멱평균

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

멱평균은 양의 실수에 대해 정의되는 평균의 한 종류로, 지수 p를 사용하여 계산된다. p가 0이 아닌 경우, $M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^$ 로 정의되며, p=0인 경우 기하 평균과 같도록 정의된다. 가중치를 적용한 가중 멱평균도 존재하며, p=0일 때는 가중 기하 평균과 같다. 멱평균은 최솟값과 최댓값 사이의 값을 가지며, 순열 불변성, 동차성, 분할 가능성 등의 성질을 갖는다. 멱평균은 p의 값에 따라 조화 평균, 기하 평균, 산술 평균, 제곱 평균, 최댓값, 최솟값 등 다양한 특수한 경우를 나타낸다. 또한, 일반화된 평균 부등식을 만족하며, 신호 처리 및 일반화 f-평균 계산 등 다양한 분야에 응용된다.

멱평균

📚 더 읽어볼만한 페이지

기술통계학 - 조화 평균
조화 평균은 양의 실수들의 역수의 산술 평균의 역수로 정의되며, 작은 값에 민감하게 반응하여 비율이나 비를 포함하는 상황에서 유용하게 활용되는 평균의 한 종류이다.
기술통계학 - 기하중앙값
기하 중앙값은 m개의 점 집합에서 각 점까지의 유클리드 거리의 합을 최소화하는 점이며, 1차원 공간에서 중앙값과 같고 유클리드 닮음 변환에 대해 공변성을 갖는다.
수학 - 조화 평균
조화 평균은 양의 실수들의 역수의 산술 평균의 역수로 정의되며, 작은 값에 민감하게 반응하여 비율이나 비를 포함하는 상황에서 유용하게 활용되는 평균의 한 종류이다.
수학 - 귀류법
귀류법은 증명하려는 명제의 결론을 부정하여 모순을 이끌어냄으로써 원래 명제가 참임을 증명하는 방법이다.
부등식 - 구매력 평가
구매력 평가는 일물일가의 법칙에 기반하여 국가 간 물가 수준을 비교하고 환율을 계산하는 경제 이론으로, GDP 비교나 환율 예측 등에 활용되지만 여러 한계점도 존재한다.
부등식 - 불확정성 원리

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일반적인 경우
- 2.2. 가중 멱평균
3. 특수한 경우
4. 멱평균의 성질
5. 일반화된 평균 부등식
6. 응용
- 6.1. 신호 처리
- 6.2. 일반화 f-평균

2. 정의

횔더 평균( Hölder mean^영어)은 0이 아닌 실수 $p$에 대하여, 양의 실수 $x_1, \dots , x_n$에 대해 지수 $p$를 가지며 다음과 같이 정의된다:

: $M_p(x_1,\dots,x_n) := \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}$

$p=0$일 때는 기하 평균(지수가 0으로 향하는 극한)으로 정의한다.

: $M_0(x_1, \dots, x_n) := \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$

가중치 (양수의 집합. 단, $\sum w_i = 1$ )에 대한 가중 횔더 평균은 다음과 같다.

: $\begin{align}M_p(x_1,\dots,x_n) &:= \left(\sum_{i=1}^n w_i x_i^p \right)^{1/p} \\M_0(x_1,\dots,x_n) &:= \prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\end{align}$

가중치를 고려하지 않은 평균은 모든 가중치를 $1/n$으로 한 것과 같다.

2.1. 일반적인 경우

가 0이 아닌 실수이고, $x_1, \dots, x_n$ 이 양의 실수라면, 이러한 양의 실수들의 지수 를 갖는 일반화 평균 또는 멱평균은 다음과 같다.

$M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^ .$

(-노름 참조). 경우, 기하 평균과 같도록 설정한다(이는 아래에서 증명된 바와 같이 지수가 0에 가까워지는 평균의 극한이다).

$M_0(x_1, \dots, x_n) = \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n} .$

또한, 양의 가중치 의 수열에 대해, 가중 멱평균을 다음과 같이 정의한다.

$M_p(x_1,\dots,x_n) = \left(\frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i^p}{\sum_{i=1}^n w_i} \right)^$

그리고 일 때, 이는 가중 기하 평균과 같다.

$M_0(x_1,\dots,x_n) = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} .$

가중치가 없는 평균은 모든 를 로 설정하는 것에 해당한다.

2.2. 가중 멱평균

양의 가중치 수열에 대해, 가중 멱평균은 다음과 같이 정의된다.

: $M_p(x_1,\dots,x_n) = \left(\frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i^p}{\sum_{i=1}^n w_i} \right)^$

$p=0$ 일 때, 이는 가중 기하 평균과 같다.

: $M_0(x_1,\dots,x_n) = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} .$

가중치가 없는 평균은 모든 $w_i = 1$ 로 설정하는 것에 해당한다.

3. 특수한 경우

p^영어값에 따라 멱평균은 다음과 같은 특수한 평균이 된다.

