일반화된 f-평균

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1. 개요

일반화된 f-평균은 실수 구간 I를 실수로 사상하는 연속 단사 함수 f에 대해 정의되는 평균의 한 종류이다. f-평균은 f의 역함수를 사용하여 표현되며, f가 단조 함수이므로 f-평균은 튜플에서 가장 크거나 작은 숫자보다 크거나 작지 않다. f-평균은 대칭성, 멱등성, 단조성, 연속성, 대체성, 분할, 자기 분배성, 중간성, 균형성, 척도 불변성 등의 성질을 갖는다. f-평균은 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균, 멱평균 등의 일반적인 평균을 포함하며, 로그 반환의 평균으로도 나타낼 수 있다.

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일반화된 f-평균

2. 정의

''f''-평균은 실수 구간에서 정의된 연속 함수이자 단사 함수인 ''f''를 이용하여 정의된다. ''f''가 단사 함수이고 연속 함수이므로, ''f''는 엄격히 단조 함수이며, 따라서 ''f''-평균은 주어진 숫자들 중 가장 큰 값보다 크지 않고, 가장 작은 값보다 작지도 않다.

2. 1. f-평균의 정의

'''f'''가 실수선의 구간

I

를 실수로 사상하는 함수이고, 연속 함수이자 단사 함수이면,

n

개의 숫자

x_1, \dots, x_n \in I

의 '''''f''-평균'''은 다음과 같이 정의된다.

:

M_f(x_1, \dots, x_n) = f^{-1}\left( \frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}n \right)

다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

M_f(\vec x)= f^{-1}\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \right)

역함수

f^{-1}

가 존재하기 위해서는 ''f''가 단사 함수여야 한다.

f

가 구간에서 정의되므로,

\frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}n

는

f^{-1}

의 정의역 안에 있다.

''f''가 단사 함수이고 연속 함수이므로, ''f''는 엄격히 단조 함수이며, 따라서 ''f''-평균은 튜플

x

에서 가장 큰 숫자보다 크지도 않고 가장 작은 숫자보다 작지도 않다.

2. 2. 역함수의 필요성

f^영어-평균의 정의에는 f^영어의 역함수

f^{-1}

가 사용되므로, f^영어는 단사 함수여야 한다.

3. 성질

일반화된 f-평균( $M_f$ )은 다음과 같은 유용한 성질들을 가지고 있다.^[2]

대칭성: 입력값들의 순서를 바꾸어도 결과가 변하지 않는다.
멱등성: 모든 입력값이 동일한 경우 f-평균은 그 값과 같다.
단조성: $f$ 가 단조 함수이면, $M_f$ 도 각 인수에 대해 단조적이다.
연속성: $f$ 가 연속 함수이면, f-평균도 각 인수에 대해 연속이다.
대체성: 원소의 중복성을 유지하면서 부분 집합을 평균으로 대체할 수 있다.
분할: 동일한 크기의 하위 블록으로 나누어 계산할 수 있다.
자기 분배성, 중간성, 균형성: 두 변수의 준산술 평균에 대해 성립하는 성질들이다.
중심 극한 정리: 충분히 큰 표본에 대해, f-평균은 근사적으로 정규 분포를 따른다.
척도 불변성: $f$ 의 오프셋 및 스케일링에 대해 불변이다.

3. 1. 대칭성

f-평균은 입력 값들의 순서를 바꾸어도 결과가 변하지 않는다. 즉, M_f(x₁, ..., xₙ) = M_f(x₂, x₁, ..., xₙ) 등이 성립한다.^[2]

3. 2. 멱등성

모든 ''x''에 대해, M_f(x, ..., x) = x이다.^[2] 즉, 모든 입력값이 동일한 경우 일반화된 f-평균은 그 값과 같다.

3. 3. 단조성

f

가 단조 함수이면,

M_f

도 각 인수에 대해 단조적이다.^[2]

3. 4. 연속성

f^영어가 연속 함수이면, f^영어-평균도 각 인수에 대해 연속이다.^[2]

3. 5. 대체성

원소의 중복성을 유지하는 경우, 평균을 변경하지 않고도 원소의 부분 집합을 사전적으로 평균화할 수 있다.

m=M_f(x_1,\dots,x_k)

에 대해 다음이 성립한다.

:

M_f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_n) = M_f(\underbrace{m,\dots,m}_{k \text{ 번}},x_{k+1},\dots,x_n)

3. 6. 분할

f-평균은 동일한 크기의 하위 블록으로 나누어 계산할 수 있다.

