일반화된 f-평균

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1. 개요

일반화된 f-평균은 실수 구간 I를 실수로 사상하는 연속 단사 함수 f에 대해 정의되는 평균의 한 종류이다. f-평균은 f의 역함수를 사용하여 표현되며, f가 단조 함수이므로 f-평균은 튜플에서 가장 크거나 작은 숫자보다 크거나 작지 않다. f-평균은 대칭성, 멱등성, 단조성, 연속성, 대체성, 분할, 자기 분배성, 중간성, 균형성, 척도 불변성 등의 성질을 갖는다. f-평균은 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균, 멱평균 등의 일반적인 평균을 포함하며, 로그 반환의 평균으로도 나타낼 수 있다.

일반화된 f-평균

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2. 정의

f-평균은 실수 구간에서 정의된 연속 함수이자 단사 함수인 f를 이용하여 정의된다. f가 단사 함수이고 연속 함수이므로, f는 엄격히 단조 함수이며, 따라서 f-평균은 주어진 숫자들 중 가장 큰 값보다 크지 않고, 가장 작은 값보다 작지도 않다.

2.1. f-평균의 정의

f가 실수선의 구간 $I$ 를 실수로 사상하는 함수이고, 연속 함수이자 단사 함수이면, $n$ 개의 숫자
$x_1, \dots, x_n \in I$ 의 f-평균은 다음과 같이 정의된다.

: $M_f(x_1, \dots, x_n) = f^{-1}\left( \frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}n \right)$

다음과 같이 쓸 수도 있다.

: $M_f(\vec x)= f^{-1}\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \right)$

역함수 $f^{-1}$ 가 존재하기 위해서는 f가 단사 함수여야 한다. $f$ 가 구간에서 정의되므로, $\frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}n$ 는 $f^{-1}$ 의 정의역 안에 있다.

f가 단사 함수이고 연속 함수이므로, f는 엄격히 단조 함수이며, 따라서 f-평균은 튜플 $x$ 에서 가장 큰 숫자보다 크지도 않고 가장 작은 숫자보다 작지도 않다.

2.2. 역함수의 필요성

f^영어-평균의 정의에는 f^영어의 역함수 $f^{-1}$ 가 사용되므로, f^영어는 단사 함수여야 한다.

3. 성질

일반화된 f-평균( $M_f$ )은 다음과 같은 유용한 성질들을 가지고 있다.

* 대칭성: 입력값들의 순서를 바꾸어도 결과가 변하지 않는다.
* 멱등성: 모든 입력값이 동일한 경우 f-평균은 그 값과 같다.
* 단조성: $f$ 가 단조 함수이면, $M_f$ 도 각 인수에 대해 단조적이다.
* 연속성: $f$ 가 연속 함수이면, f-평균도 각 인수에 대해 연속이다.
* 대체성: 원소의 중복성을 유지하면서 부분 집합을 평균으로 대체할 수 있다.
* 분할: 동일한 크기의 하위 블록으로 나누어 계산할 수 있다.
* 자기 분배성, 중간성, 균형성: 두 변수의 준산술 평균에 대해 성립하는 성질들이다.
* [[중심 극한 정리]]: 충분히 큰 표본에 대해, f-평균은 근사적으로 정규 분포를 따른다.
* 척도 불변성: $f$ 의 오프셋 및 스케일링에 대해 불변이다.

3.1. 대칭성

f-평균은 입력 값들의 순서를 바꾸어도 결과가 변하지 않는다. 즉, M_f(x₁, ..., xₙ) = M_f(x₂, x₁, ..., xₙ) 등이 성립한다.

3.2. 멱등성

모든 x에 대해, M_f(x, ..., x) = x이다. 즉, 모든 입력값이 동일한 경우 일반화된 f-평균은 그 값과 같다.

3.3. 단조성

$f$ 가 단조 함수이면, $M_f$ 도 각 인수에 대해 단조적이다.

3.4. 연속성

f^영어가 연속 함수이면, f^영어-평균도 각 인수에 대해 연속이다.