* 최솟값: $M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}$
* 조화 평균: $M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}$
* 기하 평균: $M_0(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}$
* 산술 평균: $M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$
* 제곱 평균 제곱근: $M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}$
* 세제곱 평균: $M_3(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}}$
* 최댓값: $M_{+\infty}(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}$

4. 멱평균의 성질

멱평균은 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 최솟값과 최댓값 사이: 멱평균은 항상 입력값 중 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 있다.
* 순열 불변성: 멱평균은 인수의 순서를 바꾸어도 값이 변하지 않는다.
* 동차성: 모든 인수에 같은 양수를 곱하면 멱평균도 같은 양수 배가 된다.
* 분할 가능성: 멱평균은 동일한 크기의 하위 블록으로 나누어 계산할 수 있다.

4.1. 최솟값과 최댓값 사이

: $x_1, \dots, x_n$ 은 양의 실수 수열이다.

:일반화 평균은 항상 $x$ 값 중 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 위치한다.

:: $\min(x_1, \dots, x_n) \le M_p(x_1, \dots, x_n) \le \max(x_1, \dots, x_n)$

4.2. 순열 불변성

$x_1, \dots, x_n$ 이 양의 실수 수열일 때, 멱평균은 치환 연산자 $P$ 에 대해 다음과 같은 성질을 가진다.

: $M_p(x_1, \dots, x_n) = M_p(P(x_1, \dots, x_n))$

이는 일반화 평균이 인수에 대한 대칭 함수이며, 인수의 순서를 바꾸어도(치환) 값이 변하지 않는다는 것을 의미한다. 즉 멱평균은 인자들의 순열에 불변하는 성질을 갖는다.

4.3. 동차성

양의 실수 $b$ 에 대해, 다음 식이 성립한다.

: $M_p(b x_1, \dots, b x_n) = b \cdot M_p(x_1, \dots, x_n)$

이는 멱평균이 동차 함수임을 의미한다. 즉, 모든 인수에 같은 양의 실수 $b$ 를 곱하면, 멱평균 값도 $b$ 배가 된다.

4.4. 분할 가능성

준산술 평균과 마찬가지로, 평균 계산을 동일 크기의 서브 블록 계산으로 분할할 수 있다. 이렇게 하면 필요할 때 분할 정복 알고리즘을 사용하여 평균을 계산할 수 있다.

: $M_p(x_1, \dots, x_{n \cdot k}) = M_p\left[M_p(x_1, \dots, x_{k}), M_p(x_{k + 1}, \dots, x_{2 \cdot k}), \dots, M_p(x_{(n - 1) \cdot k + 1}, \dots, x_{n \cdot k})\right]$

5. 일반화된 평균 부등식

p^영어 < q^영어이면,

: $M_p(x_1, \dots, x_n) \le M_q(x_1, \dots, x_n)$

가 성립한다. 두 평균은 일 때에만 같다.

이 부등식은 실수 p^영어와 q^영어의 값뿐만 아니라 양의 무한대 및 음의 무한대 값에 대해서도 참이다.

이는 모든 실수 p^영어에 대해 다음이 성립한다는 사실에서 따른다.

: $\frac{\partial}{\partial p}M_p(x_1, \dots, x_n) \geq 0$

이는 젠센 부등식을 사용하여 증명할 수 있다.

특히 }의 p^영어에 대해, 일반화된 평균 부등식은 피타고라스 평균 부등식과 산술-기하 평균 부등식을 함의한다.

6. 응용

멱평균은 신호 처리, 일반화 f-평균 등 다양한 분야에 응용된다.

=== 신호 처리 ===
멱평균은 작은 값에서는 작은 신호 값을, 큰 값에서는 큰 신호 값을 강조하는 비선형 이동 평균을 제공한다.

=== 일반화 f-평균 ===
멱평균은 일반화된 f-평균으로 일반화될 수 있다.

6.1. 신호 처리

멱평균은 작은 값에서는 작은 신호 값 쪽으로 이동하고 큰 값에서는 큰 신호 값을 강조하는 비선형 이동 평균을 제공한다. `smooth`라는 이동 산술 평균의 효율적인 구현이 주어지면, 다음 하스켈 코드를 사용하여 이동 멱평균을 구현할 수 있다.

```haskell
powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
powerSmooth smooth p = map ( recip p) . smooth . map (p)
```

* 큰 값의 경우, 이는 정류된 신호에 대한 엔벨로프 검출기 역할을 할 수 있다.
* 작은 값의 경우, 이는 질량 분석법의 베이스라인에 대한 베이스라인 검출기 역할을 할 수 있다.

6.2. 일반화 f-평균

멱평균은 일반화된 f-평균으로 더욱 일반화될 수 있다.

: $M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1} \left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)$

f^영어(x) = log(x)로 두면 극한을 사용하지 않고 기하 평균을 나타낼 수 있으며, f^영어(x) = x^p로 두면 멱평균을 얻을 수 있다.