이 있으며, 더 일반적으로는 $R^n$이 있다.^[1]

집합 A에 대해, 그 자체의 (임의 개수의) 곱으로 얻어지는 집합

: $A\times A,\,A^2:= A\times A,\,\ldots$

을 A의 '''데카르트 멱'''이라고 부른다. 음이 아닌 정수 n에 대해 n-승 데카르트 멱은

: $A^n := \prod_{i=1}^n A = \overbrace{A\times A\times\cdots\times A}^{n} = \{(a_1,a_2,\ldots,a_n) \mid a_i \in A,\,\forall i=1,\ldots,n\}$

로 주어진다.

7. 다른 분야에서의 활용

범주론에서 곱집합의 개념은 추상화되어 범주론적 곱으로 정의된다.^[1] 이는 데카르트 사각형의 개념과는 구별되지만 관련이 있으며, 데카르트 사각형은 섬유 곱의 일반화이다.^[1]

지수 대상은 데카르트 곱의 오른쪽 수반이다.^[1] 따라서 데카르트 곱(과 종대상)을 가진 모든 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.^[1]

직적은 다음과 같은 보편성을 갖는 것으로 특징지을 수 있다.^[1]

'''직적의 보편성'''

: 임의의 집합 와 임의의 사상족 가 주어졌을 때, 사상 로 를 만족하는 것이 단 하나 존재한다.^[1]

범주론의 언어로 말하면, 집합의 직적은 집합의 범주에서의 곱이다.^[1]

그래프 이론에서, 두 그래프 ''G''와 ''H''의 데카르트 곱은 ''G'' × ''H''로 표시되는 그래프이며, 이 그래프의 정점 집합은 (일반적인) 데카르트 곱 ''V''(''G'') × ''V''(''H'')이다. 두 정점 (''u'',''v'')와 (''u''′,''v''′)가 ''G'' × ''H''에서 인접하는 경우는 ''u'' = ''u''′이고 ''v''가 ''H''에서 ''v''′와 인접하거나, 또는 ''v'' = ''v''′이고 ''u''가 ''G''에서 ''u''′와 인접하는 경우에 한한다. 그래프의 데카르트 곱은 범주론적 의미에서의 곱이 아니다. 대신, 범주론적 곱은 그래프의 텐서 곱으로 알려져 있다.

7. 1. 범주론

범주론에서는 곱집합의 개념이 추상화되어 범주론적 곱으로 정의된다.^[1] 이는 범주론에서 데카르트 사각형의 개념과는 구별되지만 관련이 있으며, 데카르트 사각형은 섬유 곱의 일반화이다.^[1]

지수 대상은 데카르트 곱의 오른쪽 수반이다.^[1] 따라서 데카르트 곱(과 종대상)을 가진 모든 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.^[1]

직적은 다음과 같은 보편성을 갖는 것으로 특징지을 수 있다.^[1]

'''직적의 보편성'''

: 임의의 집합 와 임의의 사상족 가 주어졌을 때, 사상 로 를 만족하는 것이 단 하나 존재한다.^[1]

범주론의 언어로 말하면, 집합의 직적은 집합의 범주에서의 곱이다.^[1]

7. 2. 그래프 이론

그래프 이론에서, 두 그래프 ''G''와 ''H''의 데카르트 곱은 ''G'' × ''H''로 표시되는 그래프이며, 이 그래프의 정점 집합은 (일반적인) 데카르트 곱 ''V''(''G'') × ''V''(''H'')이다. 두 정점 (''u'',''v'')와 (''u''′,''v''′)가 ''G'' × ''H''에서 인접하는 경우는 ''u'' = ''u''′이고 ''v''가 ''H''에서 ''v''′와 인접하거나, ''또는'' ''v'' = ''v''′이고 ''u''가 ''G''에서 ''u''′와 인접하는 경우에 한한다. 그래프의 데카르트 곱은 범주론적 의미에서의 곱이 아니다. 대신, 범주론적 곱은 그래프의 텐서 곱으로 알려져 있다.

8. 추가 설명

함수의 곱집합은 두 함수를 결합하여 새로운 함수를 만드는 방법이다. 함수 ''f''가 ''X''에서 ''A''로, 함수 ''g''가 ''Y''에서 ''B''로 갈 때, 이들의 곱집합 ''f'' × ''g''는 ''X'' × ''Y''에서 ''A'' × ''B''로 가는 함수가 되며, (''f''×''g'')(x, y) = (''f''(''x''), ''g''(''y''))로 정의된다. 이는 튜플이나 무한 개의 함수에도 적용할 수 있다.

두 사상 ''f'': ''A'' → ''X'', ''g'': ''B'' → ''Y''가 있을 때, 곱집합 ''A'' × ''B''에서 ''X'' × ''Y''로의 사상은 (''f''×''g'')(''a'',''b'') := (''f''(''a''), ''g''(''b'')) (''a''∈''A'',''b''∈''B'')로 정의된다. 여기서 ''f'' × ''g''는 ''f''와 ''g''의 곱이라 불린다. 유한하거나 무한 개의 사상에 대해서도 이와 같이 곱을 정의할 수 있다.