3.5. 대체성

원소의 중복성을 유지하는 경우, 평균을 변경하지 않고도 원소의 부분 집합을 사전적으로 평균화할 수 있다. $m=M_f(x_1,\dots,x_k)$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $M_f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_n) = M_f(\underbrace{m,\dots,m}_{k \text{ 번}},x_{k+1},\dots,x_n)$

3.6. 분할

f-평균은 동일한 크기의 하위 블록으로 나누어 계산할 수 있다.

: $M_f(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) = M_f(M_f(x_1,\dots,x_{k}), M_f(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}), \dots, M_f(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))$

3.7. 자기 분배성

두 변수의 임의의 준 산술 평균 $M$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$

3.8. 중간성

두 변수의 준산술 평균 $M$ 에 대해, $M(M(x, y), M(z, w)) = M(M(x, z), M(y, w))$ 가 성립한다.

3.9. 균형성

두 변수의 임의의 준산술 평균 $M$ 에 대해, $M(M(x, M(x, y)), M(y, M(x, y))) = M(x, y)$ 가 성립한다.

3.10. 중심 극한 정리

정규성 조건 하에서, 충분히 큰 표본에 대해, $\sqrt{n}\{M_f(X_1, \dots, X_n) - f^{-1}(E_f(X_1, \dots, X_n))\}$ 는 근사적으로 정규 분포를 따른다. 유사한 결과가 준산술 평균의 일반화인 바지라크타레비치 평균과 편차 평균에 대해서도 존재한다.

3.11. 척도 불변성

준 산술 평균은 $f$ 의 오프셋 및 스케일링에 대해 불변이다. 즉, $a$ 와 $b\ne0$ 에 대해, 모든 $t$ 에서 $g(t)=a+b\cdot f(t)$ 이면, 모든 $x$ 에 대해 $M_f (x) = M_g (x)$ 이다.

4. 특징

준산술 평균을 특징짓는 여러 속성이 있다.

* 중간성: 준산술 평균을 특징짓기에 충분하다.
* 자기 분배성: 준산술 평균을 특징짓기에 충분하다.
* 대체성: 콜모고로프는 대칭성, 고정점, 단조성, 연속성 및 대체성, 이 다섯 가지 속성이 준산술 평균을 완전히 특징짓는다고 증명했다.
* 연속성은 두 변수 준산술 평균의 특징에서 불필요하다.
* 균형성: 대칭성, 고정점, 단조성 및 연속성과 함께 균형성 조건이 평균이 준산술적임을 암시하는지 여부는 흥미로운 문제이다. 게오르크 아우만은 1930년대에 일반적으로는 그렇지 않다는 것을 보였지만, M이 해석 함수라고 추가로 가정하면 긍정적이다.

4.1. 중간성

중간성은 본질적으로 준산술 평균을 특징짓기에 충분하다.

4.2. 자기 분배성

자기 분배성은 본질적으로 준산술 평균을 특징짓기에 충분하다.

4.3. 대체성

콜모고로프는 대칭성, 고정점, 단조성, 연속성 및 대체성이라는 다섯 가지 속성이 준산술 평균을 완전히 특징짓는다는 것을 증명했다.

4.4. 균형성

대칭성, 고정점, 단조성 및 연속성과 함께 균형성 조건이 평균이 준산술적임을 암시하는지 여부는 흥미로운 문제이다. 게오르크 아우만은 1930년대에 일반적으로는 그렇지 않다는 것을 보였지만, M이 해석 함수라고 추가로 가정하면 긍정적이다.

5. 동차성

평균은 일반적으로 동차이지만, 대부분의 함수 f에 대해 f-평균은 그렇지 않다. 유일한 동차 준산술 평균은 멱평균(기하 평균 포함)이다.

5.1. 동차성 확보

멱평균(기하 평균 포함)을 제외한 대부분의 f-평균은 동차가 아니다.