:

M_f(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) = M_f(M_f(x_1,\dots,x_{k}), M_f(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}), \dots, M_f(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))

^[2]

3. 7. 자기 분배성

두 변수의 임의의 준 산술 평균

M

에 대해 다음이 성립한다.^[2]

:

M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))

3. 8. 중간성

두 변수의 준산술 평균

M

에 대해,

M(M(x, y), M(z, w)) = M(M(x, z), M(y, w))

가 성립한다.^[2]

3. 9. 균형성

두 변수의 임의의 준산술 평균

M

에 대해,

M(M(x, M(x, y)), M(y, M(x, y))) = M(x, y)

가 성립한다.

3. 10. 중심 극한 정리

정규성 조건 하에서, 충분히 큰 표본에 대해,

\sqrt{n}\{M_f(X_1, \dots, X_n) - f^{-1}(E_f(X_1, \dots, X_n))\}

는 근사적으로 정규 분포를 따른다.^[2] 유사한 결과가 준산술 평균의 일반화인 바지라크타레비치 평균과 편차 평균에 대해서도 존재한다.^[3]^[4]

3. 11. 척도 불변성

준 산술 평균은

f

의 오프셋 및 스케일링에 대해 불변이다. 즉,

a

와

b\ne0

에 대해, 모든

t

에서

g(t)=a+b\cdot f(t)

이면, 모든

x

에 대해

M_f (x) = M_g (x)

이다.^[2]

4. 특징

준산술 평균을 특징짓는 여러 속성이 있다.

'''중간성'''^[5]: 준산술 평균을 특징짓기에 충분하다.
'''자기 분배성'''^[5]: 준산술 평균을 특징짓기에 충분하다.
'''대체성'''^[6]: 콜모고로프는 대칭성, 고정점, 단조성, 연속성 및 대체성, 이 다섯 가지 속성이 준산술 평균을 완전히 특징짓는다고 증명했다.
연속성은 두 변수 준산술 평균의 특징에서 불필요하다.
'''균형성'''^[7]: 대칭성, 고정점, 단조성 및 연속성과 함께 균형성 조건이 평균이 준산술적임을 암시하는지 여부는 흥미로운 문제이다. 게오르크 아우만은 1930년대에 일반적으로는 그렇지 않다는 것을 보였지만, M이 해석 함수라고 추가로 가정하면 긍정적이다.^[8]

4. 1. 중간성

중간성은 본질적으로 준산술 평균을 특징짓기에 충분하다.^[5]

4. 2. 자기 분배성

자기 분배성은 본질적으로 준산술 평균을 특징짓기에 충분하다.^[5]

4. 3. 대체성

콜모고로프는 대칭성, 고정점, 단조성, 연속성 및 대체성이라는 다섯 가지 속성이 준산술 평균을 완전히 특징짓는다는 것을 증명했다.^[6]

4. 4. 균형성

대칭성, 고정점, 단조성 및 연속성과 함께 균형성 조건이 평균이 준산술적임을 암시하는지 여부는 흥미로운 문제이다. 게오르크 아우만은 1930년대에 일반적으로는 그렇지 않다는 것을 보였지만,^[7] ''M''이 해석 함수라고 추가로 가정하면 긍정적이다.^[8]

5. 동차성

평균은 일반적으로 동차이지만, 대부분의 함수 ''f''에 대해 ''f''-평균은 그렇지 않다. 유일한 동차 준산술 평균은 멱평균(기하 평균 포함)이다.^[1]

5. 1. 동차성 확보

멱평균(기하 평균 포함)을 제외한 대부분의 ''f''-평균은 동차가 아니다.^[1]

어떤 (동차) 평균

C

로 입력 값을 정규화하여 동차성 속성을 확보할 수 있다.

:

M_{f,C} x = C x \cdot f^{-1}\left( \frac{f\left(\frac{x_1}{C x}\right) + \cdots + f\left(\frac{x_n}{C x}\right)}{n} \right)

하지만 이 방법은 단조성과 평균의 분할 속성을 위반할 수 있다.^[2]

6. 일반화

르장드르 형 엄격히 볼록 함수 $F$ 를 고려할 때, 기울기 맵 $\nabla F$ 는 전역적으로 가역적이다. 따라서 가중 다변량 준 산술 평균^[9]은 다음과 같이 정의된다.