''f'' × ''g''가 전사 또는 단사가 되려면, ''f''와 ''g'' 모두 전사 또는 단사여야 한다. 이는 여러 개의 사상에 대해서도 마찬가지로 적용된다.

집합의 범주에서 범주론적 곱의 한 예로, 고정된 인덱스 집합 ''I''를 가진 집합들의 곱을 들 수 있다.

집합 $A$와 그 부분집합 $B$가 있을 때, $B$의 $A$에 대한 원기둥은 $B$와 $A$의 곱집합 $B \times A$이다. 예를 들어, $B$가 자연수 $\mathbb{N}$의 부분 집합이면, $B$의 원기둥은 $B \times \mathbb{N}$이 된다.

8. 1. 함수의 곱집합

만약 ''f''가 ''X''에서 ''A''로 가는 함수이고, ''g''가 ''Y''에서 ''B''로 가는 함수라면, 이들의 곱집합 ''f'' × ''g''는 ''X'' × ''Y''에서 ''A'' × ''B''로 가는 함수이며, 다음과 같이 정의된다.

: (''f''×''g'')(x, y) = (''f''(''x''), ''g''(''y''))

이는 튜플 및 무한 개의 함수의 모임으로 확장될 수 있다. 이것은 집합으로 간주되는 함수의 표준 곱집합과는 다르다. 두 개의 사상 ''f'': ''A'' → ''X'', ''g'': ''B'' → ''Y''가 주어졌을 때, 곱집합 ''A'' × ''B''에서 곱집합 ''X'' × ''Y''로의 사상은 다음과 같이 정의할 수 있다.

: (''f''×''g'')(''a'',''b'') := (''f''(''a''), ''g''(''b'')) (''a''∈''A'',''b''∈''B'')

이때 ''f'' × ''g''를 사상 ''f'',''g''의 곱이라고 부른다. 임의의 유한 또는 무한 개의 사상의 곱도 마찬가지로 정의할 수 있다.

''f'' × ''g''가 전사 (resp. 단사)이기 위한 필요충분 조건은 ''f'', ''g''가 모두 전사 (resp. 단사)가 되는 것이다. 일반적으로, 사상의 족 (''f''_''λ'': ''A''_''λ'' → ''X''_''λ'')의 곱 1=''f'' = ∏''f''_''λ''가 전사 (resp. 단사)이기 위한 필요충분 조건은 임의의 (''f''_''λ'')가 전사 (resp. 단사)가 되는 것이다.

집합의 범주에서의 범주론적 곱의 예로, 고정된 인덱스 집합 ''I''로 인덱스화된 임의의 집합의 족 ''X''에 대해 그것들의 곱 ∏ ''X''를 대응시키고, 또한 그러한 집합의 족 사이의 사상의 족 ''f'': ''X'' → ''Y''에 대해 그것들의 곱 ∏ ''f''를 대응시키면, 그러한 대응은 형태의 함자(''I''-형 곱 함자)를 정의한다.

8. 2. 원기둥

집합 $A$가 있고 $B \subseteq A$일 때, $B$의 $A$에 대한 원기둥은 $B$와 $A$의 곱집합 $B \times A$이다.

일반적으로 $A$는 문맥의 전체 집합으로 간주되어 생략된다. 예를 들어, $B$가 자연수 $\mathbb{N}$의 부분 집합이면, $B$의 원기둥은 $B \times \mathbb{N}$이다.

참조

_[1] 간행물 Cartesian Product MathWorld 2020-09-05
_[2] 서적 Modern Algebra Dover Publications 1990
_[3] 웹사이트 Cartesian product definition https://mathinsight.[...] 2020-09-05
_[4] 웹사이트 Cartesian Product https://web.archive.[...] 2020-09-05
_[5] 웹사이트 Cartesian https://www.merriam-[...] 2009-12-01
_[6] 웹사이트 A Sketch of the Rudiments of Set Theory https://www2.lawrenc[...] 2023-05-05
_[7] 서적 Probability: An Introduction https://books.google[...] Courier Corporation
_[8] 웹사이트 Cartesian product http://cnx.org/conte[...] 2009-08-27
_[9] 웹사이트 Cartesian Product of Subsets https://proofwiki.or[...] 2011-02-15
_[10] 간행물 A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets http://www.mathpath.[...] 1998
_[11] 서적 Set Theory: An Introduction to Large Cardinals Studies in Logic and the Foundations of Mathematics
_[12] 서적 A Course in Game Theory MIT Press
_[13] PlanetMath Cartesian product
_[14] 웹사이트 Cartesian product http://cnx.org/conte[...] 2009-08-27
_[15] ProofWiki Cartesian Product of Subsets

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com

A × B
A＼B	1	3
0	(0,1)	(0,3)
1	(1,1)	(1,3)
2	(2,1)	(2,3)
3	(3,1)	(3,3)

곱집합