어떤 (동차) 평균 $C$ 로 입력 값을 정규화하여 동차성 속성을 확보할 수 있다.

: $M_{f,C} x = C x \cdot f^{-1}\left( \frac{f\left(\frac{x_1}{C x}\right) + \cdots + f\left(\frac{x_n}{C x}\right)}{n} \right)$

하지만 이 방법은 단조성과 평균의 분할 속성을 위반할 수 있다.

6. 일반화

르장드르 형 엄격히 볼록 함수 $F$ 를 고려할 때, 기울기 맵 $\nabla F$ 는 전역적으로 가역적이다. 따라서 가중 다변량 준 산술 평균은 다음과 같이 정의된다.

: $M_{\nabla F}(\theta_1,\ldots,\theta_n;w) = {\nabla F}^{-1}\left(\sum_{i=1}^n w_i \nabla F(\theta_i)\right)$

여기서 $w$ 는 정규화된 가중치 벡터이다 (균형 평균의 경우 기본적으로 $w_i=\frac{1}{n}$ ). 볼록 이중성에 따라, 준 산술 평균 $M_{\nabla F}$ 와 관련된 이중 준 산술 평균 $M_{\nabla F^*}$ 을 얻는다.

예를 들어 $X$ 가 대칭 양의 정부호 행렬일 때, $F(X)=-\log\det(X)$ 를 사용한다.

이때 행렬 준 산술 평균의 쌍은 행렬 조화 평균을 생성한다.

: $M_{\nabla F}(\theta_1,\theta_2)=2(\theta_1^{-1}+\theta_2^{-1})^{-1}.$

7. 예시

* S가 양의 실수이고 $f(x) = x^p$ 이면, f-평균은 멱평균이 된다.
* S가 실수이고 f(x) = exp(x)이면, f-평균은 로그 반환의 평균이며, LogSumExp (로그 합) 함수의 상수 이동 버전이다. ( $M_f(x_1, \dots, x_n) = \mathrm{LSE}(x_1, \dots, x_n)-\log(n)$ ). $-\log(n)$ 은 n으로 나누는 것에 해당하는데, 로그 나눗셈이 선형 뺄셈이기 때문이다. LogSumExp 함수는 매끄러운 최댓값이며, 최댓값 함수의 매끄러운 근사이다.

7.1. 산술 평균

S가 실수 집합이고 f(x) = x일 때, f-평균은 산술평균이 된다. f(x) = x (또는 a가 0이 아닌 임의의 선형 함수)이면, f-평균은 산술 평균에 해당한다.

7.2. 기하 평균

S가 양의 실수 집합이고 f(x) = log_bx일 때, f-평균은 기하평균이 된다. 이 결과는 밑수 b가 어떤 값이든 로그 함수가 정의된다면 항상 참이다. f-평균의 속성에 따르면, 결과는 로그의 밑이 양수이고 1이 아닌 한 밑에 의존하지 않는다.

7.3. 조화 평균

S가 양의 실수 집합이고 f(x) = x^-1일 때, f-평균은 조화평균이 된다. S가 양의 실수( $I = \mathbb{R}^+$ )이고 $f(x) = \frac{1}{x}$ 이면, f-평균은 조화 평균에 해당한다.

7.4. 멱평균

S가 양의 실수 집합이고 $f(x) = x^p$ 이면, f-평균은 지수 $p$ 를 갖는 멱평균에 해당한다.

7.5. 로그 반환의 평균 (LogSumExp)

f(x) = exp(x)이면, f-평균은 로그 반환의 평균이며, 이는 LogSumExp (LSE) 함수 (로그 합)의 상수 이동 버전이다. $M_f(x_1, \dots, x_n) = \mathrm{LSE}(x_1, \dots, x_n)-\log(n)$ 이다. $-\log(n)$ 은 n으로 나누는 것에 해당하는데, 로그 나눗셈이 선형 뺄셈이기 때문이다. LogSumExp 함수는 매끄러운 최댓값이며, 최댓값 함수의 매끄러운 근사이다.