: $M_{\nabla F}(\theta_1,\ldots,\theta_n;w) = {\nabla F}^{-1}\left(\sum_{i=1}^n w_i \nabla F(\theta_i)\right)$

여기서 $w$ 는 정규화된 가중치 벡터이다 (균형 평균의 경우 기본적으로 $w_i=\frac{1}{n}$ ). 볼록 이중성에 따라, 준 산술 평균 $M_{\nabla F}$ 와 관련된 이중 준 산술 평균 $M_{\nabla F^*}$ 을 얻는다.

예를 들어 $X$ 가 대칭 양의 정부호 행렬일 때, $F(X)=-\log\det(X)$ 를 사용한다.

이때 행렬 준 산술 평균의 쌍은 행렬 조화 평균을 생성한다.

: $M_{\nabla F}(\theta_1,\theta_2)=2(\theta_1^{-1}+\theta_2^{-1})^{-1}.$

7. 예시

''S''가 양의 실수이고 $f(x) = x^p$ 이면, ''f''-평균은 멱평균이 된다.
''S''가 실수이고 ''f''(''x'') = exp(''x'')이면, ''f''-평균은 로그 반환의 평균이며, LogSumExp (로그 합) 함수의 상수 이동 버전이다. ( $M_f(x_1, \dots, x_n) = \mathrm{LSE}(x_1, \dots, x_n)-\log(n)$ ). $-\log(n)$ 은 n으로 나누는 것에 해당하는데, 로그 나눗셈이 선형 뺄셈이기 때문이다. LogSumExp 함수는 매끄러운 최댓값이며, 최댓값 함수의 매끄러운 근사이다.

7. 1. 산술 평균

S가 실수 집합이고 f(x) = x일 때, f-평균은 산술평균이 된다.^[1] f(x) = x (또는 a가 0이 아닌 임의의 선형 함수)이면, f-평균은 산술 평균에 해당한다.^[4]

7. 2. 기하 평균

''S''가 양의 실수 집합이고 ''f''(''x'') = log_''b''''x''일 때, ''f''-평균은 기하평균이 된다. 이 결과는 밑수 ''b''가 어떤 값이든 로그 함수가 정의된다면 항상 참이다.^[1] ''f''-평균의 속성에 따르면, 결과는 로그의 밑이 양수이고 1이 아닌 한 밑에 의존하지 않는다.^[2]

7. 3. 조화 평균

''S''가 양의 실수 집합이고 ''f''(''x'') = ''x''^-1일 때, ''f''-평균은 조화평균이 된다. ''S''가 양의 실수(

I = \mathbb{R}^+

)이고

f(x) = \frac{1}{x}

이면, ''f''-평균은 조화 평균에 해당한다.^[2]

7. 4. 멱평균

''S''가 양의 실수 집합이고

f(x) = x^p

이면, ''f''-평균은 지수

p

를 갖는 멱평균에 해당한다.

7. 5. 로그 반환의 평균 (LogSumExp)

''f''(''x'') = exp(''x'')이면, ''f''-평균은 로그 반환의 평균이며, 이는 LogSumExp (LSE) 함수 (로그 합)의 상수 이동 버전이다.

M_f(x_1, \dots, x_n) = \mathrm{LSE}(x_1, \dots, x_n)-\log(n)

이다.

-\log(n)

은 n으로 나누는 것에 해당하는데, 로그 나눗셈이 선형 뺄셈이기 때문이다. LogSumExp 함수는 매끄러운 최댓값이며, 최댓값 함수의 매끄러운 근사이다.

참조

_[1] 논문 Generalizing skew Jensen divergences and Bregman divergences with comparative convexity 2017-06
_[2] 논문 Mean, what do you Mean? https://zenodo.org/r[...]
_[3] 논문 Limit theorems for Bajraktarević and Cauchy quotient means of independent identically distributed random variables https://link.springe[...] 2022-04-01
_[4] 논문 Limit Theorems for Deviation Means of Independent and Identically Distributed Random Variables https://link.springe[...] 2023-09-01
_[5] 서적 Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge Univ. Press
_[6] 웹사이트 Characterization of the quasi-arithmetic mean https://math.stackex[...] 2019
_[7] 논문 Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften
_[8] 논문 Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte
_[9] arXiv Beyond scalar quasi-arithmetic means: Quasi-arithmetic averages and quasi-arithmetic mixtures in information geometry

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